关于高等数学经典方法与典型例题归纳
(完整word版)高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。
I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。
它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。
下面通过一个例题来说明这个方法。
例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。
根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。
因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。
故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。
下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。
例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。
然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。
也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。
故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。
下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。
例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。
高数例题及思想总结大全
高数例题及思想总结大全《高数例题及思想总结大全》高等数学作为大学必修课程，是一门抽象概念和复杂计算相结合的学科，对学生的逻辑思维和数学推理能力提出了很高的要求。
下面是一些典型的高等数学例题及其思想总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握高数知识。
1. 极限问题例题：求极限 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$思想总结：这道题是求函数在某点的极限，通过观察不难发现，当$x$趋近于$0$时，$\sin x$也趋近于$0$，而$x$除以$0$的极限又是一个没有定义的数学概念，因此可以考虑换一种形式，即$\frac{\sin x}{x}$除以$\frac{x}{x}$，得到的结果是$\frac{1}{1}$，因此原式的极限等于$1$。
2. 导数问题例题：求函数$f(x)=x^2+3x-2$在$x=2$处的导数。
思想总结：求导数的过程，首先需要计算极限，即$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$，其中$f(x+\Delta x)$就是函数在$x$处的变化量，而$\Delta x$表示$x$的微小变化量。
通过带入函数的表达式，计算得到的极限就是导数的值。
对于这道题，将函数表达式带入上式，计算得到的结果是$7$，因此函数$f(x)=x^2+3x-2$在$x=2$处的导数是$7$。
3. 积分问题例题：计算曲线$y=x^2$在$x=2$到$x=4$之间的面积。
思想总结：积分问题是求函数曲线下的面积，通过将该区域划分成若干个小矩形或小梯形，然后求和得到整个面积。
对于这道题，可以将区域划分成很多个矩形，取矩形的宽度趋近于无穷小，即求极限$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} \frac{4}{n}\cdot (2+\frac{2i}{n})^2$，通过计算得到的极限就是该曲线在$x=2$到$x=4$之间的面积。
高数中值定理总结典型例题
高数中值定理总结典型例题一、罗尔定理罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
典型例题：设f(x)=x3−3x+2，在区间[1,2]上应用罗尔定理。
解答：1.验证f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导。
f(x)=x3−3x+2是多项式函数，在R上连续且可导。
2.计算f(1)和f(2)。
f(1)=13−3×1+2=0f(2)=23−3×2+2=4（注意：虽然f(1)=f(2)，但此步骤是为了展示如何应用定理的验证过程。
实际上，为了应用罗尔定理，我们需要找到一个包含x=1的区间，使得在该区间两端函数值相等。
但在这个例子中，我们直接考虑f(x)在x=1处的性质，并注意到f′(1)=0，这实际上是一个特例，因为罗尔定理的严格条件并未完全满足。
然而，为了教学目的，我们可以假设存在一个包含x=1且满足罗尔定理条件的小区间，或者直接观察f′(x)在x=1处的值。
）3.求导并找到导数为0的点。
f′(x)=3x2−3令f′(x)=0，解得x=±1。
在区间(1,2)内，只有x=1（虽然不在开区间内，但在此我们仅作为示例说明求导过程，并注意到x=1是临界点）。
注意：实际上，在这个例子中，由于f(1)=0且f′(1)=0，x=1是函数的一个零点也是一个驻点（即导数为零的点）。
虽然罗尔定理不能直接应用于这个区间，但我们可以观察到在x=1附近函数的行为符合罗尔定理的直观意义：函数在这一点附近先减后增（或先增后减），因此存在一点使得切线水平（即导数为零）。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f′(c)=b−af(b)−f(a)典型例题：证明：对于任意两个正数a和b（a=b），有2a+b>ab解答：1.定义函数f(x)=x。
高数典型题型
高数典型题型高等数学作为大学数学的重要组成部分，涵盖了众多的题型和知识点。
在学习过程中，熟悉和掌握典型题型对于提高数学水平和应对考试至关重要。
本文将介绍一些高等数学中的典型题型，并提供相应的解题方法和技巧。
一、极限与连续性1. 极限的计算极限是高等数学中的重要概念，常见的极限计算题型包括直接计算、夹逼定理、洛必达法则等。
例如，计算以下极限：Lim(x→0) (sinx/x) = 12. 连续性与间断点连续性是数学中的基本概念，对于函数的连续性可以通过函数图像来进行判断。
常见题型包括判断函数在某点是否连续、寻找间断点等。
例如，判断以下函数在x=0处是否连续：f(x) = {(x^2 - 1)/(x - 1), x ≠ 1; 2, x = 1}二、导数与微分1. 导数的计算导数是函数在某一点的变化率，求导是解决许多问题的基础。
常见题型包括基本函数求导、复合函数求导、隐函数求导等。
例如，计算以下函数的导数：f(x) = sin(x^2)2. 高阶导数与泰勒展开高阶导数可以帮助我们研究函数的性质和变化趋势，泰勒展开则可以用来近似计算复杂函数的值。
常见题型包括计算高阶导数、利用泰勒展开求函数的近似值等。
例如，计算以下函数的泰勒展开式：f(x) = ln(1+x)三、定积分与不定积分1. 定积分的计算定积分是求曲线下某一部分的面积，通过选取适当的积分方法可以解决各种问题。
常见题型包括利用定积分计算面积、计算物理量等。
例如，计算以下定积分：∫[0, π/2] sinx dx2. 不定积分的计算不定积分是定积分的逆运算，可以求得函数的原函数。
常见题型包括基本函数的不定积分、换元法、分部积分等。
例如，计算以下函数的不定积分：∫x^2e^x dx四、微分方程微分方程是研究变量之间关系的方程，解微分方程可以得到函数的具体表达式。
常见题型包括一阶微分方程、二阶微分方程的求解等。
例如，求解以下一阶线性微分方程：dy/dx + y = e^x五、级数与数列1. 数列的性质数列是按照一定规律排列的数的集合，对于数列可以研究其收敛性、极限等性质。
大一高数知识点例题总结
大一高数知识点例题总结在大一的高等数学学习中，知识点的理解和应用是非常重要的。
通过解题可以更好地巩固和运用所学知识，提高数学能力。
下面是一些常见的高等数学知识点和例题总结，希望对你的学习有所帮助。
一、极限和连续函数1. 极限的定义和性质例题：计算lim（n→∞）(1+1/n)^n解析：利用极限的性质，将(1+1/n)^n转化为自然对数的形式，然后利用极限的运算法则求解。
2. 连续函数的定义和性质例题：已知函数f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，在区间[0,π]上讨论f(x)与g(x)的连续性。
解析：分别讨论sin(x)和x^2在[0,π]上的连续性，并结合数列极限的常识判断f(x)和g(x)的连续性。
二、导数和微分1. 导数的定义和性质例题：求函数f(x)=3x^2-4x+1的导数f'(x)。
解析：根据导数的定义求解，利用导数的性质进行简化计算。
2. 微分的定义和性质例题：求函数f(x)=e^x的微分df。
解析：根据微分的定义求解，利用微分的性质简化计算过程。
三、积分1. 定积分的定义和性质例题：求∫(0 to π/2) sin(x)dx。
解析：利用定积分的定义求解，应用积分的性质进行计算。
2. 不定积分的定义和性质例题：求∫(x^2+3x-2)dx。
解析：根据不定积分的定义求解，应用积分的性质进行简化计算。
四、级数1. 数项级数的定义和性质例题：判断级数∑(n=1 to ∞) 1/n^2是否收敛。
解析：利用数项级数的收敛定理判断级数的敛散性。
2. 幂级数的定义和性质例题：判断幂级数∑(n=0 to ∞) x^n是否收敛，并求其收敛域。
解析：利用幂级数的收敛定理判断幂级数的敛散性，并结合比值判别法求解收敛域。
以上是一些大一高等数学中常见的知识点和例题总结。
通过对这些知识点的理解和掌握，相信能够更好地应对高等数学的学习和应用。
希望这些例题总结对你的学习有所帮助！。
高中数学21种解题方法及例题
高中数学21种解题方法及例题高中数学是一门很重要的学科，也是很多学生觉得困难的学科之一。
在解题的过程中，学生通常需要掌握一些解题方法和技巧。
下面我将介绍高中数学中常用的21种解题方法，并给出相应的例题。
1.立体几何解题方法：首先根据题目要求，画出几何图形；然后根据图形的特点，运用相应的几何定理和计算公式，推导出求解所需的等式或关系式；最后代入数据进行计算。
例题：已知正方体的体积是64立方厘米，求正方体的边长。
2.二次函数解题方法：首先确定二次函数的类型，如抛物线开口方向等；然后根据题目要求，列出方程或不等式；最后解方程或不等式，求解出未知数。
例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(-1, 2)和(2, 5)，且在x=1处取得最小值2，求a、b、c的值。
3.反证法解题方法：假设所要证明的结论不成立，推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明假设不成立，即所要证明的结论成立。
例题：证明根号2是无理数。
4.分析法解题方法：根据题目所给的条件，逐步分析问题，提取并利用条件之间的关系，推导出所要求的结论。
例题：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD交于点O，设∠ACD=m，求∠BOD的度数。
5.数字特征解题法：根据题目要求，进行分析，找出问题中的数字特征，并利用特征进行计算或推导。
例题：设a，b，c均为正数，且满足等式a+b+c=1，求最大值3a²+6b+9c²。
6.整体与部分解题方法：把题目所给的整体看成若干个部分，通过对部分的分析和计算，得到整体的结论。
例题：某数的20%是30，求这个数。
7.函数与方程解题方法：根据题目要求，根据函数或方程的性质和变化规律，列出方程或不等式，最后求解未知数。
例题：已知函数f(x)=ax²+bx+c与y轴交于点A，与曲线y=x²交于点B和C，且B(1, 1)，求方程f(x)=0的两个根的和的倒数。
8.逐次逼近法解题方法：通过逐步逼近，不断缩小求解范围，最终得到所要求解的值。
高数大一上知识点总结和例题
高数大一上知识点总结和例题一、导数与微分导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在高数大一上的课程中，我们接触到了一元函数的导数和微分的概念。
在求导的过程中，我们需要掌握一些导数的基本规则，如常数的导数为0、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
此外，还需要熟悉求导法则，如和差法、积法、商法、复合函数求导法等。
例题：求函数f(x)=3x^2+4x-1的导数。
解：根据导数的基本规则以及求导法则，我们可以将f(x)分别求得各项的导数，并进行求和。
首先，对于3x^2，根据幂函数的导数规则，其导数为6x。
然后，对于4x，根据常数倍数的导数规则，其导数为4。
最后，对于-1，由于其为常数项，其导数为0。
因此，f(x)的导数为6x+4。
二、极限与连续极限是数学中的重要概念，它描述了一个函数在某一点上的趋势。
在高数大一上的课程中，我们学习了一元函数的极限和连续的概念。
在求极限的过程中，我们需要掌握一些常用的极限计算方法，如利用基本极限、夹逼定理、无穷小代换等。
对于连续函数，我们需要了解连续函数的定义以及连续函数的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
例题：计算极限lim(x->0)(sinx/x)。
解：在计算该极限时，我们可以利用泰勒展开或利用无穷小代换来计算。
首先，根据泰勒展开的形式，我们知道sinx在x=0附近的展开式为x-x^3/3!+...。
因此，当x接近于0时，sinx/x的值接近于1。
另外，我们也可以将该极限转化为求函数f(x)=sinx/x在x=0处的导数的极限。
利用导数的定义，我们可以求得f'(x)=cosx/x-sinx/x^2，然后计算极限lim(x->0)(cosx/x-sinx/x^2)。
通过化简和分子有理化，我们可以求得该极限的值为1。
因此，极限lim(x->0)(sinx/x)的值为1。
三、微分中值定理与求曲线斜率微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一元函数在某一区间内存在某点的导数等于该区间上函数的平均变化率。
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2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五 曲天尧 编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x例4：求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1+，最后凑指数部分。
【解】2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→xx a x a x ，求a 。
5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x-,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。
例7：求极限0ln(1)lim1cos x x x x →+=-【解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.例8：求极限xxx x 30tan sin lim -→【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 6．用洛必达法则求极限例9：求极限220)sin 1ln(2cos ln lim xx x x +-→ 【说明】∞∞或0型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→xx xx x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxxx xxx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 00)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限例11：极限xx x 2)]1ln(1[lim ++→【解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00e ee x x x x x x ==+++→→【注】对于∞1型未定式)()(limx g x f 的极限，也可用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -因为例12：求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解1】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 【解2】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫⎪⎝⎭= 8．利用Taylor 公式求极限例13 求极限 ) 0 ( ,2lim 20>-+-→a xa a x x x . 【解】 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x ο+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x axο++-=-;∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ο. 例14 求极限011lim (cot )x x x x→-. 【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x→→--= 333011()()12!3!lim 3x x x x ο→-+==.9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限21sinlim n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限611sin 11011sin 222lim lim 1sin lim -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+e eex x y y y y x x x x x x所以，6121sin lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛e n n n n10．n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限. 例16：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n Λ 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。
⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→10)(211lim dx x f n n f n f n f n n Λ【解】原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→222112111111lim n n n n n n Λ 例17：极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ 【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n f n f n f n n Λ211lim 的形式，因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ 因为11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n Λ又 nn nn +∞→2lim11lim2=+=∞→n n n所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ＝１ 11．单调有界数列的极限问题例18：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==L（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=L ，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim nn x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 61sin 01sin 110032221lim lim sin 1lim --→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+++eee x x xx x x x x x x xx(使用了洛必达法则)故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 二、常见不定积分的求解方法的讨论0. 引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。