第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)
高中数学双曲线常用二级结论
高中数学双曲线常用二级结论什么是双曲线？双曲线是一种函数图形，它是代数曲线中的一种，由经验公式y=a/x所定义，其中x和y均为实数，a为正常数，x不等于0。
双曲线有两条渐近线，它们与横轴的夹角为+/-45度，与纵轴的夹角为0度。
双曲线的形状呈现两条分离的曲线，这些曲线在图形中心相交，从而分离成两个分支。
双曲线的基本图形如下所示。
在数学中，双曲线具有广泛的应用。
它们可以用于估计斜率和角度，催化反应，评估化学反应和蒸汽轮机热力学等方面。
因此，高中数学教育中，双曲线是一个重要的主题。
下面将介绍一些关于双曲线常用二级结论的知识点。
1. 集中组成单胞双曲线常用二级结论的第一个知识点是：单胞可以由两个集中组成。
在双曲线上，我们可以定义一个“单胞”，它是双曲线上的一个面积单位。
一般地，单胞可以由两个集中组成。
单胞可被定义为椭圆和双曲线的交集所构成的图形。
如果我们仔细研究双曲线的图形，我们会发现它由两个分支组成。
这两个分支之间的夹角是一个重要的几何量，可以用来计算单胞的面积。
2. 平行轴切线相等双曲线的第二个常用二级结论是：双曲线上任意两个平行于其中一条渐近线的切线长度相等。
这个结论非常有用，因为它可以用来解决许多和双曲线有关的问题。
例如，如果我们知道了两条平行于渐近线的切线，那么我们就可以计算出这些切线的长度。
这个结论是由于双曲线的形状导致的。
3. 线段的长度与双曲线的距离比例这一结论的具体形式如下：如果我们从一个点x到双曲线上的两条分支的距离为h(x)，线段的长度为l(x)，那么h(x)/l(x)是一个常数，即与x无关。
这个关系可以被用来证明角度的迹线。
例如，如果我们想要找到从双曲线上一个点观察到的最小角度，我们可以在该点处画一条切线，然后将切线向上和向下平移，直到它们与双曲线的两个分支相交。
然后，我们可以应用上述比例关系来计算角度的迹线，从而找到角度的最小值。
4. 焦点、顶点和焦率的关系双曲线上很重要的一个概念是焦点、顶点和焦率。
双曲线的二级结论常用考点
双曲线的二级结论常用考点
双曲线是数学中的一个重要概念，它在数学的多个领域中都有广泛的应用，因此其二级结论常常成为考试的重点。
以下是一些常见的双曲线二级结论的考点：
1. 双曲线的标准方程，双曲线的标准方程是一个重要的基础知识点，它可以帮助我们理解双曲线的性质和特点。
2. 双曲线的焦点和准线，了解双曲线焦点和准线的性质对于解题非常重要，包括焦点与准线的距离、焦点的坐标等。
3. 双曲线的渐近线，渐近线是双曲线的重要性质之一，它与双曲线的图像和性质密切相关。
4. 双曲线的对称性，双曲线的对称性包括关于x轴、y轴和原点的对称性，理解这些对称性对于解题和理解双曲线的性质都非常重要。
5. 双曲线的参数方程，了解双曲线的参数方程可以帮助我们更好地理解双曲线的图像和性质，也是考试中的常见考点。
6. 双曲线的性质，双曲线的离心率、焦距、直径等性质也是常见的考点，理解这些性质对于解题和分析双曲线都非常重要。
总之，双曲线的二级结论常用考点涵盖了双曲线的基本性质、方程、参数方程以及与其他几何图形的关系等内容。
对这些知识点的深入理解和掌握将有助于在考试中取得较好的成绩。
双曲线必备二级结论
双曲线必备二级结论摘要：1.双曲线二级结论概述2.双曲线二级结论详解3.结论应用实例4.总结与建议正文：**双曲线二级结论概述**在数学领域，双曲线是一个重要的几何图形。
双曲线的研究不仅包括基本性质和定义，还包括许多有用的二级结论。
这些结论可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并解决与双曲线相关的问题。
在这篇文章中，我们将探讨一些双曲线必备的二级结论。
**双曲线二级结论详解**1.双曲线标准方程：双曲线的一般形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。
2.焦点和焦点距离：双曲线的焦点到中心的距离为c，满足关系式c^2 = a^2 + b^2。
3.顶点：双曲线的顶点是双曲线与坐标轴的交点，分别为(-a, 0)和(a, 0)。
4.渐近线：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，表示双曲线在无穷远处趋近于直线。
5.焦距：双曲线的焦距为2c，其中c为焦点到中心的距离。
6.离心率：双曲线的离心率e定义为焦点到顶点的距离与焦点到双曲线中心距离的比值，即e = c/a。
**结论应用实例**以下是一些双曲线二级结论的应用实例：1.如果知道双曲线的焦点和一点到焦点的距离，可以确定该点在双曲线上的位置。
2.如果知道双曲线的中心、顶点和一点到顶点的距离，可以确定该点在双曲线上的位置。
3.通过双曲线的渐近线，可以预测双曲线在无穷远处的行为。
4.使用双曲线的离心率，可以计算双曲线的焦距，从而解决焦点相关问题。
**总结与建议**掌握双曲线的二级结论对于解决实际问题非常有帮助。
通过学习这些结论，我们可以更深入地理解双曲线的性质，并提高解决与双曲线相关问题的能力。
建议在学习双曲线时，重点关注这些结论的应用，加深对双曲线的理解。
双曲线中的一些常见结论
双曲线中的一些常见结论一、椭圆的常用结论：1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+；【推论】：1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+。
双曲线十大经典结论
双曲线十大经典结论双曲线是高中数学中的一种常见函数，它具有许多重要的性质和结论。
下面介绍双曲线的十大经典结论，帮助读者更好地理解和应用双曲线函数。
1. 双曲线的定义双曲线是由平面上离两点距离之差与常数2a的比构成的点的集合。
通常表示为y²/a² - x²/b² = 1或x²/a² - y²/b² = 1。
其中，a,b分别为双曲线的焦距。
2. 双曲线的中心对称性双曲线是关于两个焦点的联线的中垂线对称的。
也就是说，双曲线上的任意一点都关于两个焦点的联线的中垂线对称。
3. 双曲线的渐近线双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴成45°的夹角，并且它们趋近于相交于双曲线的中心点。
4. 双曲线的拐点在双曲线上，x轴和y轴的交点处是曲线的拐点。
这些点被称为双曲线的顶点。
5. 双曲线的对称轴双曲线有两条对称轴：一条垂直于x轴，穿过双曲线的中心点；另一条垂直于y轴，在x轴上方和下方各穿过一点。
6. 双曲线的面积公式双曲线y²/a² - x²/b² = 1在x轴上的两个交点为x=-a和x=a，因此曲线所围成的面积为S = 2ab。
7. 双曲线的弦长公式双曲线上的两点之间的弦长为2a*ln((y1+y2)/2)。
其中，y1和y2为两点在y轴上的投影。
8. 双曲线的渐近线方程双曲线的两条渐近线的方程分别为y = x/a和y = -x/a。
9. 双曲线的反函数双曲线函数y = a*cosh(x/a)有反函数x = a*ln(y + sqrt(y² -a²))，其中cosh为双曲余弦函数。
10. 双曲线的应用双曲线广泛应用于物理、天文、工程、经济、金融等领域。
例如，电磁波在介质中的传播规律可以用双曲线函数表示；货币增长模型中的通货膨胀可以用双曲线函数描述。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一．双曲线三大定义定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab ．二．双曲线经典结论汇总1．AB 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM =⋅，即 0202y a x b k AB =． 等价形式：21,A A 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A =⋅． 2．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC-= （常数）．4．P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立．5．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -．6．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22221x y a b+=． 7．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦半径公式：),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF -=+=当),(00y x M 在左支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=8．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x -=-． 9．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x -=-． 10．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上，则过0P 的双曲线的切线方程是12020=-byy a x x ． 11．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为21,P P ，则切点弦 21P P 的直线方程是12020=-byy a x x ． 12．设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于实轴端点）为双曲线上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-．13．若P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上异于实轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则2cot 2tan βα=+-a c a c （或2cot 2tan αβ=+-a c a c ）．14．设B A ,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的实轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=， PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+．15．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，B A ,是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点)0,(0x P ，则220a b x a +≥或220a b x a+≤-．17．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的内角．18．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,，21,A A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点M ，P A 2和Q A 1交于点N ，则NF MF ⊥．【例题解析】【例1】设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若),(R n m OB n OA m OP ∈+=→→→，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．223 B ．553 C ．423 D ．89【例2】双曲线134:22=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是]2,1[，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．]43,21[B ．]43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，若点)2,6(P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22【例4】已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点，若||2||11MF NF =，则双曲线C 的渐进线方程为（ ）A ．x y 33±=B ．x y 3±=C ．x y 22±= D ．x y 2±=【例5】设F 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点Q P ,，若||3||PF FQ =，060=∠FPQ ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．31+ C ．32+ D ．323+【例6】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,两点，且→→=BF AF 3，则双曲线离心率的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D【例8】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ）A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定【例9】如图，已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2 【课堂练习】【1】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．332 D ．3 【2】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足0)(2211=⋅+→→→P F F F P F ，a P F =→||2，线段2PF 与双曲线交于点Q ，若→→=Q F P F 225， 则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 21±= B ．x y 55±= C ．x y 552±= D ．x y 33±=【3】已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则||||21PF PF ⋅等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【4】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，由2F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若21HF F ∆的面积为2b ，则双曲线的渐近线方程为____________．【5】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λλ成立，则λ的值为_______．【6】设双曲线1322=-yx 的左、右焦点分别为21,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∆为锐角三角形，则||||21PF PF +的取值范围是_______．【7】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为_______．【课后作业】 【1】双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．5【3】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13+B ．2C ．3D ．2【4】设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线02034=+-y x 过点F且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点， OP OF =,则双曲线C 的离心率为（ ） A.5 B. 5 C.53 D. 54【5】设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C ．3D ．62【6】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A.324 B. 233 C. 305 D. 52【7】已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+【8】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，AOF △的面积为，则双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 【9】已知双曲线与轴交于、两点，点，则 面积的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【10】双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D.【11】已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A. 33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B. (C. 33⎡⎢⎣⎦D. ⎡⎣ 【12】（2019年全国1卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【13】已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时， ．2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =F A C AOF OAF ∠=∠C 2213612x y -=221186x y -=22193x y -=2213x y -=222214x y b b-=-()02b <<x A B ()0,C b ABC ∆()222210,0x y a b a b-=>>F A F A,P Q PQ (]1,2((]1,3[)3,+∞12y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ⋅=。
双曲线曲线最常用二级结论总结
双曲线曲线最常用二级结论总结摘要：本文总结了双曲线曲线中最常用的二级结论。
从双曲线的定义和性质出发，我们探讨了双曲线的焦点、准线、渐近线等相关概念，并总结了以下二级结论。
本文总结了双曲线曲线中最常用的二级结论。
从双曲线的定义和性质出发，我们探讨了双曲线的焦点、准线、渐近线等相关概念，并总结了以下二级结论。
结论一：双曲线的焦点和准线双曲线的焦点和准线是双曲线重要的几何特征，它们的性质对于研究双曲线的曲线方程和图形非常有帮助。
- 焦点：双曲线的焦点是其中一个焦点到该曲线上任意一点的距离与该点到准线的距离之差的绝对值等于一个常数。
这个常数称为焦点到准线的距离。
- 准线：双曲线的准线是与焦点距离为焦点到准线距离的直线。
结论二：渐近线双曲线的渐近线在研究双曲线的图形时具有重要作用。
- 垂直渐近线：当双曲线的焦点到准线的距离为无穷大时，双曲线的准线有可能成为双曲线的垂直渐近线。
垂直渐近线的方程为x = a 和 x = -a，其中 a 是焦点到准线的距离。
- 斜渐近线：当双曲线的焦点到准线的距离不为无穷大时，双曲线的渐近线有可能为两条斜线。
结论三：离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
- 离心率小于1：当双曲线的焦点到准线的距离大于离心率时，双曲线呈现拱形。
- 离心率等于1：当双曲线的焦点到准线的距离等于离心率时，双曲线呈现抛物线状。
- 离心率大于1：当双曲线的焦点到准线的距离小于离心率时，双曲线呈现接近直线的形状。
结论四：对称性双曲线具有对称性，这一特性对于确定双曲线的图形和方程非常有帮助。
- x 轴对称性：双曲线对 x 轴具有对称性。
具体来说，当点 (x, y) 在双曲线上时，点 (x, -y) 也在双曲线上。
- y 轴对称性：双曲线对 y 轴具有对称性。
具体来说，当点 (x, y) 在双曲线上时，点 (-x, y) 也在双曲线上。
结论五：曲线方程双曲线的通用方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 (a > 0, b > 0)。
高中数学双曲线解题技巧总结
高中数学双曲线解题技巧总结引言本文旨在总结高中数学中关于双曲线解题的基本技巧和方法。
双曲线作为数学中的重要概念，应用广泛，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义可以通过焦点和准线的性质来描述。
在数学中，双曲线被广泛应用于几何推导、物理问题等领域。
双曲线的基本性质1. 双曲线有两个焦点，分别称为焦点F1和焦点F2。
焦点与曲线的准线之间的距离称为焦距。
2. 曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于一个常数，这个常数称为双曲线的离心率。
离心率大于1表示双曲线的形状更加扁平，离心率小于1表示双曲线的形状更加尖锐。
双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，常见的有标准方程和一般方程两种形式。
下面以标准方程为例，介绍解题技巧。
标准方程形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示曲线在x轴和y轴方向的半轴长。
解题技巧1. 初步了解问题，确定曲线类型：根据问题中给出的信息，确定曲线是否为双曲线。
2. 确定焦点和离心率：通过已知条件，确定双曲线的焦点和离心率。
3. 求解方程：将已知信息代入标准方程中，求解未知量。
4. 确定曲线的性质：根据已求得的方程，确定曲线的形状、焦点和离心率。
5. 进一步解题：根据问题要求，进一步求解相关的变量或问题。
示例问题1. 已知双曲线的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求双曲线方程。
2. 已知双曲线的方程为(x^2 / 9) - (y^2 / 16) = 1，求焦点和离心率。
结论通过掌握双曲线的基本性质和解题技巧，我们能够更加灵活地应用数学知识解决相关问题。
希望本文所提供的双曲线解题技巧能够对高中数学研究有所帮助。
参考资料。
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1a
0,b
0 交于
A，B
两点，以
AB
为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若 △ABF 的面积为 4a2 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
【答案】D 【解析】由题意可得图像如下图所示： F 为双曲线的左焦点，
∵ AB 为圆的直径，∴ AFB 90 ，
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
tan
2
cot
2
（或
c c
a a
tan
2
cot
2
）．
14 ． 设
A, B
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的实轴两端点，
P
是双曲线上的一点，
PAB ， PBA ， BPA ， c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有
2
(1) |
PA
|
|
2ab2 | cos | a2 c2co s2
b2
几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为 ．
a2
二．双曲线经典结论汇总
1．
AB 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的不平行于对称轴的弦， M (x0 ,
y0 ) 为
AB 的中点，
则 kOM
k AB
b2 a2
，即
k AB
b2 x0 a2 y0
．
等价形式：
A1
,
A2
是双曲线
AFBF 为矩形，∴ S△ABF
1 2
S
AFBF
S△FBF
，
又
S△FBF
b2 tan45
b2
4a 2
，可得 c2
5a2
，∴ e2
5
e
5 ．故选 D．
【例 8】已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0的左右焦点分别为 F1, F2 ， O 为双曲线的中心，
P 是双曲线右支上的点， PF1F2 的内切圆的圆心为 I ，且圆 I 与 x 轴相切于点 A ，过 F2 作
4． P 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0上任一点， F1, F2 为二焦点，
A 为双曲线内一定点，
则 | AF2 | 2a | PA | | PF1 | ，当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时，等号成
立．
5．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
P0
( x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0外
，则过 P0 作双曲线的两条切线切点为
P1, P2 ，则切点弦
P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1．
12．设双曲线 x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0的两个焦点为 F1, F2, P （异于实轴端点）为双曲线上
当 M (x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a,| MF2 | ex0 a.
8．若 P0 (x0 , y0 )
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0内，则被 P0 所平分的中点弦的方程是
x0 x y0 y x02 y02 ． a2 b2 a2 b2
9．若 P0 (x0 , y0 )
的左、右两支分别交于点 A, B ．若 ABF2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． 4
B． 7
C． 2 3 3
D． 3
【2】如图， F1, F2 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0的左、右焦点，点 P 在第一象限，
且满足 (F1P F1F2 ) F2P 0 ， | F2P | a ，线段 PF2 与双曲线交于点 Q ，若 F2P 5 F2Q ，
R)
，且
mn
2
，则该双曲线的离心率为（
）
9
A． 3 2 2
B． 3 5 5
C． 3 2 4
D． 9 8
【例
2】双曲线 C :
x2 4
y2 3
1
的左、右顶点分别为
A1, A2 ，点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率
的取值范围是[1,2]，那么直线 PA1 斜率的取值范围是（ ）
A．[1 , 3] 24
和 A2Q 交于点 M ， A2P 和 A1Q 交于点 N ，则 MF NF ．
【例题解析】
【例
1】设双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的右焦点为 F
，过点 F
作与 x 轴垂直的直线 l 交
两渐近线于 A, B 两点，与双曲线的其中一个交点为 P ，设 O 为坐标原点，若
OP
m OA
n OB(m, n
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0，
A, B 是双曲线上的两点，线段
AB
的垂直平分线
与 x 轴相交于点 P(x0 ,0) ，则
x0
a2
b2 a
或
x0
a2
b2 a
．
17．点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角．
18．过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P, Q ，A1, A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P
直线 PI 的垂线，垂足为 B ，若 e 为双曲线的离心率，则（ ） A．| OB | e | OA | B． | OA | e | OB | C． | OA || OB | D．| OA | 与| OB | 关系不确定
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
B． y 3x
C． y 2 x 2
D． y 2x
4
【例 5】设 F
为双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲
线 C 的左、右支交于点 P,Q ，若| FQ | 3 | PF | ，FPQ 600 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 3
【4】已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，由 F2 向双曲线
的一条渐近线作垂线，垂足为 H ，若 F1HF2 的面积为 b2 ，则双曲线的渐近线方程为
____________．
【5】已知点 P
为双曲线xΒιβλιοθήκη a2y2 b21a
0,b
0右支上一点， F1, F2 分别为双曲线的左右焦
【7】已知点 P 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0右支上一点，其右焦点为 F2 ，若直线 PF2 的
斜率为 3 ， M 为线段 PF2 的中点，且| OF2 || F2M |，则该双曲线的离心率为_______．
9
【课后作业】
【1】双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左右焦点分别为 F1 ，F2
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． 3
B． 2
C． 3
6
D． 2
【课堂练习】
【1】如图， F1, F2 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线
则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． y 1 x 2
B． y 5 x 5
C． y 2 5 x 5
7
D． y 3 x 3
【3】已知 F1, F2 为双曲线 C ： x2 y2 1 的左、右焦点，点 P 在 C 上， F1PF2 600 ，则
| PF1 | | PF2 | 等于( )
B．1 3
C． 2 3
D． 3 2 3
【例 6】已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0，若存在过右焦点 F
的直线与双曲线交于
A, B
两点，且 AF 3 BF ，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． 2
B． 3
C． 2
D． 2 2
5
【例
7】已知直线
y
kxk
0
与双曲线
x2 a2
y2 b2
【答案】 B
B．[3 , 3] 84
C．[1 ,1] 2
D．[ 3 ,1] 4
3
【例
3】已知斜率为 3 的直线 l 与双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 交于
A, B 两点，若点