流体力学教案第5章流体漩涡运动基础
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
流体力学课件_第五章_流体运动学基础
gQ
2g
2g
u dA v A
3
3
——动能修正系数
g
1
v1
2
2g
z2
p2
g
2
v2
2
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
2g
——总流的伯努利方程
5.3 理想流体的伯努利方程
丹· 伯努利（Daniel Bernoull，1700—1782）：瑞 士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力 学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大 贡献，是理论流体力学的创始人。 伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世， 书中提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不 可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定 理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式。 他的固体力学论著也很多。他对好友 欧拉提出 建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹 性曲线的精确结果。1733—1734年他和欧拉在研究上 端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数，并在由若 干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了 拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂梁振动方程； 1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体的振动 试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃 动方程等。
g
1
v1
2
2g
z3
g
3
v3
2
3
2g
5.7 伯努利方程的应用 毕托管测流速
p1
h
h p2 p1
g
u
2
p2
2g
g
g
g
u
2 gh c
2 gh c——流速系数
流体力学第五章5--1讲
有涡旋运动特征的变化速度场 V r
和无旋流动的变化速度场
(5-3) (5-4) (5-5)
V
，即：
V Vr V
其中：
V
Vr
因此，凡是引起流场中
Vr
变化的作用，也就是
导致流体涡度或速度环流变化的原因，这也是本章讨论 涡动力学基础的主要内容。
L
t t0
V dl 0
(5-16-3)
设在初始时刻以前或以后的某一时刻，组成涡面的流体
质点移动到新的位置并组成新的曲面’，而封闭曲线L上的流
体质点则移动到’面的封闭曲线L’上。兹证’亦为一涡面。 因流体是理想正压的，且外力有势，则根据开尔文定理推出 (5-16-4) V dl V dl 0
l
(5-7)
其中式(5-7)也称开尔文关系式，其微分形式为：
d n d
上述两式建立了涡度与速度环流之间的关系。
(5-8)
一、开尔文定理 假设流体是理想的正压的流体在有势外力作用下，则沿任 一封闭曲线的速度环流在运动过程中恒定不变。其证明如下： 对(5-6)式求微商得：
d l d d dV V dl l V dt dt l dt dt l l
1 d p dt
(5-23)
上式又称作皮耶克尼斯定理，它表明压力—密度力引起的环 流变化。
二、亥姆霍兹定理
首先引入几个概念： 1.涡线的定义：在同一时刻，涡旋场中存在这样的曲线，
其曲线上每一点的切线方向和该点的涡旋方向重合。
2.涡面的定义：在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的 每一点作涡线，则这些涡线将组成一曲面称涡面。
流体力学第五章(涡旋动力学基础)
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
运动的趋势，是标量，但具有
5
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
如取定曲线方向： Γ>0，流体有顺 对应气旋环流）； 运动的趋势，（逆时针为正方向，
l
应反气旋环流）。
Γ<0，流体有逆 l
运动的趋势，（顺时针为负方向，对
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式
流体涡度
(∇ × V ) • n = lim Γ / σ
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下， 理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理 凯尔文定理。 时间变化，这就是凯尔文定理
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
dΓ 下面来考虑特定条件下的 dt
（1）理想流体
dV 1 = F − ∇p 运动方程（欧拉方程）： dt ρ
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
F = −∇Φ
11
1 dV = F − ∇p dt ρ
环流变化方程： d Γ
F = −∇Φ
dV = ∫l ( ⋅ dl ) dt dt 1
= − ∫l ∇Φ ⋅ dl − ∫l ∇p ⋅ dl ρ 1 = − ∫∫ ∇ × (∇Φ )d σ − ∫l ∇p ⋅ dl σ ρ
dΓ = dt
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
第5章流体的涡旋运动
教
学
团
队
5.3涡旋在无粘性不可压缩流体中所引起的速度场
5.3.4 涡对运动
y M1(ξ1,η1) Γ1 M2(ξ2 ,η2) Γ2 P(x,y) x
力
体
科 大
Γ1ξ1 + Γ 2ξ 2 = = const ξ c Γ1 + Γ 2 η = Γ1η1 + Γ 2η2 = const c Γ1 + Γ 2
队
5.3涡旋在无粘性不可压缩流体中所引起的速度场
5.3.1 涡旋场感生的速度场
∇•B = 0
∇ • B= = 1 4π 1 4π 1 1 ∇ ⋅ ω d τ = ∫∫∫ 4π r τ
这一假定的正确性
=−
科 大
1 1 ′ ′ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ω ω dτ r ∫∫∫ r τ 1 1 ω⋅ n ω ′ =− ∇ ⋅ d τ = − dA Ò ∫∫ 4π ∫∫∫ r 4 π r τ A
M (ξ 2 ,η2 ) 处诱导速度为
科 大
流
M (ξ1 ,η1 ) 处诱导速度为
体
x
力
Γ1 y − η1 Γ2 y − η 2 v = − − 任一点 x Γ1 2πr1 r1 2πr2 r2 Γ2 P x, y Γ1 x − ξ1 Γ2 x − ξ 2 处诱导速度为 v y = + π 2 r r 2πr2 r2 1 1 P(x,y)
流
Γ V = (cosα 2 − cosα 1 ) 4π R
体
Γ
dl α
α2
Γ v= (cos β1 + cos β 2 ) 4πR
5.3.3 直线涡感生的速度场
流体力学--漩涡理论 ppt课件
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
流体力学5-漩涡理论说课材料
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
(vy x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
av x
0
dx
vy
vy x
dx
b x
d 2zd S 2n d S 2 d J
漩涡理论
2 有限平面
C 2nd2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
ds
A BV d sV xd x V yd y V zd z
A B
A B
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2 J (斯 托 克 斯 定 理 ）
不 随 时 间 变 化 （ 汤 姆 逊 定 理 ）
J不 随 时 间 变 化
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
V
Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
中班科学公开课教案《制造漩涡》
中班科学公开课教案《制造漩涡》教案：《制造漩涡》一、教学内容本节课的教学内容选自科学探究与实践活动教材，主要涉及流体力学中漩涡的形成原理。
具体章节为第五单元“奇妙的流动”，第二章“漩涡与涡流”。
二、教学目标1. 让学生了解漩涡的形成原因和特点，提高对流体力学的认识。
2. 培养学生动手实践能力和观察、分析问题的能力。
3. 引导学生运用科学知识解释生活现象，培养学生的科学素养。
三、教学难点与重点重点：漩涡的形成原理和特点。
难点：如何引导学生运用科学知识解释生活现象。
四、教具与学具准备教具：水、盆、颜料、滴管、漩涡模型。
学具：笔记本、画笔、观察记录表。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）教师演示如何制造漩涡，让学生观察漩涡的形成过程，并引导学生思考漩涡的形成原因。
2. 知识讲解（10分钟）教师讲解漩涡的形成原理，包括流体的速度、方向、压力等因素，并引导学生理解漩涡的特点。
3. 学生动手实践（15分钟）学生分组进行实践，利用教具制造漩涡，并观察漩涡的形成过程，记录在观察记录表上。
4. 例题讲解（10分钟）教师选取生活实例，如河流中的漩涡、洗衣机中的漩涡等，引导学生运用所学知识解释这些现象。
5. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，选取自己的生活实例，尝试运用所学知识解释漩涡现象，并将讨论结果进行分享。
6. 板书设计（5分钟）教师在黑板上板书漩涡的形成原理和特点，方便学生复习和记忆。
7. 作业设计（5分钟）作业题目：请结合自己的生活经验，运用所学知识，解释一个漩涡现象，并简要描述漩涡的形成过程。
答案：略。
六、课后反思及拓展延伸（5分钟）教师引导学生反思本节课的学习内容，巩固所学知识，并鼓励学生在生活中观察和探索更多的漩涡现象。
同时，教师可以为学生提供相关的阅读材料，拓展学生的知识视野。
重点和难点解析本节课的重点是漩涡的形成原理和特点，难点是如何引导学生运用科学知识解释生活现象。
漩涡的形成原理和特点是教学的重点，因为这是学生理解漩涡现象的基础。
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第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动，0≠ω ，而),,,(t z y x f ＝ω，所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场，或称涡量场或角速度场。
k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xwz u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。
下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。
涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。
(Ω 方向的判别，根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动，涡线形状不随时间而变。
与流线一样，涡线本身也不会相交。
取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。
类似于流线微分方程，或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为：),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管－在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每点的涡线，这些涡线形成一管状表面，称为涡管。
涡束－涡管中充满作旋转运动的流体，称为涡束。
四、涡通量涡通量－通过任一开口曲面的涡量的总和。
通过开口曲面A 涡通量为：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以：0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下：在流场中任取一通曲线AB 。
AB 曲线上任一点的速度为V，在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ，V 与sd 的夹角为α。
则速度环量：⎰⎰⎰++==⋅=B AB AB AAB z w y x u s V s V Γd d d d cos d υα其中：k w j i u V ++=υ，k z j y i x sd d d d ++=若A 与B 重合，便成了封闭曲线，则：⎰⎰⎰++==⋅z w y x u s V s V Γk k d d d d cos d k υα＝ 环量的正向为：沿封闭周线前进时，周线所包围的面积在速度方向的左侧，即逆时针方向速度环量为“+”B§5-2 斯托克斯定理斯托克斯定理：当封闭周线内有涡束时，沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。
通过该周线的包围面积的涡通量即：⎰A Γn d 2A ω＝ (1) 证：先证微元封闭周线的斯托克斯定理，如图所示，在XY 平面取一微元矩形封闭周线，其边长为d x 、d y 则沿封闭周线的速度环量DA CD BC AB ABCDA d ΓΓΓΓΓΓ+++==其中： y x x x u u u ΓB A d )(21d )d (21AB υυ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++=y y y x x x x Γd )d d (d 21BC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂++∂∂+υυυυυ）（＝ x y y u u y y u x x u u Γd )d ()d d 21CD ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++∂∂+∂∂+-（＝ ()2DA d 21d d )d (21y y y y y y Γ∂∂--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+-=υυυυυ J A y x yux v ΓΓz d d 2d d )(d A B C D A ==∂∂-∂∂==ω J A y x yux ΓΓz d d 2d d )(d ABCDA ==∂∂-∂∂==ωυx xxu d ∂∂y yux x u d d ∂∂+∂∂y yx d d ∂∂+∂+υυυ∂υ这就证明了对于微无封闭周线的斯托克斯定理，即：沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包周面积内的涡通量。
下面将斯托克斯定理推广到平面上有限大小的周线K 上去，如图所示：将曲线K 所包围的面积用两组互相垂直的直线(分别平行于X ，Y 轴)分割成无数的无穷小矩形，则对每一微元面积必有A Γz d 2d ω=对整个有限区域，则∑∑=A Γz d 2d ω 又：外边内边∑∑∑+=ΓΓΓd d d而对K 的周线内部，相邻两微元矩形的公共周线上其速度环量大小相等，方向相反，互相抵消。
对每一微元矩形应用斯托克斯定理时，其公共周线上的速度环量要计算两以，其环量方向正好相反，数互相消！ 故0d ＝内边∑Γ而对外边取极限时(即矩形无限细分时)，多微小矩形的外边即以周线K 为极限。
例如对A 1，A 2两微元面积得公共边，设υ向上为“+”。
则对A 1，呈逆时针环量为“+”，对A 2呈顺时针环量为“-”则有∑⎰∑==→→Ki i ΓΓΓd d d lim lim 0A 0A 外边⎰A Γn d 2A ω＝这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。
以上定理仅适用于单连通XO域。
上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。
与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点，而不越出流体的边界。
或：不经过区域外的点。
对多连通域，则先将多连域化为单连域因为假设速度方向是A →B ，则AB Γ为“+”，而A B '→'时，速度方向与环量规定的正向相反，故A B ''Γ为“-”。
A K AB K B AB A K A B K AB 1212A B ΓΓΓΓΓ''''''+++＝⎰=-A ΓΓn d 2A K K 21ω＝ 这就是多连通域的斯托克斯定理。
推而广之，对存在多个洞的多连域则有：⎰∑=-A ΓΓn d 2A K K 21ω 即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。
显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。
环量不等于零，必然存在旋涡。
用速度环量来研究旋涡运动的优点如下：1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身；2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数；3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一些，这就是斯托克斯定理的用处。
1§5-3 涡管强度守恒定理为了进一步研究旋涡运动的性质，这一节我们来讨论通过涡管的涡通量。
某一时刻在涡量场中任取一段涡管，如图5-9所示。
在涡管上任取二个截面A 1和A 2，现在我们来分析一下通过由截面A 1、A 2及它们之间的涡管壁面A 3所组成的封闭曲面的涡通量。
对于A 1、A 2及A 3组成的封闭曲面A ，321d d d d 321A n ΩA n ΩA n ΩA n ΩJ A A A A⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅=(1)其中，n均为曲面外法线方向的单位向量。
在涡管截面A 1上，涡量的方向与A 1的外法线方向相反；在涡管截面A 2上，涡量的方向则与A 2的外法线方向相同，而在涡管壁面A 3上，根据涡管的定义，0=⋅n Ω，所以，21d d 21A n ΩA n ΩA A ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅ 或 常数=⋅⎰⎰A n ΩAd(2)式(2)表明，同一时刻，沿同一涡管各截面的涡通量不变，即涡管通量守恒。
由于通常又把涡管的涡通量称作涡管强度，简称涡强，因此式(2)又称为涡管强度守恒定理。
对于同一截面上各点涡量都相同的均匀涡管，涡管强度守恒定理可表示为:常数=⋅=⋅1112A ΩA Ω (3)由涡管强度守恒定理可以得出下列结论(1)(2)涡管的产生或消失只可能在两种情况下发生，第一种情形是涡管的截面积在流体中趋于零，但此时涡量将趋于无穷大，这在物理上显然是不可能的，如图5-10所示。
第二种情形是涡管在流体中突然中断或发生，这也是不可能的。
倘若我们在流体中作一封闭曲面，将涡管发生的管头或中止的管尾包围在其中，可见，此时进入该封闭曲面的涡通量将不等于流出该封闭曲面的涡通量，则通过整个封闭曲面的涡通量将不为零，这与涡通量公式是相矛盾的，进而也与涡量连续性方程式相矛盾，困此涡管不能在流体中中断或发生。
既然涡管不能在流体中产生或消失，因此它只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其首尾搭在固体壁面或自由液面上，或延伸至无穷远处。
(3) 绕涡管壁面一周的任一封闭曲线的速度环量为常数，即常数=k Γ (4)§5-4 旋涡的保持性定理一、凯尔文(Kelvin)定理所谓流体质点线是指在同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点组成的流体线。
若流体质点线处处可微，则称为连续流体质点线。
连续的流体质点线在运动过程中随质点的运动而移动，其几何形状可能改变，但仍保持连续，即连续的流体质点线具有保持性。
在凯尔文定理中，我们讨论的就是封闭的连续流体质点线。
凯尔文定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，沿任意一条封闭流体质点线的速度环量不随时间变化。
即 0d d =tΓ正压性流体――通常),(T p f =ρ，若ρ仅是压力的函数 即)(p f =ρ，则为正压性流体。
例如：在等温流体中const =ρp等熵过程中const =kp ρ，均是正压性流体。
注：定理中，“任何由流体质点所组成的封闭周线”，在运动过程中，可改变其几何形状，但仍由同一组流体质点组成。
凯尔文定理证明如下：在空间任取由流体质点所组成的封闭周线L ，则速度环量⎰⎰++=∙LLd d d d z w y x u s V Γυ＝要证明0d d =tΓ则 ⎰++=z w y x u t t ΓL d d d d d d d υ⎰++=)d d d (d dz w y x u tL υ 因为是对坐标积分，数可把t d d移入积分号内，不影响计算结果。
其中：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=w w z t w z w t y t y t u u x t u x t u x t u x u t d d d d )d (d dd d d d )d (d dd d d d )d (d d d d d )d (d dυυυυ 把上式代入积分则：()⎰+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=w w u u z t w y t x t ut Γd d d d d d d d d d d d d d L υυυ 将欧拉方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-∂∂-∂∂-z p f tw y pf t x pf t u z y x ρρυρ1d d 1d d 1d d ＝ ＝＝ 代入上式 得：()⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-++=2d d d d 1d d d d d 2L V z z p y y p x x p z f y f x f t Γz y x ρ ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=F F P V V P ππ2d 2d d d 2L 2L ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02d 2L F P V π＝ 这里由于V 、π、P F 都是x 、y 、z 、t 的单值连续点数，所以沿封闭周线的积分为零即，0d d =tΓ，t Γcons = 证毕。