2020中考数学专题练习：三角形的边角关系 (含答案)

2020中考数学专题练习：三角形的边角关系
（含答案）
1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝()
A．35° B．70° C．110° D．140°
2．已知如图1中的两个三角形全等，则角α的度数是()
图1
A．72° B．60° C．58° D．50°
3．如图2，∠A，∠1，∠2的大小关系是()
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
图2
图3
4．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图3.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条()
A．0根B．1根C．2根D．3根
5．下列命题中，真命题的是()
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
6．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()
A B C D
7．不一定在三角形内部的线段是()
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．三角形的中位线
8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图3所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC的依据是()
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
图3
图4
9．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________cm.
10．如图5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE.
图5
11．如图6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.
图6
12．如图7，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果⊗，⊗，那么⊗”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
图7
13．如图8所示，两根旗杆间相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，求这个人运动了多长时间？
图8
14．如图9所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________(提示：∠EAD＋∠F AB＝90°)．
图9
图10
图11
15．如图10，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是() A．15° B．20° C．25° D．30°
16．如图11，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．
17．(1)如图12，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
①当点D在AC上时，如图12(1)，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
②将图12(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图12(2)，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，能使线段BD，CE在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB∶AC＝AD∶AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；
乙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；
丙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°.
图12
18．如图13(1)，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G.
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)求正方形ABCD的面积；
(3)如图13(2)，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S.
图13
参考答案
1．C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A 9.3 10．证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°. 在△ABD 和△ACE 中，
⎩⎨⎧
∠A ＝∠A ，
∠ADB ＝∠AEC ，AB ＝AC ，
∴△ABD ≌△ACE (AAS)．∴BD ＝CE . 11．证明：∵AD ＝EB ，
∴AD －BD ＝EB －BD ，即AB ＝ED . 又∵BC ∥DF ，∴∠CBD ＝∠FDB . ∴∠ABC ＝∠EDF .
又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△EDF .∴AC ＝EF .
12．解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②； (2)若选择如果①②，那么③. 证明：∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D .
∵AB ＝CD ，∴AB ＋BC ＝BC ＋CD ，即AC ＝DB . 在△ACE 和△DBF 中，
⎩⎨⎧ ∠E ＝∠F ，∠A ＝∠D ，AC ＝DB ，
∴△ACE ≌△DBF (AAS)．∴CE ＝BF . 若选择如果①③，那么②.
证明：∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D . 在△ACE 和△DBF 中，
⎩⎨⎧
∠E ＝∠F ，∠A ＝∠D ，EC ＝FB ，
∴△ACE ≌△DBF (AAS)．
∴AC ＝DB .∴AC －BC ＝DB －BC ，即AB ＝CD .
13．解：∵∠CMD ＝90°，∴∠CMA ＋∠DMB ＝90°. 又∵∠CAM ＝90°，∴∠CMA ＋∠ACM ＝90°. ∴∠ACM ＝∠DMB . 又∵CM ＝MD ，
∴Rt △ACM ≌Rt △BMD ，∴AC ＝BM ＝3. ∴他到达点M 时，运动时间为3÷1＝3(s)． 答：这个人运动了3 s. 14．13 15.D
16．7 解析：因为△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，所以EC ＝AE ，故△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝3＋4＝7.
17．解：(1)①结论：BD ＝CE ，BD ⊥CE . ②结论：BD ＝CE ，BD ⊥CE .
理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAD －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE . 在△ABD 与△ACE 中，
∵⎩⎨⎧
AB ＝AC ，
∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE .∴BD ＝CE .
延长BD 交AC 于点F ，交CE 于点H . 在△ABF 与△HCF 中，
∵∠ABF ＝∠HCF ，∠AFB ＝∠HFC ， ∴∠CHF ＝∠BAF ＝90°.∴BD ⊥CE .
(2)结论：乙．AB ∶AC ＝AD ∶AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°. 18．(1)证明：在Rt △AFD 和Rt △CEB 中， ∵AD ＝BC ，AF ＝CE ，∴Rt △AFD ≌Rt △CEB .
(2)解：∵∠ABH ＋∠CBE ＝90°，∠ABH ＋∠BAH ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAH . 又∵AB ＝BC ，∠AHB ＝∠CEB ＝90°， ∴△ABH ≌△BCE .
同理，得△ABH ≌△BCE ≌△CDG ≌△DAF . ∴S 正方形ABCD ＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF
＝4×1
2×2×1＋1×1 ＝5.
(3)解：由(1)，知△AFD ≌△CEB ，故h 1＝h 3， 由(2)，知△ABH ≌△BCE ≌△CDG ≌△DAF ， ∴S 正方形ABCD ＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF
＝4×1
2(h 1＋h 2)·h 1＋h 22
＝2h 21＋2h 1h 2＋h 2
2.。