拉索及吊杆张力振动测量方法研究
振动频率法在拉索索力测试中的应用研究
ｌ ５ Ｏ・
第３ ９卷 第 ５期 ２ ０ １ ３年 ２月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ５ Ｆｅ ｂ． ２ ０】 ３
文章 编号 ： １ ０ ０ ９ — ６ ８ ２ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ １ ５ ０ — ０ ３
在 自锚式悬索桥 中， 拉索的张拉是最关 键 、 最 复杂 的工序 ， 其 很大 ） ， 而当两 端 固结 ， 或一 端 固结一 端 铰接 时其 解 为超 越方 不能得到直观 的解 答 ， 通 常需 要 多次迭代 才能 得到 较好 的 索力 的大小直 接影响 桥梁上 部结构 内力 和变形 状态 。国内外许 程 … ， 多学者对索 力测试 方法进行 了大量研 究 ， 目前可 用于索力 测 结果 ， 计算 复杂 。
Ｔ ｍ ＝Ｖ ｍ （ ５ ）
即得到 ：
１ ． ２ 计 算公 式
图 ２表示拉索及其坐标系 ， 由文献 ［ １ ］ 可知 ， 拉索在 Ｙ方 向振
动 的特征方程为 ：
一
Ｗ
＝ — — — — — — — — — — — — 竺 — — Ｔ — — — — ： — — ： — — — — — — — — — — — — — — — — ： 一 ｏ 竺 Ｊ
日
一 ｈ （ ｔ ） 窆＋ ｍ
（ １ ）
增量 。根据文献 ［ ２ ］ 可知 ， 式（ １ ） 运用解析 法求解拉 索索力与 自振
频率之 间的关系 时 ， 只有在 拉索两端 铰接且 忽略式 （ １ ） 中的第 三
咖 （ ）：ｓ ｉ ｎ
（ ７ ）
将式 （ ７ ） 代入式（ ６ ） 并由Ｗ ＝ ２ 可 以得到索力计算公式为：
浅谈振动频率法在桥梁拉索索力检测方面的研究
浅谈振动频率法在桥梁拉索索力检测方面的研究作者：孙树宝李景祥来源：《价值工程》2016年第30期摘要：桥梁中的拉索是至关重要的传力构件，对其索力进行的测试，关系到成桥验收和桥梁的安全运营。
而振动频率法在拉索索力测量方面具有很大的优势，本文介绍了振动频率法测定拉索索力的原理及测量数据的处理方法，对振动频率的最新成果进行了总结归纳。
Abstract： The cable-stayed bridge is a vital force transmission member， and testing its cable force is related to the safe operation of the bridge into acceptance and bridges. The vibration frequency method has great advantages in terms of cable force measurement， this paper describes the processing method of the oscillation frequency cable force determination and measurement data，and the latest results of vibrational frequencies are summarized.关键词：振动频率法；拉索；索力；数据处理Key words： vibration frequency method；cable；cable tension；data processing中图分类号：TU317 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）30-0085-020 引言拉索在大跨斜拉桥、悬索桥等结构之中应用广泛，而拉索索力在这些结构中有扮演着一个极为重要的的角色，尤其对大跨斜拉桥拉索显得最为重要，建桥中，必须对索力进行监控；成桥后，还需要对拉索进行重复检测，以确定拉索是否处于安全状态，而桥梁拉索的工作状态又是衡量桥梁是否正常运营的重要标志之一。
吊杆的索力监测与误差分析
既然桥梁结构的实际状态与理想状态总是存在着一定的误差，那么用什么样 的理论和方法去分析这些误差，如何调整这些误差，则是我们需要解决的主要问 题。
从现代工程学角度出发，可以把桥梁施工看作为一个复杂的动态系统，运用 现代控制理论，根据结构理想状态、现场实测状态和误差信息进行误差分析，并 制定可调变量的最佳调整方案，指导施工现场调整作业，使结构施工的实际状态 趋于理想状态。在此基础上，我们可以根据当前施工阶段结构的实际状态进行正 装计算至成桥状态，预告今后施工可能出现的应力和变形状态，这就是施工控制 的两大任务：即结构的前期预报和后期调整。为了完成施工控制的两大任务，必 须以理论作为基础。桥梁施工控制采用的理论和方法主要有：Kalman 滤波法、 灰色系统理论法和最小二乘法。 1、 卡尔曼滤波法
我们需要根据夹杂着噪声干扰的量测信号把系统的状态估计出来，以便实现某种
最优控制，这就是最优估计问题，解决这种状态估计的方法便是卡尔曼滤波法。
以下是卡尔曼滤波器核心的 5 个式子。 X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……………………… (1) P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ………………………… (2) X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3) Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4) P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ………………………… (5)
卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子 1，2，3，4 和 5 就是他的 5 个基本 公式。根据这 5 个公式，可以很容易的实现计算机的程序。 2、 灰色系统理论法 灰色系统理论就是以灰关联空间为基础的分析体系，它以现有信息或原始数列为 基础，通过灰过程及灰生成对原始数列进行数据加工与处理，建立灰微分方程即 灰模型（GM 模型）为主体的模型体系，来预测系统未来发展变化的一种预测控 制方法。
系杆拱桥施工中吊杆索力测试及调试问题的分析研究
系杆拱桥施工中吊杆索力测试及调试问题的分析研究系杆拱桥施工中吊杆索力测试及调试问题的分析研究一、引言随着经济的不断发展和城市建设规模的不断扩大，大跨径系杆拱桥的建设越来越受到人们的关注。
作为一种应用广泛的桥梁类型，系杆拱桥具有结构优越性能和良好的经济效益，因此在工程领域得到了广泛的应用。
系杆拱桥的施工过程中，吊杆索力的测试及调试是关键的一环。
本文通过对系杆拱桥施工中吊杆索力测试及调试问题的分析研究，旨在为系杆拱桥的施工提供有益的参考。
二、吊杆索力测试的重要性吊杆是系杆拱桥的核心构件之一，它承担着悬挂梁体的重量和荷载传递任务。
因此，在系杆拱桥施工过程中，吊杆索力的测试是确保桥梁结构安全可靠的重要步骤。
1. 索力测试的作用吊杆索力测试可以帮助施工人员了解桥梁结构的受力情况，及时发现并解决与索力有关的问题，如索力不平衡、索力过大或过小等。
通过对吊杆索力进行测试，可以实时监测并调整索力，确保吊杆在施工和使用过程中保持合理的受力状态，有效避免桥梁结构发生破坏或事故。
2. 索力测试的方法通常，吊杆索力的测试可以通过采用静载试验或动态试验的方法进行。
静载试验通常是在桥梁建设的早期进行，通过逐渐增加荷载并记录试验过程中的索力变化，确定吊杆的合理设计索力。
动态试验则主要用于评价桥梁的振动特性和结构响应，以及检测桥梁在不同工况下的索力情况。
三、吊杆索力测试及调试问题的分析研究1. 吊杆索力测试的困难与挑战（1）测试方法的选择问题：在吊杆索力测试中，不同的测试方法会产生不同的结果，因此选择合适的测试方法是至关重要的。
为了获得准确可靠的测试结果，需要根据实际情况选择合适的测试方法，如静态测试、动态测试或综合测试等。
（2）测试设备的选择问题：吊杆索力测试需要使用专业的测试设备，如传感器、数据采集系统等。
这些设备的选型需要根据桥梁的具体要求和测试目的进行选择，同时还要考虑设备的可靠性和测试成本等因素。
（3）测试过程中的安全问题：吊杆索力测试通常需要在高处进行，存在一定的安全风险。
基于振动特性的超长拉索索力测定研究
ｔ ｅ ｃ ｂ ｅ ｆｔ ｕ ｏ ｇ Ｂｒｄ ｅ ｉ ｈ ａ ｌ ｓｏ ｈｅ Ｓ ｔ ｎ ｉ ｇ ｎ Ｃｈｉ ｗｈｉｈ ｉ ｈ ｏ ｇ ｓ ａ ｅ ｓａ ｅ ｒｄ ｅ ｗｉ ｉ ｐ ｎ ｏ ８ ｎａ， ｃ ｓ ｔ ｅ ｌ ｎ ｅ ｔｃ ｂｌ— ｔｙ ｄ ｂ ｉ ｇ ｔ ａ ｍａ ｎ ｓ ａ ｆ １ ８ ｈ ０ ｍｅ ｅ ． ｅ ｖｂ ａｉｎ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ｓ ｆ ｃ ｂ ｅ ｒ ｓｕ ｉｄ ｂ ｓｎ ｈ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔｌ ｍｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔ ｎｄ ｈ ｔｒ Ｔｈ ｉｒ ｔｏ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｏ ａ ｌ ｓ ｗｅ ｅ ｔ ｄ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｘ ｅ ｉ ｎ ａ ａ ｕ ｅ ｎｓ ａ ｔｅ ｃ ｉ ｉｅ ｅｅ ｎ ａ ｌ ｓｓ ｆｎｔ ｌ ｍｅ ｔ ｎａｙ ｉ ．Ｆｏ ｒ ｃ ｍｍｏ ｌ ｕ ｅ ｔ ｅ ｒ ｔｃ ｌ ｕ ｏ ｎ ｙ ｓ ｄ ｈ ｏ ｅｉａ ｍｅ ｈ ｄ ｗｅ ｅ ｓ ｄ ｎ ｔ ｅ ｄｅ ｔｆｅ ｅ ｕ ｔ ｗｅ ｅ ｔｏ ｓ ｒ ｕ ｅ ａ ｄ ｈ ｉ ｎ ｉ ｄ ｒ ｓ ｌｓ ｉ ｒ ｃ ｍｐ ｒ ｄ ｗｉ ａ ｈ ｏｈ ｒ Ｔ ｆｅ ｔ ｆｓ ｍｅ ｆ ｃｏ ｓ ｆｒｃ ｂｅ ｔ ｎ ｉｎ ｉ ｅ ｔ ｃ ｔｏ ｆｔ ｉ ｉ ｄ ｏ ｌｒ ｏ ｇ ｏ ａ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｅ ． ｈｅ ａｆ ｃｓ ｏ ｏ ａ ｔｒ ｏ ａ ｌ ｅ ｓｏ ｄ ｎ ｉ ａｉ ｎ ｏ ｈ ｓ ｋ ｎ ｆｕ ｔａ ｌｎ ｈ ｉ ｆ ｃ ｂ ｅ ｒ ｉｃ ｓ ｄ， ｕ ｈ ａ ａ — ｘｅ ｓｂ ｌ ｙ ａ ｄ ｂ ｎ ｉ ｇ ｓｉ ｎ ｓ ． ａ ｌ ｓｗｅ ｅ ｄ ｓ ｕｓｅ ｓ ｃ ｓ ｓ ｇ ｅ ｔ ｎ ｉ ｉ ｔ ｎ ｅ ｄ ｎ ｔｆ ｅ ｓ ｉ ｆ Ｋｅ ｙｗｏ ｄ ｃ ｂ ｅ，ｖｂ ａｉ ｎ，ｎ ｔｒ ｌｆｅ ｕ ｎ ｙ，ｃ ｂ ｅ ｔｎ ｉ ｎ ｆ ｒ ｅ ｒｓ ａｌ ｉｒ ｔ ｏ ａ ｕ ａ ｑ ｅ ｃ ｒ ａ ｌ ｅ ｓｏ ｏ ｃ
系杆拱桥吊索索力的振动测试方法
系杆拱桥吊索索力的振动测试方法张征文【摘要】振动法测试系杆拱桥柔性吊索索力是桥梁建设及运营状态最为常用的测试方法.通过结合规范、实测等方法对振动法测试中涉及的关键参数-索的刚度、计算索长、边界条件以及自阵频率的测试等参数进行了综述,为精确确定索力提供参考.【期刊名称】《浙江交通职业技术学院学报》【年(卷),期】2011(012)001【总页数】4页(P1-3,7)【关键词】系杆拱桥;索力;振动法;参数【作者】张征文【作者单位】浙江交通职业技术学院,杭州311112【正文语种】中文【中图分类】U448.250 引言柔性吊索由于其重量轻、强度高、可工厂化加工等优点广泛被应用于系杆拱桥、斜拉桥、悬索桥等悬吊结构,在系杆拱桥中,这种柔性吊索通常被称为吊索或吊杆。
对于系杆拱桥柔性吊索的拉力测试方法,目前在工程上常用的有压力表测试法、压力传感器法以及振动法。
其中压力表测试法主要应用于桥梁施工过程中对吊索张力的控制,即通过换算出的油压表读数来确定吊索拉力;压力传感器法是利用电测原理,利用布置在吊索锚头 (或工作锚头)前端的传感器通过仪器设备读取吊索拉力,该方法可用于桥梁施工阶段也可应用于桥梁运营阶段,但由于压力传感器相对价格较高等因素,实际在桥梁运营阶段使用的非常少;振动法测试利用吊索振动和拉力之间的关系,通过测试吊索的自振频率、确定吊索的关键参数,建立平衡方程而求得的索力,这种方法因为测试技术成熟、原理明晰、张拉及锚固操作方便等优势被广泛应用于系杆拱桥、斜拉桥、悬索桥等悬吊结构索力的测试。
振动法测索力除需要测试吊索的频率参数外,由于吊索长度、刚度、边界条件等因素的影响导致短索测试结果偏差较大。
本文着重对采用《斜拉桥热挤聚乙烯高强钢丝吊索技术条件》 (GB/T18365-2001)标准的吊索开展了索力测试涉及的关键参数—刚度、计算长度、边界条件等研究探索,利用工程实例对识别后的参数进行验证,表明经识别或修正后的参数应用于索力测试可以满足工程需要。
拉索及吊杆张力振动测量方法研究
(7)
第九部分
结构动力学
当 时，即有 T 0 ，此时式(7)为不受轴向拉力作用的一端固定一端简支梁横向 自由振动特征解[11]。在式(7)中，对于确定的 ， 有多重根(记 的第 n 重根为 n ，对应 的 称为 n )， n 随 n 的增大而递减并收敛于 n 。 由式(4)、(5)有
0.004
0.005
φ1
φ5
η1 的拟合曲线 Fig.1 Fitting curve of η1
图1
η 5 的拟合曲线 Fig.2 Fitting curve of η 5
图2
对于一根具体的拉索或吊杆而言，其长度、线密度和抗弯刚度是确定的，在测得其自 由振动的各阶频率之后，即可确定 φn 。已知 φn ，则 ζ n =
拉索及吊杆自由振动方程及求解考虑抗弯刚度影响取拉索或吊杆微元体进行受力分析可导出拉索或吊杆自由振动方为张力ei为抗弯刚度式6为超越函数方程一端固定一端简支拉索或吊杆的自由振动解为隐式表示测得拉索或吊杆自振频率754第九部分结构动力学此时式7为不受轴向拉力作用的一端固定一端简支梁横向自由振动特征解11
Key words: cable; suspender; boundary condition; flexural rigidity; tension; frequency
1 引言
拉索及吊杆作为结构或设备的重要承载构件在工程中得到了广泛应用，拉索及吊杆张 力测试的准确与否直接关系到结构或设备的安全。在工程实践中，常用的张力测量方法主 要有压力表法、压力传感器法和振动法以及磁通量法等，其中振动法应用较为普遍，特别 是拉索及吊杆张力复测，振动法几乎成了惟一的选择[1-6]。振动法测量拉索及吊杆张力需要 准确描述张力与自振频率的关系。在工程现场测试时，必须即时快速确定张力值，因而长 期以来，人们都在不断改进振动法。Zui[5]等以考虑挠曲刚度的斜拉索方程的高精度近似解 为基础得到一组估算拉索张力的实用公式。任伟新[6]等采用能量法和曲线拟合方法，建立 了分别考虑索垂度和抗弯刚度影响由基频计算索力的实用公式。这些公式多数以分段的形 式给出，在分段处不具连续性，有些在求解索力时则需要进行迭代，有些仅适用于特定的 边界条件，使用起来不是十分方便。抗弯刚度对拉索及吊杆振动特性的影响随长度减小而 递增[7]，同时抗弯刚度对索力测量的影响程度还取决于边界条件的不同。方志[8]等通过拟 合轴向拉力与抗弯刚度及振动频率之间的数值关系得到两端固结拉索和吊杆张力测试的计 算公式，但未明确指出公式适用范围，且公式中计及的拉索和吊杆抗弯刚度的真实值往往 很难求得。拉索及吊杆较短时边界条件对张力振动测量有显著影响。孟少平[9]等将一端铰
基于振动频率法的吊杆索力测试
吊 杆 编 号
一
１
３ ０ ０ ５ ｏ ０
２
３ ｝ ４ ５ ６ ７ ８
次 张拉力
４ ０ ０ ４ ０ ０｝ ４ Ｏ ０ ４ ｏ ０ ４ ０ ０ ４ ０ ０ ４ Ｏ ０ ６ ０ ０ ６ ５ ０ ７ ０ ０ ７ ５ Ｏ ８ ０ ０ ９ ０ ０ １ １ ５ ０
通过现场标定值的方法测试吊杆索力分别在两次张拉后对全部索力进行了测试限于篇幅本文仅给出最终吊杆张拉调索后下游北214吊杆的现场测试结果和理论计算结果如表吊杆在不同约束条件下的测试索力kn和误差采用有限元软件midascivil建立南水北调魏岗铺北跨渠系杆拱桥的空间有限元模型根据其在水平投影间距相等的原则每片拱肋划分为180个单元
理及应 用。
【 关键词 】 振动频率法 ； 吊杆 ； 索力测试
０ 引 言
南水北调某跨渠桥梁上部结构采用 简支梁拱组合下 承式拱 桥 ． 全 桥两片拱肋 ， 采用钢管混 凝土结 构 桥面跨度 ７ ． ７ ｍ， 跨径 ９ ３ ｍ， 计算跨 径９ ０ ｍ ． 计算矢跨 比为 １ ， ５ ， 拱轴线 为二次抛物线 。 ， 拱肋截面为等截面 哑铃型 ．主弦杆钢管 内灌注 Ｃ ５ ０微膨胀混凝土 ．拱肋采 用 Ｑ ３ ４ ５ Ｃ钢 材． 弦杆采 用螺旋 焊接管 ． 拱肋 间设 三道“ 一” 字 形平面桁式横 撑和两 道“ Ｋ ” 字桁 式横撑 以增 强拱肋 间横 向稳定性 ． 横 撑为桁 式 哑铃型 截 面． 横撑与弦杆拱肋连接采用外 包钢板 连接。 吊杆采用 Ｐ Ｅ Ｓ ７ — ７ ３ 镀锌高强平行钢丝 ． 吊杆上端为可调锚头 ． 下 端为固定锚头 １ 社 、 ２ ＃ 、 ３ 撑 短 吊杆采用下端带球铰装 置的吊杆。 使用频 率法测试索力具有快速实用准确的特点 ． 在 实际工 程中有 广泛实用。 索力的合理分配及测试是保证顺利施工和安全运 营必要手段 。
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结构动力学
拉索及吊杆张力振动测量方法研究
刘志军，芮筱亭
（南京理工大学发射动力学研究所，南京 210094） 摘要:为提高索力振动测量精度，基于拉索及吊杆的横向振动方程，在找出自由振动解的规律之后，拟合 出张力与抗弯刚度、长度、线密度及振动频率之间的数值关系，由此得出适用于一端固定一端简支拉索及 吊杆张力振动测试的计算公式， 并实现了与两端简支拉索计算公式的统一。 针对拉索及吊杆抗弯刚度难以 准确识别的问题， 讨论了抗弯刚度取值对该公式计算结果的影响， 结果表明该公式具有良好的精度和适用 范围，可以满足现场拉索及吊杆张力测试计算简单、快速和可靠的要求。 关键词: 索；吊杆；边界条件；抗弯刚度；张力；频率 中图分类号: U443.38
ηn = nπ 。于是式(10)变为
⎛ f ⎞ T = 4mL2 ⎜ n ⎟ ⎝ n⎠
2
(14)
式(14)即为弦自由振动方程解。 因此式(12)更具一般性且实现了一端固定一端简支索、两端简支索和弦三种模型间的 连续过渡。 756
第九部分
结构动力学
4 误差分析
在测得拉索或吊杆的第 n 阶频率后，由式(11)得到 n ，然后代入式(12)得到 n ，最后 可由式(10)计算得到张力。为验证张力计算公式的精度与实用性，结合实际工程选取具有 代表性的拉索或吊杆进行对比分析，分析对象的参数见表 2。在给定张力 T0 的情况下利用 式(6)解出前四阶频率 i i 1, 2,3, 4 ，求解相应频率下拉索或吊杆的张力分别记为 T1 、
0.004
0.005
φ1
φ5
η1 的拟合曲线 Fig.1 Fitting curve of η1
图1
η 5 的拟合曲线 Fig.2 Fitting curve of η 5
图2
对于一根具体的拉索或吊杆而言，其长度、线密度和抗弯刚度是确定的，在测得其自 由振动的各阶频率之后，即可确定 φn 。已知 φn ，则 ζ n =
Bn
40.64319 -215.67774 -2305.12826 -7184.91064 -16980.53546
nmax
0.05 0.02 0.02 0.01 0.005
残差平方和 RSS 3.62146E-4 0.00176 0.00268 0.0016 0.00131
决定系数 R2 0.99977900 0.99934871 0.99952125 0.99967612 0.99965775
(10)
n
1
n n
EI
2 4 mn L
(11)
表 1 二次多项式拟合结果 Tab.1 Two-order polynomial fitting results 阶数 n 1 2 3 4 5
An
10.40131 44.19045 103.11648 179.37043 275.1983
T2 、T3 和 T4 。由表 3 的计算结果可知，由式(10)求得的各拉索或吊杆的计算张力与给定张
力值相差均不超过 0.5% 。
表 2 拉索或吊杆参数 Tab.2 Parameters of Cables or suspenders 拉索或 吊杆编号 1 2 3 4 5 6 长度 L/m 2 5 10 20 50 100 直径 D/cm 3 4.5 5.1 5.5 8.5 11.5 长细比 L/D 66.67 111.11 196.08 363.64 588.24 869.57 线密度 m/(kg/m) 5.51 12.41 15.93 18.53 44.26 81.02 抗弯刚度 EI/(kN·m2) 8.19 41.47 68.41 92.53 527.85 1768.60 给定张力 T0/(kN) 300 600 800 950 2000 4000
Abstract: In order to improve measurement accuracy of cable tension, based on the transverse vibration
equation of a cable or suspender and its free vibration solution, a practical uniform formula used to easily determine a clamped-simply supported cable or suspender is proposed by means of curve fitting, and it can be further described as a simple expression for the simply-supported cables. It is difficult to accurately identify flexural rigidity of a cable or suspender, the influence of the value selection of flexural rigidity on the computational results is investigated. The results from case studies demonstrate the formula is suitable for cable tension measurement and can meet the requirements of the field testing.
Research on Tension Measurement of Cables and Suspenders by Vibration Method
LIU Zhijun, RUI Xiaoting
(Institute of Launch Dynamics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)
式中 C1 、 C2 、 C3 、 C4 均为待定常数，且
(3)
λ1 = λ2 =
T ⎛ T ⎞ 2 m + ⎜ ⎟ +ω EI 2 EI ⎝ 2 EI ⎠ T ⎛ T ⎞ 2 m − ⎜ ⎟ +ω EI 2 EI ⎝ 2 EI ⎠22Fra bibliotek(4)
(5)
一端固定一端简支拉索或吊杆的频率方程
λ1 tan ( λ2l ) = λ2 tanh ( λ1l )
754
(7)
第九部分
结构动力学
当 时，即有 T 0 ，此时式(7)为不受轴向拉力作用的一端固定一端简支梁横向 自由振动特征解[11]。在式(7)中，对于确定的 ， 有多重根(记 的第 n 重根为 n ，对应 的 称为 n )， n 随 n 的增大而递减并收敛于 n 。 由式(4)、(5)有
1
φnηn
，代人式(7)得到一个关于η n
的非线性方程，采用区间搜索法求 ηn 数值解。将η n 与 φn 之间进行拟合，可得
ηn = nπ + Anφn + Bnφn2
( n = 1, 2,3 )
(12)
其中系数 An 和 Bn 值及式(12)中相应 φn 最大取值如表 1 所示，其中 φn 最大取值决定了 相应公式的适用范围。图 1~2 给出了 n = 1,5 时的拟合情形。由表 1 和图 1~2 可以看出，决 定系数 R > 0.999 ，拟合效果相当好，保证了式(10)计算结果和式(6)数值求解结果之间误
2 拉索及吊杆自由振动方程及求解
考虑抗弯刚度影响取拉索或吊杆微元体进行受力分析可导出拉索或吊杆自由振动方 程
[7]
EI
∂4 y ∂2 y ∂2 y − T + m =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂t 2
(1)
式中 T 为张力， EI 为抗弯刚度， y 为拉索或吊杆的振幅， x 为轴向坐标， t 为时间，
755
第十届全国振动理论及应用学术会议论文集(2011)
3.8 3.7 3.6 数值解 拟合值
16.8 16.6 16.4
数值解 拟合值
η1
η5
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
3.5 3.4
16.2 16.0
3.3 3.2 3.1
15.8 15.6
0
0.001
0.002
0.003
2
差很小。 在式(12)中，若取 An = Bn = 0 ，此时即有η n = nπ ，于是式(10)变为
2 2 ⎛ f ⎞ n π EI T = 4mL ⎜ n ⎟ − L2 ⎝ n⎠ 2 2
(13)
式(13)即为两端简支拉索或吊杆自由振动方程解。 若不考虑拉索或吊杆抗弯刚度 EI 对其张力 T 的影响，即取 EI = 0 ，则 φn = 0 ，
Key words: cable; suspender; boundary condition; flexural rigidity; tension; frequency
1 引言
拉索及吊杆作为结构或设备的重要承载构件在工程中得到了广泛应用，拉索及吊杆张 力测试的准确与否直接关系到结构或设备的安全。在工程实践中，常用的张力测量方法主 要有压力表法、压力传感器法和振动法以及磁通量法等，其中振动法应用较为普遍，特别 是拉索及吊杆张力复测，振动法几乎成了惟一的选择[1-6]。振动法测量拉索及吊杆张力需要 准确描述张力与自振频率的关系。在工程现场测试时，必须即时快速确定张力值，因而长 期以来，人们都在不断改进振动法。Zui[5]等以考虑挠曲刚度的斜拉索方程的高精度近似解 为基础得到一组估算拉索张力的实用公式。任伟新[6]等采用能量法和曲线拟合方法，建立 了分别考虑索垂度和抗弯刚度影响由基频计算索力的实用公式。这些公式多数以分段的形 式给出，在分段处不具连续性，有些在求解索力时则需要进行迭代，有些仅适用于特定的 边界条件，使用起来不是十分方便。抗弯刚度对拉索及吊杆振动特性的影响随长度减小而 递增[7]，同时抗弯刚度对索力测量的影响程度还取决于边界条件的不同。方志[8]等通过拟 合轴向拉力与抗弯刚度及振动频率之间的数值关系得到两端固结拉索和吊杆张力测试的计 算公式，但未明确指出公式适用范围，且公式中计及的拉索和吊杆抗弯刚度的真实值往往 很难求得。拉索及吊杆较短时边界条件对张力振动测量有显著影响。孟少平[9]等将一端铰