立体几何专题 二

（3）设线段 SO 上有一点 M ，当 AM 与平面 SAB 所成角的正弦值为 30 时，求OM 的长.
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【解答】（1）∵ SB SC ， BO OC ，∴ SO BC ， ∵平面 SBC 平面 ABC ，平面 SBC 平面 ABC BC ， 平面 SBC ，∴ SO 平面 SBC . （2）∵ SB SC AB AC 2 ， BC 2 ，∴BS CS ， BA CA ， 如图，分别以OB ， OA ， OC 为 x 轴， y 轴， z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,
间直角坐标系（如图所示）
.
设 OF=a，因为 AF 2 2FD ，所以 DF 2a, AF 4a,CD 2a ，
（1）点 D 的坐标为 D(0, 0, a) ，点 F 的坐标为 F(a, 0, 0) ，点 B 的坐标为B(3a,4a,0)
点 C 的坐标为C(2a,0,a) .则 BC (a, 4a, a), DF (a, 0, a) ，
由题意得 A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1， 3 ，3)，C(－1， 3 ，0)， 故 AE ＝(2,0，－3)， AG ＝(1， 3 ，0)，CG ＝(2,0,3)． 设 m ＝(x1，y1，z1)是平面 AEG 的一个法向量，
由
m
AE
0
可得
2
x1
3z1
0
m AG 0
x1 3 y1 0
,
0
， PE
1,
1 2
,
1
，
DE
1,
1 2
,
0
，
设平面
PEF
的法向量为
n
( x,
y,
z)
n ，则
n
EF PE
0 0
，即
x
1 2
x
1 2
y
1 2
y z
0 0
，
、令 x 2 ，则 y 2 ， z 3 ，所以 n (2, 2,3) ，
所以点 D 到平面 PEF 的距离 d | DE n | | 2 1| 3 17 ，
〉＝
|
mn m || n |
＝1 2
.
故所求的角为 60°.
4．如图，在以 A, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中，四边形 ABEF 为正方形， AF DF ， AF 2 2FD ， DFE CEF 45 .
（1）求异面直线 BC，DF 所成角的大小；
（2）求二面角 D BE C 的余弦值.
取 z1＝2，可得平面 AEG 的一个法向量 m ＝(3，－ 3 ，2)．
设 n ＝(x2，y2，z2)是平面 ACG 的一个法向量．
由
n
AG
0
可得
x2
3 y2 0
n CG 0
2x2 3z2 0
取 z2＝－2，可得平面 ACG 的一个法向量 n＝(3，－ 3 ，－2)．
所以 cos〈 m, n
AD 上是否存在一点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 3 ？若存在，求出 AQ 的值；若不
2
QD
存在，说明理由．
【解答】在△PAD 中，PA＝PD，O 为 AD 的中点，∴PO⊥AD． 又侧面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，∴PO⊥平面 ABCD． 建立如图所示空间直角坐标系，易得 A(0，－1,0)，B(1，－1，0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
x0＝y0＝z0，取
x0＝1，则
平面 PCD 的一个法向量为 n ＝(1,1,1)．
∴点 Q 到平面 PCD 的距离为 d＝ CQ n 1 y
3
.
n
3
2
∴y＝ 1 或 y＝1 2
，|QD|＝ 3 2
.∴存在点
Q
AQ
满足题意，此时
QD
1 3
.
7．已知正方形 ABCD 的边长为 1， PD 平面 ABCD ，且PD 1， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点. （1）求点 D 到平面 PEF 的距离； （2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离.
设向量 BC, DF 的夹角为 ，
则 cos BC DF 0
| BC | | DF |
所以异面直线 BC，DF 所成角为 .
2
（2）点 E 的坐标为 E(3a,0,0) ， BC (a, 4a, a) BE (0, 4a, 0), DE (3a, 0, a)
设平面
DBE
的法向量为
n1
与平面
夹角的大小为
，由cos n1 n2
n1 n2
2 9 1
2 3
，
得
，故平面
与平面
夹角的正弦值为 ．
2 如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形， ABC BAD 90 ，SA 平面 ABCD， SA AB BC 2 ， AD 1．
1 求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦值； 2 求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦值．
SC AB
3
即 SC 与平面 ASD 所成的角余弦为： 6 . 3
（2）平面 SAB 的一个法向量为： m ＝（1，0，0），∵ ＝（2，2，﹣2）， ＝（1，0，
﹣2），设平面 SCD 的一个法向量为 ＝（x，y，z），由
⇒
，令 z＝1
可得平面 SCD 的一个法向量为 ＝（2，﹣1，1）显然，平面 SAB 和平面 SCD 所成角为锐
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3 1t2
t 33t 1 0 ， t 3 （舍）， t 1 ，∴OM 的长为 1 .
3
3
6．如图，在四棱锥 P -ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA＝PD＝ 2 ，底面 ABCD
为直角梯形，其中 BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O 为 AD 的中点，问：线段
0
，
SB
1,
0,
1
，∴ aa
b c
0 0
，即 m
1,1,1
，
设 M 0, 0,t ，t 0,1 ，∴ AM 0, 1,t ，
m AM
设 AM 与平面 SAB 所成角为 ，∵ sin cos m, AM
，
m AM
∴ 30
t 1
，6 6t2 15 t2 2t 1 ， 3t 2 10t 3 0 ，
(x,
y,
z)
，由
n1 n1
DE BE
0 0
得
3x z 4y 0
0
，取
x
1
得平面
DBE
的一个法向量为 n1 (1,0, 3) ，
设平面
CBE
的法向量为 n2
(i,
j, k)
，由 n2 n2
BC BE
0 0
i 得 4 j
4j 0
k
0
，取i
1
得平面
DBE 的一个法向量为 n2 (1,0, 1) ，设两个法向量 n1, n2 的夹角为 则
直线 AC 到平面 PEF 的距离为 17 ，
17
|n|
4 4 9 17
（2）因为
AE
0,
1 2
,
0
，所以点
A
到平面
PEF
的距离
d
|
AE n |n|
|
1 17 ， 17 17
E ， F 分别为 AB ， BC 的中点， AC / /EF , AC 面 PEF ， EF 面PEF ，
AC / / 面 PEF ，直线 AC 到平面 PEF 的距离等于点 A 到平面 PEF 的距离，
解： (1)
因为 AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面 ABP，AB∩AP＝A，所以 BE⊥平面 ABP. 又 BP⊂平面 ABP，所以 BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系 B－xyz.
cos n1 n2 2 5
n1 n2
5
由于二面角 D BE C 为锐二面角，所以二面角D BE C 的余弦值为 2 5 .
5
5 如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SBC 平面 ABC ，SB SC AB AC 2 ， BC 2 ，若O 为 BC 的中点.
（1）证明： SO 平面 ABC ； （2）求异面直线 AB 和 SC 所成角；
∵ A0,1,0， B1,0,0 ， S 0,0,1 ，C 1,0,0 ，
∴ AB 1, 1,0 ， SC 1,0, 1 ，∵ cos AB, SC
AB SC
AB SC
1 1， 2 2 2
∴异面直线
AB
和
SC
所成角为
3
.
（3）设 m a,b, c 为平面 SBA 的法向量，
∵
AB
1,
1,
则
，
，
A1B (2, 0, 4) ， C1D (1, 1, 4) ，
，
异面直线
与
所成角的余弦值为
．
， ，
2）设平面
的法向量为 n1 (x, y, z) ，
，
n1 AD 0, n1 AC1 0 ，即
且
，
令
，则
，
是平面
的一个法向量，
取平面 设平面
的一个法向量为 n2 (0,1, 0) ，
∴ CP ＝(－1,0,1)， CD ＝(－1,1,0)．假设存在点 Q，使它到平面 PCD 的距离为 3 ， 2
设 Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则CQ ＝(－1，y,0)．设平面 PCD 的一个法向量为 n ＝(x0，y0，z0)，