中考专题――切线长定理及弦切角定理
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理
【知识要点】
切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论：
PA=PB
PO⊥AB,且PO平分AB
APO BPO OAC OBC
∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP
∠=∠=∠=∠
弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角
推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
【典型例题】
【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.
图1 图2 图3
举一反三：
1.如图2，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.
2.如图3，PA，PB切⊙ O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙ O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD
=，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
举一反三：
1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交
AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
C
B
O
A
D
C B
A
D
P
O
P B A O
【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为
A
．
1 个； B ．2个； C ．4个； D ．5个．
【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．
举一反三： 1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．
（1）求∠APB 的度数；
（2）当OA ＝3时，求AP 的长．
2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm ．求BC 、AC 的长．
3．已知：如图，△ABC 三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．
4. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ．
(1)求⊙O 的直径BE 的长；
(2)计算△ABC 的面积．
【课后作业】
1．如图1，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=?，则DBE ∠的大小为( )
A. 20?
B. 40?
C. 60?
D. 70?
图1 图2 图3 2.如图2，ABC ?是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.
如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为
A.105°
B.115°
C.120°
D.125°
4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为
A.2
B.3
C.23
D.4
图4 图5 图6 C D E O A F B O A B
D E O A C B D A P
C O
D B C D
5.如图5，AB是⊙ O的直径，AC、BC是⊙ O的弦，PC是⊙ O的切线，切点为C，∠BAC=350，那么∠ACP等于
A. 350
B. 550
C. 650
D. 1250
6.如图6，在⊙ O中，AB是弦，AC是⊙ O的切线，A是切点，过B作BD⊥AC于D，BD交⊙ O于E 点，若AE平分∠BAD，则∠BAD=
A. 300
B. 450
C. 500
D. 600
已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．
8．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC 的度数．
9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE 于F．求证：
（1）△ABE为等腰三角形；
（2）若BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．