三角函数图象的对称性
三角函数的像对称性与对称轴分析
三角函数的像对称性与对称轴分析三角函数是数学中常见的函数类型之一，它包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
其中，正弦函数和余弦函数在图像上展现出像对称性，并且在对称轴上具有特殊的性质。
本文将着重分析三角函数的像对称性以及对称轴的特点。
一、正弦函数的像对称性与对称轴分析正弦函数的表达式为：y = sin(x)。
我们可以通过对其图像进行观察来探究其像对称性和对称轴的情况。
1. 像对称性观察正弦函数的图像，我们可以发现它在原点（0,0）处具有像对称性。
即，对于任意实数a，都有sin(-a) = -sin(a)。
这意味着，如果一个角度a使得sin(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得sin(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性在数学运算和图像分析中具有重要的作用。
2. 对称轴正弦函数的图像相对于x轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将正弦函数的图像沿着x轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，x轴即为正弦函数的对称轴。
二、余弦函数的像对称性与对称轴分析余弦函数的表达式为：y = cos(x)。
我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其像对称性和对称轴的特点。
1. 像对称性余弦函数也具有像对称性，即对于任意实数a，都有cos(-a) = cos(a)。
如果一个角度a使得cos(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得cos(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性与正弦函数的像对称性相似，可以在数学运算和图像分析中发挥重要作用。
2. 对称轴余弦函数的图像相对于y轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将余弦函数的图像沿着y轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，y轴即为余弦函数的对称轴。
三、三角函数的常见性质除了像对称性和对称轴这两个特点之外，三角函数还具有其他一些常见的性质。
以下列举其中几个重要的性质：1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期都是2π。
三角函数的对称性、中心对称
4.已知函数
π
x＝6对称，则 φ＝(
C
)
π
A．－6
π
B.6
π
C．－3
π
D.3
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
解析：函数
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
π
x＝6对称，则
法一：由2
（x ） k，k Z
法二 : f (0) sin 2 0
k
对称中心( ,0)
2
2 k，k Z
k
由 0，
0
2
2
2
[变式]若函数y sin(2 x )( 0 )是R上的偶函数, 则 ___ .
3 4
2------------
3
2w
3
得w .
2
2w
...........-2
2w
融会贯通：
函数f ( x) 2 cos wx( w 0)在[0, ]上单调, 求w的范围.
3
7 1
k＝1 时，m＝14＝2，
13
k＝2 时，m＝14.
求三角函数对称轴和对称中心的方法
对于函数 y＝sin(ωx＋φ)(或 y＝cos(ωx＋φ))的图象的对称性，应将 ωx＋φ
看成一个整体，利用整体代入思想，令 ωx＋φ 等于
π
三角函数的周期与对称性
三角函数的周期与对称性三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。
在研究三角函数时，周期与对称性是两个重要的性质。
本文将讨论三角函数的周期与对称性，并且给出相关的定义和性质。
一、三角函数的周期1. 正弦函数的周期正弦函数是最基本的三角函数之一，在数学中用符号sin(x)表示。
正弦函数具有周期性，即它的函数值在一定的间隔内反复变化。
正弦函数的周期是2π（或360度），即sin(x+2π) = sin(x)。
这意味着当自变量x增加2π时，正弦函数的值会重复。
2. 余弦函数的周期余弦函数也是常见的三角函数，用符号cos(x)表示。
余弦函数同样具有周期性，其周期也是2π。
也就是说，当自变量x增加一个周期的长度，余弦函数的值会重新开始。
3. 正切函数的周期正切函数是tan(x)，它的周期是π（或180度）。
当自变量x增加π时，正切函数的值会重新开始。
4. 正割、余割和余切函数的周期正割函数(sec(x))，余割函数(csc(x))和余切函数(cot(x))的周期与它们的倒数函数的周期相同。
这意味着它们的周期分别是2π、2π和π。
二、三角函数的对称性1. 正弦函数的对称性正弦函数具有奇对称性。
也就是说，对于任何实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
这表示正弦函数以坐标原点为对称中心呈现镜像对称。
2. 余弦函数的对称性余弦函数具有偶对称性。
对于任何实数x，有cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数以y轴为对称中心呈现轴对称。
3. 正切函数的对称性正切函数具有周期性和奇对称性。
即tan(-x) = -tan(x)，而且tan(x+π) = tan(x)。
这表示正切函数以坐标原点和间隔为π的位置为对称中心，可以同时看作奇对称和周期性的体现。
4. 正割、余割和余切函数的对称性正割函数、余割函数和余切函数的对称性与它们的倒数函数的对称性相同。
正割函数具有偶对称性，余割函数具有奇对称性，余切函数具有周期性和奇对称性。
三角函数对称性问题
1．(教材改编题)y＝sin(x－π4)的图象的一个对称中心是( )
A．(－π，0)
B．(－34π，0)
C．(34π，0)
D．(π2，0)
【解析】 令 x－π4＝kπ，∴x＝kπ＋π4，k∈Z. 令 k＝－1，得 x＝－43π，y＝0.
【答案】 B
三角函数的对称性
例3
作业： 求函数y sin( 1 x )的对称中心和对称轴
y=cosx的图象对称中y 心为：(k
2
，0 )， k
Z.
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例5、y sin(2x 5 )的一条对称轴是（ C ）
4
A、x B、x C、x D、x 5
2
4
8
4
该函数的对称中心为
( k
2
，0)，k Z
8
.
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
C.x
12
y
D.x 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为
三角函数诱导公式和函数的对称性
三角函数诱导公式和函数的对称性作者：宋英来源：《新课程·教师》2016年第01期三角函数的诱导公式我们比较熟悉，但对一些公式所反映的对称性并不熟悉。
下面我们来看看函数的对称轴和对称中心吧。
一、轴对称定理一如果函数y=f（x）满足f（x+a）=f（x-a）或f（x）=f（2a-x），函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。
证明：设函数y=f（x）的图象上的任意一点为P（x，y），点P关于直线x=a的对称点p （2a-x，y），显然有y=f（x）。
说明点p（2a-x，y）也在函数的图象上。
由点P的任意性，说明函数y=f（x）图象关于直线x=a对称。
例如：三角函数诱导公式cos（2kπ-x）=cosx，k∈Z，函数y=cosx的图象对称轴为x=kπ，k∈Z；sin（2kπ+π-x）=sinx，k∈Z，函数y=sinx的图象对称轴为x=kπ+ ，k∈Z。
二、中心对称定理二如果函数y=f（x）满足y=f（2a-x）=-f（x）或=f（a-x）=-f（a+x）函数y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称。
证明：设函数y=f（x）的图象上的任意一点为P（x，y），点P关于点（a，0）的对称点p（2a-x，-y）由f（2a-x）=-f（x），则-y=f（2a-x）说明点p（2a-x，-y）也在函数y=f（x）的图象上。
点P的任意性，说明函数y=f（x）图象关于点（a，0）成中心对称。
例如：三角函数诱导公式sin（2kπ-x）=-sinx，k∈Z就说明y=sinx的函数图象关于点（a，0）成中心对称；由cos（2kπ+π-x）=-cosx，k∈Z，说明函数y=cosx图象关于点（kπ+ ，0）成中心对称。
应用上述结论就比较容易解决人教版数学必修四教材第70页的第17题：1.用描点法画出函数y=sinx，x∈0，的图象。
2.如何根据第1小题并应用正弦函数的性质得出函数y=sinx，x∈0，2π的图象？编辑温雪莲。
例析三角函数对称性的两个结论的应用(1)
龙源期刊网
例析三角函数对称性的两个结论的应用
作者：曾晓阳
来源：《数理化学习·高三版》2013年第08期
三角函数的对称性是其一个重要的性质，是高考考查的热点之一.本文通过三角函数的图
象给出两个简单有效的结论，以期能方便广大的读者理解和掌握相关的知识.
由正、余弦函数和正切函数的图象很容易得到以下两个重要的结论：
1.正、余弦函数在对称轴处取得最值，在对称中心处取得零值；
2.正切函数在对称中心处取得零值或其值不存在.
在应用以上两个结论时，往往最关键的是能找到所取三角函数值时对应的角α，我们可以借助三角函数线的概念简单地利用坐标系来表示它们之间的关系，如图1所示：
在解决三角函数有关对称性和奇偶性问题时，若能充分应用这两个结论及相应坐标系来处理角，可轻易达到目的.
一、在对称性问题中的应用
在处理三角函数对称性问题时，常碰到的是形如y=Asin（ωx+φ）的复合型函数，应用本文两个结论求解时只要将角ωx+φ看成整体.
二、在奇偶性问题中的应用
由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以三角函数的奇偶性问题完全可转化为三角函数的对称性问题来加以解决，“一法多用”可使得知识的掌握更为简单明了.
[福建省惠安第三中学（362100） ]。
三角函数的性质对称性与单调性
03
三角函数的基本图像
正弦函数图像
1
正弦函数图像是周期函数，其周期为$2pi$。
2
正弦函数图像在$[0, pi]$区间内是单调递增的， 而在$[pi, 2pi]$区间内是单调递减的。
3
正弦函数图像关于直线$y = 0$对称，也即关于 原点对称。
余弦函数图像
余弦函数图像也是周期函数， 其周期为$2pi$。
在统计学中，三角函数用于描述数据的分布和变化规 律，如正态分布、泊松分布等。
计量经济学
在计量经济学中，三角函数用于建立经济模型和进行 预测分析，如时间序列分析、回归分析等。
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三角函数的有界性
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界函数， 其值域分别为[-1,1]。
有界性的应用
有界性是三角函数的一个重要性质，在解决 三角函数的值域、最值等问题中有着重要的 应用。
02
三角函数的对称性
轴对称
总结词
三角函数的图像关于y轴对称，这是由于三角函数的定义和性 质决定的。
振动与波动
三角函数在描述简谐振动和波动 问题时也经常用到，例如振幅、 相位、频率等参数都可以用三角 函数来表示。
电磁波
在研究电磁波的传播和辐射时， 三角函数也扮演着重要的角色， 如电磁波的极化、偏振等现象都 可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
01
机械振动
在机械工程中，三角函数被广泛 应用于描述各种振动现象，如弹 簧振荡、阻尼振荡等。
详细描述
三角函数在数学中有着广泛的应用，它们的图像具有特定的 对称性。例如，正弦函数和余弦函数的图像都是关于y轴对称 的。这种对称性是由三角函数的定义和性质决定的，对于理 解三角函数的性质和行为非常重要。
三角函数的对称轴
三角函数的对称轴
对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈Z对称。
正弦函数是三角函数的一种。
对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
定义域
实数集r，可以扩展到复数集c
值域
[-1，1]（正弦函数有界性的彰显）
最值和零点
①最大值：当x=2kπ (π/2)，k∈z时，y(max)=1
②最小值：当x=2kπ (3π/2)，k∈z时，y(min)=-1
零值点：(kπ，0)，k∈z
对称性
1)对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈z等距
2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈z对称
周期性
最小正周期：2π
奇偶性
奇函数(其图象关于原点对称)
单调性
在[-(π/2) 2kπ,(π/2) 2kπ]，k∈z上是增函数
在[(π/2) 2kπ,(3π/2) 2kπ]，k∈z上就是减至函数
对称轴和对称中心求法
正弦函数存有最基本的公式：y=asin(wx ψ)，对称轴(wx ψ)=kπ ?π（k∈z），对称中心(wx ψ)=kπ （k∈z），求出x即可。
例子：y=sin(2x-π/3)，求对称轴和对称中心
对称轴：2x-π/3=kπ π/2，x=kπ/2 5π/12
对称中心：2x-π/3=kπ，x=kπ/2 π/6，对称中心为(kπ/2 π/6,0)。
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三角函数图象的对称性质及其应用
观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性 ，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。
为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。
一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形
性质1、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；
)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得
2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ω
ϕπ22)12(-+=
k x ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ22)12(-+=k x ； )cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=
k x ，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕ
π-=k x 。
例1、函数)62sin(3π+
=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+π
x 得262π
ππ
+=+k x )(Z k ∈，即
62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，3
2π=x ，故选（B ）。
例2、函数)3
3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解：由性质1知， 令1)33cos(±=+π
x 得ππ
k x =+33)(Z k ∈，即
93ππ-=
k x )(Z k ∈，所以)3
3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9
3ππ-=k x )(Z k ∈。
二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(
ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；
)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=
k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕ
π-k )(Z k ∈成中心对称；
)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得
2
ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ω
ϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称； 例3、函数)6
2sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是（ ） （A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6
(π 解：由性质2知，令0)62sin(=-πx 得ππk x =-62)(Z k ∈，即122ππ+=k x )(Z k ∈，取0=k 时，12
π=x ，故选（A ）。
例4、函数)8
21cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 解：由性质2知， 令0)821cos(=-πx 得2
821πππ+=-k x )(Z k ∈，即452ππ+=k x )(Z k ∈，所以函数)8
21cos(2π-=x y 的图象的对称中心是)0,4
52(ππ+k )(Z k ∈。
三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 性质3、函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；
)tan(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)tan(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=
k x ，所以函数)tan(ϕω+=x A y 的图象关于点
)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；
)cot(ϕω+=x A y 对称中心求法是：令0)cot(=+ϕωx ，得2π
πϕω+=+k x )(Z k ∈，则ω
ϕπ22)12(-+=k x ，所以函数)cot(ϕω+=x A y 的图
象关于点)0,22)12((ωϕ
π-+k )(Z k ∈成中心对称； 例5、求函数)32tan(3π
+=x y 的对称中心的坐标。
解：由性质3知， 令0)32tan(=+π
x 得ππ
k x =+32)(Z k ∈，即
62π
π-=k
x )(Z k ∈，所以函数)32tan(3π
+=x y 的图象的对称中心是
)0,62(π
π-k
)(Z k ∈。