配套K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三理

课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________． 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x<0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n n ＋＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255 B.55 C.233 D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55. 5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·福州模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ； ②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z＝x－y，则a≥z min.当目标函数z＝x－y过点C(1,3)时，z＝x－y取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a≥－2.综上可知，实数a的取值范围为[－2,1]．答案：[－2,1]。