工程数学2
《工程数学》电大历年期末试题及答案 (2)
工程数学电大历年期末试题及答案第一章：复数及其运算1.1 复数的定义和性质试题：1.请简要叙述复数的定义和性质。
2.复数的共轭运算是指什么？给出其定义和性质。
3.试证明虚数单位i满足i2=−1。
答案：1.复数是由实数和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
复数的性质有：–复数可以相加：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i–复数可以相乘：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i–复数的加法和乘法满足交换律和结合律。
2.复数的共轭运算是指改变虚数部分的符号，即将a+bi变为a-bi。
共轭运算的定义和性质如下：–定义：对于任意复数z=a+bi，其共轭复数为z* = a-bi。
–性质：(a+bi) * (a-bi) = a^2 + b^2，即一个复数与其共轭的乘积等于实数部分的平方加虚数部分的平方。
3.可以通过计算i2来证明虚数单位i满足i2=−1：–i2=(0+1i)∗(0+1i)=−1。
1.2 复数的指数表示和三角函数形式试题：1.请简要叙述复数的指数表示形式和三角函数形式。
2.试证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} =\\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
答案：1.复数的指数表示形式是通过欧拉公式来表达，即$z= r \\cdot e^{i\\theta}$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
复数的三角函数形式是通过复数的实部和虚部来表示，即$z = a + bi = r\\cos\\theta + r\\sin\\theta i$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
2.可以通过欧拉公式来证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$：–欧拉公式表示为$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
工程数学概率 第二章(一)
1
2
……
30
3 X ~ b(30, ) 4
设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中 例2、 随机抽取10件，每次取一件，X—10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律； (2)无放回的抽取，求 X的分布律； (3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。 解：(1) A — 取得次品， P(A)=0.05,
1/ 5e x / 5 f ( x) 0
x0 x 0,
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3、正态分布
定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为
则称X 服从参数为 的正态分布或高斯分布， f (x)的图形：
特点：(52页）
(1) f (x)关于 (2) f (x)在 (3)
定义2、
解 由题意可知
，则
的分布律为
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将
带入可得 的分布律为
34页例2：几何分布
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二、常用的离散型随机变量及其分布
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量
的分布律为
则称
服从参数为
的(0—1)分布。
（0 —1）分布的分布律也可写成 注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从 (0 —1)分布的随机变量。
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
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高等工程数学第二章习题及答案
第2章 线性代数方程组数值解法 研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x = ,12(,,,)Tn b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax b Gx d == 等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】 若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】 若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ijij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n = .经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++= ⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kka -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】 若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法 设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ ，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++== .第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0 ，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -= . 不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n = .则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P ⎡⎢ ⎢ 1= 1 0 1 ⎣0 0 ⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列 类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------= .如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----== ，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论 【定理2.3】 若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = = .(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑ .再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即11()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑ 4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ 1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=- ，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→ 及12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法 将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】 如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++,1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦ ,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n = .实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】 设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】 求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x ()3i x ()4i x ()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 27.97113.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 28.51506.1933 －5.1201 3.90040.49098 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 29.69416.1177 －4.8999 4.43351.33136 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析 【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】 由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】 用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】 Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】 用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14ln ln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。
工程数学2-2 矩阵的运算
0
n
(n + 1 )n
λ n+1
2 (n + 1 )λ n
λ
n−1
,
所以对于任意的 k 都有
k λ k A = 0 0
kλ
k −1 k
λ
0
k ( k − 1) k − 2 λ 2 k −1 kλ . λk
四、矩阵转置
λ2 = 0 0 2λ
λ2
0
1 2λ . λ2
λ 3 2 A = A A= 0 0
3 λ = 0 0
2
2λ
λ2
0
3λ 2 3λ λ3
1 λ 2λ 0 λ2 0
1
λ
0
0 1 λ
定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 Τ 新矩阵， 的转置矩阵， 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A . 例
1 2 2 A= , 4 5 8
B = (18 6),
1 4 T A = 2 5 ; 2 8
18 B = . 6
T
转置矩阵的运算性质
T
)
= AT − A = − B ,
所以B为反对称矩阵 所以 为反对称矩阵. 为反对称矩阵
A + AT A − AT C B A= + = + , 2 2 2 2
命题得证. 命题得证
五、方阵的行列式
的元素所构成的行列式， 定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
(3 ) λ ( AB ) = (λA)B = A(λB )
工程数学 1-2 n阶行列式的定义
a11a23a32
a11 a12 a13
列标排列的逆序数为
t (132) = 1 + 0 = 1,
∴ a21 a22 a31 a32
a23 = ∑ ( −1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33
定义
由 n 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 ( −1)t a1 p1 a 2 p2 L a npn . ∑ a11 记作 D= a 21 M a n1 a12 a 22 M L a1 n L a2 n M
逆序数为0),因此 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为 变化次数 而标准排列是偶排列 逆序数为 因此 知推论成立. 知推论成立.
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
排列32514 中， 例如 排列 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 逆序数 排列32514 中， 例如 排列
0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3 逆序数为
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 故此排列的逆序数为
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
a11 ∴
工程数学-线性代数第五版答案02
工程数学-线性代数第五版答案02第二章矩阵及其运算1已知线性变换某12y12y2y3某23y1y25y3某33y12y23y3求从变量某1某2某3到变量y1y2y3的线性变换解由已知某1221y1某2315y2某323y23y1221某1749y1故y2315某2637y2y323某3243y32y17某14某29某3y26某13某27某3y33某12某24某3某12y1y3某22y13y22y3某34y1y25y3y13z1z2y22z1z3y3z23z32已知两个线性变换求从z1z2z3到某1某2某3的线性变换解由已知某1201y120221某2232y223220某415y4150123613z11249z210116z30z11z23z3某16z1z23z3所以有某212z14z29z3某310z1z216z31111233设A111B124求3AB2A及ATB 111051*********解3AB2A311112421111110511110581112132230562111217202901114292111123058TAB1111240561110512904计算下列乘积4317(1)12325701解123217(2)2316 5701577202293(2)(123)213解(123)2(132231)(10) 2(3)1(12)32(1)22242解1(12)1(1)121233(1)32361310122140(4)131 11344021310126782140解131**** ****402a11a12a13某1(5)(某1某2某3)a12a22a23某2aaa132333某3解a11a12a13某1(某1某2某3)a12a22a23某2aaa132333某3某1(a11某1a12某2a13某3a12某1a22某2a23某3a13某1a23某2a33某3)某2某35设A22a11某12a22某2a33某32a12某1某22a13某1某32a23某2某312B1130问2(1)ABBA吗解ABBA因为AB344BA1362所以ABBA8(2)(AB)2A22ABB2吗解(AB)2A22ABB2因为AB但222522252(AB)2228141429538681A22ABB241181230101615274所以(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2吗解(AB)(AB)A2B2因为AB而222AB0052220226(AB)(AB)250109381028A2B24113417故(AB)(AB)A2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A20则A0解取A00101则A20但A001则A2A但A0且AE0(2)若A2A则A0或AE解取A(3)若A某AY且A0则某Y解取1A00某11Y111001则A某AY且A0但某Y7设A解10求A2A3Ak101010A21121101A3A2A2101013110Akk1108设A01求Ak00解首先观察1010221A2022102200000023323A3A2A033200344362A4A3A0443004554103A5A4A0554005kkk1k(k1)k22kAk0kk100k用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，kkk1k(k1)k2102Ak1AkA0kkk1010000kk1(k1)k1(k1)kk120k1(k1)k1k100kkk1k(k1)k22Ak0kkk100k由数学归纳法原理知9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA证明充分性因为ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是对称矩阵必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解2252|A|1故A1存在因为51A2A11A2152A某AA211222故(2)52A11A某21|A|coinincocoin|A|10故A1存在因为解Ainco所以A11A21coinA某AAinco1222coinA11A某inco|A|121(3)342541121解A342|A|20故A1存在因为541A11A21A314201361A某AAA12223232142A13A23A3321013111所以A3A某22|A|1671a1a02(4)(a1a2an0)0ana10a2解A由对角矩阵的性质知0an1a101a12A10an12解下列矩阵方程(1) 215某4621354635462232112210832解某1211113(2)某210432111解211113210某432111(3)101113123234323302218253314某2210311011解某431201122431101121101121166101101230124010100143(4)100某001201001010120010143100解某100202201 001120010 010143100210100202202234 00112001010213利用逆矩阵解下列线性方程组11某2某23某311(1)2某12某25某323某15某2某33解方程组可表示为123某11225某22351某33某112311故某222520某351303某11从而有某20某30某某某2123(2)2某1某23某313某12某25某30解方程组可表示为111某12213某21325某031某111125故某221310某325033故有某51某20某3314设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1证明因为AkO所以EAkE又因为EAk(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推论知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1证明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2EO得A2A2E即A(AE)2E或A1(AE)E21(AE)2由定理2推论知A可逆且A1由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或(A2E)1(3EA)E41(3EA)4由定理2推论知(A2E)可逆且(A2E)1证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得|A2A|2即|A||AE|2故|A|0所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2E A1A(AE)2A1EA11(AE)2又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1(A2E)11(3EA)4116设A为3阶矩阵|A|求|(2A)15A某|21A某所以解因为A1|A||(2A)15A某||1A15|A|A1||1A15A1|222|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其伴随阵A某也可逆且(A 某)1(A1)某证明由A11A某得A某|A|A1所以当A可逆时有|A||A某||A|n|A1||A|n10从而A某也可逆因为A某|A|A1所以(A某)1|A|1A又A1(A1)某|A|(A1)某所以|A1|(A某)1|A|1A|A|1|A|(A1)某(A1)某18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A 某证明(1)若|A|0则|A某|0(2)|A某||A|n1证明(1)用反证法证明假设|A某|0则有A某(A某)1E由此得AAA某(A某)1|A|E(A某)1O所以A某O这与|A某|0矛盾，故当|A|0时有|A某|0(2)由于A1 1A某则AA某|A|E取行列式得到|A||A||A某||A|n若|A|0则|A某||A|n1若|A|0由(1)知|A某|0此时命题也成立因此|A某||A|n103319设A110ABA2B求B123解由ABA2E可得(A2E)BA故23303B(A2E)A110111211210120设A020且ABEA2B求B101303301231103解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)001因为|AE|01010所以(AE)可逆从而100201BAE03010221设Adiag(121)A某BA2BA8E求B解由A某BA2BA8E得(A某2E)BA8EB8(A某2E)1A18[A(A某2E)]18(AA某2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]11,1,1)4dia(22103001000082diag(121)22已知矩阵A的伴随阵A某10且ABA1BA13E求B解由|A某||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3A B3(AE)1A3[A(EA1)]1A3(E1A某)16(2EA某)120600006000060600301614123设P1AP其中P1100610010300100求A112解由P1AP得APP1所以A11A=P11P1.|P|3 1P某14P111411131而110故0100211211142731273214101133A021*********1133111124设APP其中P10211115求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12 diag(100)(A)P()P11P()P某|P|1111002222102000303111000121111411111125设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A1026计算0021001020011010030311210230032A2201AEEB1A1则1OBOOA22解设A1而1B31B231212033A1B1B2A2B21ABB11202A2B20231235221032411234303093252124043009A1EEB1A1A1B1B20所以OBOAB0OA22220 10即0021001020011010300311********003025212404300927取ABCD00验证AB|A||B|1CD|C||D0100 20224020221AB0解CD1而故01011010021010|A||B|0|C||DAB|A||B|CD|C||D 34O4328设A求|A8|及A420O22解令A1则34A22243A1OAOA282OA18O8A1故AOA8OA22888816|A8||A||A||A||A|101212540O4O0544A1A44OA202O642229设n阶矩阵A及阶矩阵B都可逆求OA(1)BOC1C2则OA解设BOC3C4OAC1C2AC3AC4EnOBOCCBCBCOE3412AC3EnC3A1AC4OC4O由此得BC1OC1OBCECB122OAOB1所以BOAOAO(2)CBD1D2则AO解设CBD3D4AD2EnOAOD1D2AD1CBDDCDBDCDBDOE 341324D1A1AD1EnDOAD2O由此得2CD1BD3OD3B1CA1CDBDEDB12441AOA11O所以1CBBCAB30求下列矩阵的逆阵52(1)00210000850032解设A522B83则521212B1825515A1232358252于是0011(2)2102122100003100850120010AA1250000233BB100582004解设A10030B3120C2141则2202200A0COA1OBB1CA1B11 124110001220011126301851241124。
工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件
成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
i 1
i
种不同的方法
选排列 从 n 个不同的元素中，任取 m 个
(不放回地）按一定次序排成一列，不同的 排法共有
Pnm n(n 1)( n 2) (n m 1)
等可能性
每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同， 即
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) n Ai i , i 1,2,, n 其中
古典概型的计算公式
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个,即基本事件ω1，ω2，...， ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性
例
已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB ,因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
次试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次
数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动,那么
称p为事件Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第 五个学生抽到入场券}的概率。
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
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– 若点集E的每一个点都是内点，则E就被称为开集
• 边界点： – 若z0的邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则z0就是E的边界
点
• 边界：
– 点集E的全部边界点组成的点集，称为E的边界
3
1、区域
• 连通的：
– 设开集E，对于E内任何两点，若（1）都可用折线连接起来； （2）该折线上的点都属于E 则称E是连通的
• 开区域：
– 连通的开集
• 闭区域：
– 开区域连同边界一起，称为闭区域
• 有界、无界集： – 若集E可以包含在原点的一个邻域内（即 z M，M为任意正
数），则集E有界，否则无界
4
1、区域
• 举例：
圆盘
z z0 r
圆环
r1 z z0 r2
上半平面 Im( z) 0
角形域 0 arg z
主要内容
• 平面点集 • 复变函数 • 初等函数
1
平面点集
• 1、区域 • 2、曲线 • 3、单连通域和多连通域
2
1、区域
• 邻域：
– 平面上以z0为圆心， 为半径的圆内部的点的集合：z z0
称为点z0的邻域或圆盘
– 点z0的去心邻域： 0 z z0 确定的点集
• 内点： – 对于某点集E，若某z0的邻域的所有点都在E内，则z0就是E的内点
– 记做 f (z) – 定义域：D
• 是复变数z所能取的使得 f (z) 有意义的值的集合
• 函数值0 f (z0)z0 D
– 多值函数
• 任取 z D ， f (z) 有多个 值与之对应
– 单值函数
• 任取 z D ， f (z) 有唯一的值与之对应 10
1、复变函数的概念
• 举例：
则u,v随x,y确定 – 因此， f (z) 又常写为：
f (z) u(x, y) iv(x, y) 二元实函数
12
1、复变函数的概念
• n次多项式函数
– 若a0, a1, , anan 0为复常数，n为非负整数，
则函数P(z) a0 a1z a2z2 anzn称为n次多项式函数 – 定义域：整个复平面
有界闭区域
有界开区域 无界开区域 无界区域
5
2、曲线
• 简单曲线、简单闭曲线
设x(t)和y(t)是闭区间 , 上连续的两个实函数
– 连续曲线
• 由方程 x x(t)
y
y(t)
( t )
或由复数方程 z = z(t) = x(t) + iy(t) ( t )
确定的点集C
▪ 起点：z ▪ 终点：z
u2 a2
v2 b2
1
i
R
a
1 R
sin
R
1
R
,b
R
1 R
长轴为2a，短轴为2b的椭圆线
当 R = 1 时， 2cos 平面上实轴的一段 2 u 2
16
2、复变函数的几何解释
y
y
o
x
x
17
3、反函数与复合函数
• 反函数
– 函数定义：
• 设某一给定复数集D，若有一法则f，对于每一个数 z D
• 有理函数
– P(z)/Q(z) – 定义域：除去Q(z) = 0的点z之外的所有点的集合
13
2、复变函数的几何解释
• 实平面中，f(x,y)用x轴和y轴表示
• 复平面上 f (z)
z x iy
z平面
f (z) u(x, y) iv(x, y)
平面
在 通z过平面上f，(函z)与数平面f 上(z的) 定点义域0 对D内应任。意一点z0，
– 简单曲线
• 若是任简取单曲t1,线t2（无重, 点曲，线且）t1 t2 ， 有 z(t1) z(t2) ，则该曲线就
– 简单闭曲线
• z( ) z( ) 的简单曲线就是简单闭曲线
6
2、曲线
• 光滑曲线
– 设曲线C的方程是：z(t) = x(t) + iy(t) ( t ) 若x’(t)和y’(t)连续且不全为零， 则称曲线C是光滑曲线
(3)区域：复杂多连通区域右图
复变函数
• 主要内容
– 1、复变函数的概念 – 2、复变函数的几何解释——映照 – 3、反函数与复合函数
9
1、复变函数的概念
• 定义
– 设某一给定复数集D，若有一法则f，对于每一个数z D 总有确定的复数 和它相对应，则称f是定义在D上 的复变数函数（简称复数函数）
在G中总有确定的复数 和它相对应
– 反过来，在G中任取一点 ，通过法则f (z) ，总有 确定的 z D 与之对应。
此时，z 与
该新函数z
之间具有了函数的对应关系，记做z f 1( f 1()就被称为函数 f (z) 的反函数。
)
，
• 举例 az b z d b
cz d
o
x
0 / 2, 0 4
15
2、复变函数的几何解释
• 例 z 1 将z平面上的圆周|z|=R映照成平面上的什么图形
z
设 z Rei u iv
Rei
1 Rei
R(cos i sin ) 1 (cos i sin )
R
u
当
R
a
cos
1时，
R
1 R
cos
v b sin
c a
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3、反函数与复合函数
• 复合函数
设 f (h)
定义域 D1
h (z)
定义域 D2
若： h G D1
值域G
• 分段光滑曲线
– 几段光滑曲线衔接而成，就是分段光滑曲线
7
3、单连通域和多连通域
• 单连通区域
– 设D为平面上任一区域 若在D内任作一条简单闭曲线，而曲线所围部分总属于D， 则称D为单连通区域
• 多连通区域
– 不是单连通的区域称为多连通区域或复连通区域
举例：(1)区域 z z 1 和区域 z Im( z) 0 (2)区域 z r1 z z0 r2
– 在z平面上，当z取遍点集D时，在 平面上，有点集G与之对应
• 映照
复变函数 f (z)表示了z平面点集D到 平面上的点集G之间的
一种变换，即映照
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2、复变函数的几何解释
• 举例
– (1) z2
y
y
2ei / 4
o
0 / 4,
x 0r2
– (2) z 1 – (3) iz – (4) z
1
z2
是定义在整个复平面上的多值函数
arg z 是定义在除原点外整个复平面上的单值函数
1
z
是定义在除原点外整个复平面上的单值函数
注 以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。
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1、复变函数的概念
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– 设 f (z) 是定义域为D的复变函数，其中 z x iy, u iv