2017考研数学三真题及解析
2017年数三考研真题_附答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题：1～8⼩题，每⼩题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛，则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独⽴，与C 相互独⽴，则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本，记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题：9～14⼩题，每⼩题4分，共24分。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
2017考研数学三真题及答案解析
ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．
2017年全国考研数学三真题
1．若函数 f ( x ) = ⎨（A ） ab = 1（B ） ab = -（C ） ab = 0 （D ） ab = 24． 若级数 ∑ ⎢sin - k ln(1- )⎥ 收敛，则 k = （）n =2 ⎣6．已知矩阵 A = 02 1 ⎪ ， B = 0 2 0 ⎪ ， C = 0 2 0 ⎪ ，则 0 0 1 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 2 ⎪2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题:1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．⎧1 - cos x⎪ ax, x > 0 在 x = 0 处连续，则 ⎪ ⎩b , x ≤ 01222．二元函数 z = xy(3 - x - y) 的极值点是（）（A ） (0,0)（B ） (0, 3) （C ） (3, 0) （D ） (1,1)3．设函数 f ( x ) 是可导函数，且满足 f ( x ) f '( x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1)（B ） f (1) < f (-1)（C ） f (1) > f (-1)（D ） f (1) < f (-1)∞ ⎡ 1 1 ⎤ n n ⎦ （A ）1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -25．设 α 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（A ） E - ααT 不可逆（B ） E + ααT 不可逆（C ） E + 2αα T 不可逆（D ） E - 2αα T 不可逆⎛ 2 0 0 ⎫ ⎛ 2 1 0 ⎫ ⎛ 1 0 0 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（A ） A, C 相似， B, C 相似（B ） A, C 相似， B, C 不相似（C ） A, C 不相似， B, C 相似（D ） A, C 不相似， B, C 不相似7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A, C 相互独立， B, C 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要条件是（）1 ∑ X ，则n（A ） ∑ ( X - μ )2 服从 χ 2 分布 （B ） 2 (X - X（C ） ∑ ( X - X )2 服从 χ 2 分布（D ） n( X - μ )2服从 χ 2 分布13．设矩阵 A = 1 1 2 ⎪ ，α ,α ,α 为线性无关的三维列向量，则向量组 A α , A α , A α 0 1 1 ⎪（A ） A, B 相互独立（B ） A, B 互不相容（C ） AB, C相互独立（D ） AB, C 互不相容8．设 X , X , 12, X (n ≥ 2) 为来自正态总体 N (μ ,1) 的简单随机样本，若 X =nn i =1 i下列结论中不正确的是（）nin1)2 服从 χ 2 分布i =1 nii =1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9． ⎰ π (sin 3 x + π 2 - x 2 )dx =．-π10．差分方程 y t +1- 2 y = 2t 的通解为 ．t11．设生产某产品的平均成本 C (Q) = 1 + e -Q ，其中产量为 Q ，则边际成本为.12．设函数 f ( x , y) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df ( x , y) = ye y d x + x(1+ y)e y d y ，f (0,0) = 0 ，则 f ( x , y) =⎛ 1 0 1 ⎫⎪⎝ ⎭的秩为．1 2 3 1 2 314．设随机变量 X 的概率分布为 P {X = -2}=则 DX =．1 2，P {X = 1}= a ，P {X = 3}= b ，若 EX = 0 ，计算积分 ⎰⎰ dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y = x 与 x 轴为边界的无界求 lim ∑ln 1 + ⎪三、解答题15．（本题满分 10 分）求极限 limx →0+⎰ xx - te t d tx 316．（本题满分 10 分）y 3 (1+ x 2 + y 4 )2D区域．17．（本题满分 10 分）n →∞ nk =1k ⎛ k ⎫ n 2 ⎝ n ⎭- = k 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围．已知方程 1 1ln(1+ x) x=(na +a )(n =1,2,3),，S(x)为幂级数∑a x 的和函数n + 1 （1）证明 ∑ a x n 的收敛半径不小于 1 ．设 a = 1,a = 0, a1 1 ∞∞n n =0（2）证明 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0( x ∈ (-1,1))，并求出和函数的表达式．设三阶矩阵A=(α,α,α)有三个不同的特征值，且α=α+2α.123312（1）证明：r(A)=2；（2）若β=α+α,α，求方程组Ax=β的通解．12321．（本题满分11分）设二次型f(x,x,x)=2x2-x2+ax2+2x x-8x x+2x x在正交变换x=Qy下的标准形123123121323为λy2+λy2，求a的值及一个正交矩阵Q．1122P 设随机变量 X , Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P {X = 0}= P {X = 2} = 1，Y 的概率密度2⎧2 y ,0 < y < 1为 f ( y) = ⎨ ．⎩ 0, 其他（1）求概率 （Y ≤ EY ）；（2）求 Z = X + Y 的概率密度．某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X,X,,X相互独立且均服从正态分布N(μ,σ2).该工12n程师记录的是n次测量的绝对误差Z=X-μ,(i=1,2,i iσ．（1）求Z的概率密度；i（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．,n)，利用Z,Z,12,Z估计参数n1 - cos x= 1 ， lim f ( x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0处连续，必须满足 = b ⇒ ab = ．所以应该选（A ）x →0+ ax = y(3 - x - y) - xy = 3 y - 2xy - y 2 ， = 3x - x 2 - 2 x y ，⎪⎪ ∂x = 3 y - 2 xy - y 2 = 0⎪ ∂z = 3x - x 2 - 2 x y = 0 解：iv n → ∞ 时 sin - k ln(1- ) = - k - - ⎪ ⎪ + o n 2 ⎝ n ⎭ ⎭ ⎪ = (1+ k ) + o ⎪ n n n n 2 n 2 ⎝ n 2 ⎭显然当且仅当 (1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数2 2 ⎛ 1 1 ⎛ 1 ⎫2 ⎫ ⎛ 1 ⎫2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、选择题:1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．1x 1．解： lim f ( x ) = lim = lim 2 x →0+ x →0+ax 2a x →0- 1 12a 22．解： ∂z ∂x∂z∂y∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z= -2 y , = -2 x , = = 3 - 2 x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x⎧ ∂z解方程组 ⎨ ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2 ，发现只有在点⎪⎩ ∂y(1,1) 处满足 AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．解：设g ( x ) = ( f ( x ))2 ，则 g '( x ) = 2 f ( x ) f '( x ) > 0 ，也就是( f ( x ) )2 是单调增加函数．也就得到 ( f (1))2 > ( f (-1))2 ⇒ f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ）4．1 1 1 1 k 1 ⎛ 1 ⎫ ⎝1n收敛，从而选择（C ）．5．解：矩阵 αα T 的特征值为1 和 n - 1 个 0 ，从而 E - αα T , E + αα T , E - 2αα T , E + 2αα T 的特征值分别为 0,1,1, 1； 2,1,1, ,1 ； -1,1,1, ,1 ；3,1,1, ,1 ．显然只有 E - αα T 存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．对于矩阵 A ， 2E - A = 0 0 -1⎪ ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 λ = 2 存在两对于矩阵 B ， 2E - B = 0 0 0 ⎪ ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 λ = 2 只有一⎝ ⎭ ⎝ ⎭ （2） ∑ ( X - X )2 = (n - 1)S 2 =σ 2 ~ χ 2 (n - 1) ，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意 X ~ N (μ, ) ⇒ n ( X - μ) ~ N (0,1) ⇒ n ( X - μ)2 ~ χ 2 (1)，所以（D ）结论也是6．解：矩阵 A, B 的特征值都是 λ = λ = 2, λ = 1 ．是否可对解化，只需要关心λ = 2 的情1 23况．⎛ 0 0 0 ⎫⎪0 0 1 ⎪ 个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．⎛ 0 -1 0 ⎫⎪0 0 1 ⎪个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B ）．7．解：P(( A B)C ) = P( AC + AB) = P( AC ) + P( B C ) - P( A BC ) = P( A ) P (C ) + P( B ) P (C ) - P( ABC )P( A B)P(C ) = (P( A ) + P(B) - P( A B))P(C ) = P( A )P(C ) + P(B)P(C ) - P( A B)P(C )显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P( A BC ) = P( A B) P (C ) ，所以选择（C ）．8．解 ：（ 1 ） 显 然 ( X - μ ) ~ N (0,1) ⇒ ( X - μ)2 ~ χ 2 (1),i = 1,2,iin 且相互独立，所以n ∑ i =1 ( X - μ )2 服从 χ 2 (n ) 分布，也就是（A ）结论是正确的；in i =1i (n - 1)S 21n正确的；（4）对于选项（B ）： ( X - X ) ~ N (0, 2) ⇒n1X - X n 21 ~ N (0,1) ⇒ 12 ( X - X )2 ~ χ 2 (1)，所n 1以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）2．- 2 y = 2t 的通解为 y = C 2t + t 2.t213．解：对矩阵进行初等变换 A = 1 1 2 ⎪ → 0 1 1⎪ → 0 1 1 ⎪ ，知矩阵 A 的秩0 1 1 ⎪ 0 1 1⎪ 0 0 0 ⎪ EX = -2 ⨯ + 1⨯ a + 3 ⨯ b = a + 3b - 1 = 0 ，解得 a = , b =EX 2 = 2 + a + 9b = ， DX = EX 2 - E 2 ( X ) = ．⎰⎰x 3 3 x →0+二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9．解：由对称性知 ⎰π (sin 3 x + π 2 - x 2 )dx = 2⎰π π 2 - x 2 dx =-ππ 310．解：齐次差分方程 y t +1- 2 y = 0 的通解为 y = C 2x ；t设 y t +1- 2 y = 2t 的特解为 y = at 2t ，代入方程，得 a = t t 12；所以差分方程 y t +1 t 111．解：答案为1 + (1- Q)e -Q ．平均成本 C (Q) = 1 + e -Q ，则总成本为 C (Q) = QC (Q) = Q + Qe -Q ，从而边际成本为C '(Q) = 1 + (1- Q)e -Q .12．解：df ( x , y) = ye y d x + x(1+ y)e y d y = d ( x ye y ) ，所以 f ( x , y) = xye y + C ，由 f (0,0) = 0 ，得 C = 0 ，所以 f ( x , y) = xye y ．⎛ 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 0 1⎫ ⎛ 1 0 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭为 2，由于 α ,α ,α 为线性无关，所以向量组 A α , A α , A α 的秩为 2．12312314．解：显然由概率分布的性质，知 a + b + 1= 121 1 12 4 49 92 2三、解答题15．（本题满分 10 分）解：令 x - t = u ，则 t = x - u , dt = -du ， ⎰ x x - te t d t = ⎰ x ue x -u d ulimx →0+x 0x - te td tx 3 = lim ex ⎰ x ue-ud ux 3= limx →0+x 0ue -u d ux 3xe - x 2= lim =x →0+ 216．（本题满分 10 分）dxdy=⎰+∞dx⎰x⎰dx⎰x d(1+x2+y4)⎰ 1-1⎫⎪dx=π⎛1-2⎫⎪⎪lim∑ln 1+⎪=lim∑ln 1+⎪=⎰1x ln(1+x)dx⎰ln(1+x)dx2=1-，f(1)=-1，也就是得到-1<k<．x→0+=1解：⎰⎰Dy3y3(1+x2+y4)200(1+x2+y4)2dy==1+∞40(1+x2+y4)21+∞⎛40⎝1+x21+2x2⎭8⎝2⎭17．（本题满分10分）解：由定积分的定义n→∞nk=1k⎛k⎫1n k⎛k⎫n2⎝n⎭n→∞n n⎝n⎭0k=1=1120418．（本题满分10分）解：设f(x)=11,x∈(0,1)，则ln(1+x)x11(1+x)ln2(1+x)-x2f'(x)=-+=(1+x)ln2(1+x)x2x2(1+x)ln2(1+x)令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，则g(0)=0,g(1)=2ln22-1 g'(x)=ln2(1+x)-2ln(1+x)-2x,g'(0)=0g''(x)=2(ln(1+x)-x)<0,x∈(0,1)，所以g'(x)在(0,1)上单调减少，1+x由于g'(0)=0，所以当x∈(0,1)时，g'(x)<g'0)=0，也就是g(x)g'(x)在(0,1)上单调减少，当x∈(0,1)时，g(x)<g(0)=0，进一步得到当x∈(0,1)时，f'(x)<0，也就是f(x)在(0,1)上单调减少．⎛11⎫x-ln(1+x)1 lim f(x)=lim -⎪=lim=x→0+x→0+⎝ln(1+x)x⎭x ln(1+x)2 11ln2219．（本题满分10分）1 ln2解：（1）由条件an+1(na+a)⇒(n+1)an n-1n+1=na+an n-1(n + 1)!+ (a - a ) + a = ∑ (-1)k +1n →∞ n →∞ （2）所以对于幂级数 ∑ a x n ， 由和函数的性质，可得 S '( x ) = ∑ na x n -1 ，所以 (1- x)S '( x ) = (1- x)∑ na xn -1 = ∑ na x n -1 - ∑ na x n = ∑ (n + 1)a x n - ∑ na x n= a + ∑ ((n + 1)a= ∑ a x n = ∑ a x n +1 = x ∑ a x n = xS ( x ) 解微分方程 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0 ，得 S ( x ) = ，由于 S (0) = a = 1 ，得 C = 1 1 - x 所以 S ( x ) = ．也就得到 (n + 1)(an +1- a ) = -(a - a ) ，也就得到 n n n -1a- a a -a n n -1n +1 n = - 1 n + 1, n = 1,2,a - a n +1 a - a 10 n = a - aa - a nn -1n +1 n ⨯ a - a a- a n-1n -2n n -1 ⨯⨯ a 2 - a 1 = (-1)n a - a1 0 1 (n + 1)!也就得到 a n +1 - a = (-1)n +1 1, n = 1,2,nan +1= (an +1- a ) + (a - a ) +n n n -12 1 1n k =21 k !ρ = lim n a ≤ lim n n 1 1 + +2! 3! + 1 n ! ≤ lim n e = 1 ，所以收敛半径 R ≥ 1 n →∞∞∞nnn =0 n =1∞ ∞∞nnnn =1n =1n =1∞ ∞n +1n n =0 n =11n +1∞- na ) x nnn =1 ∞ ∞∞n -1nnn =1n =0n =0也就是有 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0( x ∈ (-1,1))．e-x1-x20．（本题满分11分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r(A)≥1．假若r(A)=1时，则r=0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)≥2，又因为α-α+2α=0，也就是α,α,α线性相关，r(A)<3，也就只有r(A)=2．312123（2）因为r(A)=2，所以Ax=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于第13页共16页-1⎪ 又由 β = α + α ,α ，得非齐次方程组 Ax = β 的特解可取为 1⎪ ；1⎪ 方程组 Ax = β 的通解为 x = k 2 ⎪ + 1⎪ ，其中 k 为任意常数． -1⎪ 1⎪ 解：二次型矩阵 A = 1 -1 1 ⎪ ⎝ ⎭ -1⎪ ， 3 ⎪ 0 ⎪ ， λ = 0 的特征向量 ξ =2 ⎪ ， 2 6 ⎪ ⎭ 3所以 Q = (ξ , ξ , ξ ) = - 36 ⎪ ⎪ 为所求正交矩阵． ⎝ 3 6 ⎭解：（1） EY = ⎰ +∞ yf ( y)dy = ⎰12 y 2dy =. 3Y⎛ 1 ⎫ α3 - α1 + 2α2 = 0 ，所以基础解系为 x = 2 ⎪ ；⎝ ⎭⎛1⎫⎪ 1 2 3⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭21．（本题满分 11 分）⎛ 2 1 -4 ⎫ ⎪-4 1 a ⎪因为二次型的标准形为 λ y 2 + λ y 2 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故a = 2.1 12 2λ - 1-1 4λ E - A = 1λ + 1 1 = λ(λ + 3)(λ - 6) 4-1 λ - 2令 λ E - A = 0 得矩阵的特征值为 λ = -3, λ = 6, λ = 0 ．1 23通过分别解方程组 (λ E - A) x = 0 得矩阵的属于特征值 λ = -3 的特征向量 ξ = i 1 1⎛ 1 ⎫ 1 ⎪ ⎝ 1 ⎭属于特征值特征值 λ = 6 的特征向量 ξ = 2 2⎛ -1⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎪ 1 ⎪ 3 3 ⎝ 1 ⎪⎝ 1 ⎭ 1 2 3⎛ 111- 120 1 2 1 ⎫⎪ 2 ⎪6 ⎪ 1 ⎪ ⎪ 22．（本题满分 11 分）2 -∞⎧ 2 ⎫ 4 所以 P {Y ≤ EY }= P ⎨Y ≤ ⎬ = ⎰ 3 2 ydy = .P {Y ≤ z } + 1= [F ( z ) + F ( z - 2)]2 f ( z ) = F ' ( z ) = [ f ( z ) + f ( z - 2)]2 = ⎨ z - 2, 2 ≤ z <3 ⎪0, 其他 F ( z ) = P {Z ≤ z }= P {X - μ ≤ z }= P ⎨ ⎩ σ σ ⎭≤ z }= P {X - μ ≤ z }= P ⎧⎨ X≤⎬ = 2Φ⎩ σσ ⎭⎝ σ ⎪ - 1 ；⎧ 2e 2σ2 , z ≥ 0 ⎪ 所以 Z 的概率密度为f ( z) = F ' ( z) = ⎨ 2πσ ．⎪ 0, z < 0 （2）数学期望 EZ = ⎰ 0z f ( z )dz = ⎰ 2 2σze 2σ2 dz =n 2 2n n Z ，解得 σ 的矩估计量 σ = 2π Z = n 似然函数为 L(σ ) = ∏ f ( z ,σ ) =1∑ 2e 2σ2 i =1i ，2 ⎩3 ⎭ 0 9（2） Z = X + Y 的分布函数为F ( z ) = P {Z ≤ z }= P {X + Y ≤ z }= P {X + Y ≤ z, X = 0}+ P {X + Y ≤ z, X = 2}Z= P {X = 0,Y ≤ z }+ P {X = 2,Y ≤ z - 2}= 1 P {Y ≤ z - 2} 2 21 Y Y故 Z = X + Y 的概率密度为1Z Z⎧ z ,0 ≤ z ≤ 1 ⎪ ⎩23．（本题满分 11 分）解：（1）先求 Z 的分布函数为i⎧ X - μ z ⎫i ≤ ⎬ Z i i当 z < 0 时，显然 F ( z ) = 0 ；Z当 z ≥ 0 时， FZ( z ) = P {Ziii - μ z ⎫ ⎛ z ⎫⎭z 2 - i Z Z ⎩i+∞ +∞0 z 2 -2πσ 2π，令 EZ = Z = 1 ∑ 2π ∑ ii =1 i =1Z ．i（3）设 Z , Z , , Z 的观测值为 z , z , 12n12, z ．当 z > 0, i = 1,2,n in 时ni =1i2n( 2πσ )nln(2π)-n lnσ-n=-n+n n取对数得：ln L(σ)=n ln2-n1∑22σ2i=1z2i令d ln L(σ)1∑dσσσ3i=1z2=0，得参数σ最大似然估计量为σ=i1∑ni=1z2．i。
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1，∴A
可相似对角化，且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛，所以1 k 0 k 1 .选 C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
（ A ） E T 不可逆 （ B ） E T 不可逆 （ C ） E 2 T 不可逆 （ D ） E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
（D） n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1：
f
(x)
f
'(x)
2017年考研数学三真题与解析
20XX 年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ∂=---=--∂，232zx x xy y∂=--∂， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布 （C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sinx dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e-+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0limt x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3xtxuu x x x x dt edu du ++++--→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!nn n n n n n n n n n a a aa a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ 1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a = 114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为21121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年考研数学三真题和解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）． 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
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2017年考研数学真题一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x =0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =【答】应选（A ）【解】由连续的定义可知：0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0(0)lim ()x f f x b -→==，20001112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。
(2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点（ ）(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答】应选(D).【解】(3)(32)xz y x y xy y x y '=---=-- (3)(32)y z x x y xy x x y '=---=--2xx z y ''=-，322xy z x y ''=--，2yy z x ''=-验证可得（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项均满足00x yz z '=⎧⎨'=⎩,其中(D)选项对应(1,1)2xx A z ''==-，(1,1)1xy B z ''==-，(1,1)2yy C z ''==-满足230AC B -=>，所以该点为极值点.(3) 设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则(A)()()11f f >- (B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-【答】应选(C).【解】令2()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x ''=，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即(1)(1)f f >-，故选C .(4) 若级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2【答】（C ） 【解】由332211111111sinln(1)()()62k k o k o n n n n n n n n--=-++++232111(1)()26k k o n n n n=++-+，又211[sinln(1)]n k n n∞=--∑收敛，故有10k +=，即1k =-，故选C 。
(5) 设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T -E αα不可逆 (B) T+E αα不可逆 (C) T 2+E αα不可逆 (D)T2-E αα不可逆 【答】应选(A).【解】因为Tαα的特征值为0（1n -重）和1，所以T-E αα的特征值为1（1n -重）和0,故T-E αα不可逆.(6) 已知矩阵200021001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，210020001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，100020002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ，则 (A)A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D)A 与C 不相似，B 与C 不相似【答】应选(B).【解】由()λ-=E A O 可知A 的特征值为2,2,1.又3(2)1r --=E A ,故A 可相似对角化,且⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A100020002 . 由()λ-=E B O 得B 的特征值为2,2,1.又3(2)2r --=E B ,故不可相似对角化,显然BC 可相似对角化,~A C ,且B 不相似于C 。
(7) 设A B C 、、为三个随机事件,且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是( )(A) A 与B 相互独立 (B) A 与B 互不相容 (C) AB 与C 相互独立 (D) AB 与C 互不相容 【答】应选（C ）【解】由A B ⋃与C ，独立得(())()()()(()()())()()()()(()()())()P A B C P A B P C P AC BC P A P B P AB P C P AC P BC P ABC P A P B P AB P C +=++=+-+-=+-，又由A 与C ，B 与C 独立得()()()()P ABC P A P B P C =。
由此验证（A ）（B ）（C ）（D ）四项，又（C ）选项可得()()()()P ABC P A P B P C =。
(8) 设12,......(2)n X X X n 来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是： (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布(B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()ni i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2()n X μ- 服从2χ分布 【答】应选（B ） 【解】（A ）(0,1)i X N μ-故221()()ni i X n μχ=-∑；（B ）11(0,2)(0,1)2nn X X N N -⇒22(1)χ⇒即221()(1)2n x x χ-。
（C ）由22222111(),(1)()(1)1n ni i i i S X X n S X X n n χ===--=---∑∑。
（D ）1()0,X N nμ⎛⎫- ⎪⎝⎭)(0,1)X N μ-，所以22()(1)n X μχ-。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)3(sinx x ππ-+=⎰___ ___.【答】应填32π.【解】由对称区间上积分的性质可知,33(sin2x dx πππππ--+==⎰⎰.(10) 差分方程122tt t y y +-=的通解t y = .【答】122,2tt t y C t C R =+⋅∈。
【解】由122tt t y y +-=可得齐次特征方程为20r -=，得2r =，故其齐次方程的通解为2t y C =⋅，设*2t y at =，代入得12a =，故通解为122,2t tt y C t C R =+⋅∈. (11) 设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中Q 为产量,则边际成本为 .【答】()1(1)QC Q e Q -'=+-。
【解】()1Q C Q e Q-=+得()(1)QC Q Q e -=+， 则边际成本为：()1(1)QC Q e Q -'=+-。
(12) 设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()d ,d 1d y y f x y ye x x y e y =++，()0,00f =则(),f x y == .【答】应填y xye .【解】由题可知，y x f ye '=，()1y y f x y e '=+，(),()y y f x y ye dx xye c y ==+⎰，()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，即()0c y '=，即()c y c =，()0,00f =，故0c =，即(),yf x y xye =.(13) 设矩阵101112011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A αA αA α的秩为_ _____.【答】应填2.【解】因为123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，101101101112011011011011000A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故()2r A =，所以123(,,)A A A ααα秩为2. (14) 设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}{}1,3P X a P X b ====,若()0E X =,则()D X =___________.【答】应填92【解】由分布律的归一性可知112a b ++=，，，，0EX =，，， 121302a b -⨯+++=，，，11,44a b ==，，，22221119(2)132442EX =-++⨯+⨯=,229(EX)2DX EX =-=.三、解答题：（15～23小题，共94 分.） (15) （本题满分10分）求0d lim t x t +→【解】先对变上限积分t dt ⎰作变量代换u x t =-，得()tx uxu xdt du edu --=-=⎰⎰⎰则由洛必达法则可知： 原式=0lim 3xu x edu +-→+⎰=022lim 33u x du +-→+=022lim 33x x x +→--++=022lim 1332x x x xxe xe e +-→--+-+23=. (16) （本题满分10分）计算积分324(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，，，D，，，，，，，，，y =x ，，，，，，，，，，【解】积分区域如图所示，选用直接坐标计算该积分，先对y ，，，，，x ，，，3242(1)y dy dx x y +∞=++⎰原式42420014(1)dy dx x y +∞=++⎰2420114(1)x y +∞=-++⎰ 220111()4112dx x x +∞=-++⎰01(arctan )|4x +∞=-(18π=-.(17) （本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.【解】由定积分的定义式可知原式=()1011lim ln 1ln 1n n k k k x x dx n nn →∞=⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∑⎰，再由分部积分法可知：()()()112001ln 1ln 112x x dx x d x +=+-⎰⎰ ()()22110011ln 1|ln 122x x x d x --=+-+⎰()()1210011111|244x dx x =--=--=⎰. (18) （本题满分10分）已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根确定常数k 的取值范围。
【解】，11()ln(1)f x x x=-+，222222111()ln (1)1(1)ln (1)(1)ln (1)f x x x x x x x x x x '=-⋅+++++-=++，22()(1)ln (1)g x x x x =++-，，，2()ln (1)2ln(1)2ln(1)()20,(0,1)1g x x x xx xg x x x'=+++-+-''=<∈+ ，()g x '，[0,1]，，，，，，，，(0,1)x ∈，()(0)0g x g ''<= ，()g x ，[0,1]，，，，，，，，(0,1)x ∈，()(0)0g x g <= ，，，()0f x '<，，，()f x ，(0,1]，，，，，，，，1(1)1ln 2f =-，00111lim ()lim ln(1)2x x f x x x ++→→⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，，，，，()f x k =，(0,1)，，，，，，，111ln 22k -<<， (19) （本题满分10分）若01a =,0n a =,111()(1,2,3....)1n n n a na a n n +-=+=+,()S x 为幂级数1nn n a x∞=∑的和函数.(，)证明:幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1;(，)证明:(1)()()0x S x xS x '--= ((1,1))x ∈-,并求()S x 的表达式. 【解】(，)由111()1n n n a na a n +-=++，两边同时减去n a 可知 111()1n n n n a a a a n +---=-+ 进而有1121011(1)(1)()()1(1)!(1)!n n n n n n a a a a a a n nn n +-------=⋅-==-=+++ 从而有1211121(1)(1)(1)(1)!(1)!!!n n n k nn n n k aa a n n n k ------=----=+=++==-∑则1!n n n n ≤++≤=，故收敛半径1R ≥； (，)由逐项求导定理可知11()n nn S x na x∞-='=∑故11111(1)()(1)n n n nn n n n n x S x x na xna xna x ∞∞∞--==='-=-=-∑∑∑[]111011(1)(1)nnn n n n n n n n n a x na x n a na x a x ∞∞∞++====+-=+-+∑∑∑1101()n n n n n n xS x a xa x ∞∞+-====∑∑则[]1111(1)()()(1)n n n n n x S x xS x n ana a x a x ∞+-='--=+--+∑由111()1n n n a na a n +-=++可知11(1)0n n n n a na a +-+--=， 又由于10a =，故(1)()()0x S x xS x '--=解此微分方程可得()1xce S x x-=-又由于0(0)1S a ==，可知1c =，从而()1xe S x x-=-。