数学物理方法 (上)
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数学物理方法第一章
存在，并且与 z 0 的方式无关，则称函数 w=f(z) 在 z 点可导(或单演)，此(有限的)极限称为函数 f(z) 在 z 的导数
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
数学物理方法论文
数学物理方法第一篇总结1.1复数与复数运算（一）复数的概念一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和，z=x+iy ，这是复数的代数式，x 和y 叫做该复数的实部和虚部，并分别记做Re z 和Im z 。
如果将x 和y 当做平面上点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
复数的三角式]sin [cos θθρi z +=，其中22y x +=ρ，()x /y arctg =θ。
共轭复数的概念如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
（二）无限远点 复球面无限远点：复平面上ρ为无限大的点．复球面：与复平面相切于坐标原点o ，其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面．（三）复数的运算已知两个复数：211sin cos θθi z += 222sin cos θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z3.除法运算[])(i 212121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r rr r z z 4.复数的乘幂)sin (cos θθρn i n z nn+=5.复数的方根)sin (cosni n z nnθθρ+=（四）典型例题计算下列数值（其中θ为常数）1.ϑθθθn cos 3cos 2cos cos +++2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++1.2复变函数（一）复变函数的定义对于复平面的点集E ，它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。
则称ψ为z 的复变函数，记作：ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。
数学物理方法1-137页PPT文档
u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简
梁昆淼 数学物理方法第1和2章
为
1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 圆上各点 4 4
例：计算 W
解： 令
a ib
z a 2 b2
1/ 2
z a ib z (cos i sin )
W a ib [ z (cos i sin )]
z
1/ 2
sin cos
所定义的函数分别叫做反正弦函数及反余弦函数记为22柯西定理23不定积分24柯西公式21复变函数积分21复变函数积分idydxzdzreixdyxdxzdzre由此可见对于有些被积函数而言积分与路径有关ixdyxdxzdzreixdyxdxixdyxdxzdzreixdyxdxxydydxbaxyxydydx由此可见对于有些被积函数而言积分与路径无关一单连通区域qdypdx22柯西定理cddz为区域内境界线积分沿境界线正向进行内外境界线逆时针积分相等23不定积分单连通区域中解析函数reid
（二）、区域概念 （1）、邻域 由
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的—邻域
（2）、内点 定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点 （3）、外点 定点z0及其—邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点 （4）、边界点
定点z0的—邻域既有含 于E内，又有不含于E内的 点，称z0为点集E的边界 点。
y1 y2 y1 y2
y
z1 z2 x1
z1 z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角 关系：
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 圆上各点 4 4
例：计算 W
解： 令
a ib
z a 2 b2
1/ 2
z a ib z (cos i sin )
W a ib [ z (cos i sin )]
z
1/ 2
sin cos
所定义的函数分别叫做反正弦函数及反余弦函数记为22柯西定理23不定积分24柯西公式21复变函数积分21复变函数积分idydxzdzreixdyxdxzdzre由此可见对于有些被积函数而言积分与路径有关ixdyxdxzdzreixdyxdxixdyxdxzdzreixdyxdxxydydxbaxyxydydx由此可见对于有些被积函数而言积分与路径无关一单连通区域qdypdx22柯西定理cddz为区域内境界线积分沿境界线正向进行内外境界线逆时针积分相等23不定积分单连通区域中解析函数reid
（二）、区域概念 （1）、邻域 由
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的—邻域
（2）、内点 定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点 （3）、外点 定点z0及其—邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点 （4）、边界点
定点z0的—邻域既有含 于E内，又有不含于E内的 点，称z0为点集E的边界 点。
y1 y2 y1 y2
y
z1 z2 x1
z1 z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角 关系：
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
数学物理方法第一章课件
§1.2 复平面区域与边界的定义在解析函数论中，函数的定义域不是一般的点集，而是满足一定条件的点集，称为区域。
z0的邻域 : 点集 z z z0
称为z0的邻域 z0的去心邻域 : 点集 z 0 z z0 U z0 , ˆ z , U 0 称为z0的去心邻域内点 : G是一个平面点集, z0 G.如果有z0的一个邻域该邻域内的所有点都属于G, 则z0 称为G的内点. 显然，孤立点集没有内点
开集：如果G的每一点都是其内点,则G称为开集区域：平面点集D称为区域，则有 1. D是开集 (开集性 2. D是连通的 (连通性如 0 arg z 就是一个区域 D 的边界点：设 D 为一区域，点 P 不属于 D ，但在 P 的任何邻域内，有区域D 中的点，则称点P为D的边界点。
D的所有边界点组成D的边界。
如区域0 arg z ，其边界为实轴闭区域：区域D与它的边界一起构成闭区域，记为 D
单连通区域与多连通区域： D是平面一个区域，如果在其中任意作一条简单闭曲线，曲线的内部总属于D则称D是单连通的。
否则，称D是多连通的。
单
连通边界线的取向：多连通若观察者沿边界线走时，区域总保持在观察者的左边，那么观察者的走向为边界线的正向；反之，则称为边界线的负向。
数学物理方法第一章
2 2
x1 iy 1 x 2 iy 2
x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
7
数学物理方法
复数的乘除用指数式更方便！
28
数学物理方法
另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈， 角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而 不绕原点转一圈，角不变。 一般地，对于多值函数ω = f(z)，若有这样的点z = z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周） 时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。
i
ln i
若0是z的辐角的某一值，则 ln i 0 2 n （n为 整数） 都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。
幂函数：
s s ln z
（s为复数）
z e 我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反
三角函数、反双曲函数等。 值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。
i5ຫໍສະໝຸດ 数学物理方法例1.1 下列式子在复平面z上表示什么 （1）R e z
1 2
，（2）R e 1
z
2
解：(见document 1.1)
例1.2 把下列复数用代数式、指数式和三角式表示 出 （1）i，（2）-1，（3）z2 解：(见document 1.1)
6
数学物理方法
3、复数运算 复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别 相等时这两个复数才相等。 复数加减：
2
2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。
x1 iy 1 x 2 iy 2
x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
7
数学物理方法
复数的乘除用指数式更方便！
28
数学物理方法
另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈， 角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而 不绕原点转一圈，角不变。 一般地，对于多值函数ω = f(z)，若有这样的点z = z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周） 时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。
i
ln i
若0是z的辐角的某一值，则 ln i 0 2 n （n为 整数） 都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。
幂函数：
s s ln z
（s为复数）
z e 我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反
三角函数、反双曲函数等。 值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。
i5ຫໍສະໝຸດ 数学物理方法例1.1 下列式子在复平面z上表示什么 （1）R e z
1 2
，（2）R e 1
z
2
解：(见document 1.1)
例1.2 把下列复数用代数式、指数式和三角式表示 出 （1）i，（2）-1，（3）z2 解：(见document 1.1)
6
数学物理方法
3、复数运算 复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别 相等时这两个复数才相等。 复数加减：
2
2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。
数学物理方法第一章第一节
练习： 证明：e iθz 是将复向量 z 向逆时针方向旋转θ 度。
ur u 从原点 (0,0) 出发指向点 P (x,y) 矢量 — o 复矢量。 p
定义：x 轴—实轴，y 轴—虚轴
(2) 极坐标表示：复平面上的点用极坐标
表示
(
：z 的模，
：z 的辐角)
注：用极坐标表示一个复数 z 时，. 复球面
几何意义：z1、z2 为复平面上的矢量，且 z = z1 + z2 遵守平行四边形法则 平行四边形法则 2. 减法
z=z −z =(x+ 1) ( 2+ 2) ( 1- 2) i y −y ) 1 2 1 iy - x iy = x x +( 1 2
3. 乘法
z=z ×z =(x +iy )⋅(x +iy ) ( 1 2 −yy ) i xy +x y ) 1 2 1 1 2 2 = xx 1 2 +( 1 2 2 1
(模相乘，辐角相加)
4. 除法
(分母有理化)
(模相除，辐角相减)
5. 乘方: N 个 z 相乘，即 棣摩弗公式:
6. 开方: 令 已知 ，且设 ，求： ， 。
由
有
(k：整数)
即 w 的模 与 z0 的模一一对应，而 w 的辐角与 z0 的辐 角不是一一对应。仅有 n 个不同 不同的值满足 不同 ，即
7. 模运算
(两边之和不小于第三边) (一边不小于两边之差)
8. 共轭复数运算
9. 关于 ∞ 的四则运算 若α≠∞，则
设： z1 = x1 + i y1 、z2 = x2 + i y2 则：以下的交换律、结合律、分配律成立 (加法交换律) (乘法交换律) (加法结合律) (乘法结合律) (分配律)
《数学物理方法》第一章.ppt
一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
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数学物理方法(上)课程详细信息
课程号
00432108
学分
3
英文名称
Methods of Mathematical Physics (1)
先修课程
高等数学（B类以上），线性代数
中文简介
本课程在高等数学（一元和多元微积分、幂级数和Fourier 级数、微分方程、场论、线性代数）的基础上，着重介绍解析函数的基本性质及其应用，包括 r函数、积分变换和 δ 函数，为后继的数学物理方法（下）和相关物理理论课程作准备。
参考书
7-04-005778-6；
第三版,7-04-005906-1；
第二版,7-04-002697-X/1022；
0130111899；
9787301008898；
7-301-07727-0；
教学大纲
本课程介绍学习理论性较强的物理课程所必备的基本数学物理方法知识。使学生掌握解析函数理论概要，熟练地应用于求解有关的常微分方程和计算定积分。熟练掌握数学物理方程的主要解法：分离变量法和积分变换。掌握基本特殊函数的主要性质及其应用。适合于物理及非物理类各专业的同学选修。
开课院系
物理学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
基础
平台ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ类型
理工类
授课语言
中文
教材
数学物理方法,吴崇试 高春媛,北京大学出版社,20190501,第三版,978-7-301-30280-4；
数学物理方法,吴崇试,北京大学出版社,2003,第二版,7-301-06819-0；
数学物理方法解题指导,胡嗣柱,高等教育出版社,1998,数学物理方法,梁昆淼,高等教育出版社,1998,数学物理方法,郭敦仁,高等教育出版社,1991,Advanced Calculus for Applications,F.B.Hildebrand,Prentice-Hall,1976,数学物理方法习题集,武仁,北京大学出版社,1995,数学物理方法习题指导,周治宁 吴崇试 钟毓澍,北京大学出版社,2004,
以经典数学物理中的常用方法为主。主要内容为：解析函数论概要及其主要应用；数学物理方程的主要解法：分离变量法和积分变换；数学物理方程其他解法(Green函数和变分法)的初步介绍；基本特殊函数(Γ函数、球函数、柱函数)及其应用。
课堂讲授
作业20％，笔试80％
教学评估
高春媛：
英文简介
This course is set for the students with physics major of the School of Physics, but also can be reference for students with other physics class of majors. On the basis of Calculus (calculus of one variable and several variables, power series and Fourier series, ordinary differential equations, vector analysis, linear algebra), this course focuses on the basic properties of analytic functions and its applications, including the Γ function, integral transform and δ function, and on preparing for the subsequent methods of mathematical physics (Part 2) and the relevant physics theory courses.
课程号
00432108
学分
3
英文名称
Methods of Mathematical Physics (1)
先修课程
高等数学（B类以上），线性代数
中文简介
本课程在高等数学（一元和多元微积分、幂级数和Fourier 级数、微分方程、场论、线性代数）的基础上，着重介绍解析函数的基本性质及其应用，包括 r函数、积分变换和 δ 函数，为后继的数学物理方法（下）和相关物理理论课程作准备。
参考书
7-04-005778-6；
第三版,7-04-005906-1；
第二版,7-04-002697-X/1022；
0130111899；
9787301008898；
7-301-07727-0；
教学大纲
本课程介绍学习理论性较强的物理课程所必备的基本数学物理方法知识。使学生掌握解析函数理论概要，熟练地应用于求解有关的常微分方程和计算定积分。熟练掌握数学物理方程的主要解法：分离变量法和积分变换。掌握基本特殊函数的主要性质及其应用。适合于物理及非物理类各专业的同学选修。
开课院系
物理学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
基础
平台ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ类型
理工类
授课语言
中文
教材
数学物理方法,吴崇试 高春媛,北京大学出版社,20190501,第三版,978-7-301-30280-4；
数学物理方法,吴崇试,北京大学出版社,2003,第二版,7-301-06819-0；
数学物理方法解题指导,胡嗣柱,高等教育出版社,1998,数学物理方法,梁昆淼,高等教育出版社,1998,数学物理方法,郭敦仁,高等教育出版社,1991,Advanced Calculus for Applications,F.B.Hildebrand,Prentice-Hall,1976,数学物理方法习题集,武仁,北京大学出版社,1995,数学物理方法习题指导,周治宁 吴崇试 钟毓澍,北京大学出版社,2004,
以经典数学物理中的常用方法为主。主要内容为：解析函数论概要及其主要应用；数学物理方程的主要解法：分离变量法和积分变换；数学物理方程其他解法(Green函数和变分法)的初步介绍；基本特殊函数(Γ函数、球函数、柱函数)及其应用。
课堂讲授
作业20％，笔试80％
教学评估
高春媛：
英文简介
This course is set for the students with physics major of the School of Physics, but also can be reference for students with other physics class of majors. On the basis of Calculus (calculus of one variable and several variables, power series and Fourier series, ordinary differential equations, vector analysis, linear algebra), this course focuses on the basic properties of analytic functions and its applications, including the Γ function, integral transform and δ function, and on preparing for the subsequent methods of mathematical physics (Part 2) and the relevant physics theory courses.