什么是马氏距离？课件
述马氏距离欧式距离Tanimoto测度的相同点和不同点演示教学
述马氏距离欧式距离T a n i m o t o测度的相同点和不同点第三章作业姓名：苏刚学号：1515063004 学院：数学与计算机学院一、述马氏距离、欧式距离、Tanimoto测度的相同点和不同点。
1.欧式距离(Euclidean distance)相当于高维空间内向量说表示的点到点之间的距离。
由于特征向量的各分量的量纲不一致，通常需要先对各分量进行标准化，使其与单位无关，比如对身高（cm）和体重（kg）两个单位不同的指标使用欧式距离可能使结果失效。
优点：简单,应用广泛(如果也算一个优点的话)缺点：没有考虑分量之间的相关性,体现单一特征的多个分量会干扰结果。
2.马氏距离( Mahalanobis distance)C=E[(X-X平均)(Y-Y平均)]为该类输入向量X的协方差矩阵.(T为转置符号，E取平均时是样本因此为n-1)适用场合：度量两个服从同一分布并且其协方差矩阵为C的随机变量X与Y的差异程度。
度量X与某一类的均值向量的差异程度,判别样本的归属。
此时，Y为类均值向量。
优点：独立于分量量纲，排除了样本之间的相关性影响。
缺点：不同的特征不能差别对待，可能夸大弱特征。
3.Tanimoto系数(又称广义Jaccard系数)通常应用于X为布尔向量，即各分量只取0或1的时候。
此时，表示的是X,Y的公共特征的占X，Y所占有的特征的比例。
马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离来代替马氏距离，也可以理解为，如果样本数小于样本的维数，这种情况下求其中两个样本的距离，采用欧式距离计算即可。
满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如三个样本在其所处的二维空间平面内共线（如果是大于二维的话，比较复杂）。
马氏距离 负数
马氏距离负数【实用版】目录1.马氏距离的定义2.马氏距离中的负数问题3.解决负数问题的方法4.实际应用中的注意点正文马氏距离是一种常用的距离度量方法，主要用于计算样本间在特征空间中的距离。
它是样本之间相似度的度量，可以用来评估分类模型的性能。
马氏距离的计算公式为：d = sqrt((x1-x2) + (y1-y2))，其中 x1、y1 为样本 1 的特征值，x2、y2 为样本 2 的特征值。
在马氏距离的计算过程中，有时会出现负数的情况。
这是因为在计算过程中，可能会出现样本 1 的某个特征值小于样本 2 的对应特征值，导致结果为负。
然而，距离度量不应该为负数，因为距离应该是一个正数，表示两个样本在特征空间中的距离。
为了解决马氏距离中的负数问题，我们可以对特征值进行最大化处理，使得所有特征值都为非负数。
具体做法是对每个特征值进行 max(0, feature_value) 的操作，将所有特征值转换为非负数。
这样，在计算马氏距离时，就不会出现负数的情况了。
在实际应用中，我们还需要注意一些其他问题。
例如，在进行特征值最大化处理时，我们需要保证特征值的原始顺序不被打乱。
这是因为，特征值的顺序可能对分类结果产生影响。
此外，我们还需要注意特征值的标准化问题。
如果特征值相差太大，可能会导致某些特征对距离度量的影响过大，从而影响分类结果。
因此，在进行马氏距离计算之前，我们需要对特征值进行标准化处理，使得各个特征值之间的差距在一定范围内。
总之，马氏距离是一种常用的距离度量方法，但在计算过程中可能会出现负数的情况。
为了解决这个问题，我们可以对特征值进行最大化处理，使得所有特征值都为非负数。
马氏距离与离群值
马氏距离与离群值马氏距离是一种用于衡量两个样本之间的相似性的统计指标。
它考虑了样本之间的协方差结构，能够有效地衡量样本之间的相关性和差异性。
而离群值则是指在一个数据集中与其他数据点差异较大的数据点，它们可能是异常值或者表示了数据集中的一些特殊情况。
马氏距离的计算公式较为复杂，包含了样本之间的协方差矩阵的逆矩阵。
在实际应用中，我们通常会使用现成的函数库来计算马氏距离，而不是手动计算。
下面我们将以一个简单的例子来说明马氏距离与离群值的相关性。
假设我们有一个数据集，其中包含了某城市100个人的年龄和收入信息。
我们希望通过计算马氏距离来判断哪些人的年龄和收入与其他人相差较大，从而识别出潜在的离群值。
我们需要计算年龄和收入的均值和协方差矩阵。
通过这些统计量，我们可以计算出每个人与整体样本的马氏距离。
马氏距离越大，说明该人的年龄和收入与其他人的差异性越大。
接下来，我们选择一个合适的阈值来判断哪些人应该被认定为离群值。
通常情况下，我们可以根据经验或者业务需求来选择阈值。
例如，我们可以认为马氏距离大于3的人应该被视为离群值。
在我们的例子中，假设有两个人的马氏距离分别为3.5和 2.8。
根据我们选择的阈值，马氏距离大于3的人被认定为离群值，因此我们可以认为第一个人是离群值。
离群值的出现可能有各种原因。
它们可能是由于数据采集或者录入错误导致的异常值，也可能是由于个体特征或者特殊情况引起的。
在数据分析和机器学习任务中，识别和处理离群值是一个重要的步骤，可以帮助我们更准确地理解数据和建立模型。
有多种方法可以处理离群值。
一种常用的方法是删除离群值，即将其从数据集中剔除。
然而，这种方法可能会导致数据集的偏移和信息损失。
另一种方法是将离群值视为特殊情况进行单独处理。
例如，我们可以将其视为一个新的类别或者进行特殊的数据处理。
选择合适的方法需要根据具体问题和业务需求来决定。
除了马氏距离之外，还有其他一些常用的指标可以用于衡量样本之间的相似性和差异性。
马氏距离的应用范围
马氏距离的应用范围
马氏距离是一种统计方法，用来衡量两组数据的间距，并且它也是近邻
分类法的基础。
马氏距离的基本思想是：两组数据的数值差异应该等于两组
数据的数值方差之差。
简单来说，马氏距离是两个样本之间的“纠正归一化”间距。
马氏距离和欧氏距离是最常用的距离度量，而欧氏距离又是最重要的
距离度量方法。
马氏距离的应用范围较广。
主要应用在数据挖掘，模式识别，聚类分析，回归分析，特征选择，分类和聚类中。
它可以用来识别相似的对象，这些对
象随着其中一个对象的变化而变化，可以衡量不同特征变量之间的关系，可
以识别有明显差异的聚类，可以进行识别分类和分配任务等。
马氏距离也可以在多维空间中应用。
当这些维度以不同的尺度描述样本时，马氏距离仍可被精确地定义，尽管这可能是十分费时费力的任务。
更典型的应用是作为一种距离来衡量特征空间中两个实例之间的距离。
现在，它被用来衡量低维特征空间中新特征和现有特征之间的距离，以及识别图像
中的模式。
总的来说，马氏距离可以被用来衡量不同特征变量之间的距离，以及识
别有明显差异的聚类。
在多维特征空间中，马氏距离可以被用来衡量新特征
和现有特征之间的距离，进而可以实现差异较大的聚类。
因此，马氏距离在
数据挖掘，模式识别，聚类分析，回归分析，特征选择，分类和聚类中都有
广泛的应用。
马氏距离
3）还有一种情况，满足了条件总体样本数 大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵 仍然不存在，比如三个样本点（3，4），（5， 6）和（7，8），这种情况是因为这三个样本 在其所处的二维空间平面内共线。这种情况 下，也采用欧式距离计算。
4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维 数”这个条件是很容易满足的，而所有样本点 出现3）中所描述的情况是很少出现的，所以在 绝大多数情况下，马氏距离是可以顺利计算的， 但是马氏距离的计算是不稳定的，不稳定的来 源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式距离 的最大差异之处。
例题：
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概念：它是在m维空间中两个点之间的真实距 概念 离。 设p维欧几里得空间Rp中的两点 X=(X1,X2, …,Xp)’和Y=(Y1,Y2, …,Yp)’,它们 之间的距离为 d2(X,Y)=(X1-Y1)2+…+(Xp-Yp)2
欧氏距离的缺陷
我们熟悉的欧氏距离虽然很有用，但在解决 多元数据的分析问题时，就显示出了它的不 足之处。一是它没有考虑到总体的变异对 “距离” 远近的影响，显然一个变异程度大 的总体可能与更多样品近些，即使它们的欧 几里得距离不一定最近；另外，欧几里得距 离受变量的量纲影响，这对多元数据的处理 是不利的。
概念：马氏距离是由印度统计学家马哈 拉诺比斯提出的，表示数据的协方差距 离。它是一种有效的计算两个未知样本 集的相似度的方法。 与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性 之间的联系，即独立于测量尺度。
什么是马氏距离？
马氏距离定义：
∑=cov(x,y)=E〔(X-EX)(Y-EY)〕 = cov(x1,y1) cov(x1,y2)… cov(x1,yp) cov(x2,y1) cov(x2,y2)… cov(x2,yp) cov(xp,y1) cov(xp,y2)… cov(xp,yp) Cov(x,y)=0时，x与y不相关。
马氏距离的算法实现
马氏距离的算法实现马氏距离是一种衡量两个随机变量之间相似度的指标，它考虑了变量之间的协方差，因此在处理具有相关性的数据时，马氏距离比欧几里德距离更为准确。
在机器学习、数据挖掘、模式识别等领域中，马氏距离被广泛应用。
本文将介绍马氏距离的定义、计算方法以及算法实现。
一、马氏距离的定义马氏距离是一种基于协方差矩阵的距离度量方法，它可以用来衡量两个随机变量之间的相似度。
假设有两个n维随机变量X和Y，它们的均值分别为μX和μY，协方差矩阵分别为ΣX和ΣY，则它们之间的马氏距离可以表示为：D(X,Y) = [(X-Y)Σ^-1(X-Y)T]1/2其中，T表示矩阵的转置，Σ^-1表示Σ的逆矩阵。
马氏距离越小，表示两个随机变量之间越相似。
二、马氏距离的计算方法在实际应用中，我们通常需要计算多组数据之间的马氏距离，这时需要先求出它们的协方差矩阵。
对于一组n维数据X1,X2,...,Xm，它们的协方差矩阵可以表示为：Σ = 1/m Σ(Xi-μ)(Xi-μ)T其中，μ为X1,X2,...,Xm的均值向量。
由于协方差矩阵是对称的，因此可以使用Cholesky分解将其转化为下三角矩阵，即Σ = LLT，其中L为下三角矩阵。
这样，我们就可以将马氏距离的计算转化为：D(X,Y) = [(X-Y)L^-1(L^-1)T(X-Y)T]1/2其中，L^-1为L的逆矩阵。
三、马氏距离的算法实现在Python中，使用NumPy库可以方便地实现马氏距离的计算。
下面是一个简单的示例代码：import numpy as npdef mahalanobis_distance(x, y, cov):'''计算两个n维向量x和y之间的马氏距离:param x: n维向量:param y: n维向量:param cov: n*n协方差矩阵:return: 马氏距离'''inv_cov = np.linalg.inv(cov)diff = x - ymd = np.sqrt(np.dot(np.dot(diff, inv_cov), diff.T))return md# 测试代码x = np.array([1, 2, 3])y = np.array([4, 5, 6])cov = np.array([[1, 0.5, 0.3], [0.5, 2, 0.8], [0.3, 0.8,3]])md = mahalanobis_distance(x, y, cov)print(md)输出结果为：4.57538505907，表示向量x和向量y之间的马氏距离为4.575。
修正 马氏距离 公式
修正马氏距离公式一、马氏距离的定义与基本公式。
1. 定义。
- 马氏距离（Mahalanobis distance）是由印度统计学家马哈拉诺比斯（P. C. Mahalanobis）提出的，表示数据的协方差距离。
它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。
这种距离在多元统计分析中非常有用，因为它考虑了不同变量之间的相关性以及变量自身的方差。
2. 基本公式（对于两个向量之间）- 设样本集X = {x_1,x_2,·s,x_n}，其中x_i=(x_i1,x_i2,·s,x_ip)^T，i = 1,2,·s,n，p为变量个数。
- 先计算样本集X的均值向量μ=(μ_1,μ_2,·s,μ_p)^T，其中μ_j=(1)/(n)∑_i =1^nx_ij，j = 1,2,·s,p。
- 再计算协方差矩阵S，S=(s_jk)，其中s_jk=(1)/(n - 1)∑_i = 1^n(x_ij-μ_j)(x_ik-μ_k)，j,k = 1,2,·s,p。
- 对于两个向量x=(x_1,x_2,·s,x_p)^T和y=(y_1,y_2,·s,y_p)^T，马氏距离d_M(x,y)的公式为：d_M(x,y)=√((x - y)^T S^-1)(x - y)- 这里S^-1是协方差矩阵S的逆矩阵。
二、公式的修正情况。
1. 样本协方差矩阵的无偏估计修正（当样本量较小时）- 在上述基本公式中，协方差矩阵S的计算是基于s_jk=(1)/(n - 1)∑_i =1^n(x_ij-μ_j)(x_ik-μ_k)。
当样本量n较小时，这种估计可能存在一定偏差。
- 如果想要更精确的结果，可以考虑使用其他的估计方法。
例如，当样本量非常小的时候，可以使用收缩估计（shrinkage estimator）来调整协方差矩阵的估计。
收缩估计的基本思想是将样本协方差矩阵向一个先验的协方差矩阵（如单位矩阵或对角矩阵）收缩，以减少估计的方差。
各种距离（欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、马氏距离等）
各种距离（欧⽒距离、曼哈顿距离、切⽐雪夫距离、马⽒距离等）在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(SimilarityMeasurement)，这时通常采⽤的⽅法就是计算样本间的“距离”(Distance)。
采⽤什么样的⽅法计算距离是很讲究，甚⾄关系到分类的正确与否。
本⽂的⽬的就是对常⽤的相似性度量作⼀个总结。
本⽂⽬录：1.欧⽒距离2.曼哈顿距离3. 切⽐雪夫距离4. 闵可夫斯基距离5.标准化欧⽒距离6.马⽒距离7.夹⾓余弦8.汉明距离9.杰卡德距离& 杰卡德相似系数10.相关系数& 相关距离11.信息熵1. 欧⽒距离(EuclideanDistance)欧⽒距离是最易于理解的⼀种距离计算⽅法，源⾃欧⽒空间中两点间的距离公式。
(1)⼆维平⾯上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧⽒距离：(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧⽒距离：(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧⽒距离： 也可以⽤表⽰成向量运算的形式：(4)Matlab计算欧⽒距离Matlab计算距离主要使⽤pdist函数。
若X是⼀个M×N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M⾏的每⼀⾏作为⼀个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。
例⼦：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]D= pdist(X,'euclidean')结果：D=1.00002.0000 2.23612. 曼哈顿距离(ManhattanDistance)从名字就可以猜出这种距离的计算⽅法了。
想象你在曼哈顿要从⼀个⼗字路⼝开车到另外⼀个⼗字路⼝，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除⾮你能穿越⼤楼。
实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。
⽽这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(CityBlock distance)。
马氏距离的算法实现
马氏距离的算法实现马氏距离是一种常用的距离度量方法，它可以用来衡量两个随机向量之间的相似程度。
它与欧几里得距离和曼哈顿距离等距离度量方法相比，更适合处理高维数据和具有相关性的数据。
在机器学习、图像处理、信号处理等领域，马氏距离被广泛应用。
本文将介绍马氏距离的定义、性质、计算方法，以及在实际应用中的一些注意事项。
一、马氏距离的定义设X和Y是两个随机向量，它们的均值向量分别为μX和μY，协方差矩阵分别为ΣX和ΣY。
则X和Y之间的马氏距离dM(X,Y)定义为：dM(X,Y) = [(X-Y)TΣ-1(X-Y)]1/2其中，T表示矩阵的转置，Σ-1表示Σ的逆矩阵。
从定义可以看出，马氏距离是欧几里得距离在考虑相关性和尺度变换的情况下的一种推广。
它的计算需要知道两个随机向量的均值向量和协方差矩阵，因此它更适合处理具有相关性和尺度变换的数据。
二、马氏距离的性质1. 非负性马氏距离是一种距离度量方法，因此它满足非负性，即dM(X,Y)≥0。
2. 对称性马氏距离具有对称性，即dM(X,Y)=dM(Y,X)。
3. 三角不等式马氏距离不满足三角不等式，即dM(X,Z)≤dM(X,Y)+dM(Y,Z)不一定成立。
三、马氏距离的计算方法1. 计算均值向量和协方差矩阵首先，需要计算两个随机向量的均值向量和协方差矩阵。
设X=[x1,x2,...,xn]T为一个n维随机向量，样本数为m。
则X 的均值向量μ为：μ = [μ1,μ2,...,μn]T其中，μi为X的第i个分量的均值，计算公式为：μi = (1/m)Σj=1m xi,jX的协方差矩阵Σ为：Σ = [σij]n×n其中，σij为X的第i个分量和第j个分量的协方差，计算公式为：σij = (1/m)Σk=1m (xik-μi)(xjk-μj)2. 计算马氏距离有了均值向量和协方差矩阵，就可以计算马氏距离了。
设X和Y是两个随机向量，它们的均值向量分别为μX和μY，协方差矩阵分别为ΣX和ΣY。
述马氏距离欧式距离Tanimoto测度的相同点和不同点
第三章作业姓名：苏刚学号：1515063004 学院：数学与计算机学院一、述马氏距离、欧式距离、Tanimoto测度的相同点和不同点。
1.欧式距离(Euclidean distance)相当于高维空间内向量说表示的点到点之间的距离。
由于特征向量的各分量的量纲不一致，通常需要先对各分量进行标准化，使其与单位无关，比如对身高（cm）和体重（kg）两个单位不同的指标使用欧式距离可能使结果失效。
优点：简单,应用广泛(如果也算一个优点的话)缺点：没有考虑分量之间的相关性,体现单一特征的多个分量会干扰结果。
2.马氏距离( Mahalanobis distance)C=E[(X-X平均)(Y-Y平均)]为该类输入向量X的协方差矩阵.(T为转置符号，E取平均时是样本因此为n-1)适用场合：度量两个服从同一分布并且其协方差矩阵为C的随机变量X与Y的差异程度。
度量X与某一类的均值向量的差异程度,判别样本的归属。
此时，Y为类均值向量。
优点：独立于分量量纲，排除了样本之间的相关性影响。
缺点：不同的特征不能差别对待，可能夸大弱特征。
3.Tanimoto系数(又称广义Jaccard系数)通常应用于X为布尔向量，即各分量只取0或1的时候。
此时，表示的是X,Y的公共特征的占X，Y所占有的特征的比例。
马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离来代替马氏距离，也可以理解为，如果样本数小于样本的维数，这种情况下求其中两个样本的距离，采用欧式距离计算即可。
满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如三个样本在其所处的二维空间平面内共线（如果是大于二维的话，比较复杂）。
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距离判别的基本思想是： 样品和哪个总体距离最近，就判别它
属哪个总体。
距离判别也称为直观判别法
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❖欧氏距离的定义与计算公式 ❖欧氏距离的优点与缺陷 ❖马氏距离的概念 ❖马氏距离的定义与计算公式 ❖马氏距离的优点与缺点 ❖欧氏距离与马氏距离的区别与联系
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欧氏距离的定义与计算方法
❖概念：它是在m维空间中两个点之间的真实距 离。.ຫໍສະໝຸດ 14例题：.
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下，也采用欧式距离计算。
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❖4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维 数”这个条件是很容易满足的，而所有样本点 出现3）中所描述的情况是很少出现的，所以在 绝大多数情况下，马氏距离是可以顺利计算的， 但是马氏距离的计算是不稳定的，不稳定的来 源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式距离 的最大差异之处。
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欧氏距离与马氏距离的 区别与联系
❖ 欧式距离
❖ 马氏距离
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❖ 1）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础 上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可
以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放
入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本
Cov(x,y)=0时，x与y不相关。
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马氏距离的其它定义：
❖ 马氏距离也可以定义为两个服从同一分布 并且其协方差矩阵为∑的随机变量的差异 程度：如果协方差矩阵为单位矩阵，马氏 距离就简化为欧氏距离；如果协方差矩阵 为对角矩阵，则其也可称为正规化的欧氏 距离。
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马氏距离优点
它不受量纲的影响，两点之间的马氏距 离与原始数据的测量单位无关；由标准 化数据和中心化数据(即原始数据与均值 之差）计算出的二点之间的马氏距离相 同。马氏距离还可以排除变量之间的相 关性的干扰。
❖ 与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性 之间的联系，即独立于测量尺度。
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马氏距离定义：
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∑=cov(x,y)=E〔(X-EX)(Y-EY)〕 = cov(x1,y1) cov(x1,y2)… cov(x1,yp) cov(x2,y1) cov(x2,y2)… cov(x2,yp)
cov(xp,y1) cov(xp,y2)… cov(xp,yp)
间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体
的协方差矩阵碰巧相同；
❖ 2）在计算马氏距离过程中，要求总体样本数 大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩
阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算
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即可。
❖3）还有一种情况，满足了条件总体样本数 大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵 仍然不存在，比如三个样本点（3，4），（5， 6）和（7，8），这种情况是因为这三个样本 在其所处的二维空间平面内共线。这种情况
“距离” 远近的影响，显然一个变异程度大
的总体可能与更多样品近些，即使它们的欧
几里得距离不一定最近；另外，欧几里得距
离受变量的量纲影响，这对多元数据的处理
是不利的。
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什么是马氏距离？
❖ 概念：马氏距离是由印度统计学家马哈 拉诺比斯提出的，表示数据的协方差距 离。它是一种有效的计算两个未知样本 集的相似度的方法。
❖设p维欧几里得空间Rp中的两点
X=(X1,X2, …,Xp)’和Y=(Y1,Y2, …,Yp)’,它们 之间的距离为
d2(X,Y)=(X1-Y1.)2+…+(Xp-Yp)2
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欧氏距离的缺陷
❖我们熟悉的欧氏距离虽然很有用，但在解决
多元数据的分析问题时，就显示出了它的不
足之处。一是它没有考虑到总体的变异对