4.4 一次函数的应用 北师大版八年级教案(第3课时)(公开课)
4.4 一次函数的应用 北师大版八年级数学上册教案
4 一次函数的应用第1课时 一次函数的应用(1)教学目标【知识与技能】会用待定系数法求一次函数的表达式，并能运用一次函数知识解决简单的实际问题．【过程与方法】通过运用一次函数知识解决实际问题，进一步加深理解并掌握所学知识．【情感、态度与价值观】体会数形结合的思想，了解数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的数学应用意识．教学重难点【重点】用待定系数法求一次函数的表达式，并能解决简单的实际问题．【难点】灵活运用所学知识解决实际问题．教学过程一、复习引入1．提问：(1)什么是一次函数？(2)一次函数的图象是什么？(3)一次函数的相关性质．2．做一做．(1)直线y＝3x＋1经过点(1， )，与y轴的交点是( ， )，与x轴的交点是( ， )．(2)点(－2，7)是否在直线y＝－5x－3上？3．引入．在前面学习一次函数时，我们根据函数关系式知道它的图象，知道图象上相应的点的坐标满足关系式，那么反过来，我们是否能根据图象、点的坐标等信息确定函数关系式呢？这就是我们今天要学习的内容——待定系数法求函数关系式．二、讲授新课师：下面我们来看几个例题．【例1】在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．某弹簧不挂物体时长14.5 cm，当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度．【解】设y＝kx＋b，根据题意，得14．5＝b，①16＝3k＋b.②将①代入②，得k＝0.5，所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5.当x＝4时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5(cm)．即物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.师：在这个例题中，我们首先根据题意设出一次函数的表达式，再利用待定系数法将已知数据代入表达式中，求得了一次函数的表达式，从而进一步解决了实际问题．【例2】某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：(1)油箱最多可储油多少升？(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？(3)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油？(4)油箱中的剩余油量小于1 L时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警？【解】观察图象，得(1)当x＝0时，y＝10.因此，油箱最多可储油10 L.(2)当y＝0时，x＝500.因此，一箱汽油可供摩托车行驶500 km.(3)x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油．(4)当y＝1时，x＝450.因此，行驶450 km后，摩托车将自动报警．师：请同学们思考教材P92的“做一做”．学生观察并思考．生：(1)从图象中可以看出，当y＝0时，x＝－2；(2)这个函数的表达式为y＝x＋2.师：很好！那么你们知道方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1之间有什么联系吗？学生思考并讨论．教师总结：一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解．三、课堂小结师：通过本节课的学习，同学们有什么收获？与同伴交流一下．学生发言，教师予以点评．第2课时 一次函数的应用(2)教学目标【知识与技能】会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系，处理一些较为复杂的问题，领会数形结合的思想．【过程与方法】经历对实际问题建立数学模型的过程，体验数形结合的作用和一次函数模型的价值．【情感、态度与价值观】1．通过让学生经历用一次函数知识来建立实际问题的函数模型、解决实际问题的过程，使它们感受到数学的用途和数学与生活的紧密联系．2．让学生参与到教学活动中来，提高学习数学、应用数学的积极性．教学重难点【重点】用一次函数知识解决实际问题．【难点】获取一次函数图象中的信息，领会数形结合的思想．教学过程一、共同探究，获取新知问题1：某公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．(注：销售提成是销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用)．设销售商品的数量x(件)，销售人员的月工资y(元)，如图所示，y1为方案一的函数图象，y2为方案二的函数图象．从图中信息解答如下问题：(1)求y1的函数关系式；(2)求点A的坐标，并说出A点的实际意义；(3)请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？分析：(1)因为该函数图象过点(0，0)，(30，720)，所以该函数是正比例函数，利用待定系数法即可求解．(2)利用(1)中表达式，即可得出A 点坐标．(3)把图象上点的坐标代入，即可求出b 的值，从而求出答案．【解】(1)设y 1的函数表达式为y ＝kx(x≥0)．∵y 1经过点(30，720)，∴30k ＝720.∴k ＝24.∴y 1的函数表达式为y 1＝24x(x≥0)．(2)根据图象可知x ＝50，把x ＝50代入y 1＝24x 得：y 1＝24×50＝1 200，∴A(50，1 200)当销售量为50件时两种方案工资相同，都是1 200元．(3)设y 2的函数表达式为y 2＝ax ＋b(x≥0)，经过点(30，960)，(50，1 200)∴{960＝30a ＋b 1 200＝50a ＋b ，解得：{a ＝12b ＝600，∴b ＝600，即方案二中每月付给销售人员的底薪为600元．问题2：一家公司招聘销售员，给出以下两种薪金方案供求职人员选择，方案甲：每月的底薪为1500元，再加每月销售额的10%；方案乙：每月的底薪为750元，再加每月销售额的20%，如果你是应聘人员，你认为应该选择怎样的薪金方案？【解】设月薪y(元)，月销售额为x(元)．方案甲：y ＝1 500＋110x(x≥0)方案乙：y ＝750＋15x(x≥0)当y 甲＝y 乙时，1 500＋110x ＝750＋15x ，解得x ＝7 500.求得y 甲＝y 乙＝2 250即销售额为7 500元时，这两种方案所定的月薪相同．在同一坐标系中画出两种方案中y 关于x 的函数图象．由图象可知：当0≤x＜7 500，y甲＞y乙，x＞7 500时，y甲＜y乙．提问：说一说用图象的方法解决问题有哪些优点？二、例题讲解【例】 我边防局接到情报，近海外有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶(图①)．图②中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系．根据图象回答下列问题：(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？(2)A，B哪个速度快？(3)15 min内B能否追上A?(4)如果一直追下去，那么B能否追上A?(5)当A逃到离海岸12n mile的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？(6)l1与l2对应的两个一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？【解】(1)当t＝0时，B距海岸0 n mile，即s＝0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系．(2)t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5，即10 min，A行驶了2n mile，B行驶了5n mile，所以B的速度快．(3)延长l1，l2(图③)，可以看出，当t＝15时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，15 min时B尚未追上A.(4)如图③，l1，l2相交于点P.因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A.(5)图③中，l1与l2交点P的纵坐标小于12，这说明，在A逃入公海前，B能够追上A.(6)k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度．可疑船只A的速度是0.2nmile/min，快艇B的速度是0.5n mile/min.三、练习新知教师多媒体出示课件：小明步行离开家去上学，开始的速度是0.6 m/s，10分钟后发现快迟到了，加快了速度，以1.2m/s的速度用5分钟走完了剩余的路程到达学校．1．求小明家离学校的大致距离和小明走路的平均速度．2．请用函数图象描述小明走路的过程．教师引导学生思考交流，然后找一生板演，其余同学在下面做，订正得到：距离应为0.6×10×60＋1.2×5×60＝360＋360＝720(m)，平均速度为720÷[(10＋5)×60]＝720÷900＝0.8(m/s)．教师多媒体出示图象：其中x表示小明离开家的时间，y表示小明离开家的距离．四、课堂小结师：本节我们学习了什么内容？生：对于实际问题，初步了解如何根据函数表达式和图象描出它的现实意义．。
北师大版八年级数学上册第四章第四节《一次函数的应用》第三课时课件
下图 l1 l2 分别是龟兔赛跑中 路程与时间之间的函数图象。 根据图象可以知道： （1）这一次是 100 米赛跑。 （2）表示兔子的图象是 l2 。
l2 l1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
t /分
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 40 米。
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 40 米。
l2对应的函数表达式是 y=500x+2000 。
y/元
6000
5000
4000
l2 销售成本
3000
2000
1000
O
1
2
3
4
5
6
x/吨
l1 反映了公司 产品的销售收入与 销售量的关系。
l2 反映了公司 产品的销售成本与 销售量的关系。
销售收入 y/元 y/元 y/元 y/1 元 y/元 y/元 y/元 y/元 y/元 6000 6000 6000 6000 L 6000销售成本 6000 6000 6000 6000 销售成本 销售成本 销售成本 l 2 l 2 l 2 l 2 l2 销售成本 l2 销售成本 l2 销售成本 l2 销售成本 l2 销售成本 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 O 1 O 2 13 O 2 43 15 O 4 26 3 5 1O 6 4 2 x/ 3 5 1吨 O 6 4 2 x/3 吨 5 1O 6 4 2 x/3 吨 5 1O 6 4 2 x/3 吨 5 1O6 4 2 x/1 3 吨 5 2 6 4x/ 3吨 5 4 6x/ 5 吨6 x/吨 x/吨
八年级第四章第4节一次函数的应用(3)遥墙中学张新泉
课题：4.4一次函数的应用（3）一．备课标：（一）内容标准：能利用一次函数解决实际问题。
（二）核心概念：初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，发展灵活运用数学知识解决实际问题能力。
十大核心概念在本节课中突出培养的是几何直观和应用意识。
二、备重点、难点：（一）教材分析：本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题。
和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础。
（二）教学重点：一次函数图象的应用。
教学难点:从函数图象中正确读取信息。
三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。
（2）支持性条件：在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。
2.起点能力分析学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题；在利用图象分析问题、解决问题的过程中，发展学生的几何直觉。
通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动。
在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力。
四．教学目标：1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。
3．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维。
4．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识。
北师大版数学八年级上册 4.4一次函数的应用 课件
解：(1)对线=√5x+j3,
令x=0, 则 y=√3,
令y=0, 则 x=—1,
所以点A的坐标为(0,√3), 点B的坐标为(一1,0).
所以AO= √3
,BO=1,
在Rt△ABO中，
AB=√AO²+BO²=√ (√3)²+1²=2.
解：(2)在△ABeφ 因为AB=AC,AO⊥BC,
所以BO=CO.
4.4一次函数的应用 确定一次函数表达式
由点的坐标求正比例函数的表达式 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s) 与其下滑时间t(s)
的关系如图所示. (1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑3s时物体的速度是多少?
(1)请求出v 与的关系式
(2)下滑3秒时物体的速度是多少?
格式怎么写?
解：(1)设函数表达式为： v=kt (k为常数且k≠0);
所以C点的坐标为(1,0).
设直线对应的函数表达式为y=kx+b(k,b 为常数),
则b= √3 ,且 k+b=0,
解得k= 一 √ 3,b= √3 . 即直线对应的函数表达式为y=-√3
x+√3.
当堂训练(0 0分钟)
1.如果一个正比例函数的图象经过点A(3,-1),那么这个正比例函数的表
达式为( D )这就Fra bibliotek待定系数法申字险测3:3分钟
解设y=kx+b(k,b 为常数，且k≠0)
由题意可得：15=k×0+b,16.8=3k+15
解得：k=0.6,b=15 所以 y=0.6x+15
变式殉何从表格信息确定一次面数表达式?
例题 .下表中，y 是x的一次函数，求出该函数表 达式，并补全下表。
北师大版八年级上册4.4.一次函数的应用课件
x/t
（3）当销售量为 4t 时，销售收入等于销售成本；
(4) 当销售量 t>4 时，该公司赢利（收入大于成本）； (5) 当销售量0<t<4 时，该公司亏损（收入小于成本）；
(6) l1对应的函数表达式是
y1=1000x ，
(7) l2对应的函数表达式是 y2=500x+2000 。
二、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向
2
1
O
2 4 6 8 10
t/min
（2）A、B哪个速度快？
s/n mile
8
l2
7 6
5 4 3
2
1
O
2 4 6 8 10
l1
t/min
（3）15min内B能否追上A？
s/n mile
12
10
l2
8
6
l1
4
2
O
2 4 6 8 10 12 14 16 t/min
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？
的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的 关系，根据图象填空：
（1）当销售量为2t时，
销售收入＝2000 元， 销售成本＝ 3000 元；
y/元
6000 5000 4000 3000
l1 l2
（2）当销售量为6t时，
200x04t
销售收入＝ 6000元，销售 1000
成本 5000元；
O 1 23 4 5 6
数关系图象如图示： (1)月用电量为100度时,应交电费
60
元.
?
110
(2)当0<x<100时,y与x之间的函数关系
为 y=0.6x .
八年级数学上册4.4一次函数的应用教案(新版)北师大版
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如速度、时间和路程关系。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，加强数学与现实生活的联系，提升学生的应用意识。
4.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、合作探究，提高沟通交流及合作解决问题的核心素养。
5.引导学生形成批判性思维，敢于对问题进行质疑、探究，培养创新意识和辩证思考的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握一次函数的定义及表达式y=kx+b的含义，理解其中k、b的几何意义。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对一次函数的应用表现出很大的兴趣，这是非常令人欣慰的。通过引入日常生活中的实际问题，如速度、时间和路程的关系，学生们能够更直观地感受到数学与生活的紧密联系。在讲授过程中，我注意到有几个地方值得我们共同反思。
首先，一次函数的表达式y=kx+b对于部分学生来说，理解起来还是有一定难度的。在讲解这个概念时，我尽量用浅显易懂的语言和生动的例子来解释，但仍有部分学生显得有些迷茫。我想在今后的教学中，可以尝试运用更多的图像和实物模型来辅助教学，让学生更好地理解一次函数的内涵。
其次，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们能够主动参与到讨论中，提出自己的观点，这有助于培养他们的团队协作和沟通能力。但同时我也发现，有些学生在讨论过程中容易偏离主题，需要我适时引导他们回到正题。因此，在今后的教学中，我需要加强对学生讨论过程的监督和引导，确保讨论的有效性。
北师大版初中数学八年级上册4.4 第3课时 两个一次函数图象的应用
北师大初中数学八年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！4.4 一次函数的应用第3课时两个一次函数图象的应用1．（2015•孝感一模）已知甲乙两人沿同一条公路从A地到B地，图中线段OC，DE分别表示甲乙从离开A地到达B地的过程中路程s（单位：km）与时间t（单位h）的函数关系，则从A地到B地的路程为（ ）A．60km B．80km C．90km D．120km2．（2015•香坊区一模）随着哈尔滨汽车的增加，哈市某乙储油库的储油量一直以每天相同的速度持续减少．为保证用户用油量，大庆某甲储油库立即以管道运输方式向哈市的乙储油库输油2天．如图，是两储油库的储油量y（升）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲储油库的放油量与乙储油库的进油量相同（油在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．下列四种说法：（1）甲储油库向乙储油库输油期间每天的输油量是2000升；（2）在第4天时甲储油库输出的油开始注入乙储油库；（3）乙储油库每天减少550升；（4）乙储油库最低油量是600升，最高油量是4200升．其中正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2014•鞍山）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A．客车比出租车晚4小时到达目的地B．客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时C．两车出发后3.75小时相遇D．两车相遇时客车距乙地还有225千米相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。
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1
4.4一次函数的应用（第三课时）
教学目标：
知识与技能：
1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题
过程与方法：
1.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；
2.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意
识．
情感态度与价值观：
在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习
数学的兴趣．
教学重难点：
重点：一次函数图象的应用
难点：从函数图象中正确读取信息
教学过程
（一）课前研究：
学生自学教材93－－94页,并完成书中问题完成课本P93
（二）课中展示：
小组合作交流，完成展示。
例1小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”
出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自
行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h．
（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？
2
例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出
快艇B追赶（如图），下图中l1，l2分别表示两船相对于
海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示B到海岸的距离与时间之间的关系？
解：观察图象，得当t＝0时，B距海岸0海里，即
S＝0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
（2）A，B哪个速度快？
解：从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵
坐标增加了5，即10分内，A行驶了2海里，B行驶了
5海里，所以B的速度快．
（3）15分钟内B能否追上A？
解：可以看出，当t＝15时，l1上对应点在l2
上对应点的下方，
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？
解：如图l1 ，l2相交于点P．因此，如果一直追下去，
那么B一定能追上A．
（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进
行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？
解：从图中可以看出，l1与l1交点P的纵坐标小于12，这
说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A．
3
（三）应用新知：
例 观察甲、乙两图，解答下列问题
1. 填空：两图中的 （ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所
描述的情节。
2. 根据1中所填答案的图象填写下表：
绿 线
红 线
平均速度 （米/分） 最快速度 （米/分） 到达 时间（分） 主人公
（龟或免） 项目 线型
4
（四）小结梳理：
在知识我有那些收获？
在能力上有那些提高？
还有那些需要交流的地方？
3. 根据1中所填答案的图象求：
（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）；
（2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程
4. 请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：
（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；
（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个
量。
5
（五）后测达标：
5. 沙尘暴发生后，经过开阔荒漠时加速，经过乡镇、遇到防
护林带区则减速，最终停止。某气象研究所观察一场沙尘暴
从发生到结束的全过程，记录了风速y(km/h)随时间t（h）变
化的图象（如图）
（1） 求沙尘暴的最大风速；
（2） 用恰当的方式表示沙尘暴风速y与时间t之间的关系。
（六）拓展延伸：
1．如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车者沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数
图象，两地相距80千米，请根据图象解决下列问题：
（1）1l是 行驶过程的函数图象， 2l是 行驶过程的
函数图象．
（2）哪一个人出发早？早多长时间？哪一个人早到达目的地？ 早
多长时间？
（3）求出两个人在途中行驶的速度是多少？
（4）分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，
并求出自变量x的取值范围．