数学北师大版七年级下册幂的运算专题复习
数学北师大版七年级下册幂的概念复习
-2 2 8
3
= 2 2 2 1 3 6 = 2 2
3 1 0
6
= 2
5
33
3
= 215
= -2
7
二：注意幂运算中的符号问题
1：判断对错并把错的改正过来
6 3 3 3 =3 = 2 4 6
⑴ ⑵
3 3 3 =3 =
x 3 x 1 目标： 已知 1 4 2 ,求 x 的值。
底数相同
解；
x 3 x 1 4 2
2 x 3 x 1 2 2 2 x 3 x 1
x 1
试：
n n 22 若 2 8 16 2 ,则 n 的值是多少？
六；典例剖析（三）
x y 已 知 2 x 5 y3 , 求的 4 3 2 值
一：概念复习
1：同底数幂的乘法法则: 2：同底数幂的除法法则: 3：幂的乘方法则: 4：积的乘方法则:
幂的运算法则汇总
m n m n a a a ma a aam 0 ， . n 都 是 正 整 数 ， 且 m n
m n m n ( a ) a (. m n 都 是 正 整 数 ）
3 m 2 n
解；
m n a 2 , a 4
3 mn 2 3 m 2 n a a a
a
m 3
a
n 2
23 42
试：
128
已 知 x 9 , x 6 , x 4 , x 的 值 。
m n k
m 2 n 2 k
五；典例剖析（二）
知幂的关系，求指数
a b c a b c
2 m 3 n m n
北师大版七下数学知识点总结
北师大版七下数学知识点总结北师大版七年级下册数学知识点总结。
一、整式的乘除。
1. 同底数幂的乘法。
- 法则：a^m· a^n=a^m + n（m、n为正整数）。
例如2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
- 推广：a^m· a^n· a^p=a^m + n+p（m、n、p为正整数）。
2. 幂的乘方。
- 法则：(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）。
例如(3^2)^3=3^2×3=3^6。
3. 积的乘方。
- 法则：(ab)^n=a^nb^n（n为正整数）。
例如(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。
4. 同底数幂的除法。
- 法则：a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m、n为正整数且m>n）。
例如5^6÷5^3=5^6 - 3=5^3。
- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。
- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p为正整数)。
5. 整式的乘法。
- 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘。
例如3x^2·2x^3=(3×2)x^2 + 3=6x^5。
- 单项式乘多项式：m(a + b)=ma+mb。
例如2x(x + 3)=2x^2+6x。
- 多项式乘多项式：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。
例如(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x + 6。
6. 整式的除法。
- 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除。
例如6x^5÷2x^3=(6÷2)x^5 - 3=3x^2。
- 多项式除以单项式：(a + b)÷ m=(a)/(m)+(b)/(m)。
例如(4x^2+2x)÷2x =4x^2÷2x+2x÷2x = 2x + 1。
二、相交线与平行线。
1. 相交线。
北师大版七年级下册整式乘除——幂运算
幂运算【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 要点四、同底数幂的除法法则+⋅=m n m n a a a ,m n mnpm n pa a a a++⋅⋅=,,m n p m n m n a a a +=⋅,m n ()=m nmna a,m n (())=m n pmnpa a0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aa a ==()=⋅n n n ab a b n ()=⋅⋅nnnnabc a b c n ()nn na b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点五、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点六、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nnaa -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）； ()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点七、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】1、计算：（1）； （2）；（3）．【变式1】下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a B ．a 3•a 2＝a 5 C ．a 3•a 2＝a 6 D ．a 3•a 2＝a 9【变式2】计算：（1）； （2）（为正整数）；（3）（为正整数）．【变式3】（x ﹣y ）•（y ﹣x ）2•（y ﹣x ）3﹣（y ﹣x ）6．234444⨯⨯3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+5323(3)(3)⋅-⋅-221()()ppp x x x +⋅-⋅-p 232(2)(2)n⨯-⋅-n2、已知，求的值．【变式】10x ＝a ，10y ＝b ，则10x +y +2＝（ ） A ．2ab B ．a +b C ．a +b +2 D ．100ab3、计算：（1）； （2）； （3）．4、已知，．求的值．【变式】已知，，求的值．5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）； （2）； （3）．【变式1】计算（ab 2）3的结果是（ ） A ．ab 5B ．a 3b 5C ．a 3b 6D ．a 4b 52220x +=2x 2()m a 34[()]m -32()m a-2a x =3b x =32a bx +84=m 85=n 328+m n22()ab ab =333(4)64ab a b =326(3)9x x -=-【变式2】已知2x +3y ﹣1＝0，求9x •27y 的值．【变式3】已知10x ＝5，10y ＝6，求103x +2y 的值．6、（﹣8）57×0.12555．【变式1】42020×（﹣0.25）2021的值为（ ） A ．4 B ．﹣4C ．0.25D ．﹣0.25【变式2】（﹣）2021×（﹣2.6）2022＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣D ．﹣2.6【变式3】运用公式简便计算：•（﹣）2020．7、计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-8、已知32m=，34n=，求129m n+-的值．【变式】已知以ma =2，na =4，ka =32．则32m n ka+-的值为 ．9、下列计算中，正确的是（ ） A ．（0.1）﹣3＝0.0001B ．（2π﹣6.28）0＝1C ．（10﹣5×2）0＝1D ．（2021）﹣1＝2021【变式1】计算：．【变式2】计算：（）﹣2×3﹣1+（π﹣2020）0÷（）﹣1．10、一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克．现在请你来计算：（1）一粒大米重约克？（2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示）（3）若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则（2）节约下来的大米供多少名贫困地区儿童生活一年？（结果用科学记数法表示）【变式1】下列各式正确的是（）A．用科学记数法表示30800＝3.08×105B．（﹣3）0＝1C．用小数表示5×10﹣6＝0.0000005D．【变式2】最小刻度为0.2nm（1nm＝10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为（）A．2×10﹣8m B．2×10﹣11m C．2×10﹣9m D．2×10﹣10m【随堂小练】1、已知2x＝5，则2x+3的值是（）A．8B．15C．40D．1252、下列各题的计算，正确的是（）A．（a5）2＝a7B．a5•a2＝a10C．2a3﹣3a2＝﹣a D．（﹣ab2）2＝a2b43、目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（）A．0.12×10﹣3B．1.2×10﹣4C．1.2×10﹣5D．12×10﹣34、计算：（1）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（b﹣a）；（2）．5、（1）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+3n的值；（2）已知9n+1﹣9n＝72，求n的值．6、计算：．7、若a m＝6，a n＝2，求a2m﹣n的值．【巩固练习】1、已知2m＝6，2n＝3，则2m+n＝（）A．2B．3C．9D．182、下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6 B ．x 6÷x 3＝x 2 C ．（﹣xy 2）3＝x 3y 6 D ．（a 2）3＝a 63、用小数表示下列各数： （1）8.5×310-（2）2.25×810-（3）9.03×510-4、计算：（1）﹣b 2×（﹣b ）2×（﹣b 3） （2）（2﹣y ）3×（y ﹣2）2×（y ﹣2）55、计算：．6、已知3a ＝4，3b ＝5，3c ＝8． （1）求3b +c 的值； （2）求32a ﹣3b的值．7、（1）若，求的值．（2）若，求、的值．3335n n x xx +⋅=n ()3915n ma b b a b ⋅⋅=m n。
北师大版七年级数学下 第一章 幂的运算复习 (1)(共18张PPT)
1.掌握有关幂的性质及运算法则； 2.能熟练运用法则进行混合运算，解决实际问题。
复习指导（2分钟）
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n
幂的乘方运（算m法,n都则是: 正整数）
(am)n= amn (m、n都是正整数)
积的乘方运算法则:
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）
A．-29x10
B．29x10
C．-29x9
D．29x9
6.三个单项式①-10x3y2，②-0.01x3，③yx3按次数由大到小 的排列是（ ）
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
7.式子-mn与（-m）n的正确判断是（ ） A．当n为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当n为奇数时，它们互为相反数 D．n为偶数时它们相等
A．a3
B．-a2
C．-a3
D．a2
3.设am=8，an=16，则am+n=（ D ）
A．24
B．32
C．64
D．128
4.下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10
B．a6×a4=a24
C．a0÷a-1=a
D．a4-a4=a0
5.观察下面的一列单项式：-x、2x2、-4x3、8x4、-16x5、… 根据其中的规律，得出的第10个单项式是（ ）
为17．则该多项式当x=1时的值是
．
38. 若a+b=0，则多项式a3+a2b-ab2-b3的值是
．
39. xa+b+c=35，xa+b=5，求xc的值．
40. 已知x3n=2，求x6n+x4n×x5n的值．
北师大七年级下册数学W1幂的运算复习
第一周周末学案 幂的运算学号_______ 姓名________【知识要点】1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 ，指数。
用公式表 。
2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数 ，指数 。
用公式表示为 。
3.积的乘方法则：积的乘方，把积的每一个因式 ，再把所得的积。
用公式表示为 。
4.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数 ，指数。
用公式表示为 。
5.我们规定：a 0= ,a -n = 。
【基础演练】 1、 计算：（2013湖北黄冈）－(－3)2＝p 2·（-p ）·(-p)5=(-2x 3y 4)3=(x 4)3=_______ (a m )2=________， m 12=( )2=( )3=( )4。
2、(1)若a m·a m=a 8,则m= (2)若a 5·(a n )3=a 11，则n=3、用科学记数法表示：(1)0.00000730=(2)-0.00001023=4、一种细菌的半径为3.9×10-5m,用小数表示应是m.氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529厘米。
用科学记数法表示这个距离为 5、已知a m=3, a n=9, 则a3m-2n= .6、用小数或分数表示下列各数. （1）2-5（2）1.03×10-4(3)2)23(-(4)(-3)-47、(2013湖南株洲)下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.8、(2013山东烟台)下列各运算中，正确的是（ ）A .BC .D .9、如果(),990-=a ()11.0--=b ,235-⎪⎭⎫⎝⎛-=c ,那么c b a ,,三数的大小为A.c b a >>B.b a c >>C.b c a >>D.a b c >>10、已知(a x·a y )5=a 20(a ＞0，且a ≠1)，那么x 、y 应满足（ ） A x+y=15 B x+y=4 C xy=4 D y=11、填空（1）. 104×107=______，(－5)7×(－5)3=_______，b 2m·b4n-2m=_________。
北师大版七年级数学下册《同步考点解读-专题训练》专题1.2幂的除法运算(知识解读)(原卷版+解析)
专题1.2 幂的除法运算（知识解读）【学习目标】1. 掌握正整数幂的除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．2. 运用同底数幂的除法法则解决一下实际问题．3.理解零次幂的性质及有关综合运算。
4.掌握用科学计数法表示较小的数。
5.了解负整数指数幂的意义，并进行有关的运算。
【知识点梳理】知识点1：幂的除法运算口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m÷a n=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)知识点2：零指数a0=1 (a≠0)知识3：科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成a⨯10-n 的形式，其中n是正整数，1≤ a <10 ，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非0 数字前有m 个0，则10d 的指数n=m+1．知识点4：负整数幂当n 是正整数时，1nnaa-=（0a≠，n是正整数）【典例分析】【考点1 幂的除法运算】【典例1】计算a6÷a3，正确的结果是（）A．3B．a3C．a2D．3a 【变式1-1】计算m3÷m3结果是（）A．m6B．m C．0D．1【变式1-2】计算（﹣a）12÷（﹣a）3的结果为（）A．a4B．﹣a4C．a9D．﹣a9【典例2】已知x a＝3，x b＝5，则x a﹣b＝（）A．B．C．D．15【变式2-1】已知3m＝12，3n＝4，则3m﹣n的值为（）A．3B．4C．6D．8【变式2-2】若5a＝3，5b＝12，则5b﹣a＝．【典例3】已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．【变式3-1】已知a m＝4，a n＝8，求a3m﹣2n的值．【变式3-2】（1）已知3a＝4，3b＝5，求32a﹣3b的值；（2）若3x+2y﹣3＝0，求8x•4y．【典例4】计算：a2•（﹣a4）3÷（a3）2．【变式4-1】计算：（1）a•a2•a3；（2）（﹣2ab）2；（3）（a3）5；（4）（﹣a）6÷（﹣a）2÷（﹣a）2．【变式4-2】计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．【变式4-3】计算题：（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5；（2）（5a2+2a）﹣4（2+2a2）．【考点2 零指数】【典例5】（一1）0等于（）A．﹣1B．0C．1D．无意义【变式5-1】若（x﹣1）0有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x为任意数【变式5-2】计算（﹣5）0的结果是（）A．1B．﹣5C．0D．﹣【考点3：科学计数法】【典例6】（2022•海曙区校级模拟）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8【变式6-1】（2019•烟台一模）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣9米B．5×10﹣8米C．5×10﹣9米D．5×10﹣10米【变式6-2】（2020•汇川区模拟）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1【考点4：负指数整数幂】【典例7】（2022春•元宝区校级期末）计算（）﹣2的结果是（）A．﹣9B．9C．D．﹣【变式7-1】（2022春•北碚区校级期末）（）﹣2值为（）A．B．﹣C．D．﹣【典例8】（2022•南陵县自主招生）计算．【变式8-1】（2022春•兰州期末）计算：（）﹣1﹣（﹣3﹣3.14）0+（﹣）﹣2．【变式8-2】（2022春•城固县期末）计算：（﹣）﹣3+（﹣3）0﹣（﹣1）﹣2．【变式8-3】（2022春•西安期末）计算：﹣（﹣1）﹣1．专题1.2 幂的除法运算（知识解读）【学习目标】1. 掌握正整数幂的除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．2. 运用同底数幂的除法法则解决一下实际问题．3.理解零次幂的性质及有关综合运算。
专题1.1 幂的运算【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
关系是�
�（填“<”或“>”）．
【答案】<
【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知，
【变式
1-2】（2023
春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：−
35
×
(
−
2 3
)5
×
(
−
5)6
【答案】500000
【分析】根据积的乘方即可求出答案．
【详解】原式=
35
×
(
2 3
)5
×
56
=
（3
×
2 3
5
）
×
56
= 25 × 55 × 5
=
（2
×
5
5）
×
5
= 5 × 105
= 500000
【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 【例 1】（2023 春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：
第1页 共 24页
(1) 4 2019 ×
5
−1.25 2020；
(2) −9 3 ×
−2 3×
3
1 3
3．
【答案】(1)54
(2)8
【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
专题 1.1 幂的运算【八大题型】
【北师大版】
【题型 1 利用幂的运算法则进行简便运算】 ...........................................................................................................1 【题型 2 利用幂的运算法则求式子的值】 ...............................................................................................................4 【题型 3 利用幂的运算法则比较大小】 ...................................................................................................................6 【题型 4 利用幂的运算法则整体代入求值】 .........................................................................................................10 【题型 5 利用幂的运算法则求字母的值】 .............................................................................................................12 【题型 6 利用幂的运算法则表示代数式】 .............................................................................................................14 【题型 7 幂的混合运算】 ......................................................................................................................................... 17 【题型 8 新定义下的幂的运算】 ............................................................................................................................. 19
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
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幂的运算专题复习教学设计
成都玉林中学李霞一．教材分析
《幂的运算》是义务教育课程标准北师大版实验教科书七年级（下）第一章《整式的乘除》第1-3节的内容。
本节课是在“同底数幂的乘除法”、“幂的乘方与积的乘方”之后，是一节复习提高课。
通过教师引导，学生自主探究，熟悉“幂的运算法则”常见运用和灵活运用。
二．学情分析
学生前面已经学过了“有理数及其运算”和“整式的加减”，对于运算的顺序和符号已经了然于心。
但幂的运算法则是全新的，需要学生认真理解公式的推理过程，关注公式之间的内在联系和公式成立的条件。
同时，幂的运算法则的用法灵活多变，对同学们既是挑战，也触动同学们的好奇、好胜的心理，激发他们的兴趣，使他们主动去探索知识。
三．目标分析
●教学目标
1.知识与技能目标
⑴熟练掌握幂的运算法则，能准确的进行幂的基本运算；
⑵会灵活使用幂的运算法则，掌握运算法则的正向运用、逆向运用和综合运用.
2.能力目标
⑴培养学生的探究能力，提高学生的数学思维能力；
⑵培养学生知识总结的能力和严谨的学习态度.
3.情感目标
⑴鼓励学生积极参与课堂探讨，共同解决难题，树立学生学好数学的自信心；
⑵通过学生观察、分析、动手、推断、归纳领会新知识.
●教学重点
幂的运算法则的理解与运用.
●教学难点
幂的运算法则的灵活运用.
四．教法学法
●教学方法
“引导----探究----发现----应用”教学模式
●学法指导
指导学生自主探究，合作交流，培养学生知识总结，自主学习的能力
●课前准备
多媒体，学案。