常微分方程的发展史
常微分方程的发展史 毕业论文
常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史毕业论文常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
常微方程发展概况
动运是物质的固有属性。
整个世界充满着物质有规律的运动。
运动着的物质相互且以无限错综的关系联系着。
数学是从量和形的侧面研究物质运动变化客观规律制约，且以无限错综的关系联系着。
数学是从量和形的侧面研究物质运动变化客观规律的科学。
由于物质运动的复杂性，人们经常遇到一些量对另外一些量的依存规律是未知的，对于所要求的依存规律——未知函数，往往能作出满足某种条件的关系式。
这类关系式就叫做泛函方程，微分方程是泛函方程中重要的一种方程。
按习惯性的说法，所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数及其导函数的关系式。
仅含一个自变量的微方程称为常微分方程。
常微分方程产生于人类的生产实践，它的雏型出现比微积分的发明还早。
耐普尔( John Napier 1550——1617 ) 发明对数、伽利略（Galieo Galilei ，1564——1642）研究自由落体运动，笛卡尔 (Descartevs ，1596——1650)在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，实际上都需要建立和求解微分方程。
三百多年前在牛顿(New ton ，1642一 1727)和莱布尼兹( Leibnitz ，1646—1716 ) 奠定微积分的基本思想的同时，他们也正式提出了微分方程的概念。
从十七世纪末到十八世纪，为与微积分和代数的发展水平相适中，当时常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式。
伯努利一家对分离变量法和换元法，欧拉(Leonhard Euler ，1707——1783 )对降阶法积分因子法，求常系数齐次线性方程的通解，达朗贝尔( D .Allmbert ，1717——1783)关于非齐次线性方程通解的迭加原理，拉格朗日(Lagrange ，1736一1813)对齐次线性方程通解经常数变易法得出非齐次线性方程的特解，克莱洛(Clairaut ，1713一1765) 关于全微分方程的充要条件和奇解的概念，以及十九世纪末引进的算子方法和拉普拉斯( Lapace ，1749— 1827)变换，都是这方面的重大成就。
常微分方程的形成与发展
常微分方程的形成与发展常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是数学中的一个重要分支，它以其广泛的应用领域和深刻的理论基础而备受关注。
本文将介绍常微分方程的形成与发展，并探讨其在科学和工程领域的应用。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪，当时数学家牛顿和莱布尼茨独立地发现了微积分学。
微积分学为解决实际问题提供了强有力的工具，但对于涉及变化率的问题，如天体运动、物体受力等，微积分的基本概念似乎无法直接应用。
为了解决这些问题，数学家们开始研究变化率的微分方程，并逐渐发展出了常微分方程的理论。
常微分方程描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
最简单的一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x)，其中y是未知函数，f(x)是已知函数。
这个方程的解即是函数y = f(x)在给定条件下满足导数关系的解。
通过求解常微分方程，可以获得函数的具体形式，从而预测和分析系统的行为。
在常微分方程的研究中，数学家们提出了许多重要的理论和方法。
例如，欧拉和拉格朗日在18世纪提出了变分法和最优控制理论，用于求解常微分方程的极值问题。
拉普拉斯和傅里叶则发展了傅里叶级数和傅里叶变换，用于求解常微分方程的周期性和频域特性。
这些理论和方法不仅为常微分方程的研究提供了强大的工具，也推动了数学、物理、工程等学科的发展。
常微分方程在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，物理学中的牛顿运动定律可以用常微分方程来描述。
工程学中的控制系统、电路和机械振动等问题也可以通过常微分方程进行建模和分析。
生物学中的生态系统、遗传学和神经科学等问题也涉及到常微分方程的应用。
此外，在金融学、经济学、流体力学等领域，常微分方程也扮演着重要的角色。
随着计算机技术的发展，数值方法成为求解常微分方程的重要手段。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，并利用计算机进行近似计算，可以得到方程的数值解。
这种方法在实际问题中具有很大的应用价值，例如天气预报、飞行器设计和药物动力学等领域。
常微分方程的起源与发展
"" 许多有关 微 分 方 程 的 教 材 都 会 提 到 发 现 海 王星的故事 $ 海王星的发现是人类智慧的结晶 " 也 是微分方程巨大作 用 的 体 现 " 体现了数学演绎法 的强大 威 力 $ 人们注意到 3 $ ? 3 年 发 现 天 王 星 后" 它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结 果不符 $ 于是有人怀疑万有引力定律的正确性 % 但 这可 能 是 受 另 外 一 颗 尚 未 发 现 的 行 也有人认为 " 星吸引所致 $ 当时虽有不少人相信后一种假设 " 但 缺乏去寻找这颗未知行 星 的 办 法 和 勇 气 $ 6 "岁的 英国剑桥大学的学 生 亚 当 斯 承 担 了 这 项 任 务 $ 他 利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分 方程 " 来 求 解 和 推 算 这 颗 未 知 行 星 的 轨 道$ 3 ? ! " 年3 #月6 3 日他把计算结果寄给格林威治天文台 台长艾利 " 但艾利不相信& 小 人 物 ’的 成 果 " 置之 两年后 " 法国青年勒威耶也开始从事这项研 不理 $ 究$ 他把 计 算 结 果 告 诉 了 柏 林 3 ? ! G年%月3 ?日" 天文台助理员 卡 勒 " 卡勒果然在勒威耶 6 " 日 晚" 预言的位置上发现了海王星 $ 对于数学 " 特别是数学的应用 " 微分方程所具 有的重大意义主要 在 于 ( 很多物理与技术问题可 本文以此为契机 " 以化归为微分方程的求解问题 $ 阐述常微分方程发展过程中所经历的四个重要时 期及微分方程的应用意义 $ ! 常微分方程的经典阶段 $ $ $ 以通解为主要研究内容 就像微积分在 3 $ 世纪后期与 3 ? 世纪前期的
常微分方程发展简史
常微分方程发展简史在17世纪初，牛顿和莱布尼茨的微积分发现为常微分方程的研究提供了基础。
他们建立了微分和积分的概念，并发展了微积分的基本原理。
这些成果为后来的常微分方程的研究奠定了基石。
在17世纪晚期，丹麦数学家欧拉（Euler）对常微分方程做出了很大贡献。
他提出了一阶常微分方程的解可以用指数函数来表示，并且解决了许多具体的微分方程问题。
欧拉还提出了欧拉方程，为后来的常微分方程研究奠定了基础。
在18世纪，数学家拉普拉斯（Laplace）和拉格朗日（Lagrange）继续推进了微分方程的研究。
他们提出了许多常微分方程的解法，如分离变量法、变换法和齐次化方法等。
这些方法为常微分方程的求解提供了有效的途径。
19世纪初，高斯（Gauss）提出了可微分曲线的理论，为微分方程的几何解释提供了基础。
同时，柯西（Cauchy）建立了常微分方程的数学理论，给出了数学上严格的解决方法。
他提出了柯西问题，即通过给定初始条件求解微分方程的问题。
这一问题成为后来微分方程理论的核心。
19世纪中期，数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和韦伊斯特拉斯（Weierstrass）进一步发展了微分方程的理论，提出了广义解和李普希茨条件等概念。
他们的工作为微分方程的研究提供了更加严密的数学基础。
20世纪初，数学家波安卡列（Poincaré）对常微分方程的稳定性和周期性做出了重要贡献。
他提出了位相空间和奇点的概念，并研究了常微分方程在位相空间中的变化规律。
这一工作为后来的动力系统理论的发展奠定了基础。
20世纪后期，随着计算机的发展，常微分方程的数值解法得到了广泛应用。
数学家和工程师利用计算机模拟和迭代求解的方法，可以更加准确地求解含有复杂边界条件的常微分方程。
这一进展使得常微分方程的应用领域得到了大大的拓展，包括物理学、工程学和经济学等。
总结起来，常微分方程的研究经历了几个重要的阶段，从17世纪初的微积分基础，到18世纪的解法发展，再到19世纪的理论建立，最后到20世纪的计算机应用。
微分方程——基本概念和常微分方程的发展史
微分⽅程——基本概念和常微分⽅程的发展史1.2 基本概念和常微分⽅程的发展史⾃变量、未知函数均为实值的微分⽅程称为实值微分⽅程；未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分⽅程。
若⽆特别声明，以下均指实变量的实值微分⽅程。
1.2.1 常微分⽅程基本概念(1) 常微分⽅程和偏微分⽅程微分⽅程就是联系⾃变量、未知函数及其的关系式。
如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程；⾃变量的个数为两个或两个以上的微分⽅程为偏微分⽅程。
⼀般的n阶常微分⽅程具有形式：F x,y,dydx,⋯,d n ydx n=0(1.38)微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶的阶数称为微分⽅程的阶数。
此后，我们把常微分⽅程称为“微分⽅程”，有时更简称为“⽅程”。
(2) 线性和⾮线性如果⽅程(1.38)的左端为未知函数及其各阶导数的⼀次有理整式，则称(1.38)为n阶线性微分⽅程。
⼀般n阶线性微分⽅程具有形式不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程。
例如⽅程(3) 解和隐式解如果函数y=φ(x)代⼊⽅程(1.38)后，能使它变为恒等式，则称函数y=φ(x)为⽅程(1.38)的解。
如果关系式Φ(x,y)=0决定的函数y=φ(x)是⽅程(1.38)的解，称为称Φ(x,y)=0为⽅程(1.38)的隐式解，隐式解也称为“积分”。
为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为⽅程的解。
(4) 通解和特解我们把含有n个独⽴的任意常数c1,c2,⋯,c n的解称为n阶⽅程(1.38)的通解。
为了确定微分⽅程⼀个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件，这就是所谓的定解条件。
常见的定解条件是初值条件和边值条件。
求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题。
当定解条件为初值条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。
我们主要讨论初值问题。
我们把满⾜初值条件的解称为微分⽅程的特解。
初值条件不同，对应的特解也不同。
⼀般来说，特解可以通过初值条件的限制，从通解中确定任意常数⽽得到。
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常微分方程的发展史
摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源
正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)
提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。
1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。
他还把一阶齐次方程使其变量分离。
1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。
1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。
莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。
约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。
1734 年，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了恰当方程的定义。
他与克莱罗(A.C. Clairaut，法国，1713-1765)各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。
那么对非恰当方程如何求解呢？1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。
这样，到 18 世纪 40 年
代，一阶常微分方程的初等方法都已清楚了，与此相联系，通解与特解的问题也弄清楚了。
1734 年，克莱罗在他的著作中处理了现在以他的名字命名的方程，他给出了一个新的解，从而提出了奇解的问题。
奇解是不能通过给积分常数以一个确定的值由通解来求得。
欧拉、拉普拉斯
(place ，法国，1749-1827 )、达朗贝尔(J.Alembert，法国，1717-1783) 都涉及奇解这个问题，然而只有拉格朗日(grange，意大利，1736-1813)对奇解与通解的联系作了系统的研究，他给出了从通解消去常数项从而得到奇解的一般方法．但在奇解理论中，有些特殊的困难他并没有认识到。
奇解的完整理论是19 世纪发展起来的。
其中黎曼(G.Riemann ，德国，1826-1866 )作出了突出的贡献。
1728 年，欧拉由于力学问题的推动，把一类二阶微分方程用变量替换成一阶微分方程组，这标志着二阶方程的系统研究的开始。
此后，欧拉完整地解决了常系数线性齐次方程的求解问题和非齐次的n阶线性常微分方程的求解问题。
拉格朗日在1762 年至1765 年间又对变系数齐次线性微分方程进行了研究。
在18 世纪前半叶，常微分方程的研究重点是对初等函数施行有限次代数运算、变量代换和不定积分把解表示出来：至18 世纪下半叶，数学家们又讨论了求线性常微分方程解的常数变易法和无穷级数解法等方法：至18 世纪末，常微分方程己发展成一个独立的数学分支。
19 世纪，柯西(A.L.Cauchy ，法国，1789-185)、维尔
(J.Liouville，法国，1809-1882)、维尔斯特拉斯(K.Weierstrass，德国，1815-1879)和皮卡(E.Picard ，法国，1865-1941)对初值问题的存在唯一性理论作了一系列研究，建立了解的存在性的优势函数、逐次逼近等证明方法。
这些方法又可应用于高阶常微分方程和复数域中的微分方程组法国数学家庞加莱(H.Poincare，1854-1912)和俄国的雅普诺夫(Liapunov，1857-1918)共同奠定了稳定性的理论基础。
自群论引入常微分方程后，使常微分方程的研究重点转向解析理论和定性理论。
19世纪末，法国数学家庞加莱连续发表了4 篇文章，依赖几何拓扑直观对定性理论进行了研究，雅普诺夫应用十分严密的分析法又进行了研究，从而奠定了微分方程定性理论的基础。
由于行星或卫星轨道的稳定性问题，周期解的重要性提到日程上来。
西格尔(L.Siegel ，德国，1896-1981)创立了周期系统的线性齐次微分方程的数学理论。
在 1877 年的论文中，他求出了对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解，并证明了二阶微分
方程有周期解．
20 世纪，微分方程进入了广泛深入发展阶段。
随着大量的边缘学科的产生和发展，出现了不少新型的微分方程(组)，微分方程在无线电、飞机飞行、导弹飞行、化学反应等方面得到了广泛的应用，从而进一步促进了这一学科的发展，使之不断完善，对它的研究也从定性上升到定量阶段。
像动力系统、泛函微分方程、奇异摄动方程以
及复域上的定性理论等等都是在传统微分方程的基础上发展起来的新分支。
参考文献：M·克莱因. 古今数学思想[M].:科学技术,1979.
文林. 数学史教程[M].:高等教育,2002.
王树禾. 数学思想史[M].:国防工业,2003.。