自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换
东南大学成贤学院自动控制原理ppt(程鹏主编第二版)拉普拉斯变换
F (s)
2s 12 1 j 2.5 1 j 2.5 2 s 2s 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) (1 j 2.5)(s 1 j 2) 2 2 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 2 2( s 1) 10 s 1 2 2 5 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22
如果f(t）的各阶导数初始值都为零 ：
d n f (t ) L s n F (s) dt n
3．积分准则
L f (t ) F (s)
t f (t )dt F ( s ) L 0 s
二．拉普拉斯变换的若干运算规则
4．平移定理
f (t )
例Ⅱ-1-1. 利用拉普拉斯变换性质，求如下图形F(s)
f (t )
2.0
0
b
t
0
c
t
（a） f (t ) 2 1(t ) 2 1(t b)
2 2 bs 2(1 e bs ) F ( s) e s s s
所以：
（b）
f (t ) t t (t c)
d 3 f (t ) 3 2 L s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 3 dt d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L ( 0) s F ( s ) s f (0) s f (0) f n dt d 2 f (t ) 2 L s F ( s ) sf (0) f (0) 2 dt
第二章拉普拉斯变换PPT学习教案
其拉氏变换 为
L[t n ] t ne stdt 0
L[t n ] n！ s n1
单位斜坡函数及 单位加速度函数
分别是幂函t n (数n 当1)
n=0 n=1及 、
n=2时的特例 。
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注:欧拉公式
ejt cost j sint
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第二节 拉普拉斯变换的性质
r(t) cos t (t≥0)
其拉氏变换为
L[cost] costestdt 0 1 (e jt e jt )est d t 20 s s2 2
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(八) 幂函数
幂函数（Power Function）的数学表达式为
r(t) t n (t≥0, n> -1且为整数) 单位阶跃函数 、
即
f (t) Me kt (M和k为实常数)
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如果复变函数F (s是) 时间函数 f的(t拉) 氏变换，则 f (t) 称为F (s的) 拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
f (t) L1[F (s)]
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二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有： 单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等 。
象函数(Image Function) 原函数(Original Function )
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一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：
(1)在t<0时 ，
f (t) 0
(2)在t≥0的任一有限区间内， f是(t分) 段连续的；
(3)当t→﹢∞时， f (t) 的增长速度不超过某一指数函数，
（3）分配律 f1(t) [ f2 (t) f3 (t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
自动控制原理课件-拉氏变换专讲
a3 an a1s a2 F ( s) s p1 s p2 s p3 s pn
1
a1s a2 s p
F ( s )s p1 s p2 s p
1
根据上述方程，令实部=实部，虚部= 虚部，可解出a1，a2
s 1 例: 求 F ( s ) 2 s s s 1 的部分分式 a3 a1 s a2 解: F ( s ) 2 s s 1 s
用拉氏变换法求解微分方程(2)
1 A a b
1 B a b
1 1 1 ba ba s a s b s a sb
用拉氏变换法求解微分方程(2)
留数法（适用于复杂函数)
s z1 s zm B( s ) 设 F ( s) A( s) s p1 s pn
a1 F (s)s 1
3 s 1
s 2s 3
2
s 1
2
用拉氏变换法求解微分方程(6)
d F ( s )s 1 a2 ds
2
3
s 1
2 s 2 s 1 0
3
1 d F ( s )s 1 a3 2 3 1! ds
2
令
A B C Y ( s) s s2 s3
2 1
0.866a1 a2 0.866
2
0.5
用拉氏变换法求解微分方程(5)
化简: a1 a2 1 求解得:
a1 a2 1
a2 0
a1 1
s 1 a3 s 1 2 s s s 1 s 0
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换复习课程
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换附录1. 拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3） 0()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
自动控制原理拉氏变换
3.拉氏变换的基本定理 ¾线性定理
若函数分别有其拉氏变换：
f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
L[af1(t) + bf2 (t)] = aF1 (s) + bF2 (s)
¾延迟定理
若 f (t) ⇒ F (s)
则
L[ f (t −τ )] = e−τs F (s)来自根据拉氏变换的 基本定理
部
分
分母全部为单根
分
式
法
分母有重根
¾A(s)=0 全部为单根
ai 为F (s) 对应于极点 si 的留数。
例:已知 解：
求 F (s) 拉氏反变换。
¾A (s) =0 有重根
。。。。。。
例：求
解：
的拉氏反变换 f (t) 。
例：已知
解：
，试求其 f (t)
6. 应用拉氏变换解微分方程
¾ 方程两边作拉氏变换 ¾代入初始条件和输入信号 ¾写出输出量的拉氏变换
¾作拉氏反变换求出系统输出的时间解
例 RC滤波电路如图所示，输入电压信号Ui(t)=5V，
电容的初始电压 Uc(0) 分别为 0V 和1V 时，分
别求时间解Uc(t)。
解：
¾Uc(0)=0V 时 ¾Uc(0)=1V 时
¾终值定理
若 f (t) ⇒ F (s) 且 f (∞) 存在，则
¾卷积定理
若 f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
求 ？
4. 拉氏变换的优点：
¾简化函数
¾简化运算
5. 拉氏反变换
拉氏变换： 已知 f ( t ) → 求 F (s) 拉式反变换： 已知 F (s) → 求 f ( t )
附录1 拉普拉斯变换
用经典方法求解微分方程时，要利用初 始条件确定积分时间常数，拉氏变换求 解微分方程可省去这一步，因为初始条 件已包含在拉氏变换中。若初始条件为 零，则将s代替微分算子 即可。
( 0 1)
拉氏变换的目的
1、将微分、积分、三角函数、滞后等时 域变量经过拉氏变换转换成象函数的分式 形式，进行计算、化简； 2、再将象函数分解后，反变换得到时域 变量。 3、也可由初值定理或终值定理直接求解 初值、终值。 使求解简便化。
拉氏变换应用举例
例1：计算R、L串联电路接通直流电压U后的响 应电流，设电感的初始电流为零。
单位抛物线函数的拉氏变换为：
㈣脉冲函数 脉冲函数的定义为： 脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽 无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽 度ε极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。脉冲函 数的积分，即脉冲的面积为：
当A=1时，即面积为1的脉冲函数 称为单位脉冲函数，记为δ（t）
δ (t)函数的图形如下图所示。脉冲函数的积分 就是阶跃函数。脉冲函数的拉氏变换为
若A=1,则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。 斜坡函数的拉氏变换为：
单位斜坡函数的拉氏变换为： R ( S ) 1 / S
2
㈢抛物线函数:抛物线函数也称 加速度函数，其定义为
输入抛物线函数相当于对于系统输入 一个随时间做等加速变化的信号，其 图形如图2-8所示。 若A=1/2,称之为单位抛物线函数。 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。 抛物线函数的拉氏变换为：
二、几种典型函数的拉氏变换
㈠阶跃函数：阶跃函数的定义是 对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量。其图形如 下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换
常用的拉氏变换法则（不作证明）
1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。 拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常
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数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即 L(af (t )) aF (s) 拉氏变换的叠加性是：若 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的拉氏变换分别是 F1 ( s) 和 F2 ( s) ，则有
s 2
2
cos t
s s 2
2
tn
1 (bebt ae at ) ba
n! s 1
n
s ( s a)( s b)
e at sin n t e at cos n t
n
( s a)2 n 2 sa ( s a)2 n 2
2 n 2 s 2 2n s n
1 ( s j ) t 1 ( s j ) t e dt e dt 0 2j 2 j 0 1 1 1 ( ) 2 j s j s j
s 2
2
同理求得余弦函数的拉氏变换为
L[cos t ] F (s)
s 2
2
lim e st 0
t
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附录1.1.2
单位脉冲函数的拉氏变换
单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。 它是在持续时间 0 期间内作用的矩形波， 0 t 和t 0, 其幅值与作用时间的乘积等于 1，如图 3-3 所示。其数学表达式为 (t ) 1 lim 0t 0 其拉氏变换为
L[ f n (t )] s n F (s)
图1
平移函数
3．积分定理
自动控制原理第一讲_拉氏变换
第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。
3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。
4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。
而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。
2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。
应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。
3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。
即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。
显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。
例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。
解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。
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附录1. 拉普拉斯变换附录1.1 拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3）()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2） 式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1 单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为 0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
其数学表达式为00, 0()1lim 0 t t t t εεδεε→>>⎧⎪=⎨<<⎪⎩和 其拉氏变换为0000220[()]()lim ()11lim[]lim [1]1 lim [1()]11!2!st st s L t s t e dte e ss s s s εεεεεεεδδδεεεεε-→--→→→===⨯=-=-++=⎰附录1.1.3 单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换单位斜坡时间函数为0,0(),0t f t t t <⎧=⎨>⎩如图3-2所示，斜坡时间函数的拉氏变换为022011()[]st st st t F s te dt e e s s s∞---∞==-+=⎰。
Re[]0s > 同理单位抛物线函数为21()2f t t =其拉氏变换为31()F s s =，Re[]0s >。
附录1.1.4 正弦和余弦时间函数的拉氏变换正弦函数的拉氏变换为00()()00221[sin ]()sin ()211 22111()2 st j tj t st s j t s j tL t F s te dt e e e dt je dt e dt j j j s j s j s ωωωωωωωωωω∞∞---∞∞---+===-=-=--+=+⎰⎰⎰⎰同理求得余弦函数的拉氏变换为22[cos ]()L t F s s ωωω==+常用的拉氏变换法则（不作证明）1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。
拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即(())()L af t aF s = 拉氏变换的叠加性是：若1()f t 和2()f t 的拉氏变换分别是1()F s 和2()F s ，则有1212[()()]()()L f t f t F s F s +=+2．微分定理 原函数的导数的拉氏变换为()()(0)df t L sF s f dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦式中 (0)f ——()f t 在0t =时的值。
同样，可得()f t 各阶导数的拉氏变换是222()()(0)'(0)d f t L s F s sf f dt ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦3323()()()'(0)''(0)d f t L s F s s f s sf f dt ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦121()()()'(0)(0)n n n n n nd f t L s F s s f s s f f dt ---⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为['()]()L f t sF s =2[''()]()L f t s F s = 3['''()]()L f t s F s =[()]()n n L f t s F s =图1 平移函数3．积分定理 原函数()f t 积分的拉氏变换为(())()()t f t dt F s L f t dt ss=⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 当初始值为零时()()F s L f t dt s⎡⎤=⎣⎦⎰ 4．时滞定理 如图A-1所示，原函数()f t 沿时间轴平移T ，平移后的函数为()f t T -。
该函数满足下述条件0t <时，()0f t = 0t T <<时，()0f t T -=则平移函数的拉氏变换为[()]()()st sT L f t T f t T e dt e F s ∞---=-=⎰这就是时滞定理。
5．初值定理 如果原函数()f t 的拉氏变换为()F s ，并且lim ()s sF s →∞存在，则时间函数()f t 的初值为lim ()lim ()t s f t sF s →→∞=表A-1 拉普拉斯变换对照表6．终值定理 如果原函数()f t 的拉氏变换为()F s ，并且()sF s 在s 平面得右半平面和虚轴上是解析的，则时间函数()f t 的稳态值可如下求得lim ()lim ()t s f t sF s →∞→=这一定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的。
但是，当()sF s 的极点的实部为正或等于零时，不能应用终值定理。
这一点必须注意。
在下面的例题中，还要说明。
例1 应用初值定理求21()(2)F s s =+的原函数()f t 的初始值(0)f 和'(0)f 。
(1) 求()0f 。
根据初值定理()()0lim s f sF s →∞=得()()210limlim0424s s sf s s s→∞→∞===+++(2) 求()0f '。
因为()()()()()2002sL f t sF s f f s '=-=-⎡⎤⎣⎦+将已求得的()00f =带入上式得()()22sL f t s '=⎡⎤⎣⎦+根据初值定理得()()210lim lim14421s s sf ss s s→∞→∞'===+++可以校核这一结果的正确性，由()()L F s f t -=⎡⎤⎣⎦得()2t f t te -=()200l i m 0t t f t e -→== ()2200lim 21t tt f e te --→'⎡⎤=-=⎣⎦例2 应用终值定理求()55t f t e -=-的终值。
因 ()()51F s s s =+所以得()()()05lim lim lim51t s s f t sF s s →∞→→===+也可以按下式求()f t 的终值()lim lim(55)5t t t f t e -→∞→∞=-=例3 应用终值定理()22F s s ωω=+原函数的终值，并用()sin f t t ω=的终值进行校核。
由于()22s sF s s ωω=+有两个极点在虚轴上，所以不能应用终值定理。
如用终值定理，则得()()220lim lim lim0t s s s f t sF s s ωω→∞→→===+这个结论是错误的，因为表1A -得知原函数为()sin f t t ω=，该函数为周期性的简谐振荡函数，没有终值。
7. 卷积和定理 如果时间函数()1f t 和()2f t 都满足条件：当0t <时，()()120f t f t ==则()1f t 和()2f t 的卷积为()()()()12120tf t f t f f t d τττ*=-⎰由于卷积符合交换律，卷积也可写成()()()()21210tf t f t f f t d τττ*=-⎰()()()()1221f t f t f t f t *=*如果()1f t 和()2f t 是可以进行拉氏变换的，()()11F s L f t =⎡⎤⎣⎦，()()22F s L f t =⎡⎤⎣⎦。
那么()()12f t f t *的拉氏变换可求得如下()()()()12120tL f f t d F s F s τττ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰ 这称为卷积定理。
根据卷积符合交换律得()()()()21210tL f f t d F s F s τττ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰ 因此()()()()()()()()12211221L f t f t L f t f t F s F s F s F s *=*==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦8. 位移性质 如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦，则有()()at L e f t F s a -⎡⎤=+⎣⎦，[]Re 0s a +>附录1.2 拉普拉斯反变换求反变换的运算公式是()()12c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰用上式求反变换显然是很复杂的，但是对与绝大多数控制系统，并不需要利用这一公式求解反变换，而是按照下面的方法求反变换。
在控制系统中，拉氏变换可以写成下列一般形式()10111011m m m mn n n nb s b s b s b F s a s a s a s b ----++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ ()3A -一般n m >。
式3A -可以分解为诸因式之积：()()()()()()()1212m n K s z s z s z F s s p s p s p ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()4A -式中当12, , , m s z s z s z =-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时，()0F s =。
因此，12, , , m z z z --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-称为复变函数()F s 的零点。
当12, , , n s p s p s p =-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时，()F s =∞，因此，12, , , n p p p --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-称为复变函数()F s 的极点。