上海市杨浦区2020年高三二模数学试卷(含答案)
2020 杨浦 高三二模
2020 杨浦高三二模一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（3分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5，7}，则A∩B＝．2．（3分）行列式的值为．3．（3分）函数y＝3cos2x+1的最小正周期为．4．（3分）设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．5．（3分）若{a n}是无穷等比数列，首项a1＝，公比q＝，则{a n}各项的和S＝．6．（3分）在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为．（结果用最简分数表示）7．（3分）实数x，y满足约束条件，目标函数f＝x+y的最大值为．8．（3分）已知曲线C1的参数方程为（t是参数），曲线C2的参数方程为（θ是参数），则C1和C2的两个交点之间的距离为．9．（3分）数列{a n}满足a1＝1，且a n+a n+1＝3n+2对任意n∈N*均成立，则a2020＝．10．（3分）设n∈N*，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n＝．11．（3分）设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若（•）：（•）：（•）＝1：1：2，则的值为．12．（3分）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（3分）不等式≤0的解集为（）A．[1，2]B．[1，2）C．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）14．（3分）设z是复数，则“z是虚数”是“z3是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3分）设F1，F2是椭圆的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记，在动点的第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为（）A．逐渐变大B．逐渐变小C．先变大后变小D．先变小后变大16．（3分）设{a n}是2020项的实数数列，{a n}中的每一项都不为零，{a n}中任意连续11项a n，a n+1，…，a n+10的乘积是定值（n＝1，2，3，…2020），命题：①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为（）A．①和②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．②是真命题，①是假命题D．①②都是假命题三. 解答题（本大题共4题，每题5分，共20分）17．如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M是母线BP的中点，已知OA＝OM＝2．（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM与AP所成角的大小．18．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7．（1）若B＝，求c；（2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I n}，{I n}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一；策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足I n+1＝1.02I n﹣0.20；策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足I n+1＝1.08I n﹣0.46；（1）设第一周的虫害指数I1∈[1，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？20．已知双曲线H：x2﹣，经过点D（2，0）的直线l与该双曲线交于M、N两点．（1）若l与x轴垂直，且|MN|＝6，求b的值；（2）b＝，且M、N的横坐标之和为﹣4，证明：∠MON＝90°；（3）设直线l与y轴交于点E，，求证：λ+μ为定值21．f（x）＝2x+m+mx+1，其中m是实常数．（1）若f，求m的取值范围；（2）若m＞0，求证：函数f（x）的零点有且仅有一个；（3）若m＞0，设函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若a1，a2，a3，a4是公差d＞0的等差数列且均在函数f（x）的值域中，求证：f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．参考答案一、填空题1．{1，3}；2．10；3．π；4．2﹣i；5．；6．；7．；8．；9．3031；10．10；11．；12．y＝；二、选择题13．B；14．B；15．B；16．D；三、解答题17.解：（1）如图所示，连接OP，则OP⊥底面OAB．点M是母线BP的中点，∴PB＝2OM＝4．∴OP＝＝＝2．∴该圆锥的体积V＝×π×22×2＝．（2）连接AB，取AB的中点D，连接OD，DM．△P AB中，DM∥P A，DM＝AP＝2．∴∠OMD为异面直线OM与AP所成角或其补角．在等腰直角三角形OAB中，OD＝AB＝．在△OMD中，由余弦定理可得：cos∠OMD＝＝，∴异面直线OM与AP所成角的大小∠OMD＝arccos．18.解：（1）△ABC中，a＝5，b＝7，B＝，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即49＝25+c2﹣2×5×c×cos，整理得c2﹣5c﹣24＝0，解得c＝8或c＝﹣3（不合题意，舍去），所以c＝8；（2）如图所示，点M是边AB的中点，CM＝3，＝（+），所以＝（+2•+），即9＝×（49+2×7×5×cos∠ACB+25），解得cos∠ACB＝﹣，所以sin∠ACB＝＝，△ABC的面积S△ABC＝CA•CB•sin∠ACB＝×7×5×＝6．故答案为：6．19.解：（1）策略A：因为I n+1＝1.02I n﹣0.20，策略B：因为I n+1＝1.08I n﹣0.46当1.02I1﹣0.02＝1.08I1﹣0.46，可得I1＝，当I1＝时，两者相等，当I1∈[1，]时，策略B的I2更小；当I1∈（，8]时，策略A的I2更小；（Ⅱ）I1＝3时，选择策略B，当I n＝0，时则﹣＝（3﹣）•1.08n﹣1，可得＝1.08n﹣1，所以n＝+1≈9所以虫害的危机最快在第9周解除．20.（1）解：由题意可得直线l的方程为x＝2，代入双曲线的方程可得4﹣＝1，解得y＝±b，可设M（2，﹣b），N（2，b），即有|MN|＝2b＝6，解得b＝；（2）证明：由b＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立双曲线的方程可得（2﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣2＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，由x1+x2＝﹣4，即﹣＝﹣4，解得k＝±1，此时x1x2＝﹣6，则•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2），＝2x1x2﹣2（x1+x2）+4＝2×（﹣6）﹣2×（﹣4）+4＝0，可得⊥，即有∠MON＝90°；（3）证明：由题意可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），可得E（0，﹣2k），又点D（2，0），且设M（x1，y1），N（x2，y2），由＝λ，可得（x1，y1+2k）＝λ（2﹣x1，﹣y1），即x1＝λ（2﹣x1），y1+2k＝λ（﹣y1），可得x1＝，y1＝﹣，由M在双曲线上，可得x12﹣＝1，即有（）2﹣＝1，化简可得3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2＝0，由＝μ，可得（x2，y2+2k）＝μ（2﹣x2，﹣y2），同理可得3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2＝0，故λ、μ为方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的两个实根，可得λ+μ＝＝为定值．21.解：（1）依题意，，即，∴，显然m＞0，则m2﹣4m+1＞0，解得或，∴实数m的取值范围为；（2）证明：当m＞0时，易知函数f（x）在R上单调递增，又当x→﹣∞时，2x+m→0，则f（x）一定会取得负值，而f（0）＝2m+1＞0，则由零点存在性定理可知，函数f（x）的零点有且仅有一个，且零点小于零；（3）证明：由（2）知，f（x）在R上单调递增，任取x1＜x2，则＝，∴，可知，函数f（x）是类似于下图所示增长形式的函数图象，由题有，a1+a4＝a2+a3，且公差d＞0，则其在图象上可取如图所示符合条件的任意四点，且对应点A的横坐标，对应点B的横坐标，显然有，，即f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．。
2019-2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷(文科)(有答案)
上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．函数的定义域是______．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．3．计算=______．4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______．8．已知等比数列{an }的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为______．9．已知变量x，y满足，则2x+3y的最大值为______．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为______．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．已知函数，其中a ∈R ．（1）当a=﹣时，求证：函数f （x ）是偶函数；（2）已知a ＞0，函数f （x ）的反函数为f ﹣1（x ），若函数y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上的最小值为1+log 23，求函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值． 22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a= 2 ．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．3．计算= ．【考点】数列的极限．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：4．若向量，满足且与的夹角为，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．6．在的展开式中，常数项是15 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】二阶行列式的定义．【分析】由二阶行列式性质得a 2+b 2﹣c 2=ab ，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C 的大小． 【解答】解：∵△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，，∴a 2﹣c 2=﹣b 2+ab ，即a 2+b 2﹣c 2=ab ， ∴cosC===， ∵C 是△ABC 的内角，∴C=．故答案为：．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为 7 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出． 【解答】解：由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4=4，∴数列{log 2a n }的前7项和=log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 7=log 2（a 1a 2…a 7）=log 227=7， 故答案为：7．9．已知变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为 14 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （1，4），令z=2x+3y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×4=14．故答案为：14．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是6．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出底面正六边形对边之间的距离即为左视图矩形的底边长，左视图矩形的高为棱柱的侧棱长．【解答】解：设正六棱柱的底面为六边形ABCDEF，连结AC，则AB=AC=2，∠ABC=120°，∴AC=2．∴正六棱柱侧视图的面积为2×3=6．故答案为6．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54 ．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为（6，10）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥1时，4x﹣≥0，∵方程，∴5x+﹣4x+=m，即x+=m；∵x+≥6；∴当m＜6时，方程x+=m无解；当m=6时，方程x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程x+=m在（1，+∞）上有两个解；当m=10时，方程x+=m的解为1，9；当x＜1时，4x﹣＜0，∵方程，∴5x++4x﹣=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．故答案为：（6，10）．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】基本不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】取与n条平行线垂直的平面α，则n条直线在平面α内的投影为n个点，将直线问题转化为平面内的点的问题解决．【解答】解：取平面α，使得两两平行的n条直线与平面α垂直，则n条直线在平面α内的投影为n个点，且这n个点之间的距离两两相等．∴n的最大值为3．此时n个投影点组成一个正三角形．故选：B．三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ACC 1A 1，进一步得到BC ⊥DC 1；（2）利用等积法，把三棱锥C ﹣BDC 1的体积转化为三棱锥B ﹣CDC 1的体积求解． 【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， ∴CC 1⊥底面ABC ，又CC 1⊂面ACC 1A 1，∴面ACC 1A 1⊥底面ABC ，而面ACC 1A 1∩底面ABC=AC ， 由△ABC 为Rt △，且AC=BC ，得BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴BC ⊥DC 1；（2）解：由（1）知，BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵，∴AA 1=2， 则∴=．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．1+log2【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣时，，定义域为R，====f（x），∴函数f （x ）是偶函数．（2）∵函数f （x ）与f ﹣1（x ）单调性相同， ∴当a ＞0时，函数f （x ）为增函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上为增函数，则函数的最小值为当x=1时，y=f （1）+f ﹣1（1）=1+log 23， 即a+log 23+f ﹣1（1）=1+log 23，则f ﹣1（1）=1﹣a ， 即f （1﹣a ）=1，则a （1﹣a ）+log 2（21﹣a +1）=1， 得a=1，此时f （x ）=x+log 2（2x +1）在[1，2]上是增函数， 则函数的最大值为f （2）=2+log 2（22+1）=2+log 25．22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）数列{a n }满足：a 1=2，，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．可得b 1=2．当n ≥2时，b n ==2n ．利用等比数列的前n 项和公式可得S n ． （3）由c n =﹣=﹣．利用等比数列的前n 项和公式、“裂项求和”方法可得数列{c n }的前n 项和为T n ．再利用其单调性即可得出． 【解答】（1）证明：数列{a n }满足：a 1=2，，∴﹣=1，∴数列为等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n ﹣1）=n+1，∴a n =n （n+1）．（2）解：数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．∴b 1==2．当n ≥2时，b n ====2n ．（n=1时也成立）．∴数列{b n }的前n 项和S n ==2n+1﹣2．（3）解：，c n ==﹣=﹣．∴数列{c n }的前n 项和为T n =﹣=﹣．T n+1﹣T n =﹣=﹣=，可知：n=1，2，3时，T n+1＞T n ； n ≥4时，T n+1＜T n ．∴T 1＜T 2＜T 3＜T 4＞T 5＞T 6…， ∴T 4为最大值．∴取正整数k=4，使得对任意n ∈N *，均有T 4≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2），设M （x m ，y m ），求出，=﹣，由点M 在椭圆C 上，能求出直线l 的方程．（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3），使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：的焦距为，∴c=，∵右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a 2=b 2+c 2=4， ∴椭圆C 的方程为．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2）， 其中y 1，y 2满足：，y 1+y 2=0，设M （x m ，y m ）， ∵（其中O 为坐标原点），∴，=﹣，∵点M 在椭圆C 上，∴，∴49t 2+4﹣t 2=100，∴t=， ∴直线l 的方程为x=或x=﹣． 证明：（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3）， 使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，∵直线PQ 具有性质H ，∴在椭圆C 上存在点M ，使得：，设M （x m ，y m ），则，y m =，∵点M 在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理： =0，②，，③1）若x 1，x 2，x 3中至少一个为0，不妨设x 1=0，则y 1≠0，由①③得y 2=y 3=0，即Q ，R 为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾． 2）若x 1，x 2，x 3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．。
上海市杨浦区2020届高三下学期第二次模拟数学试题及答案
②不存在满足条件的数列，使得其中恰有 550 个 1；
的真假情况为（ ）
A. ①和②都是真命题
B. ①是真命题 ②是假命题
C. ②是真命题，①是假命题
D. ①②都是假命题
三、解答题
17. 如图，线段 OA 和 OB 是以 P 为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点 M 是母线 BP 的中点， 已知 OA=OM=2.
18.（1）8
（2） 6 6
19.（1）当
I1
1, 133
时，使用策略
B
更小；当
I1
=
13 3
时，两种策略一样；当
I1
13 3
, 8
时，使用策略
A
更小 （2）9
20.（1） 3
21.（1） 0 m 2 − 3 或 m 2 + 3
第5页
( ) ( ) ( ) 11. 设 a,b,c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若 a b : b c : c a = 1:1: 2 ，则 a b 的值为
____________
12. 已知抛物线 1 与 2 的焦点均为点 F(2,1)，准线方程分别为 x = 0 与 5x +12y = 0 ，设两抛物线交于 A、
B 两点，则直线 AB 的方程为____________
二、选择题 13. 不等式 x −1 0 的解集为（ ）
x−2
A. 1, 2
B. 1, 2)
C. (−,12, +)
第1页
D. (−,1) (2, +)
14. 设 z 是复数，则“z 是虚数”是“ z3 是虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件
2020届上海市杨浦区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)(加精)
上海市杨浦区高三二模数学试题一、填空题1、行列式987654321中，元素5的代数余子式 2、设实数()()0,()cos sin f x x x ωωω>=+若函数的最小正周期为=ωπ，则 3、已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为4、设向量()()t ,6,3,2==，若与的夹角为钝角，则实数t 的取值范围5、集合{}2,3,1aA =，集合{}2,1++=a aB a A A B 则实数若,=⋃＝6、设21221-032,z z z z z z 的两根，则是方程=++=7、设()R x f 是定义在上的奇函数，当()023,x x f x >=-时，则不等式()5f x <-的解集是8、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+020212y x y x y x ，则y x z -=的最小值为9、小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立的进行，则小明扔出的点数不大于2或小红扔出的点数不小于3的概率为10、设）的坐标（上的动点，点是椭圆0,2-)0(142222F a a y a x A >=-+，若满足A AF 的点10=有且仅有两个，则实数a 的取值范围为11、已知()=++>>b abb a b a 取得最小值时，当14,0,0212、设函数()1,22≤+-+=y x a a x x x f 在圆盘在实数范围内变化时，当α内，且不在任一()x f α的图像上的点的全体组成的图形面积二、选择题13、”的是纯虚数”是““且设R z z z C z ∈≠∈2,0 （ ） A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要条件 D 、即非充分又非必要14、设等差数列{}n a 的公差为0,≠d d ，若{}n a 的前10项和大于其前21项和，则（ ） A 、0<d B 、0>d C 、016<a D 、016>aABCD1C 1B 1A 1PQ 15、如图，S N C O S N 和是经过直径的两个端点，圆是球1,点的大圆，32C C 和圆圆分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆。
上海市杨浦区2020-2021年高三数学二模试卷含答案
- - - 1 -ABCD A 1B 1C 1D 1杨浦区2020学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2021.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数z 满足2i z =-（i 为虚数单位），则z z ⋅=___________． 2．已知函数()f x =1()f x - ，则1(3)f -= ___________．3．在行列式137252124D =-中，元素3的代数余子式的值为__________．4．在8(x 的二项展开式中，6x 项的系数是___________．5．已知,x y 满足:102040x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为___________.6．方程()()55log 4111log 23x x --=-的解为=x ___________．7．已知一组数据,3,2,6a -的中位数为4，则其总体方差为___________．8．已知函数()()|21|f x g x x =+-为奇函数，若(1)7g -=，则(1)g =___________． 9．直线l ：(2)210n x y n +-+-=（*n ∈N ）被圆C ：22(1)16x y -+=所截得的弦长为n d ，则lim n n d →+∞=___________．10．非空集合A 中所有元素乘积记为()T A . 已知集合{1,4,57,8}M =, ，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A ，则()T A 为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 11.函数()sin()(0)f x x x ωωω=>，若有且仅有一个实数m 满足：①02m π≤≤；②x m =是函数图像的对称轴，则ω的取值范围- - - 2 -是 ．12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ACC A 上一动点，且满足10D P CP ⋅=，则满足条件的所有点P 所围成的平面区域的面积是___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若 ,R m n ∈，i 是虚数单位,则 “m n =”是“()() i m n m n -++为纯虚数 ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．已知数列{}n a 是无穷等比数列，若120a a <<，则数列{}n a 的前n 项和n S （ ） A ．无最大值，有最小值B ．有最大值，有最小值C ．有最大值，无最小值D ．无最大值，无最小值 15．在四边形ABCD中，AB DC ==，且满足||||||ABADAC AB AD AC +=，则||AC = （ ） A ．2 B ．6CD ． 16．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ， 函数()f x 具有下列性质：（1）若 ,x y D ，则()()f x A f y ∈；（2）若 ,x y D ，则()()f x f y A +∈.下列结论正确是 （ ）①函数()f x 可能是奇函数； ②函数()f x 可能是周期函数； ③存在x D ∈，使得2021()2020f x =； ④对任意x D ∈，都有2()f x A ∈.A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③- - - 3 -C 1B 1A 1C B ADD三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥D 是棱AB 的中点 .（1）求证：直线BC 与直线1DC 为异面直线；（2）求直线1DC 与平面1A BC 所成角的大小.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知()221x f x ax x =++，（a 为实常数）（1）当1a =时，求不等式()1()f x f x x+<的解集；（2）若函数()f x 在()0,+∞中有零点，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，,,A B C 三地在以O 为圆心的圆形区域边界上，30AB =公里，10AC =公里，60BAC ∠=︒， D 是圆形区域外一景点，90DBC ∠=︒（1）O 、A 相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A 处出发，以每小时50处，需要多少- - - 4 -小时？（精确到小数点后两位）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆222:(1)16C x y -+=交于 , A B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程2224, (1)16, AAy x x x x y x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，P 是曲线Γ上一动点.（1）若P 在抛物线上且满足||3PF =，求直线PF 的斜率；（2）(,0)T m 是x 轴上一定点. 若动点P 在Γ上满足A x x ≤的范围内运动时，||PT AT ≤恒成立，求m 的取值范围；（3）Q 是曲线Γ上另一动点，且满足FP FQ ⊥，若PFQ ∆的面积为4 ，求线段PQ 的长.- - - 5 -21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷数列{}n a 与无穷数列{}n b 满足下列条件： ① {0,1,2},n a n ∈∈*N ；② 1111(1)||,24n n n n n b a a n b *++=-⋅-∈N . 记数列{}n b 的前n 项积为n T.（1）若112341 ,0 , 2 ,1a b a a a =====，求4T ；（2）是否存在1234,,,a a a a ，使得1234,,,b b b b 成等差数列？若存在，请写出一组1234,,,a a a a ;若不存在，请说明理由； （3）若11b =，求2021T 的最大值.评分参考一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟(二模)数学试题(含解析)
上海市杨浦区2023届高三下学期高考模拟（二模）数学试题一、单选题1．（2023·上海杨浦·统考二模）已知a 、b ∈R ，则“a b >”是“33a b >”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．（2023·上海杨浦·统考二模）对成对数据()11,x y 、()22,x y 、…、(),n n x y 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）A ．()10ni i y y =-=∑B ．µ()10ni i i y y =-=∑C ．µ()1n i i i y y =-∑最小D ．µ()21ni i i y y =-∑最小3．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0∞-上严格递减的是（ ）A ．2xy =B ．()ln y x =-C ．23y x-=D．y =4．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（ ）ABC ．2D ．32二、填空题5．（2023·上海杨浦·统考二模）集合{}2230A x x x =--=，{}24,B x x x =≤≤∈R ，则A B =I______6．（2023·上海杨浦·统考二模）复数34i34i+-的虚部是______7．（2023·上海杨浦·统考二模）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.8．（2023·上海杨浦·统考二模）设()55435431021x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =______9．（2023·上海杨浦·统考二模）函数()ln 23y x =-的导数是y '=______10．（2023·上海杨浦·统考二模）若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为______11．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式3lg 3x x +≤的解集是______12．（2023·上海杨浦·统考二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分13．（2023·上海杨浦·统考二模）ABC V 内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b ，π3A ∠=，则B ∠=______14．（2023·上海杨浦·统考二模）若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为________.15．（2023·上海杨浦·统考二模）若存在实数ϕ，使函数()()()1cos 02f x x ωϕω=+->在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______16．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则b r的最小值是______三、解答题17．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量X 的分布为：6789100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)已知()435E X =，求a 、b 的值；(2)记事件A ：X 为偶数；事件B ：8X ≤.已知()12P A =，求()P B ，()P A B ⋂，并判断A 、B 是否相互独立？18．（2023·上海杨浦·统考二模）四边形ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于O 点，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P BC A --的大小为45︒.(1)求点A 到平面PBD 的距离；(2)求直线AC 与平面PCD 所成的角.19．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB 为人工湖，其中射线OA 、OB 为公园边界.已知OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，以OB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线AB 的轨迹方程为：()2402y x x =-+≤≤.计划修一条与湖边AB 相切于点P 的直路l （宽度不计），直路l 与公园边界交于点C 、D 两点，把人工湖围成一片景区OCD V .(1)若P 点坐标为()1,3，计算直路CD 的长度；（精确到0.1千米）(2)若P 为曲线AB （不含端点）上的任意一点，求景区OCD V 面积的最小值.（精确到0.1平方千米）20．（2023·上海杨浦·统考二模）已知椭圆()2222:1043x y C a a a +=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.(1)若F 到直线l 的距离为a ；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且ABO V 的面积为487，求a ；(3)若椭圆C 上存在点P ，过P 作直线l 的垂线1l ，垂足为H ，满足直线1l 和直线FH 的夹角为π4，求a 的取值范围.21．（2023·上海杨浦·统考二模）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .(1)写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；(2)判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；(3)n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.参考答案：1．C【分析】利用函数3()f x x =在R 上单调递增即可判断出结论.【详解】()3,f x x x =∈R Q 是奇函数且为递增函数，所以a b >，则()()f a f b >，即33a b >，同理，33a b >，则()()f a f b >，函数单调递增，得a b >；∴ “a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.2．D【分析】由最小二乘法的求解即可知.【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，故选：D 3．A【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.【详解】由22x x -=且x ∈R ，故2x y =为偶函数，在(),0∞-上2xy -=递减，A 符合；由()ln y x =-的定义域为(),0∞-，故为非奇非偶函数，B 不符合；由23y x -==(,0)(0,)-∞+∞U ，=，故23y x -=为偶函数，在(),0∞-上递增，C 不符合；由y =R ，=，故为偶函数，在(),0∞-上递增，D 不符合.故选：A 4．B【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a，则HD =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO，故HD OE PD OP ==OP =.故选：B.5．{}3【分析】根据一元二次方程化简集合A ,由集合的交运算即可求解.【详解】由{}2230A x x x =--=得{}3,1A =-，所以{}3A B ⋂=，故答案为：{}36．2425##0.96【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】因为()()()()34i 34i 34i 34i 34i 347+24i 25i -==+++--+，所以虚部为2425.故答案为：24257．10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.8．80【分析】先写出()521x +的二项展开式的通项，再求出3a 即可.【详解】()521x +的二项展开式的通项：()()555155C 22C 0,1,2,3,,145rr rr r rr T x x r ---+===，故33522C 81080a ==⨯=．故答案为：80.9．332x -【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.【详解】因为()ln 23y x =-，所以()()113233232332y x x x x ''=⨯-=⨯-=---.故答案为：332x -.10．12π【分析】圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，则侧面积为12ππ15π2S r l rl =⨯⨯==，再结合2216l r =+，可得r 的值.然后根据椎体体积公式13V Sh =计算即可.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长为l ，高为h ，有22π15π16rl l r =⎧⎨=+⎩，解得：35r l =⎧⎨=⎩.211π12π,33V Sh r h ==⨯⨯=故答案为： 12π.11．(]0,1【分析】构造()3lg 3xf x x =+-可得()f x 为单调递增函数，有()10f =即可求解.【详解】令()3lg 3xf x x =+-，由于3,lg x y y x ==均为单调递增函数，因此()f x 为()0,∞+上的单调递增函数，又()10f =，故()0f x ≤的解为(]0,1，故答案为：(]0,112．107【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.【详解】由直方图知：平均成绩为(950.031050.041150.0151250.011350.005)10107⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分.故答案为：10713．π4##45o 【分析】利用正弦定理及大边对大角即可求解.【详解】因为3a =，b π3A ∠=，由正弦定理得sin sin b AB a∠∠===所以π4B ∠=或3π4B ∠=.由b a <，得B A ∠<∠,所以0π3B <∠<，所以π4B ∠=.故答案为：π4.14【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF1|=2a ，|AF2|=4a ，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则 12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或ba的方程，从而得到离心率的值.15．15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用cos y x =的图像与性质，直接求出函数()f x 的零点，再利用题设条件建立不等关系ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+--+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，从而求出结果.【详解】因为()()()1cos 02f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到()1cos 2x ωϕ+=，所以π2π(Z)3x k k ωϕ+=+∈或π2π(Z)3x k k ωϕ+=-+∈，所以π2π3(Z)k x k ϕω-+=∈或π2π3(Z)k x k ϕω--+=∈，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[]π,3πx ∈上有且仅有2个零点，所以7π5π2π2π332πk k ϕϕωω-+-+-≤且11ππ2π2π332πk k ϕϕωω-+-+->，即2π32πω≤且10π32πω>，解得1533ω≤<.故答案为：1533ω≤<16【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：如图AC a =u u u r r ，AD b u u u r r =，AB c =u u u r r ，则b a CD -=u u u r r r ，c a CB -=u u rr r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有1122OC BD b c ==-r r，而12OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC+≥则11522b c b c a ++-≥=r r r rr ，所以10b c b c ++-≥r r r r ，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则b +=r ，同理b -r ，由10b c b c ++-≥r r r r10≥，则225b ≥==r ，当cos 0θ=，即b c ⊥r r时取等号，，即b r的最小值是【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式10b c b c ++-≥r r r r，进而利用数量积求模长.17．(1)0.1a =，0.3b =；(2)()0.5P B =，()0.3P A B ⋂=，事件A 与B 不相互独立.【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；（2）由()12P A =及分布列的性质求出a 、b ，进一步求出()P B ，()P A B ⋂，利用两个事件相互独立的定义判断即可.【详解】（1）由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.4a b +=，又()60.1780.290.310E X a b=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯60.17(0.4)80.290.310b b =⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯437.738.65b =+==，解得0.3b =，所以0.40.1a b =-=，即0.1a =，0.3b =；（2）由题意，()10P X b ==，又事件A ：X 为偶数，所以()()()()168100.10.22P A P X P X P X b ===+=+==++，所以0.2b =，由随机变量的分布的性质有0.10.20.31a b ++++=，得0.2a =，又事件B 为8X ≤，所以()()()()6780.10.20.20.5P B P X P X P X ==+=+==++=，所以()()()680.10.20.3P A B P X P X ⋂==+==+=，因为()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 与B 不相互独立.18．(2)π6【分析】（1）建立空间直角坐标系，设PA a =，利用空间向量法及二面角P BC A --的大小求出a 的值，再求平面PBD 的法向量n r ，根据点A 到平面PBD 的距离AP n d n⋅=u u u r r r 求解即可；（2）先求出平面PCD 的法向量，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,,AP AB AD 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，设PA a =，0a >，则()0,0,P a ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，()0,1,0D ，所以()1,0,PB a =-u u u r ，()0,1,0BC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r ，设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，则1111100n PB x az n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，取()1,0,1n a =u r ，取平面BCA 的法向量()20,0,1n =u u r ，因为二面角P BC A --的大小为45︒，所以12cos ,n n =u r u u r ，解得1a =，即()0,0,1P ，所以()1,0,1PB =-u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()0,0,1AP =u u u r ，设平面PBD 的法向量()000,,n x y z =r ，则000000n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()1,1,1n =r ，所以点A 到平面PBD的距离d =（2）由（1）得()()()1,1,1,0,1,1,1,1,0PC PD AC =-=-=u u u r u u u r u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取()0,1,1m =u r ，设直线AC 与平面PCD 所成的角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin cos ,2m AC m AC m ACθ⋅====u r u u u r u r u u u r u r u u u r ，所以直线AC 与平面PCD 所成的角为π6.19．(1)5.6km(2)26.2km 【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；（2）利用切线方程与导数的关系求出点P 处的切线方程，从而表示出OCD V 的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解.【详解】（1）因为()2402y x x =-+≤≤，所以2y x '=-，所以1|2x y ='=-，所以由点斜式可得32(1)y x -=--，即25y x =-+，令0x =，解得5y =，令0y =，解得52x =，所以5(0,5),(,0)2C D5.6km =≈.（2）设2(,4),02P t t t -+<<，则由（1）可知|2x t y t ='=-，所以CD 的直线方程为242()y t t x t +-=--，整理得224y tx t =-++，令0x =，解得24y t =+，令0y =，解得242t x t +=，所以22314116(4)(8224OCD t S t t t t t+=⨯+⨯=++△，设3116()(8),024f t t t t t=++<<，4222222211613816(34)(4)()(38)444t t t t f t t t t t+--+'=+-=⨯=，令()0f t '>，即2340t ->2t <<，令()0f t '<，即2340t -<，解得0t <<所以函数()f t在⎛ ⎝单调递减，2⎫⎪⎪⎭单调递增，所以32min1()8 6.2km4f t f⎡⎤⎢==+=≈⎢⎢⎢⎣.所以景区OCDV面积的最小值为26.2km.20．(1)8a=(2)2a=(3)a≥4a≠【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为(,0)F a，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可；（2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求AB，点到直线的距离公式求O到直线l的距离h，再根据三角形面积公式求解即可；（3）分4a=和4a≠两种情况讨论，易知4a=不合题意，当4a≠时，根据题意可得直线FH 的方程为0y=或x a=，代入l方程可求H点坐标，从而可求直线1l的方程，联立1l与椭圆方程，利用0∆≥即可求出a的取值范围．【详解】（1）因为()2222:1043x yC aa a+=>，所以右焦点为(,0)F a，又因为:40l x y+-=，所以F到直线l的距离d8a=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，由22221434x ya ax y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2273264120x x a-+-=，所以223228(6412)0a∆=-->，即2167a>，且1221232764127x xax x⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩，==，又因为O 到直线l 的距离为h 所以ABO V 的面积为118482277ABO S AB h =⋅=⨯==V ，解得2a =满足2167a >，所以2a =；（3）若4a =，则直线l 经过点F ，此时直线1l 和直线FH 的夹角为π2（舍去），若4a ≠，由直线1l 和直线FH 的夹角为π4，且11l k =得，直线FH 的方程为0y =或x a =代入:40l x y +-=得(4,0)H 或(,4)H a a -，所以直线1l 的方程为4y x =-或(4)y a x a --=-代入椭圆方程得2273264120x x a -+-=或()()2273216464640x a x a a +-+-+=，由2148(716)0a ∆=-≥或2248(3+1616)0a a ∆=-≥解得a ≥a ≥，综上得的取值范围为a ≥4a ≠．21．(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析；(3)51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【详解】（1）解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.（2）解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.（3）解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a L 中至少有122350,,,,,a a b b b L 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a L L ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.。
2020年上海市杨浦高级中学高三数学理模拟试题含解析
2020年上海市杨浦高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域是A． B．C．D．参考答案：C略2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B3. 双曲线的一条渐近线与直线X+2y +1 =0垂直，则双曲线C的离心率为(A) (B) ( C) (D)参考答案：【知识点】双曲线的简单性质 H6C解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴其渐近线方程为y=x，∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直，渐近线的斜率为2，∴=2, 即双曲线的离心率故答案为C【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线x+2y+1=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为，故=2，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率4. 已知a为实数，函数，若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 已知全集集合则（）A. B. C. D.参考答案：B略6. 设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且，则4f（x）＞f'（x）的解集为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；转化思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】把已知等式变形，可得3f（x）=f′（x）﹣3，则f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，得a+c=1，再由3f（x）=f′（x）﹣3，得到3ae bx+3c=abe bx﹣3，则，求得a，b，c的值，可得函数解析式，把4f（x）＞f'（x）转化为关于x的不等式求解．【解答】解：由，得3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，∵f（0）=1，∴a+c=1，∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，∴，解得a=2，b=3，c=﹣1．∴f（x）=2e3x﹣1，∵4f（x）＞f'（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，则e3x＞2，即x＞．∴4f（x）＞f'（x）的解集为．故选：B．【点评】本题考查导数的运算及应用，考查了推理能力与计算能力，是压轴题．7. 设函数则导函数的展开式项的系数为A．1440 B．-1440 C．-2880 D．2880参考答案：答案：C8. 已知，那么（）A．B．C．D．参考答案：C 9. 根据如下样本数据得到的回归方程为，则A．，B．，C．，D．，参考答案：A10. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质即可得解对称中心．【解答】解：向左平移个单位长度后得到的图象，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，则其对称中心为．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知=（cos，sin），=（，1），x∈R，则|﹣|的最大值是．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出．【解答】解：∵=（cos，sin），=（﹣，1），∴﹣=（cos+，sin﹣1），∴|﹣|2=（cos+）2+（sin﹣1）2=5+2（cos﹣sin）=5+4sin（﹣）≤5+4=9，∴|﹣|的最大值是3，故答案为：312. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E ．若∠BAC=80°，则∠BED=．参考答案：60°【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE 中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE 为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D 是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE 中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．13. 在等比数列中，首项，则公比为。
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则=⋃B A 【答案】{1,3}【解析】,A B 共同元素是1,32. 行列式120235580的值为【答案】10【解析】行列式展开公式展开,得103. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 【答案】π【解析】252cos 231212cos 31cos 32+=++=+=x x x y Θ ππ==∴22T4. 设i 是虚数单位，复数z 满足(12i)43i z +=+，则z = 【答案】i -2【解析】由复数z 满足i z i 34)21(+=+，可得i ii i i i i i z -=-=-+-+=++=25510)21)(21()21)(34(2134 5. 若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 6. 在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女 的概率为 （结果用最简分数表示） 【答案】74 【解析】742112271413===C C C P7. 实数x 、y 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为【答案】37【解析】如图可知，最优解为375332max =⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，，8. 已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为1x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l9. 数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a10. 设*n ∈N ，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案】10=n【解析】第1+r 项为212r rn r nr x C T -+=所以当r 为偶数时为有理项即二项展开式的奇数项系数之和为29525 ()()2121229525nn -++=∴即10=n11. 设a r 、b r 、c r 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r，则a b ⋅r r的值为【答案】12【解析】由a b b c ⋅=⋅r r r r 及a c =r r，可知a r 与b r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，设这个夹角为θ，① 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()cos 0,1θ∈时，a r 与c r 的夹角为2θ，此时cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=r r r r ，cos 2cos 2c a c a θθ⋅=⋅⋅=r r r r，从而2cos 22cos 2cos 2cos 10cos θθθθθ=⇒--=⇒=均含)； ② 当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()cos 1,0θ∈-时，a r 与c r 的夹角为22πθ-，类似①，可得()cos 222cos πθθ-=，即cos22cos θθ=，解得1cos 2θ-=或1cos 2θ+=(舍)；综上，1cos 2a b θ⋅==r r12. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两 抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为 【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 不等式102x x -≤-的解集为（ ） 【A 】 [1,2] 【B 】 [1,2) 【C 】 (,1][2,)-∞+∞U 【D 】 (,1)(2,)-∞+∞U 【答案】B【解析】()()021≤--x x 且2≠x 解得选B14. 设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） 【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】举出反例即可比如i 2321--=ω. 15. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是 该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()20202022100520,5,0,5,,y x y xs F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B16. 设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++⋅⋅⋅的乘积是定值（1,2,3,,2010n =⋅⋅⋅），命题① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为（ ）【A 】 ①和②都是真命题 【B 】 ①是真命题，②是假命题 【C 】 ②是真命题，①是假命题 【D 】 ①和②都是假命题 【答案】D【解析】令A a a a n n n =⋅⋅⋅++101Λ则A a a a n n n =⋅⋅⋅+++1121Λ则n n a a =+11，即周期为11=T ；183112020=余数是7； 若一个周期内有两个1，则至少有366个1，①错；若一个周期内有三个1，则有549至552个1，②错；选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条相互垂直的半径，点M 是母线BP 的中点，已知2OA OM ==. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成的角的大小. 【答案】（1）π338（2）3arccos 4【解析】（1）0229024,4223POB PM MB MO PB PO ∠=∴===∴==-=Q故圆锥的体积21183223333V Sh ππ==⋅⋅=； （2）以O 点为原点，,,OA OB OP u u u r u u u r u u u r方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()1(OB+)=0,1,3,(0,0,23)(2,0,0)(2,0,23)2OM OP AP ==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则63cos 244OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 所以异面直线OM 与AP 所成角为3arccos 4.18. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积. 【答案】（1）8=c （2）66 【解析】(1)（解法一）由余弦定理，2222-=2cos ,25-49=58a cb ac B c c c ++=即，在正实数集合中解得（解法二）由正弦定理，sin sin a A B a b A B B b ==<∴<∴为锐角111sin 214sin 8sin bc C B+=∴=⋅=（2）（解法一）设AM MB x ==则由cos CMA cos CMB∠=-∠知222222353702323x x x x +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得x =故22235cos 23x CMB CMB x +-∠==∠=⨯⨯三角形的面积11sin 322S AB CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯= （解法二）设CA=,CB=,a b u u u r r u u u r r 则5,7,6a b a b ==+=r r r r.因此22236,a b a b ++=r r r rg ,解得19a b ⋅=-r r .故19cos 35ACB ∠=-，从而sin ACB ∠=因而三角形ABC的面积1sin 2S CA CB ACB =⋅⋅∠=（解法三）延长CM 至D .使CM MD =,则四边形ABCD 是平行四边形 因而三角形ABC 的面积与三角形BCD 的面积相等 而三角形BCD 的三边长分别为5,6,7,根据Heron 公式，其面积为S == 因此三角形ABC的面积为.19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）见解析（2）第9周解除【解析】（1）111(1.020.20)(1.080.46)0.260.06I I I ---=- 不等式10.260.060I ->,得1133I <因此，当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，用第二种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当113(,8]3I ∈时，用第一种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当1133I =时，两种策略效果相同。
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杨浦区2019学年第二学期“在线教学”质量评估
高三年级数学学科试卷
一、填空题
1.设集合{1,2,3,4},{1,3,5,7},A B ==则A∩B= ▲
2.行列式120
235580
的值为 ▲
3.函数23cos 1y x =+的最小正周期为 ▲
4.设i 是虚数单位,复数()1243z i z i +=+满足满足,则z= ▲
5.若{}n a 是无穷等比数列,首项a 1=13,公比q=13,则{}n a 各项的和S = ▲
6.在3名男生,4名女生中随机选出2名学生参加某次活动,则选出的学生恰为1男1女的概率为 ▲ (结果用最简分数表示)
7.实数x,y 满足约束条件,0
30
423x y y x y x ≥++⎧⎪≤⎪⎨⎪⎪≥⎩≤目标函数f x y =+的最大值为 ▲ 8.已知曲线C 1的参数方程为21()2x t t y t =-⎧⎨=+⎩
是参数,曲线C 2
的参数方程为(),n 1x y θθθ
⎧=-+⎪⎨⎪⎩=是参数则C 1和C 2的两个交点之间的距离为 ▲ 9.数列{}n a 满足11,α=且132n n a a n ++=+;对任意n ∈N *均成立,则2020a = ▲
10.设*,n N ∈
若(2n +的二项展开式中,有理项的系数之和为29525,则n= ▲
11.设,,a b c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量,若()a b ⋅:()b c ⋅:()1c a ⋅=:1:2,则a b ⋅的值为 ▲
12.已知抛物线F 1 与 F 2的焦点均为点(2,1),F 准线方程分别05120,x x y =+=与设两抛物线交于A 、B 两点,则直线AB 的方程为 ▲
二、选择题
13.不等式102
x x --的解集为( ) [].1,2A B.[12) (][).-,12,C ∞⋃+∞ ()().,12,D -∞⋃+∞
14.设z 是复数,则“z 是虚数”是“z 3是虚数“的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
15.设F 1,F 2是椭圆+22
194
x y +=的两焦点A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点,P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点,记1222s OP P F P F =-⋅,在动点的第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中,s 的大小的变化情况为( )
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.先变大后变小 D .先变小后变大
16.设{a n }是2020项的实数数列,{}n a 中的每一项都不为零,{}n a 中任意连续11项a n ,a n+1,…a n+10的乘积是定值1,2,3,2020),(n =命题:①存在满足条件的数列,使得其中恰有365个1;②不存在满足条件的数列,使得其中恰有550个1; 的真假情况为( )
A.①和②都是真命题
B.①是真命题②是假命题
C.②是真命题,①是假命题
D.①②都是假命题
三、解答题
17.如图,线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径,点M 是母线BP 的中点,已知2OA OM ==
(1)求该圆锥的体积;
(2)求异面直线OM 与AP 所成角的大小
18.已知三角形ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a,b,c,且a=5,b=7. (1) ;3B c π
=若，求
(2)设点M 是边AB 的中点,若CM=3,求三角形ABC 的面积
19.某地出现了虫害,农业科学家引入了“虫害指数”数列{},{}n n I I 表示第n 周的虫害的严重程度,虫害指数越大,严重程度越高,为了治理虫害,需要环境整治、杀灭害虫,然而由于人力资源有限,每周只能采取以下两个策略之一;
策略A:环境整治,“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-;
策略B:杀灭害虫,“虫害指数“数列满足1 1.080.46;n n I I +=-
(1)设第一周的虫害指数I n ∈[]1,8.用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小?
(2)设第一周的虫害指数13,I =如果每周都采用最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?
20.已知双曲线H:()22
2
10,y x b b -=>经过点D(2,0)的直线l 与该双曲线交于M 、N 两点.
(1)若l 与x 轴垂直,且||6MN =,求b 的值:
(2)b =且M 、N 的横坐标之和为-4,证明:90MON ︒∠=;
(3)设直线l 与y 轴交于点,,,E EM MD EN ND λμ=⋅=⋅求证:λ+μ为定值
21.()21,x m f x mx +=++其中m 是实常数.
1(1)18,f m ⎛⎫> ⎪⎝⎭
若求m 的取值范围: (2)若m>0,求证:函数()f x 的零点有且仅有一个;
(3)若m>0,设函数()y f x =的反函数为()-1,y f x =若a 1,a 2,a 3,a 4是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中,求证:()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+。