一元一次不等式的含参问题
含参不等式
含参不等式知识互联网题型一：不等式（组）的基本解法典题精练【例1】 ⑴解不等式31423x x x +--+≤.⑵解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集⑶求不等式组2(2)43251x x x x --⎧⎨--⎩≤＜的整数解⑷解不等式组32215x x -<-<⑸解不等式组253473x x -<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2012年朝阳一模）题型二：含参数的不等式（组）思路导航对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，例题精讲【引例】⑴关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩无解集，则a ，b 的大小关系是 ．⑵关于x 的一次不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是 ．⑶关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是 ．⑷关于x 的一次不等式组x ax b ⎧⎨⎩≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是 ．典题精练【例2】 解关于x 的不等式：⑴+2a x b > ⑵13kx +>⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--⑸()212m x +< ⑹()25n x --<【例3】 ⑴不等式()123x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ．⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .⑶ 关于x 的不等式5ax >的解集为52x <-，则参数a 的值 .⑷ ①若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是 .②若不等式组3x x a >⎧⎨⎩≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .A ．3a ≤B ．3a =C ．3a >D ．3a ≥（北京二中期中考试）⑸已知关于x 的不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩≥≤无解，则a 的取值范围是 ．⑹已知关于x 的不等式组>053x a x -⎧⎨-⎩≥无解，则a 的取值范围是 ．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0521≥x a x -⎧⎨->⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥（北京五中期中考试）题型三：复杂的不等式（组）思路导航对于复杂的不等式可采用整体思想，例如，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解. 典题精练 解下列不等式：【例5】⑴ >2x ⑵ 3x ≤ ⑶ 14≤x -【例6】 解不等式⑴123≤≤x + ⑵235≥x x -++真题赏析【例7】 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．复习巩固题型一 不等式（组）的基本解法 巩固练习【练习1】 不等式组331482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1题型二 含参数的一元一次不等式（组） 巩固练习【练习2】 、a b 为参数，解不等式153bax x -<-+【练习3】⑴若不等式(2)2a x a-<-的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是.⑵若不等式组213xx a-<⎧⎨<⎩的解集是2x<，则a的取值范围是．⑶如果关于x的不等式组230≥≤xx m-⎧⎨⎩无解，则m的取值范围是.【练习4】⑴关于x的不等式组1532223xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a的取值范围是（）．A.1453a--≤≤ B.1453a-<-≤ C.145<3a--≤D．1453a-<<-⑵已知关于x的不等式组321≥x ax-⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a的取值范围是 .题型三复杂的不等式（组）巩固练习【练习5】解下列不等式：135x<-<。
含参不等式题型知识讲解
含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。
记住：“大小小大有解；大大小小无解。
”注：端点值格外考虑。
1：已知关于x 的不等式组3x x a>-⎧⎨<⎩。
(1)若此不等式组无解，求a 的取值范围，并利用数轴说明。
(2)若此不等式组有解，求a 的取值范围，并利用数轴说明2：如果关于x 的不等式组x a x b >⎧⎨<⎩无解，问不等式组11y a y b +≥⎧⎨+≤⎩的解集是怎样的?3、若关于x 的不等式组()202114x a x x->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。
4、已知关于x 的不等式组2113x x m-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则( ).2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a bC a bD a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-⎧⎨⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m<⎧⎨>⎩，有解，则m 的取值范围是__ ___。
8、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。
二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。
方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。
1：若关于x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。
2：已知关于x 的不等式组()324213x x a x x --≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是13x ≤<，求a 的值。
七年级数学下册题型突破提高类型八 一元一次不等式含参解集
类型八、一元一次不等式含参解集【解惑】若关于 x 的不等式ax b >的解集是25x <，则关于x 的不等式(2)0a b x a -+≥的解集是 ___________．方法：1.由关于x 的不等式ax b >的解集是25x <知a<0；2.且25b a =，即25b a =；3.据此将不等式(2)0a b x a -+≥变形为105ax a +≥，再移项、系数化为1即可．【融会贯通】1．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：2a b a b =-+▲，例如：232231=-⨯+=-▲．已知不等式2x k ≥▲的解集在数轴上如图所示，则k 的值是（ ）A ．2B ．－3C ．6D ．－42．关于x 的不等式ax b c +>的解集为x <3，则关于x 的不等式()2a x b c -+>的解集为（ ） A ．3x <B ．3x >C ．5x <D ．1x <3．不等式0ax b +>的解集为12x <，则关于x 的不等式bx a <的解集为________． 【知不足】1．已知a ，b 为常数，若ax ＋b ＞0的解集为x ＜15，则bx －a ＜0的解集是（ ）A ．x ＞－5B ．x ＜－5C ．x ＞5D ．x ＜52．若关于x 的不等式0mx n ->的解集是14x <，则关于x 的不等式nx n m mx ->+的解集是（ ） A ．53x <-B ．53x >-C ．53x <D ．53x >3．若不等式(2a －b )x ＋3a －4b ＜0的解集是x ＞94，则不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0的解集是_____．4．若x =3，y =b ；x =a ，y =112都是关于x ，y 的方程3x -2y =c 的解，且3a -2b =2c 2+2c -10，则关于x 的不等式c 2x -3a ＞10x +2b的解集是______________．【一览众山小】1．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集为x ＜2，则关于x 的不等式（m +n ）x ＞m ﹣n 的解集是（ ） A ．x<13B ．x>13C ．x<-13D ．x>-132．设a ，b 是常数，不等式10xa b +>的解集为14x <，则关于x 的不等式0-<bx a 的解集是________． 3．已知4x =是关于的方程0(0,0)kx b k b +=≠>的解，则关于x 的不等式(3)0k x b -+>的解集是_______． 4．已知关于x 的一元一次不等式20212021xa x +>的解集为2021x <，那么关于y 的一元一次不等式12021(1)2021yy a -<-+的解集为___________． 5.已知不等式0.40.90.030.020.50.032x x x m++-->的解集为9x <，求m 的值． 【温故为师】1．已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为13x <，则不等式bx ＋a ＜0的解集是______________．2．已知3x =是关于x 的方程0mx n +=（m ≠0，n ＞0）的解， 则关于x 的不等式(3)20m x n -+>的解集是_____． 3．关于x 的不等式()321a x -<的解集是132x a>-，则a 的取值范围是_____． 4．关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解集是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集． 5．已知不等式6x ﹣1＞2(x +m )﹣3 (1)若它的解集与不等式52x -+1＜x +3的解集相同，求m 的值； (2)若它的解都是不等式52x -+1＜x +3的解，求m 的取值范围． 6．已知关于x 的不等式155a xa x -<-． (1)当a ＝2022时，求此不等式解集． (2)a 为何值，该不等式有解，并求出其解集．7．我们定义，关于同一个未知数的不等式A 和B ，两个不等式的解集相同，则称A 与B 为同解不等式．(1)若关于x 的不等式A ：130x ->，不等式B ：312x a+<是同解不等式，求a 的值； (2)若关于x 的不等式C ：1x mn +>，不等式D ：3x m ->是同解不等式，其中m ，n 是正整数，求m ，n 的值； (3)若关于x 的不等式P ：(2)340a b x a b -+-<，不等式Q ：1417222x x ->-是同解不等式，试求关于x 的不等式(4)230a b x a b -+-<的解集．8．已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集为53x <- ，求关于x 的一元一次不等式0bx a ->的解集．答案与解析【融会贯通】1．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：2a b a b =-+▲，例如：232231=-⨯+=-▲．已知不等式2x k ≥▲的解集在数轴上如图所示，则k 的值是（ ）A ．2B ．－3C ．6D ．－42．关于x 的不等式ax b c +>的解集为x <3，则关于x 的不等式()2a x b c -+>的解集为（ ） A ．3x <B ．3x >C ．5x <D ．1x <3．不等式0ax b +>的解集为12x <，则关于x 的不等式bx a <的解集为________． 【答案】2x <-##2x ->【详解】解：0ax b +>，得ax b >-，不等式0ax b +>的解集为12x <， a 2a 【知不足】1．已知a ，b 为常数，若ax ＋b ＞0的解集为x ＜15，则bx －a ＜0的解集是（ ）A ．x ＞－5B ．x ＜－5C ．x ＞5D ．x ＜5【详解】 2．若关于x 的不等式0mx n ->的解集是14x <，则关于x 的不等式nx n m mx ->+的解集是（ ）A ．5x <-B ．5x >-C ．5x <D ．5x >3．若不等式(2a －b )x ＋3a －4b ＜0的解集是x ＞9，则不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0的解集是_____．4．若x =3，y =b ；x =a ，y =112都是关于x ，y 的方程3x -2y =c 的解，且3a -2b =2c 2+2c -10，则关于x 的不等式c 2x -3a ＞10x +2b的解集是______________．23【一览众山小】1．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集为x ＜2，则关于x 的不等式（m +n ）x ＞m ﹣n 的解集是（ ） A ．x<13B ．x>13C ．x<-13D ．x>-132．设a ，b 是常数，不等式10x a b +>的解集为14x <，则关于x 的不等式0-<bx a 的解集是________． 【答案】14x <-##x ＜-0.25【详解】解：10x a b+>，1,x ab 而解集为14x <， ,a xb 且1,4a b 10,4a b 0,b bx ，,bx a,axb即1,4x 3．已知4x =是关于的方程0(0,0)kx b k b +=≠>的解，则关于x 的不等式(3)0k x b -+>的解集是_______．【答案】7x <【详解】解：∵x =4是关于x 的方程kx +b =0（k ≠0，b ＞0）的解， ∴4k +b =0， 即b =-4k ＞0， ∴k ＜0， ∵k （x -3）+b ＞0， ∴kx -3k -4k ＞0， ∴kx ＞7k ， ∴x ＜7， 4．已知关于x 的一元一次不等式20212021xa x +>的解集为2021x <，那么关于y 的一元一次不等式12021(1)yy a -<-+的解集为___________． 【详解】解： 5.已知不等式0.40.90.030.020.50.032x x x m++-->的解集为9x <，求m 的值． ，不等式【温故为师】1．已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为1x <，则不等式bx ＋a ＜0的解集是______________．2．已知3x =是关于x 的方程0mx n +=（m ≠0，n ＞0）的解， 则关于x 的不等式(3)20m x n -+>的解集是_____． 【答案】9x <．【详解】解：∵3x =是关于x 的方程0mx n +=的解，∴30m n +=，即3n m =- ， ∵n ＞0，∴0m < ，∴关于x 的不等式(3)20m x n -+>可化为： ()(3)230-+⨯->m x m ， ∵0m < ，∴不等式两边同时除以m ，得：360--<x ，解得：9x < ． 3．关于x 的不等式()321a x -<的解集是132x a>-，则a 的取值范围是_____． 【详解】解：()32a x -4．关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解集是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集． 【详解】解：不等式(2该不等式的解集为是5．已知不等式6x ﹣1＞2(x +m )﹣3 (1)若它的解集与不等式52x -+1＜x +3的解集相同，求m 的值； (2)若它的解都是不等式5x -+1＜x +3的解，求m 的取值范围．6．已知关于x 的不等式155a xa x -<-． (1)当a ＝2022时，求此不等式解集． (2)a 为何值，该不等式有解，并求出其解集．7．我们定义，关于同一个未知数的不等式A 和B ，两个不等式的解集相同，则称A 与B 为同解不等式． (1)若关于x 的不等式A ：130x ->，不等式B ：312x a+<是同解不等式，求a 的值； (2)若关于x 的不等式C ：1x mn +>，不等式D ：3x m ->是同解不等式，其中m ，n 是正整数，求m ，n 的值； (3)若关于x 的不等式P ：(2)340a b x a b -+-<，不等式Q ：1417222x x ->-是同解不等式，试求关于x 的不等式(4)230a b x a b -+-<的解集．8．已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集为53x <- ，求关于x 的一元一次不等式0bx a ->的解集．。
一元一次不等式含参问题
一元一次不等式含参问题一元一次不等式含参问题类型一：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围。
例1：已知不等式组begin{cases}4x+2>3(x+a)\\2x>3(x-2)+5\\5x+2>3(x-1)end{cases}有3个整数解，则$m$的取值范围是什么？变式练1：已知不等式组，如果有3个整数解，则$m$的取值范围是什么？变式练2：已知关于$x$的不等式组，如果解集为$x>3$，则$a$的取值范围是什么？变式练3：已知关于$x$的不等式组begin{cases}4x+2>3(x+a)\\2x>3(x-2)+5\\5x+2>3(x-1)end{cases}如果只有4个整数解，则实数$a$的取值范围是什么？变式练4：已知关于$x$的不等式组begin{cases}3x\leq 8-x+2a\\22a\leq xend{cases}如果仅有4个整数解，则实数$a$的取值范围是什么？类型二：根据不等式组的解集确定字母的取值范围。
例2：已知关于$x$的不等式组无解，则$a$的取值范围是什么？变式练1：若关于$x$的不等式组有解，则实数$a$的取值范围是什么？变式练2：若不等式组的解集为$x>3$，则$a$的取值范围是什么？变式练3：若关于$x$的不等式组的解集为$x<2$，则$a$的取值范围是什么？变式练4：已知不等式组无解，则$a$的取值范围是什么？类型三：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围。
例3：已知方程组begin{cases}2x+y=1+3m\\x+2y=1-mend{cases}满足$x+y<2$，求$m$的取值范围。
变式练1：若关于$x,y$的二元一次方程组begin{cases}x+2y=4k\\2x+y=2k+1end{cases}的解满足$x+y<1$，则$a$的取值范围是什么？变式练2：已知关于$x$的不等式$1-a)x>3$的解集为$x<2$，则$a$的值为多少？变式练3：若不等式$3m-2x3$，则实数$m$的值为多少？变式练4：若不等式组的解集为$3\leq x\leq 4$，则不等式$ax+b<0$的解集为什么？综合练：1.关于$x$的一元一次不等式$7x-14\leq 0$的解集是什么？A。
人教版初中数学七年级下册第9章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题(专题课)教案
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式（组）含参专题——有、无解问题（专题课）教案核心素养：1.使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的理解，会用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围；2.培养学生探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，熟悉并掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决的能力；3.提升学生之间合作与交流以及对问题的探讨能力，从中发现数学的乐趣.【教学重难点】重点：含参一元一次不等式组的分类解法难点：1.一元一次不等式中字母参数的讨论2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围【教学过程】1.问题引导 合作交流出示问题：请同学们解下列两个不等式（1）x-2m<0，（2）x+m ＞3并思考m 的取值范围. 同学们不难得出不等式（1）的解为x ＜2m ；（2）的解为x ＞3-m.引导分析m 的取值范围. 师引导，生回答：任意实数.[问题1]如果将上述两个不等式联立成不等式组⎩⎨⎧>+<-302m x m x ,你能确定不等式组的解集吗？ 师提示学生画数轴 ，问：能画几种情况[问题2]如果这个不等式组无解，你能确定m 的取值范围吗？（学生分组讨论）（借助数轴）师生一起分析：如果不等式组无解，则2m ＜3-m ，解得m ＜1。
确定一下“＜”要不要添加“=”（这是参数取值问题中的难点）学生借助数轴讨论.师生总结：2m 和3-m 在两个不等式的解中都不包含，所以2m 可以等于3-m ，即m ≤1.2.变式拓展 强化理解变式1：若不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 无解，这时m 的取值会有变化吗？解不等式①得x ≤2m 解不等式②得x ＞3-m（学生分组探究）引导：虽然第一个不等式“＜”改成“≤”通过数轴可以看到由于和第二个不等式的解集不包含3-m ，所以2m ≤3-m ，m 的取值范围仍然是m ≤1.变式2：如果不等式组变化为⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x ，这时m 的取值又会有改变吗？（学生分组探究）由于两个不等式都含有等号，这时2m 和3-m 可能是公共点，而要想使不等式组无解，2m 和3-m 不能重合，只能2m ＜3-m ，所以m 不能等于1，即m ＜1.3.问题反转[问题3]如果不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 有解，怎样确定 m 的取值范围？把两个不等式的解集在数轴上表示出，同学们观察数轴 ，不难得出要想使不等式组有解，只要2m ≥3-m ，即m ≥1这样两个不等式的解集有公共部分，不等式组有解，所以m 的取值范围m ≥14.方法小结 归纳步骤解含参一元一次不等式（组）有、无解问题时注意掌握四个步骤:一解 .解不等式组，用参数分别表示出两个不等式的解集；二画.借助数轴进行视觉观察，画出有无解的情况；三验：验证端点取舍判断等号是否可取；四：列出不等式，确定取值范围5，拓展演练 题型再变[问题4]下面这种类型的一元一次不等式组如何确定字母参数取值范围？例：已知不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-②①22-10x x a x 的解集是x ＞1，求a 的取值范围？学生分组解出每个不等式的解集：解①得：x ≥a 解②得：x ＞1因为不等式的解集是x ＞1，（学生分组探讨）：a 的位置在数轴上应该在哪个位置？ 分析得出：a 在数轴上的位置应该在1的左侧.把不等式组的解集在数轴上表示出来：即a ＜1，[思考3]a 可不可以等于1？因为a=1时不等式组的解集仍然是x ＞1.所以a 可以等于1，即a 的取值范围a ≤15.基础过关1.若不等式组⎩⎨⎧≤≥-m x x 062 无解，求m 的取值范围? 2.若不等式组⎩⎨⎧>+<--xx a x x 422)2(3有解，求a 的取值范围?3.若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1137m x x x 的解集是x ＞3，求m 的取值范围?。
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一元一次不等式组含参问题是指在一元一次不等式组中引入一个或多个参数，求解参数使得不等式组成立或不成立的问题。
解决这类问题的一般方法是通过对参数的取值范围进行讨论，将不等式系统转化为关于参数的方程或不等式，然后解方程或不等式来确定参数的取值范围。
下面通过几个例子来说明如何解决一元一次不等式组含参问题。
【例1】求参数m的取值范围，使得不等式组 3x - 2 < mx + 1和 2x + 3 < 4m + 1 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数m的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
将不等式组化简得到：3x - mx < 3 + 2 和 2x - 4m < -2。
化简后的不等式组可以写成关于参数m的方程组：3 - m > 0和 -4m - 2 < 2x。
解这个方程组可以得到参数m的取值范围。
对不等式3 - m > 0，我们可以将m移到左边得到m < 3。
因此，参数m的取值范围是m < 3。
这是因为当m小于3时，不等式3 - m > 0成立。
对于不等式-4m - 2 < 2x，我们可以将m移到右边得到2x > -4m - 2，再除以2得到x > -2m - 1。
这说明在参数m小于3时，也必须满足x > -2m - 1，才能使得不等式组成立。
综上所述，参数m的取值范围是m < 3，并且在这个范围内，x > -2m - 1。
【例2】求参数a的取值范围，使得不等式组 2x + a - 1 < 3 和5 - 3x < 2a 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数a的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
化简不等式组得到：a + 2x < 4 和 3x + 5 < 2a。
化简后的不等式组可以写成关于参数a的方程组：a - 4 < -2x和 2a - 3x > 5。
2023浙教版八上数学期末专题复习 含参一元一次不等式专练
含参一元一次不等式专练一、选择题1.已知关于x 的不等式(4)4a x a -<-的解集为1x <-，则a 的取值范围是（ ） A ．4a >B ．4a ≠C ．4a <D ．4a2．已知不等式组2＜x ﹣1＜4的解都是关于x 的一次不等式3x ≤2a ﹣1的解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤5B ．a ＜5C ．a ≥8D ．a ＞83．不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解是x ＞a ，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a =3C ．a ＞3D ．a ≥34．不等式组53351x x x a -<+⎧⎨<+⎩的解集为4x <，则a 满足的条件是（ ）A ．a 3<B ．3a =C ．3a ≤D ．3a ≥5．若不等式组有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣2B ．a≥﹣2C ．a ＜﹣2D ．a ＞﹣26.已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是（ ） A ．34m <B ．34m <C ．811m <D ．811m <7．整数a 使得关于x 的不等式组6202()3x x a x ->⎧⎨+≥+⎩至少有4个整数解，且关于y 的方程1﹣3（y ﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a 的个数是（ ） A ．6个B ．5个C ．3个D ．2个8．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．关于x 的不等式组3420x ax -<⎧⎨->⎩有3个正整数解，且关于x 方程2x ﹣a ＝2有整数解，则满足条件的所有整数a 的值之和为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．3910．如果关于x的不等式组2030x ax b-≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有2x=、3x=，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(,)a b共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个11．如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组31252130ya y+⎧≤⎪⎨⎪+-≤⎩有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．612．有两个正数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．6个B．5个C．4个D．3个二、填空题13.若不等式组x bx a-<⎧⎨+>⎩的解集为23x-<<．则关于x、y的方程组521ax yx by+=⎧⎨-=⎩的解为_____________．14．已知关于x、y的二元一次方程组253x y ax y a+=⎧⎨-=+⎩的解满足x＞y，且关于x的不等式组213147212xx a-⎧≥⎪⎨⎪+⎩＜无解，那么所有符合条件的整数a的和为_____．15．若不等式组240xx m->⎧⎨<⎩无解，则m的取值范围是______．16．一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长x是不等式组212357213x xx x⎧-+⎪⎨⎪->+⎩的正整数解．则第三边的长为：______．17．已知不等式组32,152,33x a xx x+<⎧⎪⎨-<+⎪⎩有解但没有整数解，则a的取值范围为_____．18．关于x的不等式组1(25)131(3)2x xx x a⎧+>+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩的所有整数解的和为﹣5，则a的取值范围是_____．nm19．关于x 的不等式组23112x a x x -+<⎧⎪⎨-+⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是_______．20．定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．21．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．22．对于实数x ，y 规定“x △y ＝ax ﹣by （a ，b 为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3（1）a +b ＝___．（2）已知m 是实数，若2△（﹣m ）≥0，则m 的最大值是 ___． 三、解答题23．关于x 、y 的方程组731x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解满足0x <，0y >．求a 的取值范围．24．对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．25．阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x 的取值范围．b a -a x b ≤≤x 0230x a x a +≥⎧⎨-+≤⎩x ()x n 0.50.5n x n -≤<+()x n =()1.341=()4.865=()0.516x -=x x y (,)()(3)F x y ax by x y =++a b (1,1)44F a b =+(3,1)0F =(0,1)9F =-a b F (31,)(6,12)27F t t kF t t +≥⎧⎨-<⎩1k ,a b min{,}a b a b <min{,}a b a =a b min{,}a b b =min{4,2}2,min{5,5}5-=-=min{1,3}-=2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭26．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为2＜3＜5，所以，称方程为不等式组的关联方程．（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）。
第03讲 含参数一元一次不等式(组)(教师版)A4
含参数一元一次不等式（组）含参数一元一次不等式（组）一．含参一元一次不等式（组）含字母系数的一次不等式（组）：未知数的系数含有字母或常数项含有字母一次不等式（组）． 任何一个含有字母系数的一元一次不等式都可以化为ax b >的一般形式，在这个形式中：若0a >，那么ax b >的解为b x a >；若0a <，那么ax b >的解为b x a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解，当0b <时，ax b >的解为任何实数．一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合．三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．知识图谱知识精讲三点剖析题模精讲题模一：解含参一元一次不等式（组）例1.1.1 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >- 【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >- 例1.1.2 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x > 【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩． 当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+． 当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x > 题模二：参数与解集之间的关系例1.2.1 例若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩有解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 4a >【解析】 由3(2)2x x --<得2x >，由24a x x +>得12x a <，因为不等式组有解，所以122a >，解得4a >．题模三：整数解问题例1.3.1 已知关于x 的不等式40x a -≤只有四个正整数解1、2、3、4，求正数a 的取值范围．【答案】 1620a ≤<【解析】 解不等式得4a x ≥又因为有且只有4个正整数解，故45a <⨯且44a ≥⨯1620a ∴≤<例1.3.2 已知不等式组221x a x b ->⎧⎨+<⎩的整数解只有5、6，求a 和b 的范围 【答案】 23a ≤<，1315b <≤【解析】 解不等式组得212x a b x >+⎧⎪⎨-<⎪⎩，因为整数解只有5、6，所以425a ≤+<，1672b -<≤，故23a ≤<，1315b <≤．题模四：不等式与方程的综合例1.4.1 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤≤，求x 的取值范围．【答案】 23x -≤≤【解析】 由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤≤，所以31216423x x -+≤≤，解得23x -≤≤．例1.4.2 求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围． 【答案】 572m << 【解析】 解原方程组得725x m y m =-+⎧⎨=-⎩，由x 、y 都是正数可得70250m m -+>⎧⎨->⎩，解得572m <<例 1.4.3 已知非负数x 、y 、z 满足123234x y z ---==，设345w x y z =++，求w 的最大值与最小值．【答案】 最大值1063，最小值19 【解析】 设123234x y z k ---===，则21x k =+，23y k =-，43z k =+，所以1426w k =+，又因为x 、y 、z 都是非负数，所以210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得1223k -≤≤，当23k =时，w 取最大值1063，当12k =-时，w 取最小值19随堂练习随练1.1 已知不等式424233x x a +<-（x 是未知数）的解也是不等式12162x -<的解，求a 的取值范围．【答案】 7a ≥-【解析】 由12162x -<得1x >-，由424233x x a +<-得6x a >+，由题意得61a +≥-，故7a ≥- 随练1.2 若关于x 的不等式0mx n ->的解集是15x <，则关于x 的不等式()m n x n m +>-的解集是（ ） A ． 23x <- B ． 23x >- C ． 23x < D ． 23x > 【答案】A 【解析】 该题考查的是含参的不等式．∵关于x 的不等式0mx >的解集是15x <，， ∴0m <，15n m =， ∴解关于x 的不等式()m n x n m +>-得，n m x n m -<+， ∴55253n x n n -<=-+， 故答案是A ．随练1.3 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．随练1.4 当k 满足___________时，方程组24x y k x y +=⎧⎨-=⎩中x 大于1，y 小于1 【答案】 13k -<<【解析】 由24x y k x y +=⎧⎨-=⎩可得22x k y k =+⎧⎨=-⎩，所以2121k k +>⎧⎨-<⎩，解得13k -<<． 随练1.5 若关于x 的不等式423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩的解集为x ＜2，则a 的取值范围是____． 【答案】 a≤-2【解析】 本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集得出关于a 的不等式，题目比较好，难度不大．根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律得出-a≥2，求出即可． 423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩①②， 解不等式①得：x ＜2，解不等式①得：x ＜-a ，①不等式组的解集是x ＜2，①-a≥2，①a≤-2，故答案为：a≤-2随练1.6 已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解都为正数 （1）求a 的取值范围（2）化简454a a +--【答案】 （1）544a -<<（2）51a + 【解析】 先把a 看作常数，解方程组得454x a y a =+⎧⎨=-+⎩，由方程组的解都为正数可得45040a a +>⎧⎨-+>⎩，解得544a -<<，由45040a a +>⎧⎨-+>⎩可得4545a a +=+，44a a -=-，故45451a a a +--=+随练1.7 若关于x 的不等式0721x m x ⎧-<⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ）A ． 6＜m ＜7B ． 6≤m ＜7C ． 6≤m ≤7D ． 6＜m ≤7【答案】D 【解析】 本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m 的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围．由（1）得，x ＜m ，由（2）得，x≥3，故原不等式组的解集为：3≤x ＜m ，①不等式的正整数解有4个，①其整数解应为：3、4、5、6，①m 的取值范围是6＜m≤7．故选D ．随练1.8 已知关于x 的不等式组4(1)23617x x x a x -+>⎧⎪-⎨-<⎪⎩有且只有三个整数解，求a 的取值范围．【答案】 1≤a ＜2【解析】解不等式4（x -1）+2＞3x ，得：x ＞2，解不等式x -1＜67x a -，得：x ＜7-a ， ①此不等式组有且只有三个整数解，①这三个整数解为3，4，5，①5＜7-a≤6，解得1≤a ＜2．①实数a 的取值范围是1≤a ＜2．随练1.9 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤<，求x 的取值范围．【答案】 23x -<≤【解析】 由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤<，所以31216423x x -+≤<，解得23x -<≤自我总结拓展1 若关于x 的不等式21a x ->的解集是1x <，则a 的值是（ ）A ． 1a =B ． 1a >C ． 1a <D ． 1a =-【答案】A【解析】 该题考查的是含参数的不等式．∵21a x ->，∴21x a <-，∵1x <，∴211a -=，解得1a =．故答案是A ．拓展2 10．（3分）（2016•江西校级模拟）已知关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，则a 的取值范围是_____________．【答案】 a ≤1【解析】 由关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，得 a ≤1，拓展3 若关于x 的不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是__________．能力拓展【答案】 2a ≤【解析】 由题意可知232a a +≥-，解得2a ≤拓展4 若不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x ≤4，则不等式ax+b ＜0的解集为____． 【答案】 x ＞32【解析】200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩①② ①解不等式①得：x≥2b ， 解不等式①得：x≤-a ，①不等式组的解集为：2b ≤x≤-a ， ①不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x≤4， ①2b =3，-a=4， b=6，a=-4， ①-4x+6＜0，x ＞32， 故答案为：x ＞32拓展5 如果方程组32335x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且9k ≤时，求x y -的取值范围 【答案】 8x y -≤【解析】 由原方程组可得()222x y k -=-，所以1x y k -=-，由9k ≤得8x y -≤拓展6 若关于x 的不等式组430x x m -≥⎧⎨≥⎩有2个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ． 1m >- B ． 0m ≥ C ． 10m -<≤ D ． 10m -≤≤【答案】C【解析】 该题考察的是一元一次不等式组的整数解．解不等式430x -≥得43x ≤，故不等式组的解集为：43m x ≤≤， 因为不等式组只有2个整数解， 所以这两个整数解为：0，1，因此实数m 的取值范围是10m -<≤． 故选答案是C ．拓展7 关于x 的不等式组232x a x a <+⎧⎨≥-⎩只有非负数解，求a 的取值范围． 【答案】 223a ≤< 【解析】 232320a a a +>-⎧⎨-≥⎩． 223a ∴≤<拓展8 适当选择a 的取值范围，使1.7x a <<的整数解：（1）x 只有一个整数解（2）x 一个整数解也没有【答案】 （1）23a <≤（2）1.72a <≤【解析】 （1）由1.7x a <<，x 只有一个整数解，即2x =，得到23a <≤；（2）由1.7x a <<，x 一个整数解也没有得到1.72a <≤．拓展9 已知关于x ，y ，z 的方程组212325x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩满足524x y ≥⎧⎨≤<⎩，求3S x y z =+-的取值范围． 【答案】 41115S ≤< 【解析】 解方程组得到417527z x z y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据题意415752247z z -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩，解得1665z ≤<，而5S z =+．。
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《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计
教材分析：本章内容在学习了《一元一次方程》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。
上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。
教学目标：
（1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。
（2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。
（3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。
学习重点：
（1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。
（2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。
学习难点：
（1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。
（2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。
教学难教学难点突破办法：
（1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。
（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。
教学准备（预习学案）
1、⑴不等式组⎩
⎨⎧-≥>12x x 的解集是 . ⑵不等式组⎩⎨⎧-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组⎩⎨⎧≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组⎩⎨⎧-≤>4
5x x 的解集是 .
2、关于x 的不等式组12x m x m >->+⎧⎨⎩
的解集是1x >-，则m = ． 3、如图是表示某个不等式组的解集，则该不等式组的整数解的个数是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4、不等式组⎩
⎨⎧--≤-.32,281x ＞x x 的最小整数解是（ ） A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3
5、满足21≤<-x 的所有整数为___________ __.
6、满足21≤≤-x 的所有整数为________________ __.
7、请写出一个只含有三个整数1、2和3的解集为 。
预习要求：
1、复习上节课的知识，考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度， 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集：同大取大；同小取小；大小小大（大于较小的数，小于较大的数）在中间；大大小小（大于较大的数，小于较小的数）不存在.
2、根据不等式组的解集，结合数轴，能找出满足条件的解（如整数解），并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别，为本节课的拓展应用打下基础。
教学步骤：
一、例题教学
例1、
1、关于x 的不等式3m-x<5的解集x>2,求m 的值。
2、不等式 mx-2<3x+4的解集是 ， 则m 的取值范围是
变式1.如果不等式（m ﹣2）x ＞m ﹣2的解集为x ＜1，那么（ ）
A ．m≠2 B．m ＞2
C ．m ＜2
D ．m 为任意有理数
例2、处理预习学案5、6、7
若不等式组 的解集是x ≤ a ，则a 的取值范围是( )
A 、a<3
B 、a=3
C 、a≤3
D 、a≠3
变式3：关于x 的不等式组010x a x ->⎧⎨->⎩
，只有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A. －3≤a ≤－2 B. －3≤a ＜－2 C. －3＜a ≤－2 D. －3＜a ＜－2
例3、拓展应用
（1）若不等式组12x x m <≤⎧⎨>⎩
有解，则m 的取值范围是（ ）． A ．m<2 B ．m≥2 C ．m<1 D ．1≤m<2
（2）不等式组⎩⎨⎧<->-1
0a x a x 的解集中的任一个x 值均不在2≤x ≤5范围内，则a 的范围
为 。
设计目的：考察两个不等式的解集之间的关系，（1）说明两个解集有公共部分，（2）
说明两个解集没有公共部分。
结合图形，运用数轴分析法，指出解决问题的一般方法：先在数轴上确定不等式的解集的大概位置，再确定不等式的两个基点是否能取到（等号问题）。
二、本节课小结：
1、学生谈本节收获：优等生谈重点学到什么知识，上进生谈体会。
2、教师小结：这节课主要学习了含参数的不等式组的解集问题，在解决问题中体现出数形结合、分类讨论的数学思想的重要应用，要好好体会。
三、当堂反馈：
1、不等式组2131x x -<⎧⎨≥-⎩
的解集是（ ） A.2x < B.1-≥x C.12x -≤< D ．无解
⎩⎨⎧≤≤a
x x 3
2、已知a b <<0，那么下列不等式组中有解的是 （ ）
A ．⎩⎨⎧<>b x a x
B ．⎩⎨⎧-<->b x a x
C ．⎩⎨⎧-<>b x a x
D ．⎩⎨⎧>-<b
x a x
3、已知不等式组⎩
⎨⎧<>a x x 1无解，则a 的取值范围是（ ） A .a ≤1 B .a ≥1 C . a <1 D .a ＞1
4、不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是
5、若不等式组⎩⎨
⎧<->-3212m x m x 的解集中的任何一个x 值均不在1≤x<3范围内，则m 的取值范围为 .
四、布置作业：见作业本
设计要求：为了让不同的人有不同的收获，我把作业分为选做题和必做题。
优等生做基础和提高题，上进生做基础题，达到分层教学的目的。