高三数学正态分布2
高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》
高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．4.能解决一些简单的实际问题.【教材导读】1．条件概率和一般概率的关系是什么？提示：一般概率的性质对条件概率都适用，是特殊与一般的关系．2．事件A，B相互独立的意义是什么？提示：一个事件发生的概率对另一个事件发生的概率没有影响．3．在一次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率值为什么是C k n p k(1－p)n-k?提示：n次恰好发生k次，为C k n个互斥事件之和，每个互斥事件发生的概率为p k(1－p)k，故有上述结论．4．正态分布中最为重要的是什么？提示：概念以及正态分布密度曲线的对称性．1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义设A、B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)与对立事件的关系如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ <X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ <X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ <X≤μ＋3σ)＝0.9974.【重要结论】1．P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c，则事件A，B.C至少有一个发生的概率为1－(1－a)(1－b)(1－c)．2．X～N(μ，σ)，若P(X<a)＝P(X>b)，则正态密度曲线关于直线x＝a＋b2对称．1．设随机变量ξ～N(2,4)，若P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜2a－3)，则实数a的值为()(A)1 (B)5 3(C)5 (D)9B解析：因为μ＝2，根据正态分布的性质得a＋2＋2a－32＝2，解得a＝53.2．已知随机变量X服从正态分布N(2,32)，且P(X≤1)＝0.30，则P(2<X<3)等于() (A)0.20 (B)0.50(C)0.70 (D)0.80A 解析：∵该正态密度曲线的对称轴方程为x ＝2， ∴P(X ≥3)＝P(X ≤1)＝0.30，∴P (1<X <3)＝1－P(X ≥3)－P(X ≤1)＝1－2×0.30＝0.40，∴P (2<X <3)＝12P (1<X <3)＝0.20. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )(A)56 (B)45 (C)3132(D)12C 解析： ∵函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P(X ≤4)＝1－P(X ＝5)＝1－125＝3132.4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长幼苗的概率为________．答案：0.725．在一次高三数学模拟考试中，第22题和23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12，则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．答案：12考点一 条件概率(1)某射击手射击一次命中的概率是0.7，两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是( )(A)710 (B)67 (C)47(D)25(2)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 为“至少一次出现反面”，事件B 为“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝________.解析：(1)设第一次射中为事件A 、随后一次射中为事件B ， 则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.40.7＝47. (2)由题意，知P(AB)＝323＝38，P(A)＝1－123＝78，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝3878＝37.答案：(1)C (2)37【反思归纳】 (1)一般情况下条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行，在计算时要注意搞清楚问题的事件含义，特别注意在事件A 包含事件B 时，AB ＝B.(2)对于古典概型的条件概率，计算方法有两种：可采用缩减基本事件全体的办法计算P(B|A)＝n (AB )n (A )；直接利用定义计算P(B|A)＝P (AB )P (A ). 【即时训练】 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．(2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率是________．解析：(1)解法一 设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C 55C 2100，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.解法二 第一次取到不合格产品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为499.(2)记事件A 为这个家用电器使用了三年， 事件B 为这个家用电器使用到四年，显然事件B A ，即事件AB ＝B ，故P(A)＝0.8，P(AB)＝0.4， 所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.5. 答案：(1)499 (2)0.5考点二独立事件的概率甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解析：设A k，B k分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(A3)＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3，且P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋(23)2×(12)2＝29，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝(23)2×(12)2＝19.综上知，ξ的分布列为ξ 1 2 3P 232919所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.【反思归纳】概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．【即时训练】 某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元． 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为 P 1＝13×12＝16，甲、乙两人所付费用都是20元的概率为 P 1＝12×13＝16，甲、乙两人所付费用都是30元的概率为 P 1＝1－13－12×1－12－13＝136故甲、乙两人所付费用相等的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336.(2)随机变量ξ的取值可以为20,30,40,50,60. P(ξ＝20)＝12×13＝16P(ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336P(ξ＝40)＝12×13＋1－12－13×13＋1－13－12×12＝1136P(ξ＝50)＝12×1－12－13＋1－12－13×13＝536P(ξ＝60)＝1－12－13×1－12－13＝136 故ξ的分布列为：P16 1336 1136 536 136考点三 二项分布京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ，σ2)，同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内)，样本数据分布区间为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．(1)若P(ξ<38)＝P(ξ>68)，求a ，b 的值；(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望．解：(1)根据正态曲线的对称性，由P(ξ<38)＝P(ξ>68)，得μ＝38＋682＝53. 再由频率分布直方图得⎩⎪⎨⎪⎧(0.01＋0.03＋b ＋0.02＋a )×10＝1，0.1×35＋0.3×45＋10b ×55＋0.2×65＋10a ×75＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.005，b ＝0.035.(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100＝5(人)， 由题意η＝0,1,2,3,4,5，所以P(η＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235＝1243， P(η＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234＝10243， P(η＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝40243， P(η＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝80243， P(η＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫1－231＝80243， P(η＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243， 所以η的分布列为η 012345 P1243 10243 40243 80243 8024332243所以E(η)＝0×1243＋1×10243＋2×40243＋3×80243＋4×80243＋5×32243＝103，或根据题设，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23，P(η＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)， 所以E(η)＝5×23＝103.【反思归纳】 在实际问题中具体列出服从二项分布的随机变量的概率分布列对解决问题有直观作用，求解服从二项分布的随机变量的概率分布列和数学期望，只要按照公式计算即可．【即时训练】 某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数所进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9，11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．解：(1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)解法一 ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340. P(ξ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫37402＝13691600，P(ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P(ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91600，故所求分布列为X 0 12P13691600111800 91600ξ的均值为E(ξ)＝0×13691600＋1×111800＋2×91600＝320，ξ的方差为D(ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3202×13691600＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3202×111800＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3202×91600＝111800.解法二 求ξ的分布列同解法一．ξ的均值为E(ξ)＝2×340＝320，ξ的方差为D(ξ)＝2×340×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－340＝111800.考点四 正态分布(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (4，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为( )(A)0.2 (B)0.4 (C )0.8(D)0.9(2)已知三个正态分布密度函数f i (x)＝12πσi ·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )(A)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3(B)μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(C)μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3(D)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(3)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为()(A)73(B)53(C)5 (D)3解析：(1)∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ＞0)，∴曲线的对称轴是直线x＝4，∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.∵ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.(2)正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(x)的图像一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.故选D.(3)因为ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，所以2a－3＋a＋22＝3，解得：a＝73.故选A.答案：(1)D(2)D(3)A【反思归纳】(1)在计算服从正态分布的随机变量在特殊区间上的概率时要充分利用正态密度曲线的对称性，将所求的概率转化到我们已知区间上概率．(2)根据正态密度曲线的对称性，当P(ξ>x1)＝P(ξ<x2)时必然有x1＋x22＝μ.【即时训练】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是()(A)997 (B)954(C)819 (D)683解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6826，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.答案：D正态分布与二项分布的综合某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？审题指导满分展示：解：解答：(1)解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)解：由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．命题意图：本题考查二项分布、数学期望等基础知识，考查综合运用概率统计知识分析问题和解决问题的能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)＝()(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析：事件A 的概率为P (A )＝12，事件AB 发生的概率为P (AB )＝14，由公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12，选A. 2．已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析：由ξ～N (3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x ＝3，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；若三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 4．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C →)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A →)P (B )P (C →)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12×1212＝12.故选B.6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：C k 512k ×125－k ＝C k ＋1512k ＋1×124－k ，解得k ＝2.故选C.7．某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ≤4)＝0.9，该变量X ∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析：∵P (X ≤4)＝0.9，∴P (X ＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x ＝2对称，故P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0.1，∴P (0＜X ＜4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D. 8．已知随机变量X ～N (2,2)，若P (X ＞t )＝0.2，则P (X ＞4－t )＝( ) (A)0.1(B)0.2(C)0.7 (D)0.8D 解析：P (X ＞4－t )＝1－P (X ＜4－t )＝1－P (X ＞t )＝1－0.2＝0.8.故选D.9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣传此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10 000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：根据题意显然有X 2－B (10 000,0.01)，所以E (X2)＝10 000×0.01＝100，故E (X )＝200. 答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解析：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为：X 的均值E (X )＝2×316＝38.能力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn ，12，η～Bn ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( ) (A)5 (B)10 (C)15(D)20 B 解析：因为ξ～Bn ，12， 所以E (ξ)＝n2， 又E (ξ)＝15，则n ＝30. 所以η～B 30，13，故E (η)＝30×13＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924 C 解析：设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A |)·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827，故选C.13．设随机变量X－N(3，σ2)，若P(X＞m)＝0.3，则P(X＞6－m)＝________.解析：∵随机变量X～N(3，σ2)，∴P(X＞3)＝P(X＜3)＝0.5，∵P(X＞m)＝0.3，∴P(X＞6－m)＝P(X＜m)＝1－P(X＞m)＝1－0.3＝0.7.答案：0.714．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P(0＜ξ＜3)＝P(ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)由题知，P(80≤X＜85)＝12－P(X＜75)＝0.2，P(85≤X＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064， 所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N *)的函数解析式； (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n ≥17时y ＝17×(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850(n ≤16，n ∈N *)，850(n ≥17，n ∈N *).(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ， 由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X表示当天的利润(单位：元)，X的分布列为E(X)＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y表示当天的利润(单位：元)，Y的分布列为：E(Y)＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E(X)＞E(Y)，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。
高三数学知识点：正态分布
高三数学知识点：正态分布
已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116,64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比是多少？
解析过程：
要求成绩在140分以上的考生所占的百分比，可以利用正态分布的性质，即在均值左侧的面积为50%。
因此，首先需要求出成绩为140分的标准差，即（140-116）/8=3.然后，利用标准正态分布表可以得出，成绩在140分以上的考生所占的百分比为0.13%。
正态分布是一种非常重要的概率分布，其密度函数呈钟形曲线，均值、标准差是其两个重要参数。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述各种自然现象和社会现象，如人口分布、气温变化等。
掌握正态分布的性质和应用方法，对于解决实际问题具有重要意义。
常见考法包括选择题和填空题，容易掌握。
但在考试中，也需要注意正态分布曲线的性质，避免出现低级错误。
总之，掌握正态分布的知识点和应用方法对于高中数学的研究和考试都非常重要。
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正态分布-讲义(学生版)
正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为 ．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（ ）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（ ）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（ ）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若 ，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（ ）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。
8.13二项分布及正态分布
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时8.13二项分布及其应用、正态分布 一、回归教材1、设随机变量(,)B n p ξ，且13,7E p ξ==，则n= ，D ξ= .1821;72、已知(,)B n p ξ，8, 1.6E D ξξ==，则n = ，p = .10;0.83、设随机变量(2,),(3,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则(1)P η≥= .19274、已知随机变量ξ服从正态分布2(0,6)N ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=（ ）CA.0.477B.0.628C.0.954D.0.9775、已知随机变量2(2,)N ξσ，且(4)0.84P ξ≤=，则(0)P ξ≤= .0.166、在一次高三模拟考试中，某校1000名学生的语文成绩近似满足正态分布.即分数(108,4)N ξ，若(100)0.2P ξ≤=，则考分在108分至116分之间的学生人数约为 人.300知识小结：1、若ξ服从二项分布，即(,)B n p ξ，则E ξ= ，D ξ= .2、解决正态分布概率问题常用方法和技巧： .二、典例分析例1、（2012 四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和系统B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值.15p = （2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.变式训练：一袋中装有10个同样大的小球，其中有8个小球上标有“成功”，另2个小球标有“幸福”，今连续抽取3次，每次抽1个小球.（1）不放回地抽取时，求抽到“幸福”的个数ξ的分布列；（2）有放回地抽取时，求抽到“幸福”的个数η的期望.三、高考真题1、（2010 课标）某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A.100B.200C.300D.4002、（2010 山东）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=（ ）CA.0.477B.0.628C.0.954D.0.9773、（2011 湖北）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.24、（2008 湖南）已知随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-，则c =（ ）A.1B.2C.3D.45、（2010 广东）已知随机变量ξ服从正态分布(3,1)N ，若(24)0.6826P ξ≤≤=则(4)P ξ>=（ ）A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585【上本作业】某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是13. （1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；（2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列及均值.【课后反思】。
高中高三数学《正态分布》教案、教学设计
6.预习任务：布置下一节课的相关内容，要求学生进行预习，为课堂学习做好准备。
在布置作业时，要注意以下几点：
1.针对不同层次的学生，适当调整作业难度，确保每个学生都能在完成作业的过程中获得成就感。
1.提问：询问学生关于数据分布的知识，如“你们在生活中见过哪些数据呈现一定的分布规律？”
2.实例展示：利用多媒体展示一些生活中的数据分布图像，如学生身高、考试成绩等，让学生观察并总结这些分布的特点。
3.引入正态分布：通过分析实例，引导学生发现这些数据分布的共同点，即呈现出对称、钟形的形状，从而引出正态分布的概念。
-练习巩固：设计难易程度不同的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
3.评价与反馈：
-采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况。
-针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和建议，帮助他们克服学习难点，提高学习效果。
-定期进行教学反思，根据学生的学习情况和反馈，调整教学策略，不断提高教学质量。
因此，在教学过程中，应关注学生的个体差异，因材施教，充分调动他们的学习积极性，提高正态分布这一章节的教学效果。同时，注重培养学生的学习兴趣和实际应用能力，使他们在掌握知识的同时，增强数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：正态分布的概念、性质、图像特点及其在实际中的应用。
2.难点：正态分布的概率计算、期望和方差的推导及在实际问题中的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的热爱，激发他们学习数学的兴趣，使他们认识到数学知识在现实生活中的重要作用。
高中数学必修三正态分布知识点
高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
正态分布
（1）当x = μ 时,函数值为最大. 1 (0, ] （2）f ( x) 的值域为 2 s (3) f ( x) 的图象关于
μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
x
=μ 对称.
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
X=m
3.特殊区间的概率:
若X~N
(m,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m a m a
P(m a x ≤ m a)
x=μ
m ,s ( x )dx
m-a
m+a
特别地有（熟记）
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
【1】 （07 湖南）设随机变量 x 服从标准正态分
1) ， 已 知 p （ x ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 布 N (0， P(| x | 1.96) =（ C ）
A．0.025 C．0.950 B．0.050 D．0.975
y
o
x
【2】 （07 浙江）已知随机变量 x 服从正态分布
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变 化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
练习：
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
高考数学复习知识点讲解教案第65讲 二项分布与超几何分布、正态分布
正态曲线： =
1
2π
−
⋅e
− 2
22
, ∈ ，其中 ∈ ， > 0为参数，称
正态密度曲线
为正态密度函数，函数 的图象为_________________,简称正态曲线.
（2）
正态曲线的特点
=
①曲线是单峰的，它关于直线________对称.
②
=
1
曲线在________处达到峰值
3
［思路点拨］（1）由题可求出一次试验成功的概率，设试验成功的次数为，可
知服从二项分布，再利用方差的性质即可求解.
[解析] 由题意得，启动一次出现的数字为 = 1010的概率 =
设试验成功的次数为，则～
所以的方差 = 54 ×
2
27
×
25
27
2
54,
27
=
2
1
3
2
3
× =
2
.
记选出女生的人数为，则服从超几何分布，③满足题意；
盒中有4个白球和3个黑球，每次从中随机摸出1个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，
则不服从超几何分布，④不满足题意.故填③.
5.已知随机变量 ∼
2
2,
0.35
, ≤ 0 = 0.15,则 2 ≤ ≤ 4 =______.
0 < < 1 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为( = ) =
−
C 1 −
_________________________，
= 0,1,2,⋯ ,,称随机变量服从二项分布,记作
∼ , .
（2）
1 −
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[多选]入境邮寄物有下列情况之一的，检验检疫机构将作退回或销毁处理。（）A.带有规定禁止邮寄进境的B.证单不全的C.在限期内未办理检疫审批或报检手续的D.经检疫不合格又无有效处理方法的 [单选,A3型题]3岁小儿，请判断其各种能力的正常状态。有关思维能力的发展，正常的是（）A.产生萌芽状态的表象B.逐步发展其具体形象思维C.感知动作思维D.操纵动作的思维E.思维活动占主导地位 [填空题]塔板上浮阀的排列方法有正三角形和（）两种。 [问答题,简答题]检查刮削精度常用哪些方法？ [单选]某建筑公司承包一项建筑工程，竣工当月取得工程结算款120万元、工程抢工费8万元、提前竣工奖5万元;当月购买水泥、钢材等工程材料支出46万元、支付员工工资28万元。已知建筑业适用的营业税税率为3%。该公司当月应缴纳的营业税税额为()万元。A.120×3%=3.6B.(120+8)&tim [单选]2004年11月20日，江麓精密公司研制成功国内首台智能型全自动粉末（）。A.压路机B.压机C.烧结机D.压力机 [单选]接入网中SNI指的是（）.A.业务节点接口B.用户一网络接口C.数据接口 [名词解释]原始铅 [单选]小儿惊厥最常见的原因是（）A．癫痫B．低钙惊厥C．高热惊厥D．低血糖E．颅内感染 [单选,A1型题]经胃管肠内营养时，判断胃潴留发生的标准是在每次输营养液30分钟后，回抽液量应至少大于（）。A.100mlB.200mlC.150mlD.50mlE.250ml [单选]雌激素与下列哪项激素共同作用维护血中钙磷平衡（）.A.肾上腺皮质激素B.降钙素C.甲状腺素D.甲状旁腺素E.雄激素 [单选]婴儿痉挛症诊断的最可靠依据是（）A．3至8个月起病B．智力发育显著落后C．典型的点头样发作形式D．半数有围生期因素E．脑电图背景波异常 [单选]斯坎伦奖励计划是一种成本节省奖励计划，主要是针对（）的节省。A.原料成本B.劳动力成本C.服务成本D.总成本 [单选]政府对于未来的谋划、安排和部署被称为()。A.统筹B.计划C.规划D.展望 [单选,A型题]白喉杆菌的毒力鉴定根据（）A.菌体的异染颗粒特征B.吕氏血清培养基上快速生长特点C.亚碲酸钾平板上菌落特征D.Elek平板试验E.锡克试验 [单选]关于数字微波通信的站距，叙述正确的是：（）.A.发射机功率越大，站距越长B.射频工作频率越高，站距越长C.传播环境条件越好，距离越长 [单选]入院率偏倚又可以称为A．奈曼偏倚(Neymanbias)B．检出偏倚(detectionbias)C．混杂偏倚(confoundingbias)D．信息偏倚(informationbias)E．伯克森偏倚(Berkson'sbias) [单选]在双子叶植物次生结构中具有细胞分裂能力的结构是（）。A、周皮B、韧皮部C、形成层D、木质部 [名词解释]习用品 [名词解释]基本社会化 [单选,A1型题]乳腺癌出现“酒窝征”的机制是（）A.合并感染B.癌肿压迫乳管C.癌肿侵犯cooper韧带D.淋巴管癌栓阻塞E.周围组织粘连 [名词解释]等离子切割 [名词解释]免疫自稳(immunologichomeostasis) [单选]明确质量目标属于产品质量控制的（）。A.制定质量核对表B.采取改进措施C.制订质量控制计划D.制定质量检测指标 [单选]对病理生理最大的影响是（）。男孩，4岁，6个月起青紫，渐加重，常蹲踞。胸骨左缘第3肋间可闻及2级收缩期杂音，P2减弱，有杵状指(趾)A．肺动脉狭窄B．右位主动脉弓C．室间隔缺损D．主动脉骑跨E．右心室肥厚 [判断题]同一泵站内不能同时采用保护接地和保护接零。A.正确B.错误 [单选]车辆的外廓尺寸、轴荷和总质量应当符合国家有关车辆外廓尺寸、轴荷、质量限值等机动车安全（），不符合标准的不得生产、销售。A、设计标准B、技术标准C、通行标准 [单选,A2型题,A1/A2型题]风湿性心脏病二尖瓣狭窄心房颤动电复律以下哪项是适应证（）A.出现心绞痛或晕厥B.病程2年C.高度房室传导阻滞D.既往有病态窦房结综合征E.左心房内径65mm [单选]属于细胞内正常物质异常增多或异常物质蓄积的变性是：A．脂肪变性B．黏液变性C．淀粉样变性D．细动脉管壁的玻璃样变性E．营养不良性钙化 [单选]以下带电作业方法为直接作业法的是（）。A、地电位作业B、等电位作业C、中间电位作业D、带电水冲洗 [单选]溶菌法检测细胞杀菌功能，其杀菌率的计算公式是()A．吞噬细菌的细胞数/计数的细胞数×100%B．胞内含着染菌体的细胞数/计数的细胞数×100%C．(1～30、60、90min的菌落数/0min菌落数)×100%D．(1～3h的菌落数/0min菌落数)×100%E．胞内含着染菌体的细胞数 [单选]下列需要进行成本还原的方法是A.逐步综合结转分步B.逐步分项结转分步法C.平行结转分步法D.品种法 [单选]供电企业对于暂停用电不足15天的大工业电力客户，在计算其基本电费时，（）基本电费。A.不计收B.不扣减C.按10天计算D.按实际天数扣减 [问答题,简答题]学校开展心理健康教育的基本途径。 [判断题]办理出入境快件，由具备报检资格的快件运营人向所在地检验检疫机构办理报检手续，凭检验检疫机构签发的出境通关单向海关办理报关。（）A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于吞咽神经检查，下列叙述哪项是正确的（）。A.嘱患者伸舌，观察有无偏斜B.舌缘两侧厚薄不相等及颤动C.嘱患者张口，观察两侧软腭上抬是否有力，腭垂是否居中D.检查鼻唇沟及口角两侧是否对称E.嘱患者鼓腮或吹口哨，观察左右两侧差异 [单选]关节穿刺的禁忌证不包括（）。A.被穿刺关节周围有疖肿B.被穿刺关节周围有皮肤破溃或银屑病等皮损C.免疫力低下、严重体弱的患者D.儿童或老年人E.有出血性疾病（如血友病）或有严重出血倾向性的疾病 [单选]发展中国家税收中的征收成本较低的税是（）A.进口关税B.所得税C.土地税D.农业税 [判断题]加氢气密试验的压力应等于操作压力。A.正确B.错误 [单选,A1型题]长期的全胃肠外营养中，最严重的并发症是（）A.高渗性非酮性昏迷B.溶质性利尿C.血磷过低D.凝血酶原过低E.氮质血症