高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷十答案
2020—2021年新高考总复习数学(理)第二次高考模拟冲刺卷及答案解析.docx
2019年二模突破冲刺交流试卷（01）高三数学（理）一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(2)5i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i=-),则复数z 的共轭复数在复平面中对应的点在第几象限（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.要得到函数sin 44y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A 向左平移π16个单位 B 向右平移π16个单位 C 向左平移π4个单位 D 向右平移π4个单位3.设x R ∈ ，则“31x +< ”是“220x x +-> ”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x +y 为偶数”， 事件B 为“x y ≠”，则概率()P B A =（ ）A ．12B ．14C ． 13D ．235. 如果双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ． 2D ． 36. 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7.已知向量()()2016,2,,2016-==k b k a ρρ的夹角为钝角，则函数()201622++=k k k f 的最小值为（ ）A. 2013B. 2014C. 2015D.20168.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A (1)(1)(0)f f f <-<B (0)(1)(1)f f f <<-C (1)(0)(1)f f f -<<D (1)(0)(1)f f f <<- 9.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）A ．1B ．43C ．54 D ．210.25()x x y ++的展开式中，42x y 的系数为( )A 15B 25C 30D 5011.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=600,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为183，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π12. 已知函数f(x)=|log 2x|-m(m>0)的零点分别为x 1,x 2(x 1<x 2),函数g(x)=|log 2x|8(0)21m m ->+的零点分别为x 3,x 4(x 3<x 4),则2413x x x x --的最小值为( )A.4√43B.8√43C.4√2D.8√2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
仿真冲刺卷参考答案 高考教学(理科)二轮复习
参考答案仿真冲刺卷(一)1.A 函数y=ln(1-x)的定义域为M={x|x<1},N={x|x2-x<0}={x|0<x<1},结合选项M∩N=N正确,选A.2.A 由题意可得z==i-2,所以z-1=-3+i,|z-1|==.选A.3.C 因为=2,=4.5,所以=4.5-0.95×2=2.6,故选C.4.C 因为a<0,设a=-1,所以()-1=2,(0.2)-1=5,2a=-2,所以(0.2)a>()a>2a,故选C.5.A 首先函数为奇函数,排除C,D,又当x∈(0,1)时,y<0,排除B,故选A.6.B 设R为弦PQ的中点,如图所示,由|PQ|<6,知|OR|2>52-32=16,所以PQ的中点组成的区域为M是由圆O:x2+y2=25与圆:x2+y2=16组成的圆环,所以在O内部任取一点落在M内的概率为=,故选B.7.D 如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,=a+b,∠BAC=,∠DAC=,所以∠BCA=,在△ABC中,由正弦定理得===.故选D.8.A 第一次循环:s=s+8=10,k=k+1=2,此时不满足条件,继续循环; 第二次循环:s=s+8=18,k=k+1=3,此时不满足条件,继续循环;第三次循环:s=s+8=26,k=k+1=4,此时不满足条件,继续循环;第四次循环:s=s+8=34,k=k+1=5,此时应满足条件,结束循环,因此判断框内应填k>4.9.D 由a3,a7,a9成等比数列,则a3a9=(a7)2,即(a1+2d)(a1+8d)=(a1+6d)2,化简可得2a1d+20d2=0,由a1=20,d≠0,解得d=-2.则S10=10a1+×(-2)=110,故选D.10.B 因为y=f(x+2)为偶函数,所以y=f(x+2)的图象关于x=0对称,所以y=f(x)的图象关于x=2对称,所以f(4)=f(0).又f(4)=1,所以f(0)=1.设g(x)=(x∈R),则g′(x)==.又因为f′(x)<f(x),所以f′(x)-f(x)<0,所以g′(x)<0,所以y=g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)<e x,所以g(x)<1.又因为g(0)==1,所以g(x)<g(0),所以x>0,故选B.11.A 由f(x+)=f(-x)得函数f(x)的一条对称轴为x=,因此sin(+φ)=±1⇒φ=+kπ(k∈Z),由f()=-1得sin(++kπ)+b=-1⇒b=-1±1⇒b=-2或0,故选A.12.B 当x<0时,f(x)为增函数,当x≥0时,f′(x)=e x-1+ax-a-1,f′(x)为增函数,令f′(x)=0,解得x=1,故函数f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,最小值为 f(1)=0.由此画出函数图象如图所示,令t=-f(x),因为f(x)≥0,所以t≤0,则有⇒-a=t-1,所以t=-a+1,所以 f(x)=a-1,要有三个不同实数根,则需<a-1<+,解得2<a<+2.13.解析:y′=ln x+1,设P(x0,y0),ln x0+1=2, 解得x0=e,则y0=e,所以P点坐标为(e,e).答案:(e,e)14.解析:由8a2-a5=0得公比q=2,所以==1+q2=5.答案:515.解析:作出不等式组对应的平面区域如图,由z=x-2y得y=x-z,平移直线y=x,由图象可知当直线y=x-z经过点A(2,4)时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,z min=2-8=-6;当直线y=x-z经过点O(0,0)时,直线y=x-z的截距最小,此时z最大,z max=0,故-6≤z≤0.答案:[-6,0].16.解析:据题意知,△PMF为等边三角形,PF=PM,所以PM⊥抛物线的准线.设P(,m),则M(-,m),等边三角形边长为+=12,F(,0),所以由PM=FM,得=12,解得p=6,m=±6,所以抛物线方程为y2=12x.答案:y2=12x17.解:(1)因为2a=3c,由正弦定理可得2sin A=3sin C,可得sin A=sin C,由tan B=2tan C,可得sin Bcos C=2sin Ccos B,两边同时加sin Ccos B,可得sin(B+C)=3sin Ccos B, 可得sin(B+C)=sin A=sin C=3sin Ccos B,由C∈(0,π),可得sin C≠0,所以cos B=,由B∈(0,π),可得B=.(2)由tan A=3,可得cos A=,sin A=,S △ABC=3=bc·,解得bc=4,又由2a=3c,a2=b2+c2-2bccos A,可得c2=b2+c2-4,联立bc=4,解得c2=+c2-4,化简整理可得5c4+16c2-448=0,解得c=2,b=,a=3,可得△ABC的周长为a+b+c=5+.18.(1)证明:取AP的中点M,连接DM,BM,因为DA=DP,BA=BP,所以PA⊥DM,PA⊥BM,因为DM∩BM=M,所以PA⊥平面DMB,又因为BD⊂平面DMB,所以PA⊥BD.(2)解:因为DA=DP,BA=BP,DA⊥DP,∠ABP=60°,所以△DAP是等腰直角三角形,△ABP是等边三角形,因为AB=PB=BD=2,所以DM=1,BM=.所以BD2=MB2+MD2,所以MD⊥MB,以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(-1,0,0),B(0,,0),P(1,0,0),D(0,0,1),从而得=(1,0,-1),==(1,,0),=(1,-,0) ,==(1,0,1),设平面DPC的法向量n1=(x1,y1,z1),则即所以n 1=(-,1,-),设平面PCB的法向量n2=(x2,y2,z2),由得所以n 2=(,1,-),所以cos <n 1,n2>==,设二面角D PC B为α,所以sin α==.19.解:(1)列联表如下:甲产品乙产品合计合格品80 75 155 次品20 25 45合计100 100 200 K2=≈0.717<3.841,所以没有95%的把握认为两种产品的质量有明显差异.(2)依题意,生产1件甲、乙产品为合格品的概率分别为,,随机变量X可能取值为90,45,30,-15,P(X=90)=×=,P(X=45)=×=,P(X=30)=×=,P(X=-15)=×=.X的分布列为X 90 45 30 -15 P所以E(X)=90×+45×+30×-15×=66.20.解:(1)因为椭圆C的右焦点F(c,0),|PF|=2,所以c=,由题意得Q(2,1),因为Q(2,1)在椭圆C上,所以+=1,由a2-b2=3,得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由S△AQB=tan∠AQB,得QA·QBsin∠AQB=tan∠AQB,即QA·QBcos∠AQB=2,可得·=2,①当l垂直x轴时, ·=(-2,-1)·(-2,--1)=4+1-3=2,此时满足题意,所以此时直线l的方程为x=0;②当l不垂直x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1, 由消去y得(1+2k2)x2+4kx-4=0,所以x1+x2=,x1x2=,代入·=2可得 (x1-2,y1-1)·(x2-2,y2-1)=2,代入y1=kx1+1,y2=kx2+1,得(x1-2)(x2-2)+k2x1x2=2,化简代入得++2=0,解得k=,经检验满足题意,则直线l的方程为x-4y+4=0.综上所述,直线l的方程为x=0或x-4y+4=0.21.(1)解:g(x)=e x-(a+1)x,所以g′(x)=e x-(a+1).当x>0时,e x>1,故有当a+1≤1,即a≤0时,x∈(0,+∞),g′(x)>0;当a+1>1,即a>0时,e x>1,令g′(x)>0,得x>ln(a+1);令g′(x)<0,得0<x<ln(a+1),综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上是增函数;当a>0时,g(x)在(0,ln(a+1))上是减函数,在(ln(a+1),+∞)上是增函数.(2)证明:设h(x)=f(x)-(x2+x+1)=e x-x2-x-1,则h′(x)=e x-2x-1,令m(x)=h′(x)=e x-2x-1,则m′(x)=e x-2,因为x∈[,1],所以当x∈[,ln 2)时,m′(x)<0;m(x)在[,ln 2)上是减函数,当x∈(ln 2,1]时,m′(x)>0,m(x)在(ln 2,1]上是增函数,又m()=-2<0,m(1)=e-3<0,所以当x∈[,1]时,恒有m(x)<0,即h′(x)<0,所以h(x)在[,1]上为减函数,所以h(x)≤h()=-<0,即当x∈[,1]时,f(x)<x2+x+1.22.解:(1)由曲线C1的参数方程(t为参数), 消去参数t得x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin θ,由曲线C2的直角坐标方程x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0,得ρ=4sin θ,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)联立得A(2sin α,α),所以|OA|=2sin α,联立得B(4sin α,α),所以|OB|=4sin α.所以|AB|=|OB|-|OA|=2sin α,因为0<α<π,所以当α=时,|AB|有最大值2.23.解:(1)f(x)>4,即|x|+|2x-1|>4,当x≥时,x+2x-1>4,解得x>;当0<x<时,x+1-2x>4,解得x∈⌀;当x≤0时,-x+1-2x>4,解得x<-1.综上可得,f(x)>4的解集为.(2)对任意正数a,b,不等式f(x)<++ab恒成立,可得f(x)小于++ab的最小值,由++ab≥2+ab≥2=3,当且仅当a=b=2时取得等号,即有f(x)<3,即|x|+|2x-1|<3,当x≥时,x+2x-1<3,解得≤x<;当0<x<时,x+1-2x<3,解得0<x<;当x≤0时,-x+1-2x<3,解得-<x≤0.综上可得,M={x|-<x<}.仿真冲刺卷(二)1.C 因为集合U={-1,0,1,2},所以集合A={y|y=,x∈U}={1,,},所以集合A的真子集个数为23-1=7个,故选C.2.A 因为=1-ni,所以m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,所以1+n=m且1-n=0,所以n=1,m=2,所以m+ni=2+i,故选A.3.B 根据题意,得a=-2e1-3e2,b=-4e1+e2,所以a+b=(-2e1-3e2)+(-4e1+e2)=-6e1-2e2,所以|a+b|===2.故选B.4.B 由题意得a<(ln x)min,因为x>e,所以ln x>1,所以a≤1,因为(-∞,1)⊂(-∞,1],(-∞,1)≠(-∞,1],因此一个充分不必要条件是a<1,选B.5.B 取特殊值,令a=,b=,则x=a b=()=,y=b a=()>,z=log b a=lo=2,则<()<2,即x<y<z,可排除A,C,D选项,故选B.6.C 由题意知原几何体为三棱锥,其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形,∠BCA为钝角,其中BC=2,BC边上的高为2,PC⊥底面ABC,且PC=2,由以上条件可知,∠PCA为直角,最长的棱为PA或AB,在直角三角形PAC中,由勾股定理得,PA===2,在钝角三角形ABC中,AB===2.故选C.7.C 设正方形的边长为1,则其面积为1,S 阴影=2(-)=-1,故在该正方形内随机取一点,此点取自两个弧田部分的概率为-1.8.B 当输入的x值为4时,b=2,第一次,不满足b2>x,满足x能被b整数,故输出a=0;当输入的x值为5时,第一次,不满足b2>x,也不满足x能被b整数,故b=3;第二次,满足b2>x,故输出a=1;即第一次输出的a的值为a1=0,第二次输出的a的值为a2=1,则a1-a2=0-1=-1.9.A f′(x)=e3x+2me2x+(2m+1)e x=t(t2+2mt+2m+1),t=e x>0,由题意得t2+2mt+2m+1=0有两个不同的正根,则⇒-<m<1-,故选A.10.A 因为相邻两支图象与坐标轴分别交于点A(,0),B(,0),所以函数的周期T=-==,则ω=2,此时f(x)=tan(2x+φ),又f()=tan(2×+φ)=tan(+φ)=0,得+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),因为0<|φ|<,所以当k=0时,φ=-,则f(x)=tan(2x-),因为f(x)与y=cos(2x-)的对称中心相同,所以f(x)与y=cos(2x-)的交点关于同一个对称中心对称, 由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,因为x∈[0,π],所以当k=0时,x=,即两个函数的对称中心都为(,0),由图象知两个函数只有两个交点,则=,所以x1+x2=.11.B 设A,B在l上的射影分别是A1,B1,过B作BM⊥AA1于M.由题意可得在Rt△ABM中,∠BAM=60°,cos 60°=====,解得m=3,故选B.12.A 因为函数y=f(x)关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,函数y=xf(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.因为1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2,所以 0<logπ3<20.2<log39,所以b>a>c,故选A.13.解析:展开式中x2的系数是1×+a×=10+5a,所以10+5a=5,所以a=-1.答案:-114.解析:作出x,y满足约束条件:对应的平面区域如图(阴影部分),由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.由解得A(,-),代入目标函数z=2x+y得z=3.即目标函数z=2x+y的最大值为3.答案:315.解析:四棱锥P ABCD的体积为V=PD·S正方形ABCD=×1×22=,如图所示,易证PD⊥AD,PD⊥CD,PA⊥AB,PC⊥BC,所以四棱锥P ABCD的表面积为S=2××2×1+2××2×+22=6+2, 所以四棱锥P ABCD的内切球的半径为R===,因此,此球的最大表面积为4πR2=4π×()2=(14-6)π.答案:(14-6)π16.解析:函数f(x)=ax+sin x,g(x)=f(x)+f′(x)=ax+sin x+cosx+a,g(x)=f(x)+f′(x)在区间[-,]上单调递增,g′(x)=a+cos x-sin x≥0,可得a≥sin(x-),x∈[-.],可得x-∈[-,],sin(x-)∈[-,1].所以a的最小值为1.答案:117.解:(1)由S3=9,得a1+a2+a3=9⇒a2=3.又因为a1,a2,a5成等比数列,所以=a 1a5,即=(a 2-d)(a2+3d)⇒d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去),所以a1=a2-d=1,故a n=2n-1.(2)由题意b n-a n=2n-1,所以b n=2n-1+a n=2n-1+2n-1,所以T n=(1+2+22+…+2n-1)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+=2n-1+n2. 18.解:(1)如图(1),在正方体内作出截面EFGHIJ(或画出平面图形),它的形状是一个边长为的正六边形,可以计算出它的面积为.(2)法一如图(2),连接B1D1交A1C1于O点,连接BD1,BO,BD,因为所求平面∥平面A1BC1,所以所求角等于BD1与平面A1BC1所成的角,因为平面A1BC1⊥平面B1D1DB,所以线BD1在平面A1BC1的投影为BO, 所以∠D1BO即为所求的角,在△BOD 1中,BD1=,D1O=,BO=,由余弦定理知cos∠D1BO=,所以cos θ=.法二以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),可求出平面A1BC1的法向量为n=(1,1,1),又因为=(-1,-1,1),所以cos n, =-,所以cos θ=.19.解:(1)P(S)=××=,P(T)==.(2)ξ的可能值为0,1,2.①考虑ξ=0的情形,首先A盒中必须取一个红球放入B盒,相应概率为,此时B盒中有2红2非红;若从B盒中取一红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有2红2非红,从C盒中只能取一个非红球放入A 盒,相应概率为;若从B盒中取一非红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有1红3非红,从C盒中只能取一个非红球放入A盒,相应概率为.故P(ξ=0)=×[×+×]=.②考虑ξ=2的情形,首先A盒中必须取一个非红球放入B盒,相应概率为,此时B盒中有1红3非红;若从B盒中取一红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有2红2非红,从C盒中只能取一个红球放入A 盒,相应概率为;若从B盒中取一非红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有1红3非红,从C盒中只能取一个红球放入A盒,相应概率为. 故P(ξ=2)=×[×+×]=.③P(ξ=1)=1--=.所以ξ的分布列为ξ0 1 2Pξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.20.(1)解:由椭圆定义可知,2a=|AF1|+|AF2|=+=4,所以a=2,因为c=,所以b=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)>0,即4k2+1>m2,设E(x1,y1),F(x2,y2),又x1+x2=-,x1·x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)+km(-) +m2=0,所以4k2+4=5m2,因为d===,所以坐标原点O到直线l距离为定值.21.解:(1)f′(x)=(x-a)e x-x+a=(x-a)(e x-1),当a<0时,x∈(-∞,a)∪(0,+∞),f′(x)>0;x∈(a,0),f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当a=0时,f′(x)≥0对x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增.当a>0时,x∈(-∞,0)∪(a,+∞),f′(x)>0;x∈(0,a),f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)①当a≤0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-ae-+a=(1-e)a-<0,解得<a≤0.②当a>0时,由(1)知f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.当0<a≤1时,f(x)在[1,2]上单调递增.所以f(x)min=f(1)=-ae-+a=(1-e)a-<0对a∈(0,1]恒成立,则0<a≤1符合题意;当1<a<2时,f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,2]上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-e a+a2.设函数g(x)=-e x+x2,x∈(1,2),易得知x∈(1,2)时,x2∈(,2),-e x∈(-e2,-e),所以g(x)<0,故f(x)min=f(a)=-e a+a2<0对a∈(1,2)恒成立,即1<a<2符合题意.当a≥2时,f(x)在[1,2]上单调递减.所以f(x)min=f(2)=(1-a)e2-2+2a=(1-a)(e2-2)<0对a∈[2,+∞)恒成立,则a≥2符合题意.综上所述,a的取值范围为(,+∞).22.解:(1)C1:(x-2)2+y2=4,C2:x2+(y-2)2=4.(2)C1:ρ=4cos θ,联立极坐标方程θ=α,得ρA=4cos α.易得ρB=4sin α,所以|ρA-ρB|=4sin(α-)=2,所以sin(α-)=,因为0<α<π,所以α=π或π.23.解:(1)当a=-1时,g(x)=2|x|-1,f(x)≥g(x),即|x+1|≥2|x|-1,当x≥0时,x+1≥2x-1,即x≤2,此时0≤x≤2;当-1<x<0时,不等式等价为x+1≥-2x-1,即x≥-,此时-≤x<0;当x≤-1时,不等式-x-1≥-2x-1,得x≥0,此时无解.综上-≤x≤2,即不等式的解集为[-,2].(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,即|x+1|≥2|x|+a,则a≤|x+1|-2|x|有解即可,设h(x)=|x+1|-2|x|.则h(x)=由函数h(x)的图象(图略)可知,函数h(x)的最大值为h(0)=1,故要使a≤|x+1|-2|x|有解得a的取值范围为(-∞,1].仿真冲刺卷(三)1.D A={x|-3<x<1},B={x|x≥-1},所以A∪B={x|x>-3},∁U(A∪B)={x|x≤-3}.故选D.2.A 因为+z2=+(1+i)2=+2i=+2i=1-i+2i=1+i,所以选A.3.C 依题意可得q≠1,因为S3==6,S6==54,所以1+q3=9,所以q=2,故选C.4.B 因为a,b,c为正数,所以当a=2,b=2,c=3时,满足a+b>c,但a2+b2>c2不成立,即充分性不成立,若a2+b2>c2,则(a+b)2>c2+2ab>c2,由a,b,c为正数可得a+b>c成立,即必要性成立,则“a+b>c”是“a2+b2>c2”的必要不充分条件.故选B.5.D 向量=(3,-4),=(6,-3),=(3,1),=(2m,m+1),若∥,可得3m+3=2m,解得m=-3.故选D.6.B 由题意可知:这批米内夹谷约为1 534×≈169(石),故选B.7.C 由三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球与以俯视图为底面,以4为高的直三棱柱的外接球相同,且底面为底边长为4,高为2的等腰直角三角形,其外接圆的半径为2.由直三棱柱高为4,可得球心到底面距离为2,外接球半径为R==2,外接球的表面积S=4πR2=32π,故选C.8.C 因为y=是奇函数,向左平移一个单位得y=,所以y=图象关于(-1,0)中心对称,故排除A,D,当x<-2时,y<0恒成立,排除B.故选C.9.C 第1次执行循环体得k=2,S=a2+a3x0;第2次执行循环体得k=1,S=a1+(a2+a3x0)x0;第3次执行循环体得k=0,S=a0+(a1+(a2+a3x0)x0)x0,由于条件不成立,所以输出S.故选C.10.D 曲线x2+(y+2)2=1对应的圆心M(0,-2),半径r=1,作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,直线x-2y+1=0的斜率k=,则当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|=-1=-1,当P位于(0,2)时,|PQ|取最大值,最大值为2+3=5.则|PQ|的取值范围是[-1,5].故选D.11.A 由题意可得F(,0),设P(,y 0)(y0>0),则=+=+=+(-)=+=(+,),可得k==≤=.当且仅当=时取得等号,选A.12.D 方程f(x)=kx+1有四个不相等的实根,等价于函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点,则x>0时有两个交点,x<0时有两个交点,易得①当直线y=kx+1与函数f(x)=-x2-x的图象相切时,k=或k=-(舍),所以有两个交点时,k>,②当直线y=kx+1与函数f(x)=2x-xln x的图象相切时,利用导数的几何意义可得k=1,有两个交点时,k<1,则函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点时,实数k的取值范围是<k<1,故选D.13.解析:由表格可知,==4,=258.将(,)代入方程,得258=3.8×4+a,所以a=242.8.答案:242.814.解析:因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x+1对称, (1,4)点与(3,2)点关于直线y=x+1对称,若g(1)=4,则f(3)=2,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-2.答案:-215.解析:每行的第二个数构成一个数列{a n},由题意知a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,a n-a n-1=2(n-1)-1=2n-3,n≥3. 等式两边同时相加得a n-a2==n2-2n(n≥3),所以a n=n2-2n+a2=n2-2n+3(n≥3).当n=2时,a2=4-4+3=3符合上式,所以a n=n2-2n+3(n≥2).答案:n2-2n+316.解析:因为以(a n,S n)为坐标的点在曲线y=x(x+1)上,所以S n=a n(a n+1),即2S n=+a n,2S n+1=+a n+1,两式相减,得2a n+1=+a n+1-(+a n),即-a n+1=+a n,则-=a n+1+a n,又{a n}为正项数列,则a n+1-a n=1,又a1=1,即数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列, 则数列{a n}的通项公式为a n=n.答案:a n=n17.解:(1)在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,5=1+BC2+BC⇒BC2+BC-4=0,解得BC=,所以S △ABC=AB·BC·sin ∠ABC=×1××=. (2)因为∠BAD=90°,sin∠CAD=,所以cos∠BAC=,sin ∠BAC=,所以sin ∠BCA=sin (-∠BAC)=(cos∠BAC-sin ∠BAC)=×(-)=.在△ABC中,=,所以AC==,所以CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=5+16-2××4×=13,所以CD=.18.(1)证明:在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,所以四边形ABCD是等腰梯形,且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120°;所以∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°,所以AC⊥BC,又因为平面ACFE⊥平面ABCD,交线为AC,所以BC⊥平面ACFE.(2)解:由(1)知,以点C为原点,CA,CB,CF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0),A(a,0,0),D(,-a,0),F(0,0,a),E(a,0,a),则=(-a,0,0),=(0,-a,a),=(-a,,a),设平面BEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则令y1=1,则z1=1,得m=(0,1,1),设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则令z2=1,则y2=-2,得n=(0,-2,1),所以cos<m,n>==-,又B EF D的平面角为锐角,即二面角B EF D的平面角的余弦值为.19.解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,则事件A包含该节目可以获2张“获奖”票或该节目可以获3张“获奖”票.因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为,且三人投票相互没有影响,所以某节目的投票结果是最终获一等奖的概率为P(A)=()2×+()3=.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=()3=,P(X=1)=()1()2=,P(X=2)=()2()1=,P(X=3)=()3=,所以X的分布列为X 0 1 2 3PE(X)=0×+1×+2×+3×=2.20.解:(1)由题意,椭圆的长轴长2a=4,得a=2,因为点(1,)在椭圆上,所以+=1得b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l与圆O相切,得=1,即m2=1+k2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 由题意可知圆O在椭圆内,所以直线必与椭圆相交,所以x1+x2=-,x1·x2=.y1·y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1·x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km(-)+m2=,所以x1·x2+y1·y2=+=.因为m2=1+k2,所以x1·x2+y1·y2=.又因为·=-,所以=-,解得k2=,得k的值为±.21.(1)解:当a=0时,f(x)=e x(sin x-e),则f′(x)=e x(sin x-e)+e x cos x=e x(sin x-e+cos x), 因为sin x+cos x=sin(x+)≤<e,所以sin x+cos x-e<0,故f′(x)<0,则f(x)在R上单调递减.(2)证明:当x≥0时,y=e x≥1,要证明对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.则只需要证明对任意的x∈[0,+∞),sin x-ax2+2a-e<0. 设g(a)=sin x-ax2+2a-e=(-x2+2)a+sin x-e,看作以a为变量的一次函数,要使sin x-ax2+2a-e<0,则即因为sin x+1-e<0恒成立,所以①恒成立,对于②,令h(x)=sin x-x2+2-e,则h′(x)=cos x-2x,设x=t时,h′(x)=0,即cos t-2t=0.所以t=<,sin t<sin =,所以在(0,t)上,h′(x)>0,h(x)单调递增,在(t,+∞)上,h′(x)<0,h(x)单调递减,则当x=t时,函数h(x)取得最大值h(t)=sin t-t2+2-e=sin t-()2+2-e=sin t-+2-e=sin2t+sin t+-e=(+1)2+-e<()2+-e=-e<0,故②式成立,综上对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.22.解:(1)因为C1的极坐标方程是ρ=,所以4ρcos θ+3ρsin θ=24,整理得4x+3y-24=0,所以C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.曲线C2:所以x2+y2=1,故C2的普通方程为x2+y2=1.(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3的方程为+=1, 则曲线C3的参数方程为(α为参数).设N(2cos α,2sin α),则点N到曲线C1的距离为d===(tan φ=)当sin (α+φ)=1时,d有最小值,所以|MN|的最小值为.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,故f(x)=当x>1时,由2x+1≤5,得x≤2,故1<x≤2;当-2≤x≤1时,由3≤5,得-2≤x≤1,当x<-2时,由-2x-1≤5,得x≥-3,故-3≤x<-2,综上,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].(2)f(x)=|x-a|+x+≥(x-a)-(x+)=a+,所以g(a)=a+,因为a+=|a|+≥2=2,当且仅当|a|=,即a=±时,取“=”,所以g(a)min=g(±)=2.仿真冲刺卷(四)1.B 因为集合A={-3,-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},所以A∩B={-1,0,1},故选B.2.C 因为z=(i+1)i=-1+i,所以复数z=(i+1)i在复平面内所对应的点为(-1,1),显然在直线y=-x上,故选C.3.D 命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”;命题“若cos x=cos y,则x=y”为假命题,因此其逆否命题为假命题;命题“∃x∈R,使得2x2-1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2-1≥0”;“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题.综上选D.4.D 因为抛物线x=上一点P到焦点F的距离为3,即P到准线x=-1的距离为3,所以点P到直线x=-2的距离为4,故选D.5.B 因为-=·,所以c2-a2=bccos A,所以c2-a2=bc·,化简可得:c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.故选B.6.C 圆柱的底面直径为2,高h1为2,圆锥的底面直径为2,高h2为1, 该几何体的体积V=V圆柱-2V圆锥=πr2h1-πr2h2=,故选C.7.A 因为f(x)=ln x-2x+3,所以f′(x)=-2,所以切线斜率k=f′(1)=-1,且f(1)=1,所以曲线f(x)=ln x-2x+3在点(1,1)处的切线方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选A.8.A 作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,0),B(2,1),C(0,1).设z=F(x,y)=x-y,将直线l:z=x-y进行平移,可得当l经过点C时,z取到最小值;l经过点A时,z取到最大值,所以z最小值=F(0,1)=-1,z最大值=F(2,0)=2.所以z=x-y的取值范围是[-1,2].故选A.9.C 初始值k=9,S=1,是,第一次循环:S=,k=8,是,第二次循环:S=,k=7,是,第三次循环:S=,k=6,是,第四次循环:S=,k=5,否,输出k=5.故选C.10.D =π⇒ω==1,f(x+)=f(-x),则x=为对称轴,所以Asin(+φ)取最值,所以+φ=+kπ,φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=.因此f(-x)=Acos x为偶函数且在x=0处取得最大值.故选D.11.A 连接AC,并取其中点为O,连接OM,ON,则OM∥BC,ON∥PA,所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=2,ON=2,MN=4,cos∠ONM===,所以∠ONM=30°,即异面直线PA与MN成30°的角.故选A.12.B 因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,函数y=xf(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.因为1<20.2<2,0<ln 2<1,=2,所以0<ln 2<20.2<,所以b>a>c,故选B.13.解析:因为a=(3,3),b=(-2,m),所以a-b=(5,3-m),所以a·(a-b)=15+3(3-m)=21,解得m=1.答案:114.解析:完成给图中A、B、C、D四个区域进行染色,最少需要2种颜色,若使用两种颜色,则B,C,D三个区域同色,共有=12种不同染色方法;若使用三种颜色,则B,C,D有两个区域同色,共有=72种不同染色方法;若使用四种颜色,共有=24种不同染色方法;共有12+72+24=108(种)不同的染色方法.答案:10815.解析:a=sin xdx=-cos x=2,所以二项式的展开式的通项公式为T k+1==(-1)k·26-k·x3-k,由3-k=0时,k=3,所以常数项为T4=(-1)3·23=-160.答案:-16016.解析:对于①,因为f(-x)=-x·sin (-x)=xsin x=f(x),所以函数为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,故①正确;对于②,因为当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)=x,随着x的增大函数值也在增大,所以不会是周期函数,故②错;对于③,取M=1,当x 0=时,f()=≥1;故③正确;对于④,因为f′(x)=sin x+xcos x,当x=2kπ+(k∈Z)时,f′(2kπ+)=1(k∈Z),f(2kπ+)=2kπ+(k∈Z),所以切线方程为y-2kπ-=x-2kπ-(k∈Z),即切线方程为y=x,所以函数f(x)的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合,故④正确.答案:①③④17.解:(1)由a3+a9=22,且a5,a8,a13成等比数列,得解得所以a n=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.(2)b n====1+=1+(-),所以S n=1+(1-)+1+(-)+…+1+(-)=n+(1-)=n+.18.(1)证明:由题意知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD, 因为E,F分别为AB,CD的中点,所以EF⊥AB,EF⊥CD,所以折叠后,EF⊥DF,EF⊥CF,因为DF∩CF=F,所以EF⊥平面DCF,又MC⊂平面DCF,所以EF⊥MC.(2)解:因为平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,所以DF⊥平面BEFC,所以DF⊥CF,所以DF,CF,EF两两垂直,以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,因为DM=1,所以FM=1,所以M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2),所以=(0,0,2),=(-1,1,0),=(-1,0,2),设平面MAB的法向量m=(x1,y1,z1),则取x1=1,得m=(1,1,0),设平面ABD的法向量n=(x2,y2,z2),则取z2=1,得n=(2,2,1),所以cos<m,n>===.所以二面角M AB D的余弦值为.19.解:(1)根据列联表可以求得K2的观测值:k==≈11.43>6.635,故有99%的把握认为满意程度与年龄有关.(2)据题意,该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为:积分 2 3 6 7 7 11 12 12 方案甲 2 400 3 100 5 200 5 900 5 900 8 700 9 400 9 400方案乙 3 000 3 000 5 600 5 600 5 600 9 000 9 000 9 000 由表可知,“A类员工”有5名,设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,恰好抽到3名“A类员工”的概率为P,则P==.20.解:(1)因为椭圆长轴长为2,所以2a=2.所以a=.又因为椭圆过点(-,1),代入椭圆方程,得+=1.所以b2=.所以椭圆方程为+=1,即x2+3y2=5.(2)因为直线l过点C(-1,0)且斜率为k,所以直线方程为y=k(x+1).由得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.因为直线与椭圆相交,所以Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,即12k2+5>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为线段AB中点的横坐标是-,则x1+x2=2×(-)=-1.即x1+x2==-1,解得k=±.21.解:(1)f′(x)=x-=,其中x∈[1,e],①当a≤1时,f′(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,又因为f(1)=0,所以函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.②当a≥e2时,f′(x)≤0恒成立,f(x)单调递减,又因为f(1)=0,所以函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.③当1<a<e2时,f(x)在[1,]上单调递减,在[,e]上单调递增, 又f(1)=0,所以使f(x)在[1,e]有唯一零点,则f(e)<0,所以a>,所以<a<e2.综上所述,a的取值范围是{a a≤1或a>}.(2)在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<--x0-成立,等价于x0+-aln x 0+<0在[1,e]上有解,即函数g(x)=x+-aln x+在[1,e]上的最小值小于零.g′(x)=1---==,①当a+1≥e时,即a≥e-1时,g(x)在[1,e]上单调递减,所以g(x)的最小值为g(e),由g(e)=e+-a<0可得a>,因为>e-1,所以a>;②当a+1≤1时,即a≤0时,g(x)在[1,e]上单调递增,所以g(x)的最小值为g(1),由g(1)=1+1+a<0可得a<-2;③当1<a+1<e时,即0<a<e-1时,g(x)在[1,a+1]上单调递减,在[a+1,e]上单调递增,可得g(x)的最小值为g(a+1),因为0<ln(a+1)<1,所以0<aln(a+1)<a,g(a+1)=a+1+-aln(a+1)+=a+2-aln(a+1)>2, 所以g(1+a)<0不成立.综上所述:可得所求a的取值范围是(-∞,-2)∪(,+∞).22.解:(1)由题意得点M的直角坐标为(2,2),曲线C的一般方程为(x-1)2+y2=4,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,因为直线l过M且与曲线C相切,所以=2,即3k2+4k=0,解得k=0或k=-,所以直线l的极坐标方程为ρsin θ=2或4ρcos θ+3ρsin θ-14=0.(2)因为点N与点M关于y轴对称,所以点N的直角坐标为(-2,2),则点N到圆心C的距离为=,所以曲线C上的点P到点N的距离的最小值为-2,最大值为+2, 曲线C上的点P到点N的距离的取值范围为[-2,+2].23.解:(1)f(x)=|x+2|-|2x-1|=故f(x)>-5的解集为(-2,8).(2)由|b+2a|-|2b-a|≥|a|(|x+1|+|x-m|)(a≠0)能成立,即≥|x+1|+|x-m|能成立,令=t,则|t+2|-|2t-1|≥|x+1|+|x-m|能成立,由(1)知,|t+2|-|2t-1|≤,又因为|x+1|+|x-m|≥|1+m|,所以|1+m|≤,解得-≤m≤,即实数m的取值范围是[-,].仿真冲刺卷(五)1.C 图中的阴影部分是M∩P的子集,不包含集合S,包含集合S的补集,即是∁U S的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁U S.故选C.2.B z====-i,则|z|=1.故选B.3.C 1>-2不能推出1>|-2|,反过来,若x>|y|,则x>y成立,故为必要不充分条件.故选C.4.B 法一依题意知,点P在双曲线的左支上,根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2×3=6,所以|PF2|=6+3=9,故选B.法二根据双曲线的定义,得||PF2|-|PF1||=2×3=6,所以||PF2|-3|=6,所以|PF2|=9或|PF2|=-3(舍去),故选B.5.B y=sin(4x-)=sin[4(x-)],故要将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位长度.故选B.6.C a-b=(1-m,3),又(a-b)⊥c,所以(a-b)·c=4(1-m)+3m=0,m=4.故选C.7.C由题意,几何体的直观图如图,是正方体的一部分四棱锥P ABCD,几何体的表面积为1×1+2××1×1+2××1×=2+.故选C.8.A 令F(x)=,因为f(x)为奇函数,所以F(x)为偶函数,由于F′(x)=,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,所以F(x)=在(0,+∞)上单调递减,根据对称性,F(x)=在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=0, f(1)=0,数形结合可知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选A.9.A 因为f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+)且函数的最小正周期为π,所以T==π,所以ω=2,即函数f(x)=sin(2x+φ+),又f(-x)=f(x),所以函数为偶函数,所以φ+=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,。
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。
答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。
答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。
答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。
高三高考冲刺第二次考试数学(理)试题Word版含答案
理科数学答案B CCDA BADBC BA10.C 【解析】相当于将砝码分成了十一个小组，第i组有i个i克砝码。
若从i组中不取砝码相当于1，若从i组中取一个砝码有i种取法，相当于i ix。
所以选C11．B 12．A【解析】由题意可知32)]()([+='+xexfxf x，即32])([+='xexf x，所以Cxxexf x++=3)(2，xexxxff-++=∴=)13()(,1)0(2，由)(xf的图像可以知道13. 1±14. 33112016201711220162017201720182018=⋅⋅=⋅⋅=abbbaaaaaaaa15. 2416.734；因为)(xf是奇函数，所以四边形的对角线交于坐标原点，ABCD的面积为三角形OAB的四倍，17.（【解析】（1）当111,13;2,215n n nn S n n Z a S S n-==-≥∈=-=-且…………4分所以=215na n-……………………….6分（2）7817,7,,n nn a a n a a+=≠当时，异号；同号201267782021122021781211111=112111()22682351Ta a a a a a a aa a a a a a a a++-++=++-=-+=18.【解析】（Ⅰ）证明：，，，.，为中点底面平面⊥PAB 面ABCD ……………6分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系xyz O -，则)3,0,0(P ，)0,3,1(-D ，)0,2,1(C ∴(0,0,3),(1,3,0),(1,2,3),(2,1,0)OP OD CP CD ==-=--=-设平面OPD 的一个法向量为),,(111z y x m =，平面PCD 的法向量为),,(222z y x =则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0m OD m OP 可得⎩⎨⎧=+-=0303111y x z ，取11=y ，得31=x ，，即，由可得，取，得，，即故二面角的余弦值为.……………12分19. 【解析】：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=---------1分 31==73070⨯频率组距， ----2分 设在区间[0，30）上，a =频率组距，则130)21011051701(=⨯+++a ，解得2101=a ，-----3分补充频率分布直方图如右图；分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71， ①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=⨯+⨯-；----------8分②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=；---------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-；∵345003350023500777>> ∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 20. 【解析】：（1）由12BF F ∆为等腰直角三角形可得b c =，直线1:BF y xb =+被圆222x y b +=所截得的弦长为2，所以2,a b c ===，所以椭圆的方程为22142x y +=……………4分 （2）若直线l 的斜率不存在，则132S == 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122242(2),1212km m x x x x k k -+=-⋅=++，121222()212my y k x x m k +=++=+由题意点O 为PAC ∆重心，设00(,)P x y ，则1201200,033x x x y y y ++++==，所以0120122242(),()1212km mx x x y y y k k =-+==-+=-++，代入椭圆22142x y +=得 22222222242121(12)(12)2k m m k m k k ++=⇒=++， …………………………………8分 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积1212133222S AC d x x x mm m =⋅=-⋅=-⋅====综上可得PAC ∆面积S……………………………………………12分 21. 【解析】（Ⅰ）解：易知ln (ln )|e ||ln ln |0a f a a a a a =---=， 即ln a 为函数()f x 的一个零点；………………………（2分）当ln x a ≥时，有e 0x a -≥，则()e (ln )x f x a a x a =---，从而()e 0x f x a '=-≥，在[ln )a +∞，上恒成立，当ln x a <时，有e 0x a -<，则()e (ln )x f x a a x a =-+-，从而()e 0x f x a '=->在(ln )a -∞，上恒成立．综上，函数()f x 在R 上单调递增，有唯一零点ln a ． ………………………（5分） （Ⅱ）证明：记12()()()h x f x f x =-，则12()()()h x f x f x '''=-，当21ln ln x a a >≥时，1221()(e )(e )0x x h x a a a a '=---=->恒成立；当12ln ln a x a <<时，12()(e )(e )x x h x a a '=-+-，令()0h x '≥得12ln2a a x +≥；当12ln ln x a a <≤时，1212()(e )(e )0x x h x a a a a '=---=-<恒成立；可知函数()h x 在区间12ln 2a a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间12ln 2a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，则函数()h x 的最小值为121212121211112222ln ln ln ln ln 22222a a a a a a a a a a h a a a a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12112212ln ln ()ln2a a a a a a a a +=+-+，………（8分） 从而只需证：1211221221ln ln ()ln()ln 22a a a a a a a a a a ++-+<-112212121ln ln ()ln()2ln 20a a a a a a a a a ⇔+-+++<，记2112212121()ln ln ()ln()2ln 2g a a a a a a a a a a =+-+++，则21a a >2212212()1ln (1ln())ln ln()0g a a a a a a a '=+-++=-+<恒成立，从而函数2()g a 在区间1()a +∞，上单调递减，则21()()g a g a <111111111ln ln ()ln()2ln 2a a a a a a a a a =+-+++111112ln 2ln 22ln 20a a a a a =-+=．综上：存在x ∈R ，使得1221()()()ln 2f x f x a a -<-． ………………………（12分） 22.解：（1）1C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 4=，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=…………………………………………………………………………4分 （2）联立(0)θαρ=≥与1C 的极坐标方程得α22cos 16||=OAα222cos 124||||+=+OB OA ，∴)16,4(||||22∈+OB OA ………………………………………………………………………………….10分23.解析：（1）不等式()1f x x ≤+可化为2110x x x -+---≤设函数211y x x x =-+---，则23,1,124, 2.x x y x x x x -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤.令0y ≤，解得243x ≤≤……………………….5分 （2）()121(2)1f x x x x x =-+----=≥ 当且仅当(1)(2)0x x --≤即12x ≤≤时取等，故1k =. 假设存在符合条件的整数,a b ，则21a b +=12(2)(2)a b a b a b +=++44b aa b=++48+=≥ 当且仅当4b a a b =即11,42a b ==时取等号，所以12a b +的最小值为8. 所以，不存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b+=+=……………10分第11页共11页。
高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案
(1)当 a＝ 1， b＝－ 1 时，求使 f(x)≥ 2 2的 x 的取值范围； (2)若 f (x)≥ 312恒成立，求 a－ b 的取值范围．
答案及解析
1． 解析： 选 B.由题意得 A
＝
y
log
1 22
≤
y≤
log
24
＝ { y|－ 1≤ y≤ 2} ＝ [－ 1， 2]，又
B＝ { x|
x≤2} ＝ [0，4] ，
所以 cos α＝
2 22 ＋（
＝ 2 ＝ 6， 2） 2 6 3
所以 cos 2α＝ 2cos2 α－1
2
＝ 2×
6 3
－
1＝
1 3.
故选 D.
4． 解析： 选 A. 满足题意时，椭圆上的点 P(acos θ，bsin θ)到圆心 O(0， 0)的距离：
d2＝ (acos θ－0) 2＋ (bsin θ － 0)2＞ r 2＝ a2－ b2，
D.
13 π＋ 4
22
1
8．函数 f(x)＝ x＋ x ln |x|图象的大致形状为 (
)
9．已知一次函数 f(x)＝kx＋ b 的图象经过点 P(1，2)和 Q(－ 2，－ 4)，令 an＝ f(n)f(n＋ 1)，
n∈ N *，记数列
1 an 的前
n 项和为
Sn，当 Sn＝ 265时， n 的值等于 (
故 B 正确； C 显然错误；
对于
D ，周期
T＝2π＝ π，g
3π ＝－
2，
2
8
2
故图象不关于点 38π， 0 对称．
7．解析： 选 A. 由三视图可知， 该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体， 其中：
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
高优二轮仿真试卷数学理答案m
2 n. 综上所述b 2 n. n= 1 1 . n n+ 1
a 2 n1 , 因为a 即a = 1 2 . 1= n= q 2 因为S 故当n= n+ n, 1时 , b S1= 2 . n= 1= 2 2 ) 当nȡ 2 时, b S S n + n- ( n1 -( n-1) = n= nn1=
2 x2 y 故椭圆 C 的方程为 + = 1 . 4 3 ( ) 由题意, 直线 A 可设直线 A 2 B 的斜率存在, B 的方程为
{
8 k m 4 m21 2 ,1 ʑ x1+ x2= x2= 2x 2 . 3 + 4 k 3 + 4 k ȵ直线 MA 与 MB 斜率之积为
(
)
)
y y 1 1 ㊃ 2 = . ʑ x12 x22 4 ( ( ) ( ) ʑ 4 k x1+m ) k x2+m ) =( x12 x22 .
] ( ) 1 1 = 2(x - - (x + )l nx ) , x x 1 1 令 F( x) = 2(x- - (x+ )l nx ) , x x ( ( 2 1 + x) 1 x) l nx 1 , 则有 F '( x) = 2( ( nx ) = 1)l x x 1 1 , 当xɪ (0 在 (0 , ] 时, , ] 上单调递减, F '( x) < 0 F( x) e e 4 1 1 1 的最小值为 F ( F( x) = 2( e + + e) = , e e) e e
2 , a- a 0 1< , , 所以f 在( 单调递增; '( x) > 0 x) 0 +ɕ) f( ( ) , ( , 在( 单调递增; ②当1 ɤ aɤ 1时 , ' x ȡ 0 x 0 +ɕ) f f ) 2 , , 令 m( 得x1=①当a> 1时 , x) = 0 a+ a 0 x2= 1<
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
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分
16.（共 13 分）
解：(Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,…………………1 分
由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 1 ，
3
……………………3 分
4
则
P
(
A)
1
P
(
A)
1
2 3
65
81
.
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,
………………………6 分 …………………………7 分
（
Ⅱ
）分别由
2k 2x 2k
，, k ( Z
)
2
6
2
3
2k 2x 2k ,(k Z )
2
6
2
可得 k
x k
,(k Z ) ，k
x k
2
, (k Z ).
………………8 分
3
6
6
3
所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为[k , k ], (k Z ) ；
（Ⅰ）证明：设 F 为 DC 的中点，连接 BF ，则
DF AB
E
∵ AB AD ， AB AD ， AB // DC ，
∴四边形 A B F D 为正方形， ∵ O 为 B D 的中点， ∴ O 为 A F , B D 的交点，
∵ PD PB 2 ，
A
B
O
D
F
C
∴ PO BD ，
………………………………2 分
①当 a 0 时， 2ax 1 0 ，在 (0,1) 上 f '( x) 0 ，在 (1, ) 上 f '( x) 0
所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上递减；…………………………………………8 分
②当 0 a 1 时，在 (0,1) 和 ( 1 , ) 上 f '( x) 0 ，在 (1, 1 ) 上 f '( x) 0
x1 2 z1
又CB (2, 2, 0)
则sin θ cos n, CB 2 2 3 ， 32 2 3
∴直线 C B 与平面 P D C 所成角的正弦值为 3 . ………………………………………14 分 3
18. (共 14 分）
解：（I）当 a 0 时， f ( x) x x ln x ， f '( x) ln x ， ………………………2 分
所以 f (e) 0 ， f '(e) 1 ，
………………………4 分
所以曲线 y f ( x ) 在 (e, f (e)) 处的切线方程为 y x e .………………………5 分
（II）函数 f ( x ) 的定义域为 (0, )
f '( x ) (ax 2 x ) 1 (2 ax 1) ln x ax 1 (2 ax 1) ln x ，…………………………6 分 x
由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 1 ，且每个人下电梯互不影响， 3
所以， X
1 B(4, ) .
3
……………………………9 分
X
0
1
2
3
4
16
32
24
8
1
P
81
81
81
81
81
………………………………11 分
E(X ) 4 1 4 . 33
………………………………13 分
P
17.(共 14 分)
2
6
…………………………3 分
因为 f ( x ) 最小正周期为 π ,所以 2π π ，解得 ω 1 , …………………………4 分 2ω
所以 f ( x ) sin(2 x π ) 1 , 62
………………………… 5 分
所以 f ( 2π ) 1 .
3
2
…………………………6 分
………………………………………………………………13 分
3
所以，直线 A ' B 恒过定点 (0, 4) .
20. (共 13 分）
……………………………………13 分
解：(Ⅰ)由变换 T 的定义可得 A1 : 0,1,1, 0, 0,1
…………………………………2 分
A0 : 1, 0,1
…………………………………4 分
(Ⅱ) 数列 A0 中连续两项相等的数对至少有 10 对
由变换T 的定义及 A0 : 0,1 可得 Ak 中 0 和 1 的个数总相等，且共有 2 k 1 个，
所以 bk 1 lk 2 k ，
所以 lk 2 lk 2 k ，
由 A0 : 0,1 可得 A1 : 1, 0, 0,1 ， A2 : 0,1,1, 0,1, 0, 0,1
所以 l1 1, l2 1 ， 当 k 3 时，
……………………………2 分
所以 O P O M 0 ，即 ( x, y )( x, 4) 0 ………………………………4 分
即 x 2 4 y 0 ，即动点 P 的轨迹W 的方程为 x 2 4 y
……………5 分
（II）设直线 l 的方程为 y kx 4 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，则 A '( x1 , y1 ) .
2013 高考百天仿真冲刺卷
数学(理)试卷（十）参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
B
C
二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分）
9. 6
10. 11
11.
3 ，1
以它们做 x, y 轴，以 O P 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：
A(1, 1, 0) ， B (1,1, 0) ， D (1, 1, 0)
P
F (1,1, 0) ， C (1, 3, 0) ， P (0, 0, 2 ) ，
11 E( , ,
2)，
E
2 22
则OE ( 1 , 1 ,
…………………………………5 分
证明：对于任意一个“0-1 数列” A0 ， A0 中每一个 1 在 A2 中对应连续四项 1,0,0,1，在 A0
中每一个 0 在 A2 中对应的连续四项为 0,1,1,0，
因此，共有 10 项的“0-1 数列” A0 中的每一个项在 A2 中都会对应一个连续相等的数对，
2
16
12. 2
13.
t2 2t
, 4
(t
1) 2
,
(t为 偶 数 ) (t为 奇 数 )
14.
①② , 9
4
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. （共 13 分）
解：（Ⅰ）
1 f ( x ) (1 cos 2 x )
3 sin 2 x
2
2
………………………2 分
1 sin(2 x ) ,
④当 a 1 时，在 (0, 1 ) 和 (1, ) 上 f '( x) 0 ，在 ( 1 ,1) 上 f '( x) 0
2
2a
2a
所以 f ( x ) 在 (0, 1 ) 和 (1, ) 上单调递增，在 ( 1 ,1) 上递减……………………………14 分
2a
2a
19．(共 13 分） 解：（I）由题意可得 O P O M ，
所以 A2 中至少有 10 对连续相等的数对. ……………………………………………8 分
(Ⅲ) 设 Ak 中有 bk 个 01 数对，
Ak 1 中的 00 数对只能由 Ak 中的 01 数对得到，所以 lk 1 bk ，
Ak 1 中的 01 数对有两个产生途径：①由 Ak 中的 1 得到； ②由 Ak 中 00 得到，
由
y x2
kx 4 4y
消
y
整理得
x2
4kx
16
0
，
………………………………6 分
则 16 k 2 64 0 ，即| k | 2 .
………………………………7 分
x1 x2 4 k , x1 x2 16 .
…………………………………9 分
直线 A ' B : y y2
y2 x2
lk 2 lk 4 2k 4
l3 l1 2 上述各式相加可得 lk 1 2 2 3
k 1
2 k 2 1 2 (1 4 2 ) 1 ( 2 k 1) ，
1 4
3
经检验， k
1 时，也满足 lk
1 (2k 3
1)
所以 lk
1 3
(2
k
1 (2k
1), k 为 奇 数 1), k 为 偶 数
y1 x1
(x
x2
)
y
y2 x2
y1 x1
(x
x2 )
y2
y
x22 x12 ( x 4( x1 x2 )
x2 )
1 4
x22
y
x2 4
x1
x
x
2 2
x1 x2 4
1 4
x22
……………………………………12 分
y x2 x1 x x1x2
4
4
即 y x2 x1 x 4 4
2
2a
2a
所以 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( 1 , ) 上单调递增，在 (1, 1 ) 上递减；………………………10 分