4.关联速度
专题+关联速度的问题
N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端
靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是（
）
A．v0
B．2v0
C．
D
．
ℎ
1
解析：设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 = 2ℎ = 2
A．
B．
C．
D．
）
绳下端实际速度0
绳上端实际速度
1.使下端绳子伸长
将0 沿绳方向分解为⁄⁄ = 0 cos
2.使下端绳子旋转
将0 沿垂直于绳方向分解为⊥ = 0 sin
作用效果
作用效果
使上端绳子缩短
绳子下端伸长的速度⁄⁄ 和上端缩
短的速度大小相等，即⁄⁄ =
绳子的“关联”速度问题
杆以及相互接触物体的“关联”速度问题
变换参考系相关的运动合成与分解
02
典例分析
【例题】如图所示，物体放在水平平台上，系在物体上的绳子跨过定滑轮，由地
面上的人以速度 向右水平匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳
与水平方向夹角为30°处，此时物体的速度为（
即 = 30°；将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度1 和垂直杆转动的速度2 ，由矢量三角形可知
1 = 0 =
故选C。
3
3
0 ；而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 0 ，
2
2
4．光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入
第五讲 关联速度
第五讲关联速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．图5-1 图5-２类型2绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度。
类型3直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为：ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得：ω＝(ｖｓｉｎ2θ)/(Ｒｃｏｓθ)．例2如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２)ｖＡ1；ｖ2＝(/２)ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６)ｖ，由此求得ｖB2＝(/６)ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２)（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６)ｖ．两解殊途同归．例3如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心)，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心)的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα)．例4如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO 及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖO sinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14图5-15 ｒω－ｖO ｓｉｎα＝ｖ．① 又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO ＝Ｒω，② 由①、②两式可解得ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)，自行证明．例6如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17 分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn ，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn ＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２)．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ)＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα)/(Ｒ＋ｒ)ｖ．例7如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为：ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。
连杆传动关联速度计算公式
连杆传动关联速度计算公式在工程学和机械设计中，连杆传动是一种常见的机械传动方式，它通过连接两个或多个连杆，将旋转运动转换为直线运动或者将直线运动转换为旋转运动。
在连杆传动中，我们经常需要计算其关联速度，以便确定传动装置的运行速度和性能。
本文将介绍连杆传动关联速度的计算公式及其应用。
连杆传动关联速度计算公式。
在连杆传动中，如果已知某一连杆的角速度和长度，我们可以通过以下公式计算其关联速度：V = ω r。
其中，V表示关联速度，ω表示连杆的角速度，r表示连杆的长度。
这个公式表明，关联速度与角速度和连杆长度成正比，角速度越大、连杆长度越长，关联速度就越大。
在实际工程中，我们经常需要计算多个连杆的关联速度。
在这种情况下，我们可以利用以下公式计算多个连杆的关联速度：V = ω1 r1 + ω2 r2 + ... + ωn rn。
其中，V表示多个连杆的关联速度，ω1、ω2、...、ωn分别表示各个连杆的角速度，r1、r2、...、rn分别表示各个连杆的长度。
这个公式表明，多个连杆的关联速度等于各个连杆的角速度与长度的乘积之和。
连杆传动关联速度计算的应用。
连杆传动关联速度的计算公式在机械设计和工程实践中有着广泛的应用。
首先，通过计算关联速度，我们可以确定传动装置的运行速度。
这对于机械设备的设计和优化非常重要，可以帮助工程师确定传动装置的工作性能和运行参数，从而确保设备的正常运行。
其次，通过计算关联速度，我们可以评估传动系统的稳定性和可靠性。
传动系统的稳定性和可靠性与关联速度密切相关，通过计算关联速度，我们可以评估传动系统的工作状态和性能，从而及时发现和解决潜在的问题，确保传动系统的安全运行。
此外，通过计算关联速度，我们还可以进行传动系统的优化设计。
在传动系统的设计过程中，我们可以通过调整连杆的长度和角速度，来实现传动系统的性能优化，提高传动效率和能量利用率，从而降低能源消耗和成本。
总之，连杆传动关联速度的计算公式在机械设计和工程实践中有着重要的应用。
“关联”速度问题模型归类例析
关联”速度问题模型归类例析绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。
绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。
②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
、绳相关联问题1.一绳一物模型1）所拉的物体做匀速运动例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e 时，船的速度为u,此时人的拉力大小为T,则此时小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。
即按图 3 所示进行分解，则水错选 B 选项.平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e ，会2)匀速拉动物体例2 如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？解析方法1——微元分析法取小角度e ,如图5所示，设角度变化e 方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。
做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方2.两绳一物模型例3 如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住个物体 A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。
(推荐)关联速度的问题
（推荐）关联速度的问题
关联速度是指在数据分析中，计算两个或多个变量之间关系的速度。
以下是几种提高关联速度的方法：
1. 数据压缩：对于大型数据集，可以使用数据压缩技术来减少数
据的体积，从而提高关联分析的速度。
2. 并行计算：使用并行计算技术可以将计算任务分配给多个处理
器或计算机进行并行处理，从而加快关联分析的速度。
3. 使用索引：在进行关联分析时，可以使用索引来加快数据的检
索速度，从而提高关联分析的效率。
4. 数据预处理：在进行关联分析之前，对数据进行预处理，如去
除重复项、缺失值处理等，可以减少数据的量，从而提高关联分
析的速度。
5. 采样方法：对于大型数据集，可以使用采样方法来获取一个较
小的数据子集，然后对子集进行关联分析，从而提高关联速度。
6. 使用高效的算法：选择适合的关联算法是提高关联速度的关键。
一些高效的关联算法如Apriori算法、FP-Growth算法等。
7. 数据分区：将数据划分为多个分区，然后对每个分区进行独立
的关联分析任务，最后将结果合并，可以提高关联速度。
8. 内存优化：合理利用内存可以减少磁盘读写的次数，从而提高
关联分析的速度。
关联速度的问题
关联速度的问题【专题概述】1、什么就是关联速度:用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。
2、解此类题的思路:思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度(2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在:①沿绳方向的伸长或收缩运动;②垂直于绳方向的旋转运动。
解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则3、解题方法:把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示【典例精讲】1、绳关联物体速度的分解典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( )A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为2v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动2、杆关联物体的速度的分解典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( )A. 水平向左,大小为vB. 竖直向上,大小为vtanθC. 沿A杆向上,大小为v/cosθD. 沿A杆向上,大小为vcosθ3、关联物体的动力学问题典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( )A. 物体A做加速运动B. 物体A做匀速运动C. F T可能小于mgsinθD. F T一定大于mgsinθ【总结提升】有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。
“关联”速度问题模型归类例析
关联”速度问题模型归类例析绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
“关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。
绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。
②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
“关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
一、绳相关联问题1.一绳一物模型（1）所拉的物体做匀速运动例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e时，船的速度为U,此时人的拉力大小为T,则此时（）小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。
即按图 3 所示进行分解，则水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e，会错选 B 选项.（2）匀速拉动物体例2如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？解析方法1——微元分析法取小角度e ，如图 5 所示，设角度变化e方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。
做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方2.两绳一物模型例3如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住一个物体A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。
关联速度的分解资料讲解
关联速度的分解收集于网络，如有侵权请联系管理员删除“关联”速度的分解在高中运动的合成与分解教学中，学生常对该如何分解速度搞不清楚、或很难理解，其主要原因是无法弄清楚哪一个是合速度、哪一个是分速度．这里有一个简单的方法：物体的实际运动方向就是合速度的方向，然后分析这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．一、绳、杆连接的物体绳、杆等连接的物体，在运动过程中，其两端物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，称为“关联”速度．关联速度的关系——物体沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等．因此，求这类问题时，首先要明确绳连物体的速度为合速度，然后将两物体的速度分别分解成沿绳方向和与绳垂直方向，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出．例1．如图1-1所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？解析：绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图1-2所示进行分解．其中：v =v 物cos θ，使绳子收缩，v ⊥=v 物sin θ使绳子绕定滑轮上的A 点转动，所以v 物=cos v ． 例2．一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图2-1所示，物块以速度v 向右运动，试求当杆与水平方向夹角为θ时，小球A 的线速度v A 图1-图1-2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除图4解析：选取物与棒接触点B 为连结点，B 点的实际速度（合速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2，因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解．由速度矢量分解图得v 2=v sin θ，设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ，令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h ，故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h ．例3．如图3-1所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置，SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？ 解析：由几何光学知识可知，当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则∠SOS ′=60°，此时OS ′=L /cos60°，选取光点S ′为连结点，该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动速度v 1和绕O 点转动线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图3—2可得：v 1=v sin60°,v 2=v cos60°，又由圆周运动知识可得，光线OS ′绕O 转动角速度为2ω，则：v 2=2ωL /cos60°，vc os60°=2ωL /cos60°,解得v =8ωL ．二、相互接触的物体求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出．例4．一个半径为R 的半圆柱沿水平方向向右以速度v 0匀速运动．在半圆柱上放置一根竖直杆，此杆只图2—1 图2—2图3-1 图3—2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 能沿竖直方向运动，如图4所示．当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度．解析：设竖直杆运动的速度为v 1，方向竖直向上，由于弹力沿OP 方向，所以有v v 01、在OP 方向的投影相等，即有v v 01sin cos θθ=，解得v v 10=tan θ．。
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v 【答案】 v' cos
减速
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二） 典例2：如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度v前进，
则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起的物体M的速度为 vM = 。 1、画出绳上需要研究的点（通 常是端点）的实际速度（合速 度）； 2、将该点的实际速度进行分解 (沿绳的方向以及垂直于绳的方 向分解) 3、列等式。 (因为绳子既不能 伸长，也不能缩短，故各点沿 着绳子的分速度相等)
α
α
V杆
vb
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二）
“绳（杆）拉物体”模型的主要思路： （1）物体的实际运动为合运动； （2）沿绳（或杆）的运动为一个分运动；垂 直于绳（或杆）的运动为另一个分运动。 （3） “关联速度”特点：沿绳 (或杆)方向 的速度分量大小相等．
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二）
谢谢大家！
典例5： 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面 分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连 如图。当细直棒与水平杆夹角为α 时，求两小球 实际速度之比va∶vb 解析： 对于a: v杆 va sin
对于b : v杆: vb sin
面上运动，当α=450，β=300时，物体A的速度为2 m/s， 这时B的速度为 。
对于A : v绳 v A cos , 对于B : v绳 v B cos v A cos v B cos
B
v绳
vB
A
v绳
vA
2 6 m / s 【答案】 v B 3
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二）
v
vM
【答案】
v M v cos
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二） 典例3：如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A，用
细绳通过定滑轮拉动物体B在水平桌面上运动，当绳与水平
面夹角为θ时，物体B的速率为
B
，
v
A
v sin
【答案】
vB=vsinθ
v
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二） 典例4：如图所示，A、B两物体用细绳相连，在水平
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二）
第一章
抛体运动
2. 运动的合成与分解
（4）运动的合成与分解的应用（二） 关联速度问题
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二）
“绳+物”问题
B
A
vA
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二） 绳子连带问题： ①沿绳方向直线运动
v0
②以定滑轮为圆心垂直绳的转动
v1=v0 θ
V=？
注意： 实际的运动是合运动 实际的速度是合速度
v2
1.2.4 运动的合成与分解的应用（二） 典例1：如图所示，纤绳以恒定速率v沿水平方向通过定滑轮牵
引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船靠岸的速度是 ；
若使船匀速靠岸，则纤绳的速度是
减速）
。（填：匀速、加速、
v'
v
解题步骤： 1、确定合速度（实际速度）