北京顺义区2011年高三年级第二学期统一练习(二)(数学理)

顺义区2011届高三第二次统练数学（理科）测试一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 16 6.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=ty tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 A514 B 56C 2D 1 8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，x x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）C9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则 =PD ________________.38，则=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量mm)的重要指标）。

所得数据均在区间[]40,5中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知=a _______， 在抽测的100根中，棉花纤维的长度在[]30,20内的有__________根。

14.给定集合A ，若对于任意A b a ∈,，有A b a ∈+，且A b a ∈-,则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合{}4,2,0,2,4--=A 为闭集合；②集合{}Z k k n n A ∈==,3|为闭集合； ③若集合21,A A 为闭集合，则21A A ⋃为闭集合；④若集合21,A A 为闭集合，且R A R A ⊆⊆21,,则存在R c ∈,使得()21A A c ⋃∉. 其中正确结论的序号是________________________.三．解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15. （本小题满分13分）侧视图俯视图正视图已知函数x x x f 2sin 262sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+-=π，R x ∈ (1) 求函数)(x f 的最小正周期；（2）记ABC ∆的内角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,，若3,1,12(===c b B f ，求a 的值。

16. （本小题满分14分）已知三棱锥P-ABC 中，⊥PA 平面ABC,AB AC PA AC AB 21,==⊥,N 为AB 上一点，AB= 4AN, M ,D ,S 分别为PB,AB,BC 的中点。

（1）求证： PA//平面CDM; （2）求证： SN ⊥平面CDM;(3 ) 求二面角N MC D --的大小。

17. （本小题满分13分）为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。

某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中43是省外游客，其余是省内游客。

在省外游客中有31持金卡，在省内游客中有32持银卡。

（1）在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率；(2 ) 在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX 。

18. （本小题满分13分） 设函数()0)(2>+=a bx axx f 。

（1） 若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求b a ,的值； （2） 若函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，求b 的取值范围； （3） 在（1）的条件下，若()00,y x P 为函数bx axx f +=2)(图像上任意一点，直线l 与)(x f 的图像切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围。

19. （本小题满分14分）已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别为()()0,3,0,321F F -,离心率是23。

椭圆C 的左，右顶点分别记为A,B 。

点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS,BS 与直线310:-=x l 分别交于M,N 两点。

（1） 求椭圆C 的方程；（2） 求线段MN 长度的最小值；（3） 当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上的T 满足：TSA ∆的面积为51。

试确定点T 的个数。

20. （本小题满分13分）对于定义域分别为N M ,的函数)(),(x g y x f y ==，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈⋅=,),(,),(,),()()(N x M x x g N x M x x f N x M x x g x f x h 且当且当且当 (1) 若函数R x x x x g x x f ∈++=+=,22)(,11)(2,求函数)(x h 的取值集合； (2) 若22)(,1)(2++==x x x g x f ，设n b 为曲线)(x h y =在点()()n n a h a ,处切线的斜率；而{}n a 是等差数列，公差为1()*∈N n ，点1P 为直线022:=+-y x l 与x 轴的交点，点n P 的坐标为()n n b a ,。

求证：5211121231221<+++nP P P P P P ； (3) 若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα2,0∈，请问，是否存在一个定义域为R 的函数)(x f y =及一个α的值，使得x x h cos )(=，若存在请写出一个)(x f 的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由。

顺义区2011届高三第二次统练数学（理科）参考答案一．ADBD CBCA 二．9.⎪⎭⎫⎝⎛21,23 10. 10 11.a 32 12. 2 13. 55,05.0 14. ②④三．15.解（1）x x x f 2sin 2)62sin(2)(-+-=π)2cos 1()6sin 2cos 62(sin 2x x xcox--+-=ππ)2cos 212sin 23(2cos 1x x x +-+=12sin 232cos 21+-=x x 1)32cos(++=πx …………………………………………………………5分所以函数)(x f 的最小正周期为π。

………………………………………………… 6分 （2）由1)2(=Bf 得113cos(=++πB ,即0)3cos(=+πB又因为π<<B 0,所以πππ3433<+<B 所以23ππ=+B ,即6π=B . ………………………………………………………….9分因为3,1==c b所以由正弦定理C c B b sin sin =,得23sin =C 故ππ323或=C ……………………………………………………………….11分 当22322=+===c b a A C 时，ππ当16632=====b a B A C ，从而时，πππ 故a 的值为1或2. …………………………………………………………….13分16.（1）证明：在三棱锥ABC P -中因为M,D,分别为PB,AB 的中点， 所以PA MD //因为CMD PA CMD MD 平面平面⊄⊂,所以CMD PA 平面// ……………………………………………….3分 （2）证明：因为M,D,分别为PB,AB 的中点 所以PA MD // 因为ABC PA 平面⊥ 所以ABC MD 平面⊥ 又ABC SN 平面⊂所以SN MD ⊥ 设1=PA ,以A 为原点，AP AC AB ,,立空间直角坐标系。

如图所示，则)0,0,2(),0,1,0(),1,0,0(B C P)0,21,1(),0,0,21(),21,0,1(S N M所以)0,21,21(),21,1,1(--=-=因为002121=++-=⋅所以SN CM ⊥ ………………………………..9分 又M MD CM =⋂所以CMD SN 平面⊥……………………….10分(3)解由（2）知，)0,21,21(--=SN 是平面CMD 的一个法向量 设平面MCN 的法向量),,(z y x n =，则0,0=⋅=⋅CN n CM n即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅00,1,21,,021,1,1,,z y x z y x所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=z y z x 21 令21,1,1-=-==y x z 则 所以)1,21,1(--=从而22==因为二面角N MC D --为锐角 所以二面角N MC D --的大小为4π。

………………………………………………..14分17.解：（1）由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人持有银卡。

记事件B 为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，” 记事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，” 记事件2A 为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，”则23845)()()(3361629336121161921=+=+=C C C C C C C A P A P B P 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为23845。