一元二次方程的解法(消元)
一元二次方程解法讲义
龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。
例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为 。
例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔 〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔 〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。
一元二次方程解法
一元二次方程解法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c都是已知的实数且a不等于0。
解一元二次方程的方法有多种，包括配方法、因式分解法、求根公式法等。
下面将详细介绍这些解法。
1. 配方法配方法又称“配方法”或“消元法”，通过变形将一元二次方程转化为一个平方完全平方式，从而解得方程的根。
具体步骤如下：（1）将方程化为标准形式，确保二次项系数a的值为1。
（2）将方程的两边同时加上或减去常数项c/a。
（3）将二次项和一次项配成一个完全平方的形式，即将线性项系数b的一半平方，再加上一个与这个平方相等的常数。
（4）将方程两边开方，并得到两个方程。
（5）解得两个方程的解即为原方程的解。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，可以进行配方法的解法如下：（1）将方程化为标准形式：2x^2 + 5x + 3 = 0。
（2）将方程的两边同时减去常数项3：2x^2 + 5x = -3。
（3）将二次项和一次项配成一个完全平方的形式：2x^2 + 5x +(5/2)^2 = -3 + (5/2)^2，即2x^2 + 5x + 25/4 = -3 + 25/4。
（4）将方程两边开方，并得到两个方程：(x + 5/4)^2 = (7/4)，即x+ 5/4 = ±√(7/4)。
（5）解得两个方程的解：x = -5/4 ± √(7/4)。
2. 因式分解法对于一元二次方程，如果可以因式分解得到两个一次因式相乘的形式，则可以通过这两个因式分别等于零来解方程得到根。
具体步骤如下：（1）将方程变形为标准形式，确保二次项系数a的值为1。
（2）对方程的一次项和常数项进行因式分解，找出两个一次因式。
（3）令每个一次因式分别等于零，解方程得到根。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，可以进行因式分解法的解法如下：（1）将方程变形为标准形式：x^2 + 6x + 8 = 0。
加减消元法解一元二次方程
代入法消元法的基本思路 和一般步骤
用代入法解二元一次方程组：
基本思路：
x+y=7300 y-x=6100
① ②
二元一次方程组
代 入 消 元
基本步骤：
变形—代入—求解—写解 还有其他解法吗？
一元一次方程
加减法解二元一次方程组
预习展示：
1、预习过程中你用到了以前的那些知识？ 等式的基本性质、合并同类项、二元一次 方程组的解等
请同学们回想课本例2. 回答： 解：①×3，得 15u+6v=-27③ （1）方程①×2的目的是什么？ ②×5，得 15u-20v=-40④ (3)解这个一元一次方程,求得 （2）方程组中v的系数成为互为 一个未知数的值 ③ - ④ ，得 26v=13④ 相反数后，方程②和③相___,就 可以消去未知数___了。 v=0.5 (4)把求得的未知数的值代入方 解这个一元一次方程得： 将v=0.5代入方程①得： 程组中任意一个方程,即可得另 （3）能否把u=-2代入方程②？ 5u+2×0.5=-9 一个未知数的值. （4）加减法解 二元一次方程组 解得：u=-2 u=-2 的一般步骤是什么？ (5)作结论，写出方程组 所以，原方程组的解是 （5）你能用加减法先消去u解这 的解 v=0.5 个方程组吗？若能，需要先把u 的系数变形为____.
1．用加减法解方程组
先将两个方程组相_______；若先求y的值，应先将两个方 程组相________．
2 x 3 y 1, 2．解方程组 3x 6 y 7. 用加减法消去y，需要（ ）
A．①×2-② C．①×2+② C．①×2+② B．①×3-②×2 D．①×3+②×2
减
中考复习：一元二次方程组的解法归纳
含有两个未知数且含未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，将两个二元一次方程合在一起称为二元一次方程组.二元一次方程组的解是满足两个二元一次方程的公共解.解二元一次方程组的方法很多，灵活选用合适的方法解不同的二元一次方程组，可以有效地提高解题的效率.一、换元法换元法是将复杂方程转化为简单方程的一种方法.灵活运用换元法可大大降低运算量.运用换元法解题的步骤为：首先分析方程组中的复杂结构，将方程组中某些相同的部分设为新的未知数（称为“元”），然后将新元代入原方程组得到新的方程组，解新的方程组，再将求得的值代回换元的式子中求出原未知数的值，即可解题.1.整体换元法整体换元法指的是当一个方程中含有（或者可配凑出）相同的因式时，可以将这个相同的因式看成一个整体并将这个整体设为一个新未知数（称为“元”），然后将原方程组转化为关于新“元”的方程组.通过整体换元，可以调整方程及方程组的结构，使方程组变成易于处理的简单形式，进而快速求解.例1解方程组：■■■■■■■1x +1x +y=3,3x -1x +y =1.解：设1x =a ，1x +y=b ，则方程组转化为■■■a +b =3,①3a -b =1,②①+②解得a =1，将a =1代入到方程①中解得b =2.代回得■■■■■1x =1,1x +y=2,解得■■■■■x =1,y =-12,所以原方程的解为■■■■■x =1,y =-12.评注：设1x =a ，1x +y =b 后可将原方程组转化为简单的二元一次方程组.先求解换元后的二元一次方程组，然后将值代回到换元的式子中求出原方程组的解.本题也可以将两方程直接相加求出1x的值，进而代回后求得1x +y 的值，然后求得最终结果.这种操作的本质也是整体换元思想.2.比值换元法当一个方程（或方程组）中出现形如x a =y b的方程时，可将x a 与y b 设为一个相同的新“元”，进而用新“元”表示x 和y ，将原方程组转化为关于新“元”的方程组.解这个关于新“元”的方程组，再将新“元”的值代回到换元的式子中，即可解题.例2解方程组：■■■■■x 5+y6=0,①3(x -y )-4(3y +x )=85.②解：由①得x 5=-y 6，设x 5=-y6=k ，则x =5k ，y =-6k .将x =5k ，y =-6k 代入方程②中得3(5k +6k )-4[3×(-6k )+5k ]=85，化简整理得85k =85，解得k =1，中考复习：一元二次方程组的解法归纳代回得x =5，y =-6，所以原方程组的解为{x =5,y =-6.评注：根据方程①的结构，设x 5=-y6=k ，将x 和y 用新“元”k 表示，然后代入方程②中，求出k 的值，最后将k 代回换元的式子中求得x 和y 的值.本题若直接去分母消元求解，则运算量较大.二、消元法消元法指的是由一些未知数间的已知等量关系，通过有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，从而得到另一些相关未知数间的等量关系的方法.消元法是解方程组的基本方法，常见的有代入消元法和加减消元法，都是将方程组中未知数的个数由多化少，逐一求出未知数的解.1.代入消元法运用代入消元法解二元一次方程组，首先需从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，或者将两个方程相加（相减），得到两个未知数系数相同或者相反的新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入原方程组中的其中一个方程，求得其中一个未知数的值，再将这个值代入变形后的关系式，即可求得另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．例3解方程组：■■■2015x +2016y =2017,①2016x +2017y =2018.②解：由①-②得x +y =1③，由③得x =1-y ，将x =1-y 代入①中得2015(1-y )+2016y =2017，即2015+y =2017，解得y =2，将y =2代入③中解得x =-1.所以原方程组的解为{x =-1,y =2.评注：本题采用常规的加减或者代入消元法求解，运算量都较大.观察到两个方程的相同未知数的系数之差相等，因此，直接将两个方程作差得到一个新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，再运用代入消元法即可解题.2.加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．由于二元一次方程组的形式各异，因此往往需要利用等式的性质将二元一次方程组中的方程变形，使得两个方程中的其中一个未知数的系数有相同或相反的特点，然后运用加减消元法即可解题.例4已知■■■4x -3y =3,①x +2y =1,②求x -2y 的值.解:由②×4得4x +8y =4,③将①与③作差得-11y =-1，解得y =111，再将y =111代入其中一个方程中得x =911，则x -2y =911-211=711，所以x -2y 的值为711.评注：首先将方程组中的方程x +2y =1的两边同时乘以4得到一个新的方程，然后将方程组中的另一个方程与此方程作差求得y 的值，然后运用代入消元法求得x 的值，进而求得结果.当然，在求解x 的值时也可以再次运用加减消元法，这只需要将第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3，然后将得到的两个新方程作差即可求得x 的值.总之，解二元一次方程组问题时，应从整体与局部上观察方程的结构，把握其中的规律，灵活选择不同方法解题，准确地进行运算，这样才能缩短解题时间，做到事半功倍.。
消元的方法
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
加减消元法例：解方程组：x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14即x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴x=7y=2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
编辑本段构成加减消元法例：解方程组x+y=5①x-y=9②解：①+②，得2x=14即x=7把x=7带入①，得：7-y=9解，得：y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解编辑本段解法二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.例:1)x-y=32)3x-8y=43)x=y+3代入得３×（y+３)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1以上就是代入消元法，简称代入法。
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
消元法解一元二次方程组
8.2消元——解二元一次方程组一、教学内容分析本节承接第8.1节中讨论的篮球联赛胜负场次问题，对比根据题意列出的二元一次方程组与一元一次方程，发现它们之间的关系，即把方程组中一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，将它代入方程组中另一个方程，原来的二元一次方程组就转化为一元一次方程。
结合这个具体的例子，教科书指出这种转化对解二元一次方程组很重要，它的基本思路就是“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想。
在提出消元思想后，教科书对代入消元法的基本步骤进行了归纳。
即通过“把一个方程(必要时先做适当变形)代入另一个方程”实现消元。
本节的教学重点是用代入消元法解二元一次方程组，教学难点是探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的“消元”过程和思想。
二、学生学习情况分析本节是在学习了第8.1节中讨论的篮球联赛胜负场次问题，学生了解了二元一次方程、二元一次方程组及它们的解之后，已经对如何求二元一次方程组的解产生了浓厚的兴趣，很想继续学习二元一次方程组的解法。
但学生对思想方法不能理解，现在还不知道具体应怎样去求解，或为什么要这样去求解。
三、教学设计理念代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化归的原则就是将不熟悉的问题化为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验，用于解决新问题。
基于这点认识，本课按照“从身边的数学问题引入→寻求一元一次方程的解法→探索二元一次方程组的代入消元法→典型例题→归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计。
在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学。
教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中。
重视知识的发生过程，将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入(消元)解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的。
初中数学重点梳理：一元二次方程
一元二次方程知识定位一元二次方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种。
要熟练掌握一元二次方程的定义及定理以及解法和根的判别。
同时一元二次方程的实际应用题，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中一元二次方程相关问题的常见题型及其求解方法。
本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x a =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=±④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b aca x c x a a a a -⇒+=-⇒+=示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
《用消元法解一元二次方程》教案
《用消元法解一元二次方程》教案用消元法解一元二次方程教案
教学目标：
* 了解一元二次方程的定义和特点
* 掌握使用消元法解一元二次方程的方法
* 能够运用消元法解决一些实际问题
教学步骤：
步骤一：复一元二次方程
* 让学生回顾一元二次方程的定义和一些基本概念，例如方程的形式、系数、根等。
步骤二：介绍消元法
* 通过例子引入消元法的概念，说明其作用和用途。
步骤三：使用消元法解一元二次方程
* 指导学生如何使用消元法解决一元二次方程的方法和步骤。
步骤四：练
* 提供一些练题，让学生在课堂上独立完成，检验他们掌握消元法的能力。
步骤五：应用实例
* 利用实际问题演示如何运用消元法解决一些实际应用问题，提高学生对知识的应用能力。
步骤六：总结与展望
* 总结今天的研究内容，并展望下一节课的内容。
教学资源：
* 一元二次方程的教材和题
* 课堂黑板、白板等教学工具
教学评估：
* 在课堂上观察学生的参与情况，及时纠正他们的错误并给予指导
* 通过题练和实际应用问题的解答，评估学生对消元法的掌握程度
扩展拓展：
* 鼓励学生自主探索和研究一元二次方程的其他解法
* 引导学生运用一元二次方程解决更具挑战性的问题
参考资料：
- "高中数学一元二次方程解法探究"，教育论文集。
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消元一二元一次方程组的解法（四）教案
一、教学目标
1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。
2、过程与方法：能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。
3、情感态度价值观：通过分析实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题，进一步认识方程模型的重要性。
二、教学重难点
重点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。
难点：实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。
三、教学过程
（一）复习、引入课题
复习：解二元一次方程有多少种解法？共同点是什么？目的是什么？
引入：接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。
（二）探索新知
（1）解方程组
引导学生通过消y 与消x ，尝试不同的解法，培养学生发散思维，然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。
小结1：当方程中同一个未知数的系数相等或相反时，用加减消元法较简便。
（2）请选择适当的方法解下列方程组：
① ② ③ 2x-2y=60 (2)
2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2
2x+3y=10
通过这三个方程组的讨论，归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。
小结2：当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用代入消元法较简便。
小结3：当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时，用加减消元法较简便。
小结4：当方程组中任何未知数的系数不是1或-1，是不成整倍数时，一般经过变形后利用加减消元法较简便。
老师小结：解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择恰当的方法可以减少走弯路，加快解题速度，使解题过程简洁，提高正确率。
（三）实际应用
例（教材104页）：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
通过分步提问，引导学生分析
问题1：列方程组解应用题的关键是什么？
问题2：你能找出本题的等量关系吗？
问题3：怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢
设：如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。
那么2台大收割机2小时收割小麦（）公顷，5台小收割机2小时收割小麦（）公顷。
根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程：
4x+10y=3.6
同理：根据“3台大收割机5小时工作量+2台小收割机5小时的工作量=8公顷”可列方程：
15x+10y=8
解：设1台大收割机1小时收割小麦X 公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y 公顷。
根据题意可列方程组： 解得： 答：1台大收割机和1台小收割机1小时，各收割小麦0.4公顷和0.2公顷。
解后反思：列二元一次方程组解应用题的关键是找两个等量关系。
（四）课堂练习：根据方程组的特点选择更适合它的解法。
（1） （2）
（3）
（五）小结提高
本节课学习了哪些内容？有何收获？
四、板书设计（略）
6x-2y=1 6x-5y=3 6（x+y ）+5（x-y ）=3
X+3y=4 4x+5y=2 8（x+y ）-5（x-y ）= -6
4x+10y=3.6 15x+10y=8 x=0.4
y=0.2。