高级数理逻辑第3讲全解

3命题逻辑形式系统（FSPC）－续3.4 命题逻辑语义P(X)→Q(F(X－a)) A(X)-->A(X)X是复数，则（x-a）平方大于等于0；X=RPx是复数Q(x)代表的是大于等于0F代表的是平方X复数T(P(X))=0.5P(X)→(Q(X)→P(X))A→B3.4.1基本概念1、什么是形式系统的语义（1）形式系统与具体的系统无关（2）能够用形式系统来描述现实系统（3）把从形式系统解释成“→”现实系统的过程成为语义语义有多种类型：指称语义，克里普克语义，操作语义，公理语义等2．语义构成(指称语义)语义主要有两部分：（1）结构：（有两个主要部分构成）*确定研究对象集合，论域或个体域*把形式系统中的变量到论域中的一组规则映射规则（2）域值：指一组给公式赋值的规则根据这项规则将－Atomic→Value中3.4.2 命题逻辑语义1、语义结构由于没有变量，所以只有第二部分赋值，值域为{0,1}赋值规则： I.{}1,0∈VPII.⎪⎩⎪⎨⎧===⌝0,11,0)(VVVA A A T(~A)= 当T （A ）＝0时，T(~A)=1。

当T （A ）＝1时，T(~A)=0。

III. ⎪⎩⎪⎨⎧=====∧00,01,1)(VV VVVB A B A B A 或当T(A)=T(B)=1时，T(B A ∧)=1，其他情况T(B A ∧)=0。

IV. ⎪⎩⎪⎨⎧=====∨00111)(VV VVVB A B A B A ，或，当T(A)＝1或者T （B ）＝1情况下，T （B A ∨）＝1，其他情况T （B A ∨）＝0。

V.⎩⎨⎧===→，否则或，0101)(VVB A B A当T(A)=0时候，T （B A →）=1,当T(B)=1时候，T （B A →）=1。

其他情况下T （B A →）=0。

A BVI. ⎪⎩⎪⎨⎧≠==↔VV VVVBA BA B A ，，01)( 2、 语义的特殊公式1) 公式A 为永真式，重言式tautologies ，如果对一切赋值v ，1=VA .A →A=~AvA(A →A)=1, A →(B →A)=12) 公式A 为永假式，矛盾式contradictions,如果对一切赋值v ，0=VA~A^A=03) A ，B 为逻辑等价的，如果对于一切赋值v ，V V B A =，记做A ╞B(A |=|B )T(A)=T(B),对于任意T A-->A A-->(B-->A)4) 可满足的，公式A 为可满足的，如果至少存在一个赋值v ，1=VA3、 真值计算有了赋值映射，我们可以计算任意公式的真值。

通常真值计算的方法有：真值表计算方法和二叉树计算方法等。

1) 真值表真值表是计算真值的简单工具。

利用这个工具可以计算任意公式的真值。

例如：公式)(r q p ⌝∨→的真值表如下：p qr)(r q p ⌝∨→0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1111 1 1 12) 二叉树利用二叉树，可视化地计算公式的真值。

例如：计算下面公式的真值，并给出他是否是重言式。

))(()(r q q p A ∧⌝→∨=A 1=p 0=pr q ∧⌝)( ))((r q q ∧⌝→1=q 0=q 1=q 0=q0 r 0 11=r 0=r1故A 不为重言式，是可满足的 3) 习题求以下公式的真值表：（1）)()(q p q p ∨⌝∧⌝∧（2）)()(p q q p →↔→（3）)())()((r q p r q r p →∨↔→∧→pqr))(())()((r q p r q r p →∨↔→∧→0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1113.5 逻辑推论（逻辑演算）有了公式的真值以后，对于一些公式我们可以比较公式的真值得大小。

从而可以讨论公式真值之间的关系。

讨论公式之间真值关系的就是我们在语义上进行演算的主要内容。

3.5.1 基本概念（1）逻辑推论：设∑是一个FSPC 上的公式集合，A 是FSPC 上的任一公式。

A 为∑的逻辑结果，记做∑|=A ，当且仅当对任何赋值映射v ，如果v∑＝1时，则1=vA 。

|=读作逻辑蕴涵。

（2）逻辑等价：设公式A 和公式B 分别为FSPC 上的两个公式。

A 和B 为逻辑等价的，记做A|=|B 当且仅当A|=B 和B|=A 同时成立。

（3）永真式：如果A 为永真式，则公式集合∑为空集，即|=A 。

3.5.2逻辑推论的主要方法（1）永真式代入原理（principle of substitution）设A(P)为一含有命题变元P的永真式，那么将A中P的每一次出现代换为公式B，所得公式A(B)仍为永真式。

C-->(B-->C) == C-->(X-->C)（2）替换原理（principle of replacement）设命题公式A含有子公式C（C为命题公式），如果C|=|D，那么将A中子公式C提换为命题公式D，所得公式B满足A|=│B。

（3）逻辑等价性：逻辑等价且有自反性、对称性和传递性。

（4）对偶原理：设A是原子公式和联结符号∨∨,以原子公,组成的公式，并且在A中交换∧∧⌝,式与其否定互换得到的公式A′,称A′为A的对偶；A|=│⌝A′A∨B＝~(~A ∧～B)（5）演绎定理：设∑为FSPC的公式集合，A和B分别为FSPC上的公式。

∑|=BA→成立的充分必要条件是：A∑|=B。

,已知：存在一个证明序列A1,A2,……An=A→B,An+1=A,An+2=B求证：存在另一个证明序列：从A∑出发能够得到B。

,已知：对于任意一个赋值映射f,如果f(∑)=1,则f(A→B)=1;求证：对于任意的赋值映射f,如果f(∑,A)=1，则f(B)=1证明：已知：对于任意的赋值映射f，如果f满足f(∑)=1,则f(A→B)=1.求证：对于任意的赋值映射f1,f1满足f1(∑)=1,且f1(A)=1；则f1(B)=1.证明：任意的赋值映射f,f满足f1(∑)=1,且f(A)=1.由于f1(∑)=1，则f1(A→B)=1;由于f1(A→B)=1,并且f1(A)=1;条件：f(∑)=1,且f(A)=1, f(A→B)=1，证明：f(B)=1由已知：f(A→B)=1.因此，f(B)=1.因此，对于任意的赋值映射f,f满足f(∑)=1,且f(A)=1；则f(B)=1.必要性：已知：对于任意的赋值映射f,f满足f(∑)=1,且f(A)=1；则f(B)=1.求证：对于任意的赋值映射f1，如果f1满足f1(∑)=1,则f1(A→B)=1.对于任意的赋值映射f，使得f(∑)=1.F1(∑)=1,f1(A)=0 f1(A→B)=1F1(∑)=1,f1(A)=1 ,f1(B)=1, f1(A→B)=1假设f1(A)=0;f1(A→B)=1.假设f1(A)=1, 由于已知条件可以知道f(B)=1.因此，f(A→B)=1.证明：a)首先证明充分性：已知∑╞BA→，证明A,∑╞B成立。

对于任意赋值映射v，如果v∑＝1成立，则1)A成立。

B→v(=对于1→vA成立有两种情况，为了证明A,∑╞B成立，只需考虑，使v A＝1 B(=)的情况。

如果赋值映射v，满足v∑＝1，v A＝1且1A，则有v B＝1。

因此，A,∑╞B→v(=)B 成立。

b)证明必要性：已知 A ,∑╞B ，证明∑╞B A →成立。

已知：如果对于任意的赋值映射1=∑v且1=v A 则1=v B ；要证明∑╞B A →：即证明对于任意赋值映射v ，满足1=∑v，则有1)(=→vB A 成立。

任取赋值映射v ，满足1=∑v，则有：当vA ＝0时，,1)(=→vB A 有∑╞B A →当v A ＝1时，由已知vB ＝1， 因此∑╞B A →3.5.3 逻辑推论性质1、公理为重言式A1 ╞v )(A B A →→A2 ╞v ))()(())((C A B A C B A →→→→→→A3 ╞v )()(A B B A →→⌝→⌝2、推理规则保真性设A 和B 为FSPC 上的公式；如果|=A 且|=B A →成立，则|=B 成立。

3、重要永真式T 1 P P P P →⌝∨, T(P)<=T(P)T 2 )(),(Q P Q Q P P ∨→∨→ P<=Max(P,Q)T 3 Q Q P P Q P →∧→∧, Min(P,Q)<=PT 4 )())()((R P R Q Q P →→→∧→ P<=Q, Q<=R, P<=RT 5 )()()(R P R Q Q P ↔→↔∧↔ P=Q,Q=R, P=R4、重要等价式E 1 )(P ⌝⌝╞│P ~~P=1-(1-P)=PE 2 P P ∨╞│P P P ∧,╞│P （等幂律）E 3Q P ∨╞│Q P P Q ∧∨,╞│P Q ∧ (交换律)E 4 )(R Q P ∧∨╞│)()(R P Q P ∨∧∨E 5 )(R Q P ∨∧╞│)()(R P Q P ∧∨∧ （分配律）E 6 )(Q P ∨⌝╞│)()(Q P ⌝∧⌝ （德摩根定律）)(Q P ∧⌝╞│)()(Q P ⌝∨⌝E 7 Q P ∨⌝)(╞│QP →E 8 Q P →╞│)()(P Q ⌝→⌝E 9)(R Q P →→╞│R Q P →∧)(~Pv(Q →R) ==~Pv(~QvR)=(~Pv~Q)vR=~(Q ∧P)vR=(P ∧Q)→R如果P=1，则Q R=1;如果min(Q,P)=1,则R=1.E 10 Q P ↔╞│)()(P Q Q P →∧→(~PvQ) ∧(~QvP)=((~PvQ)∧~Q)v((~PvQ) ∧P)=(~Q ∧~P)v(P ∧Q) E 11 Q P ↔╞│))()(()(Q P Q P ⌝∧⌝∨∧E 12 )(Q P P ∧∨╞│P Max(P, Min(P,Q))=P MIN(P,Q)<P)(Q P P ∨∧╞│P MIN(P,MAX(P,Q))=PMAX(P,Q)>=P. （吸收律）3.6 公式化简 3.6.1 基本概念有了赋值规则和上述的等价公式后，我们就可以将公式进行等价形式的转化。

转换的目标是获得一个标准的公式形式，从而使公式计算更简单，同时使计算机能够进行基于符号的演算和推理过程。

范式是常用的公式的标准形式。

1、范式：设A 和B 为FSPC 上的两个公式，称公式B 为公式A 的析取（合取）范式，如果B |=│A ，并且B 型如：)(321321m m C C C C C C C C ∧∧∧∧∨∨∨∨{C1, C2, C3, …,Cm} {L1Vl2， L2v~L1} {L2} P(x), ~P(5+y)= x=5+y, P(5＋y) ~P(5+y) 其中，),,3,2,1(m i C i =称为B 的子句（Clause ），子句型如： Ci=)(321321n n L L L L L L L L ∨∨∨∨∧∧∧∧其中),,3,2,1(n j L j =为原子公式或其否定式，被称为文字。