概率 矩估计
概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
μ1 h1 (θ1 , θ2 , μ j h j (θ1 , θ2 , μk hk (θ1 , θ2 ,
, θk ) , θk ) , θk )
, μk ) , μk ) , μk )
数理统计
从这 k 个方程中解出
θ1 g1 ( μ1 , μ2 , θ j g j ( μ1 , μ2 , θk gk ( μ1 , μ2 ,
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
2 1
b μ1 3( μ2 μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
总体矩
a A1 3( A2 A12 ) 3 n 2 X ( X X ) , i n i 1
3 n 2 b X ( X X ) n i 1 i
样本矩
数理统计
例2 设总体 X 的均值 μ和方差 σ 2 ( 0) 都存
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
指数分布的矩估计和极大似然估计
指数分布的矩估计和极大似然估计指数分布是一种常见的概率分布，它在统计学中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地理解和分析数据。
本文将介绍指数分布的矩估计和极大似然估计方法。
一、指数分布的概念指数分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数为：f(x) = λe^(-λx) (x≥0)其中，λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
二、矩估计矩估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本矩与理论矩之间的对应关系来估计参数。
对于指数分布，我们可以利用样本均值和方差来估计参数λ。
样本均值为：X = (1/n)Σxi样本方差为：S^2 = (1/n)Σ(xi - X)^2根据指数分布的期望和方差公式，我们可以得到：E(X) = 1/λVar(X) = 1/λ^2将样本均值和方差代入上式，得到：X = 1/λS^2 = 1/λ^2解出λ，即可得到参数的矩估计值。
三、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本观测值的概率分布来估计参数。
对于指数分布，我们可以利用样本观测值的概率密度函数来估计参数λ。
样本观测值的概率密度函数为：L(λ|x) = Πf(xi) = Πλe^(-λxi) = λ^n e^(-λΣxi)取对数，得到：lnL(λ|x) = nlnλ - λΣxi对λ求导，令导数等于0，得到：dlnL(λ|x)/dλ = n/λ - Σxi = 0解出λ，即可得到参数的极大似然估计值。
四、总结指数分布是一种常见的概率分布，它在统计学中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们需要对指数分布的参数进行估计，以便更好地理解和分析数据。
本文介绍了指数分布的矩估计和极大似然估计方法，它们都是常用的参数估计方法，可以帮助我们更准确地估计指数分布的参数。
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
概率论与数理统计第6章参数区间估计2,3节
n
E(X
k
)
E(X
k)
i1
i1
二、有效性
未知参数 的无偏估计量不是唯一的.
设 ^1 和 ^2 都是参数 的无偏估计量,
θˆ 1
θˆ 2
集中
分散
蓝色是采用估^ 计量 1 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值. 紫色是采用估^ 计量 2 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值.
若limD(ˆ)0， 则ˆ是的一致估 . 计量 n
回顾例子.设总体X的概率密度为
f(x)6x3 (x),0x;
0, 其他
X1, X2,…, Xn 是取自总体X 的简单随机样本, (1) 求的矩估计量 ˆ；
(2) 求ˆ的方差D(ˆ).
解：矩估计 ˆ量 2X. D(ˆ)4D(X)4D(X)2
若滚珠直径服从正态分布X ~ N( , 2), 并且已知 = 0.16(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%
的置信区间.
解：由上面求解的置信水平为1- 的置信区间
Xσn 0 uα/,2 Xσn 0 uα/2
已 n 知 1,0 0 0 .1,6 0 .0,5 x110i110xi 14.92,
若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,
每个样本观测 个值 随确 机(定 ˆ1区 ,ˆ2一 )间 .那么
每个区间的 可真 能 ， 或 值 包不 含包 的含 真 , 值
根据伯努利大数定理, 在这n个随机区间中,
包含 真值1 的 0(1 0 约 )% 占 ,不包含 10 的 % 0. 约
便得 k的 到 最大似 ˆk(X 1,然 X 2, ,估 X n).计
第二节 判别估计量好坏的标准
矩估计法的特点和不足
矩估计法的特点和不足
矩估计法是一种常用的参数估计方法，其特点和不足如下：
特点：
1. 简单易用：矩估计法的计算相对简单，不需要求解复杂的方程或进行迭代计算。
2. 无偏性：在满足一些条件的情况下，矩估计法得到的估计量是无偏的，即估计量的期望等于真实参数的值。
3. 一致性：在样本容量趋于无穷的情况下，矩估计法得到的估计量会以概率1收敛于真实参数的值。
4. 有效性：在满足一些条件的情况下，矩估计法可以得到效率较高的估计量，即方差较小。
不足：
1. 依赖矩条件：矩估计法依赖于矩条件的满足，如果矩条件不能满足或者估计参数与矩条件的联合分布存在依赖，则估计结果可能不准确。
2. 有界的参数空间：矩估计法对参数空间的要求较高，只适用于参数空间有界的情况，否则可能无法得到有效的估计结果。
3. 高阶矩的忽略：矩估计法只使用了前几阶的矩，忽略了高阶矩的信息，可能导致估计结果的偏差。
4. 效率低下：在一些情况下，矩估计法可能无法得到效率较高的估计量，此时可以考虑其他更优的估计方法。
第一节 矩估计(概率论与数理统计)
设待估计的参数为 θ1,θ2 ,L,θk 设总体的 r 阶矩存在，记为
E( X r ) = r (θ1,θ2 ,L,θk )
1 n r 样本 X1, X2,…, Xn 的 r 阶矩为 Ar = ∑Xi n i=1 令 1n r r (θ1,θ2 ,L,θk ) = ∑Xi r =1,2,L, k n i=1 —— 含未知参数 θ1,θ2, …,θk 的方程组
= X + 3( A X 2 ) b矩 2
3 2 = X + ∑(Xi X ) . n i=1
n
设某产品的寿命服从指数分布， 例6 设某产品的寿命服从指数分布，其概率密度为
λe f (x, λ) = 0,
λx
,
x > 0; x ≤ 0.
λ 为未知参数，现抽得 n 个这种产品，测得其寿命数据 为未知参数， 个这种产品，
什么是参数估计？ 什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种 方法对这个未知参数进行估计就是参数估计. 方法对这个未知参数进行估计就是参数估计. 例如，X ~N ( ,σ 2), 例如， 未知, 通过构造样本的函数, 若, σ 2未知 通过构造样本的函数 给出它们 的估计值或取值范围就是参数估计的内容. 的估计值或取值范围就是参数估计的内容
(b a) a + b E( X ) = D( X ) + E ( X ) = + 12 2 a +b 令 =X 2 2 n a)2 a + b (b 1 = A2 = ∑Xi2 + 12 2 n i=1
2 2
2016考研数学复习之矩估计
2016考研数学复习之矩估计来源：文都教育参数估计是考研数学大纲中概率论与数理统计部分第七章的内容，根据历年真题分析发现，无偏估计、矩估计和极大似然估计是每年考试的重点。
那么对于这几种估计方法，我们该如何有效、高效的学习、掌握呢？文都考研数学老师接下来为大家大致总结一下本章的第一部分内容-矩估计。
一、基本知识点 矩估计一般来说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。
含一个参数：设总体(,)X f x θ ，但是参数θ未知，需要对参数θ进行估计。
具体步骤：①取样：12,,,nX X X …；②计算样本均值11n ii X n =∑，根据大数定律1111n n Pi i i i X X EX EX n n ===−−→=∑∑；③令X EX =（在EX 的结果中包含θ），则可求出ˆθ。
含两个参数：若含有两个参数12,θθ， ①取样；②由大数定律2222111111,n n n PP i i i i i i X X EX A X EX EX n n n ====−−→==−−→=∑∑∑；③令X EX=，222211=+()n i i A X EX DX EX n ===∑（或者令211()1ni i X X DX n =-=-∑），则可求出12,θθ的估计量。
所谓矩估计法就是利用样本原点矩去替换总体矩. 矩估计法的计算步骤：（1）计算总体原点矩EX μ=，建立关于参数的有效方程；（2）用样本原点矩11ni i A X n ==∑作为总体原点矩EX μ=的估计，令A μ=即11(1,2,)ni i X EX k n ===∑ ； （3）通过求解有效方程，将未知参数用样本的统计量表示出来，再将未知参数θ用对应的估计量θ∧代替；（4） 若给定一个样本观测值12(,)n x x x ，代入θ∧可得θ的一个矩估计值二、典型例题例1 设总体X 的概率密度为,01(;)1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知参数（01θ<<）.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计. 解析：（1）1213()(1)2EX xf x dx xdx xdx θθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰， 令EX X =，得矩估计量32X θ=-. （2）似然函数()(1)Nn NL θθθ-=-，ln ()Nln (N)ln(1)L n θθθ=+--，令ln ()01d N n NL d θθθθ-=-=-，得θ的最大似然估计为N n θ= .例罐中有N 个硬币，其中有θ个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5），其余N θ-个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，然后放回，如此重复n 次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012012,,()n n n n n n n ++=.（1）求θ的矩估计 1θ，最大似然估计 2θ； （2）求 12E E θθ、； （3）求 2D θ. 解析：（1）设X 为连掷两次正面出现的次数，A ：“取出的硬币为普通硬币”，则21(0)()(0|)()(0|)()24P X P A P X A P A P X A N Nθθ===+===，1221(1)()(1|)()(1|)()22P X P A P X A P A P X A C N Nθθ===+===， 2143(2)()(2|)()(2|)()24N N P X P A P X A P A P X A N N Nθθθ--===+==+=， 则X 的分布律为X0 1 2P4Nθ2Nθ434N Nθ- 则12012432(2)(2)(2)22n n N N NEX X N X N n n NN N n nθθθθ+--=+==⇒=-=-=+ 则θ的矩估计 101(2)Nn n nθ=+. 似然函数012143(,,;)424n n n n N L X X N N Nθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 012ln (ln ln(4))(ln ln(4))(ln(43)ln(4))L n N n N n N N θθθ=-+-+--，012013ln 40()433n n n d L Nn n d N n θθθθθ=+-=⇒=+-， 则θ的最大似然估计 2014()3Nn n nθ=+. （2）01243(,),(,),(,)424N n B n n B n n B n NNNθθθ- ， 则012(43),,424n n n N En En En N N Nθθθ-=== 12(2)22N E EN X N NE X N N Nθθθ-=-=-=-⨯=， 20101444()()()33342N N N n n E E n n En En n n n N N θθθθ=+=+=+=. （3）01(1),(1)4422n n Dn En N N N Nθθθθ=-=-， 则 22201012222241616(4)(2)()()()3991641259N N N n N n N D D n n Dn Dn n n n N N N nθθθθθθθ--=+=+=+-=例总体X 的概率分布为1{},1,2,,P X k k N N=== ，其中N 是未知参数(正整数)，利用总体X 的如下样本值：1,3,2,3,2,1,2,N N -，求N 的矩估计值..【解析】由X 的概率分布知，1111(){}2==+=⋅==⋅=∑∑N Nk k N E X k P X k k N ， 样本均值()131323212824Nx N N =+++++-++=+. 令()=X E X ，得31242N N ++=，解得ˆ4N=，即N 的矩估计值是4. 以上是文都考研数学老师总结的参数估计当中的矩估计法，另外，同学们要牢记常用的参数的距估计值，这样可以节约很多时间。
正态分布矩估计
正态分布矩估计正态分布矩估计引言在统计学中，矩估计是一种参数估计方法，它通过样本矩来估计总体参数。
其中，样本矩是指样本的各阶原点矩和中心矩。
正态分布是一种常见的概率分布，具有许多重要的应用，如金融、物理、天文学等领域。
因此，正态分布的矩估计方法对于这些领域的数据分析非常重要。
正态分布的基本概念正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
正态分布有许多重要性质：1. 正态分布是对称的，在均值处取得最大值。
2. 68% 的数据落在均值 $\pm$ 标准差范围内；95% 的数据落在均值$\pm$ 2 倍标准差范围内；99.7% 的数据落在均值 $\pm$ 3 倍标准差范围内。
3. 正态分布有一个重要的中心极限定理，即若从总体中随机抽取大量样本，则样本均值的分布趋近于正态分布。
矩估计方法矩估计是一种参数估计方法，它通过样本矩来估计总体参数。
其中，样本矩是指样本的各阶原点矩和中心矩。
对于正态分布，其前两个原点矩和中心矩为：$$E(X)=\mu$$$$E[(X-\mu)^2]=\sigma^2$$因此，我们可以用这两个样本矩来估计正态分布的均值和标准差。
具体地，设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是一个来自正态分布$N(\mu,\sigma^2)$ 的样本，则其前两个原点矩和中心矩为：$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$$$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$$其中，$\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别是样本均值和样本方差。
根据上述公式，我们可以得到正态分布的均值和标准差的矩估计量：$$\hat{\mu}=\overline{X}$$$$\hat{\sigma}=\sqrt{S^2}$$这里的 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$ 分别是正态分布均值和标准差的矩估计量。
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1n (
n 1 i1
Xi2
nX n2 )
E(S 2 ) 1 [n 2 n 2 ] 2
n 1
n
3.标准差的估计
由于S 2是 2的估计，因此定义 标准差 的估计为
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
Xn )2
S是样本标准差.
注：它是总体标准差的相合估计，强相合估计， 但它一般不是无偏估计。
注：
（1）统计量是不含未知参数的样本的函数。
（2）统计量既然是依赖于样本的，而后者 又是随机变量，即统计量是随机变量的函数， 故统计量是随机变量。
例1
设 X1, , X n为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样本， 其中未知 , 2已知，问下列随机变量中哪些是统计量
X n
1 n
n i 1
m 以A1 X n代替得p的矩估计为
pˆ X n m
例6 设总体X的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
1 E(X )
1 x( 1)x dx
0
( 1) 1 x1dx 1
估计 为1.68，这是点估计.
估计 以概率0.99在区间[1.57, 1.84]内，这是
区间估计.
点估计 例2 已知某地区新生婴儿的体重X~ N (, 2 ), , 2未知,
…
随机抽查100个婴儿
得100个体重数据
10,7,6,6.5,5,5.2, … 而全部信息就由这100个数组成.
据此,我们应如何估计 和 呢?
三 参数估计问题的一般提法
设有一个总体X，总体的分布函数
为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是
向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1, X2,…, Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个函数 g( )
这类问题称为参数估计.
参数估计
点估计
区间估计
点估计 —— 估计未知参数的值
二 估计量（统计量）
定义(估计)：设X1 , X 2 , , X n是总体X的
简单随机样本， 是总体X的未知参数.
如果g( x1 , x2 , , xn )是已知函数，称
ˆ g( X1 , X 2 , , X n ) 是的估计量，简称为估计.(estimator )
计算后得到的值称为估计值.
估计量也称为统计量（statistic）
设总体分布含有m个未知参数 1 ，…， m
令 则取统计量
1 g1(1, 2 ,
2
g2 (1, 2 ,
m gm (1, 2 ,
, m ) , m )
, m )
ˆ1
g1( A1 ,
A2 ,
ˆ2
g2 ( A1 ,
A2 ,
ˆm gm ( A1 , A2 ,
, Am ) , Am )
, Am )
后，估计值是个已知的数值. 对于不同的
样本值， 的估计值一般不同.
问题是，使用什么样的统计量去估计 ？
容易想到，用样本均值
1 n
n
i 1
X
i，它有三个好处：
1.无偏性：
E( 1 n
n i 1
Xi)
;
2.相合性： 弱大数定律；
3.强相合性： 强大数定律。
自然想到把样本体重的平均值作为总体 平均体重的一个估计.
12
).
即
a 1
3(2 12 ),
b 1 3(2 12 ).
aˆ A1 解得： bˆ A1
3( A2 A12 ) X 3( A2 A12 ) X
3
n
n i 1
(Xi
X n )2
3
n
n i 1
(Xi
X n )2
例8. 设总体X的均值，方差 2都存在，且 2 0,
作为 i i=1,2,…m 的矩估计量
（4）若估计的是参数的函数 g(1, 2 , m )
则用 ˆi 代替 i 得到 g(ˆ1,ˆ2 ,ˆm ) 作为 g(1, 2 , m ) 的矩估计量
例3. 设总体X E( ), X1, , Xn是总体X的
一个样本.
求：的矩估计.
解： E(X ) 1 1 ,
总体k阶原点矩的一个估计,即用
1
n
n i 1
X
k i
估计k
,
由此进一步估计未知参数，这就是
矩估计法.
矩估计法是英国统计学家K. 皮尔逊最早提出的
其基本思想是 用样本矩的函数估计总体矩的函数
记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
用相应的样本矩去估计总体矩的 估计方法就称为矩估计法.
m E( X m ) m (1, 2 ,, m )
（2）解方程组（即从方程组中解出未知参数）
1 1(1, 2 ,, m ) 2 2 (1, 2 ,, m )
m m (1, 2 ,, m )
（3）用Ai代替上述方程组中的 i ，i=1,2,…m
得到 ˆi i (A1, A2 ,, Am ) i=1,2,…m
0
2
21 1,
代换得
ˆ
2Xn
1
1,
1
即为
的矩估计.
1 Xn
例7. 设总体X ~ U[a, b], a, b未知,X1,
,
X
是来自
n
总体X的一个样本.
求：a, b的矩估计.
解：
1
E(X
)
a
2
b
,
2
E(X
2)
Var( X
)
(EX
)2
(b
a)2 12
(a
b)2 4
a b
b a
21, 12(2
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
Xn )2
定义.
注：它也是总体方差的无偏估计，相合估计及 强相合估计.
无偏性的证明：不妨设E(X)=0，则
从而
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
Xn )2
1 n 1
n i 1
(Xi2
2X i X n
X n2 )
1n (
n 1 i1
Xi2
2nX n2
nX n2 )
区间估计—— 根据样本构造出适当的区 间，使他以一定的概率包含未知参数的 真值
假如我们要估计某队男生的平均身高.
（假定身高服从正态分布 N (,0.12 ) ）
现从该总体选取容量为5的样本，我们 的任务是要根据选出的样本（5个数）求出
总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数
组成 .
设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.71 1.69
(Xi
Xn )2
例10. 设总体X 的概率密度函数为
f
(x)
2
2
x,
0 x
0,
其他
其中 >0为未知参数
(1) 设 X1 , X 2 , X 3 为来自总体的样本，求参
数 的矩估计
(2) 设0.5, 1, 1.5是总体X 的三个样本的观测
值 ，求参数 的矩估计值
解：(1)1
E(X
)＝
0
2
1.均值的估计
设总体均值 E( X )存在，X1, X2, , Xn 是总体X的简单随机样本，均值 的估计
定义为
由于XXnn是根1n据 X样1 本X计2 算出来X的n ， 所1n 以in1 是Xi
样本均值.
类似地，用样本体重的方差 S 2估计 2 .
2.方差的估计
总体方差 2 Var(X )的点估计由
但， 2未知，又设X1,
,
X
是一个样本.
n
求：, 2的矩估计.
解：
1 2
E(X) ,
E(X 2) Var(X
)
(EX
)2
2
2
解得
1 2 2 12
分别以A1, A2代替1，2，得和 2的
矩估计量分别为
ˆ A1 X n
ˆ 2
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
X
2 n
1 n
n i 1
为估计 , 需要构造一个适当的估计量
（统计量）ˆ ( X1, X 2 , , X n ), 每当有了样本 观测值 x1, x2,…, xn ，就代入该统计量中算出
一个值：ˆ (x1, x2 , , xn )（估计值）作为未
知参数 的近似值。
请注意，被估计的参数 是一个未知
常数，而估计量 ˆ g(X1, X2, , Xn) 是一 个随机变量，是样本的函数, 当样本值取定
2
x2dx
2
3
解得
3 2
1，
所以的矩估计为
ˆ＝ 1
2
(
X1
X
2
X
3
)
(2) 的矩估计值为
ˆ＝ 1(0.5＋1＋1.5)＝ 3
2
2
作业
7.4（矩估计）； 7.5； 7.9； 7.11（矩估计）
以A1 X n代替得的矩估计为
ˆ 1
Xn
例4. 设总体X P()ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X1,
一个样本.
求：的矩估计.
, X n是总体X的
解：由 E(X )
以A1 X n代替得的矩估计为
ˆ Xn
例5. 设总体X B(m, p),其中m已知， X1, , Xn是总体X的一个样本.