二阶动态电路分析
二阶非线性动态电路
二阶非线性动态电路分析题目：二阶非线性电路如图1，R=10Ω,i=ϕ+32.0ϕ，C=0.25×210-F,C U (-0)=2V.求C U (t)（t>0）,并画出t>0时ϕ-C U 的相图。
图1.二阶非线性电路理论分析:解：取ϕ与C U 为状态变量，t>0时： 32.0-ϕϕ-=-==i i dt du C C c => 380-400ϕϕ-=dtdu c 32.0ϕϕϕR R U Ri U u dt d C C L --=-== => 3210ϕϕϕ--=C U dtd Matlab 求解：此非线性动态电路难求解析解，因此利用Matlab 做数值求解，得到响应在离散时刻的近似值，再根据此离散值做出响应相关图像。
Matlab 求解的原理是利用ode45函数解微分方程组。
ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta 单步算法。
ode45函数语法为[T,Y] = ode45(odefun, tspan,y0)，这里tspan 选择0到2.5s ，初值C U =2,ϕ=0。
首先写一个函数M 文件列出待求解方程组如下：function dy=rlc(t,y)dy=zeros(2,1)dy(1)=-400*y(2)-80*y(2)^3dy(2)=y(1)-10*y(2)-2*y(2)^3end在命令行输入[t,y]=ode45(@rlc,[0 2.5],[2 0])，可求出响应C U （t ）、ϕ（t ）数值解。
在命令行输入：plot(t,y(:,1))grid on 数值解title('Uc-t曲线')xlabel('t')ylabel('Uc')可得到Uc(t)曲线。
可以更直观的观查Uc随时间的变化。
图2 Uc响应曲线同理可得到ϕ（t）图像如图3所示：图3 ψ-t曲线同理可得到ϕ-Uc相图如图4所示。
图4 ϕ-Uc相图结果分析：观察图形可发现，该电路处于振荡放电过程，未知量L 满足不等式R<C L2。
二阶电路分析
第九章
二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
(9 5)
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC (0) K1 K 2
对式(9－5)求导，再令t=0得到
(9 6)ห้องสมุดไป่ตู้
duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) K 1 s1 K 2 s2 C
(9 7)
求解以上两个方程，可以得到
1 K1 ＝ s2 －s1 1 K2 ＝ s1 －s 2 iL ( 0) s2 uC (0) C iL ( 0) s1 uC (0) C
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin( 4t ) ]
iL(0)=0.28A得到以下两个方程
uC (0) K 1 duC ( t ) dt
t 0
( t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值
3 K 1 4 K 2
i L ( 0) 7 C
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
i2 (t) =ε( t)*[(
.690
)* exp ( -.500
t)]cos(
4.97
t +66.08 )
iL (t ) 0.69e0.5t cos(4.97t 66.08 )(t )A
第七章 二阶电路
-
由KVL，有
RiL
L d iL dt
uC
0
iL
ic
C
duc dt
，得微分方程：
LCd2Uc RCdUc Uc 0
dt2
dt
二阶齐次微分方程
3
2）根据微分方程经典法解方程
L
C
d2Uc d t2
R
C
dUc dt
U
c
0
设Uc通解：Uc AePt带入方程
得特征方程：LCP2 RCP1 0
(练习7-4）
21
例：图示电路，t< 0处于稳态，t=0时，S打开 1）建立S打开以后以iL （t）为变量的微分方程及所
需初始条件 2）为使Uc（t）不发生振荡，试确定R的取值范围
+ 10V -
S
5Ω R
LC 2H iL 3F
(1)微分方程：
+ Uc
c
dUc dt
IL
UL R
0
-
C
L
d
2i L
P1
,
2
R 2L
R 2L
2
1 LC
P1 2 6 8
P2 3 7 3 2
—过阻尼放电过程
16
U c A1eP1t A2eP2t A1e- 2 6 8 t A2e- 3 7 3 2 t
4 ） 由 初 始 条 件 求A1、 A2 条 件 1：U c ( 0) 1 0 V
条 件 2： iL( 0 )
0 又 iL
i c
电路分析第7章 二阶电路1
根据 uC(0－) = uC(0＋) ＝10V
i(0－) = i(0＋) = 0
uC (0) K sin 10 i(0) duC K ( sin d cos ) 0 t=0 = dt C
arctan(
uC 10.33e 0.5t sin( .94t 75.5)V t 0 1
d 1.94 ) arctan( ) 75.5 K 10.33, 0.5
i 2.6e 0.5t [1.94cos( .94t 75.5) 0.5 sin( .94t 75.5)]A20 t 0 1 1
t1 t2 t3 iL uC
欠阻尼衰减振荡
电量
uC
t1时间段 减小 增大
uC ( K 1 K 2t )e s1t ( K 1 K 2t )e 2t
根据 uC(0－) = uC(0＋)＝ 10V i(0－) = i(0＋) = 0 duC dt i(0) t=0 = C
duC K 2e 2 t 2( K1 K 2 t )e 2 t dt
K1=10
s1.2 0.5 0.5 4 0.5 j1.94
L R 1 Rd 2 4 C
两个共轭复根 欠阻尼
19
解：（3）R = 1 s1, s2 0.5 j0.5 15 0.5 j1.94 uC(t) = e-t [K1cosd t + K2sind t] uC Ke t sin( d t ) Ke 0.5t sin( .94t ) 1 – 衰减因子 d – 衰减振荡角频率
uC uL uR 0
1 2 1 2 w( t ) Li ( t ) CuC ( t ) 2 2
二阶动态电路设计 实验报告(含数据处理)
实验二十一 二阶动态电路设计
一、实验内容
已知RLC 串联电路, 输入为单位阶跃信号, 设计元件参数, 要求电容负载输出电压的超调量约为20%, 调节时间0.003秒。
先进行理论设计和仿真分析, 连接好电路后, 再通过示波器观察实际输入和输出曲线。
二、实验原理图和理论分析
)()()()()(22t t u t u dt t du RC dt
t u d LC S C C C ε==++ 二阶电路的阶跃响应为)sin(1)(0βωωωδ++
=-t e t u t C 超调量为21%ζζπ
σ--==e
M P 调节时间为n s t ζω3=
(5%稳态范围)
,
, C
L n ⋅=21ω L R n ⋅⋅=ωζ2 选用电容C=4.7
F, 由以上推导得L=44.2mH, R=88.4
三、实验设备
函数信号发生器
KTDG-4可调式电感箱0~100mH
可调式电阻箱0~99999.9Ω
交流电压表, 交流电流表
双踪示波器
四、仿真实验
利用EWB 软件, 仿真模型图如下
运行结果如下
电容电阻电感在实验台上连接好电
路, 测量结果如下。
电压有效值
电流有效值
利用示波器观测输入电压和输出电容上电压曲线:
六、数据处理和实验结论
略。
二阶动态电路分析
待定常数A1，A2由初始条件确定。
uC (0 ) uC (0 ) A1 U0
iL (0 )
iL (0 )
C
duC dt
t0
0
A1
A2
0
A1 U0 A2 U0
uC (t) U0et (1 t) t 0
电路中其它响应：
i(t) C duC dt
2CUOtet
uL (t)
L
di dt
R=0是欠阻尼的特例。此时
R 0
2L
d 0
1 LC
uC (t) U0 cosdt U0 cos0t
i(t) 0CU0 sindt 0CU0 sin0t uL (t) U0 cosdt U0 cos0t
R＝0时，i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，
i(t) C
duC dt
02CU0 d
et sin dt
uL (t)
L
di dt
0 d
U 0e t cos( d t
)
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
0
d
衰减uC，(t)、称ei为(t)响衰、t 应减uL有系(t衰)数减，振d荡是的振特荡性的，角其频振率荡。幅度按指数规律
第5章 二阶动态电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应 5-2 RLC串联电路的全响应 5-3 GCL并联电路的分析 5-4 一般二阶电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
电路如图所示，设uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0时，开关
K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：
uC
自动控制原理实验——二阶系统的动态过程分析
实验二二阶系统的动态过程分析一、 实验目的1. 掌握二阶控制系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术。
2. 定量分析二阶系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。
3. 加深理解“线性系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与外作用无关”的性质。
4. 了解和学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和Simulink 实现方法。
二、 实验内容1. 分析典型二阶系统()G s 的ξ和n ω变化时，对系统的阶跃响应的影响。
2. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.1所示，若要求系统具有性能：%20%,1,p p t s σσ===试确定系统参数K 和τ，并计算单位阶跃响应的特征量d t ，r t 和s t 。
图2.1 控制系统的结构图3. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.2所示。
图中，输入信号()r t t θ=，放大器增益AK 分别取13.5，200和1500。
试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。
图2.2 控制系统的结构图三、实验原理任何一个给定的线性控制系统，都可以分解为若干个典型环节的组合。
将每个典型环节的模拟电路按系统的方块图连接起来，就得到控制系统的模拟电路图。
通常，二阶控制系统222()2nn nG ssωξωω=++可以分解为一个比例环节、一个惯性环节和一个积分环节，其结构原理如图 2.3所示，对应的模拟电路图如图2.4所示。
图2.3 二阶系统的结构原理图图2.4 二阶系统的模拟电路原理图图2.4中：()(),()()r cu t r t u t c t==-。
比例常数（增益系数）21RKR=，惯性时间常数131T R C=，积分时间常数242T R C=。
其闭环传递函数为：12221112()1()(1)crKU s TTKKU s T s T s K s sT TT==++++(0.1) 又：二阶控制系统的特性由两个参数来描述，即系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω。
电路分析-二阶电路
i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-
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主要内容
1. 分析二阶电路过渡过程的经典法； 2. 二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应； 3. 二阶动态电路的阶跃响应、冲激响应；
1
§7-1 二阶电路的零输入响应
二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路 在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件 的初始值决定。 RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。
当 R2
L C
时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根
p1
R 2L
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC ( R )2 1 2L LC
p1
p2
1 LC
uC A1e p1t A2e p2t
5
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e
p2t
)
(
p2
I0 p1)C
(e p1t
e p2t )
iL
p1 p2CU0 p2 p1
(e p1t
e p2t )
I0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
1．设 uC(0) = U0, i (0) = 0
uC (t)
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
iL (t)
p1 p2CU 0 p2 p1
(e p1t
mA
9
2．设 uC(0) = 0, i (0) = I0
uC (t)
( p1
I0 p2 )C
(e p1t
e p2t )
iL (t)
I0 p2
p1 ( p1e p1t
p2e p2t )
uL
(t )
L
diL dt
LI0 p1 p2
( p12e p1t
p22e p2t )
例7-2：前述电路中, C = 1 F, L = 1 H , R = 3 , uC(0) = 0, i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t)。
积分常数A1 和 A2 决定于uC
的初始条件
uC
(0
)
和
duC dt
0
给定初始条件: uC(0) = U0, i(0) = I0
A1 A2 U 0
p1 A1
p2 A2
1 C
I0
4
A1
p2U 0
I0 C
p2 p1
A2
p1U 0Βιβλιοθήκη I0 Cp1 p2
一,
R2
L C
,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）
解：利用前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 1.5 （1.5）2 1 2L LC
p1 0.382 , p2 2.618
10
b,
uuCC
(0) A1 A2 ' (0) A1 p1
0 A2 p2
1
A1 A2
0.447 0.447
c, uC (t) 0.447 e0.382 t 0.447 e2.618 t V
e p2t )
U0
(e p1t
L( p2 p1)
e p2t )
uL
(t)
L
diL dt
U0 p2
p1
(
p1e p1t
p2e p2t )
由于 p1 p2 ,
e p2t
衰减得快，e p1t
衰减得慢，故 e p1t e p2t 0 6
① uC , iL 始终不改变方向， uC iL < 0, 电容放电； ② uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ； ③ t < tm ，电感吸收能量（ uLiL > 0 ），建立磁场； t > tm 电 感释放能量（ uL iL < 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失；
A1 A2
6 4
t 0
t0
13
二. R 2 L ，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况）
2
VAR :
i C duC , dt
uR
Ri
RC
duC dt
,
uL
L
di dt
LC
d 2uC dt 2
KVL : uL uC uR uOC (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uOC (t)
初始条件
uC
(0),u'C
(0)
duC dt
0
1 C
i(t)
0
1 C
i(0)
零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应
uR R i 11.56(e268 t e3732 t ) V
uL
L
di dt
(10.77
e3732 t
0.773
e268 t )
V
(2) imax
tm
1 p1
p2
ln
p2 p1
7.6104 S
760
S
imax
i t tm
2.89(e268 t e3732 t ) t tm
2.19
④ 整个过程完毕， uC = 0 ,iL = 0 ,uL = 0 。
7
例 7-1：电路如下图所示,US = 10 V, C = 1F, R = 4 k, L = 1 H ，开关 S 原来闭合在触点 1 处，t = 0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2 处，求：
(1) uC , uR , i 和 uL (2) imax .
t0
iL (t) 0.171 e0.382 t 1.17 e2.618t
A t0
11
3. 设 uC(0) = U0, i L(0) = I0 例7-3：前述电路中, C = 0.25 F, L = 0.5 H , R = 3 , uC(0)
=2 V , i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t) 。
解：根据前述结果
a,
p1,2
R 2L
( R )2 1 31 2L LC
p1 2, p2 4
12
b,
uC (0) A1 A2 2
uC'
(0)
A1 p1
A2
p2
iL (0) C
4
c, uC (t) 6 e2 t 4 e4 t V
iL
(t)
C
duC dt
4 e4t
3 e2t
A
解： (1) uC , uR , i 和 uL
特征根
p1
R 2L
( R )2 1 268 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 -3732 2L LC
8
又 uC (0 ) U0 US 10 V
uC (10.77 e268 t 0.773 e3732 t ) V
i 2.89 (e268 t e3732 t ) mA
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
或
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
0
3
特征方程
p2 R p 1 0 L LC
特征根
p1,2
R 2L
(
R 2L
)2
1 LC
称为固有频率
解 为 ： uC (t) A1e p1t A2e p2t
这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关；