2018届高三数学过关测试：第13练函数与方程含答案

合集下载

高三数学专题复习(函数与方程练习题)

高三数学专题复习（函数与方程练习题）(附参考答案)一、选择题1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ∉ （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ∉ （a ，b ）3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋32上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2π］∪（65π，π）D 、［0，2π］∪［32π，π）4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝132+-m m ，则m 的取值范围为（）A 、m ＜32B 、m ＜32且m ≠－1C 、－1＜m ＜32D 、m ＞32或m ＜－15、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（）A 、f (－1)＜f (3)B 、f (0)＞f (3)C 、f (－1)＝f (3)D 、f (0)＝f (3)6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定7、函数y ＝log21 (x2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（）A 、［22 ，＋∞］B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］C 、（－22，22）D 、（－∞，－22］8、设α、β依次是方程log 2x ＋x －3＝0及2x ＋x －3＝0的根，则α＋β＝（） A 、3 B 、6 C 、log 23 D 、229、已知函数y ＝f (2x ＋1)是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (2x)的图象的对称轴为（） A 、x ＝1 B 、x ＝21 C 、x ＝－21D 、x ＝－1 10、已知y ＝f (x ）是定义在R 上的奇函数，若g (x)为偶函数，且g (x)＝f (x －1）g (2)＝2008，则 f (2007)值等于（）A 、－2007B 、2008C 、2007D 、－2008 11、（理）对于R 上可导的任意函数f (x)，若满足(x －1）·f '(x)≥0，则必有（） A 、f (0) ＋f (2)＜2f (1) B 、f (0)＋f (2)≤2 f(1) C 、f (0)＋f (2)≥2f (1) D 、f (0)＋f (2)＞2 f (1) 12、函数f (x ）＝⎩⎨⎧=≠-)2(1)2(|2|lg x x x 若关于x 的方程［f (x)］2＋b ·f (x)＋C ＝0，恰有3个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则f (x 1＋x 2＋x 3）等于（）A 、0B 、lg2C 、lg4D 、1 13、已知f (x)＝2＋log 3 x ，x ∈［1,9］，则函数y ＝［f (x)］2＋f (x 2 )的最大值为（） A 、3 B 、6 C 、13 D 、2214、已知f (x)＝lgx ，则函数g (x)＝｜f (1－x)｜的图象大致是（）15、下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的是（）A 、y ＝2xB 、y ＝log 21xC 、y ＝24xD 、y ＝log 2x1＋116、已知x 、y ∈［－4π，4π］，a ∈R ，且x 3＋sinx －2a ＝0，4y 3＋sinxcosy ＋a ＝0，则cos(x ＋2y ）的值为中（） A 、0 B 、2 C 、3 D 、1 二、填空题 17、已知函数f (x)＝22x＋lg (x ＋12+x )，且f (－1)≈1.62，则f (1)近似值为。

【高三数学试题精选】2018届高考数学函数与方程思想考点突破测试题及答案

解之得x 1或x 3
答案B
二、填空题
6．已知不等式(x＋)1x＋a≥9对任意正实数x，恒成立，则正实数a的最小值为
________．
解析只需求(x＋)1x＋a的最小值大于等于9即可，又(x＋)1x＋a＝1＋a x＋x＋
a≥a＋1＋2a x x＝a＋2a＋1，等号成立仅当a x＝x即可，所以(a)2＋2a＋
|PQ|2＝a2(1－2)＋2－2＋1＝(1－a2)2－2＋1＋a2
＝(1－a2)－11－a22－11－a2＋1＋a2，
因为||≤1，a 1，若a≥2，则11－a2≤1，
当＝11－a2时，|PQ|取最大值a2a2－1a2－1；
若1 a 2，则当＝－1时，|PQ|取最大值2，
综上，当a≥2时，|PQ|最大值为a2a2－1a2－1；当1 a 2时，|PQ|最大值为2
答案A
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0对任意正数a、
b，若a b，则必有( )
A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)
c．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
解析∵xf′(x)＋f(x)≤0，即[xf(x)]′≤0，
∴xf(x)是减函数．又∵a b，
∴af(a)≥bf(b)．
又∵b a 0，f(x)≥0，∴bf(a)≥来自f(a)且bf(b)≥af(b)，
∴bf(a)≥af(a)≥bf(b)≥af(b)，
∴bf(a)≥af(b)．
答案c
4．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2)＝0，则函数＝f(x)在区间(－1,4)内的
零点个数为( )
1≥9，即(a)2＋2a－8≥0求得a≥2或a≤－4 (舍)，

【高三数学试题精选】函数与方程训练题(含解析2018高考数学一轮)

函数与方程训练题（含解析2018高考数学一轮）
5 函数与方程训练题（含解析2018高考数学一轮）
A组基础演练
1．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－12) f(12)＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内
( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
c．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析由f －12 f 12＜0得f(x)在－12，12内有零点，又f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴f(x)在[－1,1]上只有一个零点，即方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一的实根．
答案c
2．(2018 长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表
x123456
f(x)1361315552－3921088－52488－232064
则函数f(x)存在零点的区间有
( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
c．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
解析∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，
∴f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点．
答案c
3．若a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为，g(x)＝lgax＋x。

2018年全国各地高考模拟数学试题《函数的应用》解答题汇编(含答案解析)

2018年全国各地高考数学模拟试题函数的应用解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•安顺三模）设函数．（1）当m=﹣1时，求函数f（x）零点的个数；（2）当m=1时，证明．2．（2018•房山区二模）已知函数f（x）=sinx﹣acosx的一个零点是．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设，若x∈，求g（x）的值域．3．（2018•闵行区二模）某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f（t）、线下日销售量g（t）（单位：件）与上市时间t（t∈N*）天的关系满足：f（t）=，g（t）=﹣t2+20t（1≤t≤20），产品A每件的销售利润为h（t）=（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品A的日销售利润为F（t），写出F（t）的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？4．（2018•松江区一模）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？5．（2018•通州区一模）已知函数f（x）=xe x，g（x）=a（e x﹣1），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求证：f（x）≥g（x）；（Ⅱ）当a＞1时，求关于x的方程f（x）=g（x）的实根个数．6．（2018•湖北模拟）已知函数f（x）=e x，g（x）=．（1）设函数F（x）=f（x）+g（x），试讨论函数F（x）零点的个数；（2）若a=﹣2，x＞0，求证：f（x）•g（x）＞+．7．（2018•江苏模拟）科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨（m＞0）．（1）求A市2019年的碳排放总量（用含m的式子表示）；（2）若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．8．（2018•马鞍山二模）已知f（x）=|x+1|+|x+m|，g（x）=x2+3x+2．（1）若m＞0且f（x）的最小值为1，求m的值；（2）不等式f（x）≤3的解集为A，不等式g（x）≤0的解集为B，B⊆A，求m 的取值范围．9．（2018•江苏三模）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3百米，CD=2百米．该区域内原有道路AC，现新修一条直道DP（宽度忽略不计），点P在道路AC上（异于A，C两点），．（1）用θ表示直道DP的长度；（2）计划在△ADP区域内种植观赏植物，在△CDP区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．10．（2018•宝山区二模）某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g（x）（单位：千克/年）养殖密度为x，x＞0 （单位：尾/立方分米），当x 不超过 4 时，g（x）的值恒为2；当4≤x≤20，g（x）是x 的一次函数，且当x 达到20 时，因养殖空间受限等原因，g（x）的值为0．（1）当0＜x≤20 时，求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）=x⋅g（x）的最大值．11．（2018•全国I模拟）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求实数m的最大值．12．（2018•闵行区一模）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？13．（2018•玉溪模拟）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l 均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？14．（2018•江西一模）已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．15．（2018•福建模拟）某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩下的水果以8元/千克的价格退回水果基地．（1）若该超市一天购进A水果160千克，记超市当天A水果获得的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：千克，n∈N）的函数解析式，并求当y=765时n的值；（2）为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：假设该超市在这50天内每天购进A水果160千克，求这50天该超市A水果获得的日利润（单位：元）的平均数．16．（2018•崇明县二模）已知函数f（x）=，x∈R．（1）证明：当a＞1时，函数y=f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a=2，且b＜c时，证明：对任意d∈[f（c），f（b）]，存在唯一的x0∈R，使得f（x0）=d，且x0∈[b，c]．17．（2018•乌鲁木齐二模）设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+4|﹣3（a≠﹣2）．（1）试比较f（a）与f（﹣2）的大小；（2）若函数f（x）的图象与x轴能围成一个三角形，求实数a的取值范围．18．（2018•江西二模）2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M流量，资费20元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用．小张过去50个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：（1）若小张选择A套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率．（2）小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由．19．（2018•黄浦区二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．20．（2018•上海模拟）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？（2）若每吨平均出厂价为16万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？21．（2018•龙岩模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+m|x+2|．（1）m=2时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若函数f（x）的图象恒在直线y=x的图象的上方（无公共点），求实数m 的取值范围．22．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内．（1）求a+b+c；（2）求的取值范围．23．（2018•上海二模）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．24．（2018•南充模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）与y=g（x）=ax的图象无公共点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求证：x1x2＞e2．25．（2018•洛阳三模）已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．26．（2018•杨浦区二模）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x（x∈N*）满足函数关系式y=+60x﹣800．（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？27．（2018•青浦区一模）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．28．（2018•徐汇区一模）已知函数f（x）=|x|+，（m∈R，x≠0）（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由（2）讨论函数y=f（x）的零点个数．29．（2018•荆州一模）习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战．”．为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为：，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且．（1）令，x∈[0，24]，求t（x）的最值；（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？30．（2018•玉溪模拟）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？31．（2018•青岛二模）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？32．（2018•黄浦区二模）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．33．（2018•齐齐哈尔三模）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣|x+4|+m．（Ⅰ）解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）图象有公共点，求实数m的取值范围．34．（2018•普陀区一模）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？35．（2018•化州市二模）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：对于α，β，γ∈（0，），若sinα+sinβ+sinγ=1，则++＜（参考公式：≥（a，b，c＞0），当且仅当a=b=c时等号成立）36．（2018•宝山区一模）设z∈C，且．（1）已知（z∈C），求z的值；（2）设z（z∈C）与Rez均不为零，且z2n≠﹣1（n∈N*），若存在，使得，求证：；（3）若z1=u（u∈C），（n∈N*），是否存在u，使得数列z1，z2，…满足z n+m=z n（m为常数，且m∈N*）对一切正整数n均成立？若存在，试求出所有的u，若不存在，请说明理由．37．（2018•西城区模拟）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a=，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？38．（2018•崇明县一模）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．39．（2017•盐城三模）设函数f（x）=xe x﹣ax2（a∈R）．（1）若函数g（x）=是奇函数，求实数a的值；（2）若对任意的实数a，函数h（x）=kx+b（k，b为实常数）的图象与函数f（x）的图象总相切于一个定点．①求k与b的值；②对（0，+∞）上的任意实数x1，x2，都有[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0，求实数a的取值范围．40．（2017•如皋市二模）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD=2θ，（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；（2）求商业街的总收益的最大值．参考答案与试题解析1．【分析】（1）把m=﹣1代入函数解析式，求其导函数，可得原函数的单调性并求得极值，可得f（x）在（0，+∞）上的极大值为0，从而得到函数f（x）零点的个数；（2）把m=1代入函数解析式，把证明转化为证明ln（x﹣1）+＞（x＞1）．令h（x）=ln（x﹣1）+，利用导数求得其在（1，+∞）上的最小值为1，而当x＞1时，，则结论得证．【解答】（1）解：当m=﹣1时，f（x）=lnx﹣，f′（x）=，由f′（x）=0，得x=﹣（舍），或x=1．∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则f（x）的极大值为f（1）=0．∴函数f（x）零点的个数为1；（2）证明：当m=1时，f（x）=lnx+，f（x﹣1）=ln（x﹣1）+=ln（x﹣1）+﹣2x+5．令g（x）=f（x﹣1）﹣，要证g（x）＞0，只需证ln（x﹣1）+＞（x＞1）．令h（x）=ln（x﹣1）+，则h′（x）=．当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（1，+∞）上的最小值为h（2）=1．而当x＞1时，．∴ln（x﹣1）+＞（x＞1）．则当m=1时，．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．【分析】（I）根据f（）=0计算a的值；（II）化简f（x）的解析式，再根据这些函数的单调性得出g（x）的最值即可．【解答】（Ⅰ）解：依题意，得，即，解得a=1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=sinx﹣cosx．====．由得∴当即时，g（x）取得最大值2，当即时，g（x）取得最小值﹣1．所以g（x）的值域是[﹣1，2]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．3．【分析】（1）根据利润公式和产品销量得出F（t）的解析式；（2）分情况解不等式得出t的范围．【解答】解：（1）F（t）=．（2）令F（t）≥5000，①当1≤t≤10时，40（﹣t2+30t）≥5000，解得5≤t≤25，∴5≤t≤10．②当10＜t≤15时，40（﹣t2+10t+200）≥5000，解得﹣5≤t≤15，∴10＜t≤15．③当15＜t≤20时，20（﹣t2+10t+200）≥5000，方程无解．综上，5≤t≤15．∴产品上市的第5天到第15天给公司带来的日销售利润不低于5000元．【点评】本题考查了分段函数的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．4．【分析】（1）由题意知，p（t）=（k为常数），结合p（2）=272求得k=2，则p（t）的表达式可求，进一步求得p（6）；（2）写出分段函数Q=，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．5．【分析】（I）令F（x）=f（x）﹣g（x），判断单调性计算F（x）的最小值得出结论；（II）判断F（x）的单调性，根据零点的存在性定理得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x）=xe x﹣ae x+a．当a=1时，F（x）=xe x﹣e x+1，所以F'（x）=xe x．所以x∈（﹣∞，0）时，F'（x）＜0；x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0．所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥0，即f（x）≥g（x）．（Ⅱ）当a＞1时，F'（x）=（x﹣a+1）e x，令F'（x）＞0，即（x﹣a+1）e x＞0，解得x＞a﹣1；令F'（x）＜0，即（x﹣a+1）e x＜0，解得x＜a﹣1．所以F（x）在（﹣∞，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增．所以当x=a﹣1时，F（x）取得极小值F（a﹣1）=a﹣e a﹣1．令h（a）=a﹣e a﹣1，则h'（a）=1﹣e a﹣1．因为a＞1，所以h'（a）＜0．所以h（a）在（1，+∞）上单调递减．所以h（a）＜h（1）＜0．所以F（a﹣1）＜0．又因为F（a）=a＞0，所以F（x）在区间（a﹣1，a）上存在一个零点．所以在[a﹣1，+∞）上存在唯一的零点．又因为F（x）在区间（﹣∞，a﹣1）上单调递减，且F（0）=0，所以F（x）在区间（﹣∞，a﹣1）上存在唯一的零点0．所以函数h（x）有且仅有两个零点，即f（x）=g（x）有2个实根．【点评】本题考查了函数单调性的判断与零点的存在性定理，属于中档题．6．【分析】（1）判断F（x）的单调性，计算F（x）的极值，得出F（x）的零点个数；（2）根据＜，即可证明e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4，得出结论．【解答】解：（1）函数F（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，e x＞0，＞0，所以．∴即F（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，，令h（x）=e x（x﹣a）+1，则h'（x）=e x（x﹣a+1），h'（a﹣1）=0，∴当x∈（﹣∞，a﹣1）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴h（x）在区间（﹣∞，a）上的最小值为h（a﹣1）=1﹣e a﹣1．显然，当a=1时，h（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜1时，h（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以F（x）没有零点；当a＞1时，h（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0，所以F（x）有两个零点．（2）若a=﹣2，x＞0，要证f（x）g（x）＞+，即要证e x＞（x+2）+x2﹣4，∵＜=，下证e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4．设M（x）=e x﹣（x+2）（+1）﹣x2+4=e x﹣x2﹣2x+2，则M'（x）=e x﹣2x﹣2，令φ（x）=e x﹣2x﹣2，则φ′（x）=e x﹣2，∴φ（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∵φ（1）=e﹣4＜0，φ（2）=e2﹣6＞0，∴M'（x）在（0，+∞）上只有一个零点x0（1＜x0＜2），即e﹣2x0﹣2=0，∴M（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴M（x）≥e﹣x02﹣2x0+2=4﹣x02＞0，∴e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4，又＞，∴e x＞（x+2）+x2﹣4，∴f（x）•g（x）＞+．【点评】本题考查了函数的单调性与最值计算，属于中档题．7．【分析】（1）根据条件依次计算2018和2019件的碳排放量得出答案；（2）求出数列的通项，A市永远不需要采取紧急限排措施，则有∀n∈N*，a n≤550，分类讨论，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）设2018年的碳排放总量为a1，2019年的碳排放总量为a2，…，由已知，a1=400×0.9+m，a2=0.9×（400×0.9+m）+m=400×0.92+0.9m+m=324+1.9m．∴A市2019年的碳排放总量为324+1.9m．（2）a3=0.9×（400×0.92+0.9m+m）+m=400×0.93+0.92m+0.9m+m，…a n=400×0.9n+0.9n﹣1m+0.9n﹣2m+…+0.9m+m=400×0.9n+m•=（400﹣10m）•0.9n+10m．由已知有∀n∈N*，a n≤550，（1）当400﹣10m=0即m=40时，a n=10m=400，满足题意；（2）当400﹣10m＞0，即m＜40时，{a n}为递减数列，∴a1=400×0.9+m≤550，解得m≤190．综合得m＜40；（3）当400﹣10m＜0即m＞40时，a n＜10m，∴10m≤550，解得m≤55，综合得40＜m≤55．综上可得所求范围是m∈（0，55]．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查数列知识，考查解不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．8．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，求解m即可．（2）求出集合B，推出集合的包含关系，转化为绝对值不等式，推出结果即可．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x+m|≥|（x+1）﹣（x+m）|=|1﹣m|（当x=﹣1时，等号成立）∵f（x）的最小值为1，∴|1﹣m|=1，∴m=2或m=0，又m＞0，∴m=2．（2）由g（x）≤0得，B=[﹣2，﹣1]，∵B⊆A，∴∀x∈B，f（x）≤3，即﹣（x+1）+|x+m|≤3⇔|x+m|≤x+4⇔﹣x﹣4≤x+m≤x+4且m≤4且m≤4⇔0≤m≤4．【点评】本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查计算能力．9．【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得DP=，＜θ＜，（2）分别求出S△APD ，S△ADC，可得S△DPC，设三项费用之和为f（θ），可得f（θ）=+，＜θ＜，利用导数求出最值【解答】解：（1）过点D作DD′⊥AB，垂足为D′，在Rt△ABC中，∵AB⊥BC，∠BAC=，AB=3，∴BC=，在Rt△ADD′中，∵AD′=1，DD′=，AD=2，∴sin∠DAD′=，∴∠DAD′=，∵∠BAC=，∴∠ADP=，在△ADP中，由正弦定理可得=，∴DP=，＜θ＜，（2）在△ADP中，由正弦定理可得=，∴AP=，∴S=AP•PD•sinθ=，△APD=AD•DC•s in∠ADC=×2×2×=又S△ADC=S△ADC﹣S△APD=﹣，∴S△DPC设三项费用之和为f（θ），则f（θ）=×2+（﹣）×1+×1=++=+，＜θ＜，∴f′（θ）=，令f′（θ）=0，解得θ=，当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减，当θ∈（，）时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增，∴f（θ）min=f（）=2，答：三项费用总和的最小值为2万元．【点评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题．10．【分析】（1）利用待定系数法求出g（x）在[4，20]上的解析式，从而得出g（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，根据单调性求出f（x）的最大值．【解答】解：（1）当4≤x≤20时，设g（x）=kx+b，由条件可知，解得：，∴g（x）=．（2）f（x）=，∴f（x）在[0，10）上单调递增，在（10，20]上单调递减，∴f（x）的最大值为f（10）=．【点评】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的最值计算，属于中档题．11．【分析】（1）化成分段函数，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣x2+x，求出g（x）的最大值即可得出m最大值．【解答】解：（1）f（x）=，所以f（x）值域为[﹣3，3]．（2）令g（x）=f（x）﹣x2+x，则原命题等价于m≤g（x）有解，即m≤g（x）．maxg（x）=，∴g（x）max=g（）=．所以m的最大值为．【点评】本题考查了分段函数单调性与最值计算，属于中档题．12．【分析】（1）根据等比数列的性质求出；（2）对活动天数x进行讨论，列出不等式求出x的范围即可．（1）设第x天的捐步人数为x，则f（x）=．【解答】解：∴第5天的捐步人数为f（5）=10000•（1+15%）4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x≤30，则×0.05＞300000，解得x＞log1.1591≈32.3（舍）．②若x＞30，则[+10000•1.1529•（x﹣30）]•0.05＞300000，解得x＞32.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．【点评】本题考查了等比数列的性质与求和，属于中档题．13．【分析】利用已知条件列出单位时间流量Q=的表达式，利用基本不等式求解函数的最大值，利用函数的单调性写出结果即可．【解答】解：因为，所以…（4分）≥2=，当且仅当v=40时取等号；当v0≥40时，Q≤50，所以v=40，Q max=50…（8分）当0＜v0＜40时，…（12分）【点评】本题考查函数与方程的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．14．【分析】（1）分离参数可得﹣a=，求出G（x）=的单调性和值域，从而得出a的范围；（2）假设存在实数x0满足条件，化简条件式可得，利用利用换元法判断函数单调性，根据方程是否有解即可得出结论．【解答】解（1）当b=0时，f（x）=ae x+x2，由题意ae x+x2=0只有一解．由ae x+x2=0得，令，则，令G'（x）=0得x=0或x=2当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为；当x≥2时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．（2）f（x）=ae x+x2﹣2x，f'（x）=ae x+2x﹣2，假设存在，则有，即，又，，∴，∵a≠0，∴，不妨设t=x0﹣m＞0，则，两边同除e m，得（*），令，令，∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴方程te=e t﹣1无解，∴不存在实数x0（x0≠m），使得成立．【点评】本题考查了函数单调性与函数零点的个数判断，属于中档题．15．【分析】（1）讨论n与160的关系，得出y与n的解析式；（2）根据加权平均数计算利润平均数．【解答】解：（1）当日需求量n≥160时，利润y=160×（15﹣10）=800；当日需求量n＜160时，利润y=（15﹣10）n﹣（160﹣n）×（10﹣8）=7n﹣320，所以y关于n的函数解析式为．当y=765时，由7n﹣320=765，得n=155．（2）这50天中有5天的利润为660元，有10天的利润为730元，有35天的利润为800元，所以这50天该超市A水果获得的日利润的平均数为．【点评】本题考查了分段函数解析式的求解与应用，属于基础题．16．【分析】（1）设x1＜x2，计算f（x1）﹣f（x2），判断f（x1）﹣f（x2）的符号得出结论；（2）令f（﹣x）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x）分别求出a的值得出结论；（3）利用反证法得出结论．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴2＜2，又a＞1，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以当a＞1时，函数y=f（x）是减函数．（2）解：当a=1时，f（x）=1，所以f（﹣x）=f（x）=1，所以函数y=f（x）是偶函数，当a=﹣1时，f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），所以函数y=f（x）是奇函数．当a≠1且a≠﹣1时，f（1）=，f（﹣1）=，∴f（﹣1）≠f（1）且f（﹣1）≠﹣f（1），所以函数y=f（x）是非奇非偶函数．（3）证明：由（1）知，当a=2时，函数y=f（x）是减函数，所以函数f（x）在[b，c]上的值域为[f（c），f（b）]，因为d∈[f（c），f（b）]，所以存在x0∈R，使得f（x0）=d．假设存在x1∈R，x1≠0使得f（x1）=d，若x1＞x0，由f（x）的单调性可得f（x1）＜f（x0），若x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），与f（x1）=f（x0）=d矛盾，故x0是唯一的．假设x0∉[b，c]，即x0＜b或x0＞c，由单调性可得f（x0）＞f（b）或f（x0）＜f（c），所以d∉[f（c），f（b）]，与d∈[f（c），f（b）]矛盾，故x0∈[b，c]．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，属于中档题．17．【分析】（1）利用作差法就是求解两个数的大小即可．（2）通过a与﹣2的大小的结果比较，去掉绝对值符号，得到分段函数，然后转化求解即可．【解答】解：（1）∵f（a）﹣f（﹣2）=2|a+2|﹣|a+2|=|a+2|≥0，而a≠﹣2∴f（a）＞f（﹣2）；（2）当a＞﹣2时，，∵f（a）＞f（﹣2），∴围成三角形，∴．当a＜﹣2时，，同理得，综上所述．【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．18．【分析】（1）设使用流量xM，流量费用为y，所以流量费用超过50元概率：P （y＞50）==；（2）分别求出订购A套餐和订购B套餐的月平均费用，比较大小后得答案．【解答】解：（1）设使用流量xM，流量费用为y，依题意，当2000≤x≤3000时，y=30；当3000＜x≤5000时，y=50；所以流量费用超过50元概率：P（y＞50）==；（2）设y A表示A套餐的月平均消费，设y B表示B套餐的月平均消费，∴=（30×4+50×16+70×28+90×2）=61.2，=（50×36+70×14）=55.6，∴＞，故选套餐B．【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19．【分析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；（2）根据面积公式求出y关于x的函数值，从而得出y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，可算得弧BC=x•θ（m），弧AD=10θ（m）．∴2（10﹣x）+x•θ+10θ=30，∴．（2）依据题意，可知，化简得：y=﹣x2+5x+50=．∴当，（m2）．答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20．【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．。

2018高考江苏专版大一轮数学文复习检测：第13课函数

第13课函数与方程A 应知应会1.(2016·启东联考)若函数f(x)=mx+1-m在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是.2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是.(填序号)①②③④(第2题)3.若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为.4.(2016·泰州中学)若函数f(x)=x3+x2-ax的图象与函数g(x)=x2-x的图象只有一个公共点,则实数a的取值范围为.5.求下列函数的零点:(1)f(x)=x4-1;(2)f(x)=x3-3x2-2x+6.6.若函数f(x)=log3(ax2-x)有零点,求实数a的取值范围.B 巩固提升1.若函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.2.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=e x-x-2的一个零点所在的区间为.3.已知方程=的解x0∈,那么正整数n=.4.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x.若函数g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1,3]上有4个零点,则实数k的取值范围是.5.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当-1<x≤0时,f(x)=e-x;当0<x≤1时,f(x)=4x2-4x+1.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的单调区间;(2)若g(x)=f(x)-kx(k>0),求函数g(x)在[0,3]上的零点个数.6.已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1)当k=2时,求方程f(x)=0的解;(2)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个实数解x1,x2,求实数k的取值范围.第13课函数与方程A 应知应会1.(1,+∞)【解析】由f(0)f(1)<0,即(1-m)·1<0,得m>1.2.③【解析】只有零点两侧的函数值的符号相反且在零点附近连续时才可用二分法,故③正确.3.-【解析】由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.4.(-∞,1]【解析】由f(x)=g(x),得x3+x2-ax=x2-x,即x(x2-a+1)=0,得x=0或x2=a-1.由题意知a-1≤0,故a≤1.5.【解答】(1)f(x)=x4-1=(x2+1)·(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x1=1或x2=-1,故原函数的零点为x1=1或x2=-1.(2)f(x)=x2(x-3)-2(x-3)=(x-3)·(x2-2)=(x-3)(x-)(x+).令f(x)=0,得x1=3,x2=或x3=-,故原函数的零点为x1=3,x2=或x3=-.6.【解答】因为f(x)=log3(ax2-x)有零点,所以log3(ax2-x)=0有解,所以ax2-x=1有解.当a=0时,x=-1;当a≠0时,若ax2-x-1=0有解,则Δ=1+4a≥0,解得a≥-且a≠0.综上,实数a的取值范围是-,+∞.B 巩固提升1. 1+或1【解析】题目转化为求方程f(x)=x的根,所以或解得x=1+或x=1,所以g(x)的零点为1+或1.2.(1,2)【解析】由题中表格可知f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,所以可以判定函数的一个零点在区间(1,2)内.3.2【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=,y=的图象如图所示.由图可得x0∈(0,1).设f(x)=-,因为f=-<0,f=->0,所以n=2.(第3题)4.【解析】由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的周期函数.因为f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.易得当x∈[1,2]时,f(x)=-x+2;当x∈[2,3]时,f(x)=x-2.函数g(x)=f(x)-kx-k在[-1,3]上有4个零点,即函数y=f(x)与y=kx+k在[-1,3]上的图象有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与y=kx+k在[-1,3]上的图象如图所示,结合图形知k∈.(第4题)5.【解答】(1)由题知f(x)在(-1,0]上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,且当x=0时,e-x=4x2-4x+1,所以函数f(x)在(-1,1)上的单调减区间为,单调增区间为.(2)函数g(x)在[0,3]上的零点个数即为f(x)的图象与直线y=kx在[0,3]上的交点个数,作出f(x)在[0,3]上的图象如图所示.结合图象得,当k≥e时,g(x)有1个零点;当1<k<e时,g(x)有2个零点;当<k≤1时,g(x)有3个零点;当0<k≤时,g(x)有4个零点.(第5题)6.【解答】(1)当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+2x.①当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,方程可化为2x2+2x-1=0,解得x=.因为0<<1,所以x=.②当x2-1<0,即-1<x<1时,方程可化为1+2x=0,解得x=-.综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x=或x=-.(2)不妨设0<x1<x2<2,因为f(x)=所以f(x)在(0,1]上是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多有一个解.若x1,x2∈(1,2),则x1x2=-<0,故不符合题意.因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x1)=0,得k=-,所以k≤-1;由f(x2)=0,得k=-2x2,所以-<k<-1.故实数k的取值范围是.。

高考数学《函数与方程综合问题》专题复习

第五讲函数与方程综合A 组一、选择题1．（2018全国卷Ⅰ）已知函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x f x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（） A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根，函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，xy–1–2123–1–2123O由图可知，1≤-a ，解得1-≥a ，故选C ．2.已知实数a ，b 满足23a=，32b=，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是（）A. ()21--，B.()1,0-C.()0,1D.()1,2 【解析】23a =，32b =，∴1a >，01b <<，又()x f x a x b =+-，∴()1110f b a-=--<，()010f b =->，从而由零点存在定理可知()f x 在区间()1,0-上存在零点．故选B.3.已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．），（210B ．），（121C ．），（21D ．），（∞+2【答案】B【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．4.设函数1()ln 3f x x x =-，则函数()f x ( ） A ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均无零点C ．在区间1(,1)e内有零点，在(1,)e 内无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点，在((1,)e 内有零点【解析】1()ln 3f x x x =-的定义域为(0,)+∞，'11()3f x x=-，故()f x 在(0,3)上递减，又 1()0,(1)0,()0f f f e e>><，故选D. 5. 已知函数()f x 满足：()()1fx f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()k kx x f x g --=有4个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．()+∞,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由(1)()()f x f x f x +=-⇒的周期为2，又()f x 是偶函数，且[]0,1x ∈时，()2f x x =，故可示意()f x 在[1,3]-上图象，()()k kx x f xg --=有4个零点转化为函数()f x 与(1)y k x =+在x ∈[1,3]-上有4个交点，由图象知1(0,]4k ∈，故选C.6.已知方程923310x xk -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（） A.2[,1]3 B. 12(,]33 C.2[,)3+∞ D.[1, ＋∞)【解析】设3xt =，原题转化为函数2()231g t t t k =-+-在(0,)t ∈+∞上有两个零点（可以相同），则44(31)020310k k --≥⎧⎪>⎨⎪->⎩解得12(,]33k ∈，故选B.7.（2016高考新课标2卷理）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（）A. 0B. mC. 2mD. 4m 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.（客观上函数()y f x =与1x y x+=有共同的对称中心(0,1)，所以它们的所有交点关于(0,1)对称二、填空题8．（2018年全国卷Ⅲ）函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．【答案】3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．10．若函数f (x )=21x --x-m 无零点,则实数m 的取值范围是 .【解析】原题转化为函数y =1的平行线系y x m =+没有公共点的问题，画图，可得1m <-或2m >.11．设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= . 【解析】原方程可变为2sin()3a x π=+，作出函数2sin()3y x π=+的图象，再作直线y a =，从图象可知函数2sin(x )3y π=+在[0,]6π上递增，在7[,]66ππ上递减，在7[,2]6ππ上递增，只有当3a =时，才有三个交点，1230,,23x x x ππ===，所以123x x x ++=73π.12.（2016高考山东卷理）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >.13.（2018年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030,()1800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．(2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，则当(0,30](30,32.5]x ∈，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．B 组一、选择题 1.设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是( )A ．120x x +>，120y y +>B ．120x x +>，120y y +<C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +< 【解析】依题意，示意图象，可知120x x +>，且12,x x 异号，而1212120x x y y x x ++=<，故选B.2.已知函数()1xf x xe ax =--,则关于()f x 的零点叙述正确的是( ) A.当0a =时,函数()f x 有两个零点 B.函数()f x 必有一个零点是正数 C.当0a <时,函数()f x 有两个零点 D.当0a >时,函数()f x 只有一个零点【解析】函数()1xf x xe ax =--的零点可转化为函数xy e =与1y a x=+图象的交点情况研究，选B. 3.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D.(,0)-∞【解析】依题意，0m =不符；0m <时，则对于[0,)x ∀∈+∞，当x →+∞时，显然()0f x <，不符；0m >时，则对于(,0]x ∀∈-∞，()0f x >，由(0)10f =>，需对称轴：024>-=m m x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≤-08)4(40242m m mm，解得(0,8)x ∈，故选B.4.函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为 ( )A. 9B. 10C. 11D. 12 【解析】示意函数lg(||1)y x =+与y sin 2x =的图象可确定选D.5.已知函数sin()1,0()2log (0,1),0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（） A.5(0,)5 B.5(,1)5C.3(,1)3D.3(0,)3 【解析】依题意，需要()f x 在y 轴左侧图象对称到y 轴右侧，即sin()1(0)2xy x π=-->，需要其图象与()f x 原y 轴右侧图象至少有3个公共点，1a >不能满足条件，只有01a <<，如图，此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得505a <<. 6.已知实数,0,()lg(),0,x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为（）A ．]2,(--∞ B ．),1[+∞ C ．]1,2[- D ．),1[]2,(+∞--∞【解析】做出函数)(x f 的图象，如图所示，由图可知，当1≥m 时直线m y =与)(x f 的图象有两个交点，当1<m 时直线m y =与)(x f 的图象有一个交点，题意要求方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根，则方程20m m t ++=必有两不等实根，且一根小于1，一根不小于1，当011=++t ，即2-=t 时，方程022=-+m m 的两根为1和2-，符合题意；当011<++t ，即2-<t 时，方程20m m t ++=有两个不等实根，且一根小于1，一根大于1，符合题意.综上由2-≤t .7.(2018年江苏卷)若函数)(12)(23R a ax x x f ∈+-=在()+∞,0内有且只有一个零点，则)(x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，8. 设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩.（1）若1a =，则()f x 的最小值为______；（2）若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【解析】（1）当1a =时，若1x <，()(1,1)f x ∈-；当时1x ≥，223()4(32)4()12f x x x x =-+=--，则32x =时，min () 1.f x =- （2）0a ≤时，()f x 无零点；不符；102a <<时，()f x 有一个零点；112a ≤<，符合；12a ≤<，()f x 有3个零点；2a ≥，符合. 综上得112a ≤<或 2.a ≥ 9.已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【解析】由题意，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组13b a b a b a ⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->a b a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .10.已知函数23f xx x ，R x ∈．若方程10f x a x 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________ ．【解析】在同一坐标系中画23f xx x 和1g x a x 的图象（如图），问题转化为xy13O tyO 91f x 与g x 图象恰有四个交点．当1ya x 与23yx x （或1ya x 与23yx x ）相切时，f x 与g x 图象恰有三个交点．把1y a x 代入23yx x ，得231x xa x ，即230x a xa，由0=∆，得2340aa，解得1a或9a ．又当0a 时，f x 与g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．三、解答题11.设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围. 【解析】（I ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，2'42221()()x x x e xe f x k x x x -=--+322(2)x x xe e k x x x --=-3(2)()x x e kx x--= 由0k ≤可得0xe kx ->，所以当(0,2)x ∈时，'()0f x <，函数()y f x =单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞. （II ）由（I ）知，0k ≤时，函数()f x 在(0,2)内单调递减，故()f x 在(0,2)内不存在极值点；当0k >时，设函数(),[0,)xg x e kx x =-∈+∞，因为'ln ()xxkg x e k e e=-=-，当01k <≤时，当(0,2)x ∈时，'()0xg x e k =->，()y g x =单调递增，故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点；当1k >时，得(0,ln )x k ∈时，'()0g x <，函数()y g x =单调递减，(ln ,)x k ∈+∞时，'()0g x >，函数()y g x =单调递增，所以函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =-，函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点；当且仅当(0)0(ln )0(2)00ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，解得22e e k <<，综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e .C 组一、选择题1.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根【解析】按D 考虑，则由2142222223321132123408064161604,,0a a a a a a aa a a aa ⎧-<⎪⎪-<⎪⇒=<=⇒-<⎨⎪=⎪>⎪⎩，故选D. 2.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】依题,0a b pab q p q +=⎧⎪=⎨⎪>⎩得0,0a b >>，则,,2a b -这三个数适当排序排成等比数列必有4ab =，,,2a b -这三个数适当排序后成等差数列应有2222a b b a -=-=或，解得4114a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或则5,4p q ==，故9p q +=，选D.3.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A. 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫⎪⎝⎭ D. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<. 故选D. 8642246815105510154.定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数()g x =()(1)f x k x --，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（） .A [)1,2 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34【解析】∵对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立，且当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(， ∴()2,(,2]f x x b x b b =-+∈.由题意得()(1)f x k x =-的函数图象是过定点(1,0)的直线，如图所示红色的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合），∴可得k 的范围为423k ≤<.5.设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上'()f x x <，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为( )A ．[2,2]-B ．[2,)+∞C ． [0,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】设21()()2g x f x x =-，依题()()0g x g x -+=，则()g x 是奇函数，又在(0,)+∞上'()f x x <，可判断()g x在R 上递减，不等式(4)()84f m f m m --≥-可转化为(4)()g m g m -≥，则4m m -≤，得2m ≥，故选B.6.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，13log (1),[0,2)()14,[2,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（）A ．31a- B ．13a- C ．31a-- D ．13a --【解析】由题意得：133log (1)(1,0],[0,2)1|4|(,1],[2,)()log (1)(0,1),(2,0)|4|1[1,),(,2)x x x x f x x x x x +∈-∈⎧⎪⎪--∈-∞∈+∞=⎨⎪-∈∈-⎪+-∈-+∞∈-∞-⎩，所以当01a <<时()y f x =与y a =有五个交点，其中1|4|,[2,)y x x =--∈+∞与y a =的两个交点关于4x =对称，和为8；|4|1,(,2)y x x =+-∈-∞-与y a =的两个交点关于4x =-对称，和为-8；3log (1),(2,0)y x x =-∈-与y a =的一个交点，值为13a -；因此所有零点之和为13a -，故选B. 二、填空题7.（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是 ___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞8.已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的偶函数，当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-,2),2(21,20,12)(1x x f x x f x ，则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为个．【解析】函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数等价于函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象的交点的个数．由已知条件作出函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象，如下图．由图可知，函数()y f x =的图象与直线21=y 的图象有6个交点．9.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 .【解析】令32310ax x -+=，得313()a xx =-+，设1t x=，即33a t t =-+，原问题转化为直线y a =与函数 3()3f t t t =-+只有一个交点且此交点的横坐标为正，由'2()330f t t =-+=，得1t =±，且()f t 在(,1)-∞-递增，在(1,1)-上递减，在(1,)+∞上递增，可知(2)(1)2f f =-=-，由图象得2a <-.10. 函数ln ,0()2ln ,x x ef x x x e⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为．【解析】示意()f x 图象，由,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，不妨令a b c <<，应有211a b e c e e<<<<<<得 ln ln 2ln a b c -==-得1ab =，2c ae =，则 21(1)a b c e a a ++=++，可判断函数21()(1)g a e a a =++在1(,1)a e ∈上递增，故 21(2,2)a b c e e e ++∈++三、解答题11. 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【解析】（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时， y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

江苏2018届高考数学总复习专题2.4函数图象与方程试题含解析

专题2.4 函数图象与方程【三年高考】1．【2017高考江苏】设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．2. 【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4【考点定位】函数与方程2．【2014江苏，理13】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．4．【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5．【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.6．【2016高考天津文数】已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________. 【答案】12[,)33【解析】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以12132,1637a a a <-≤⇒>≥，因此的取值范围是12[,)33考点：函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7．【2015高考上海，理7】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为．【答案】【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+==⇒=⇒-=⇒=8.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是______.【答案】{}|11x x -<≤【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集{}|11x x -<≤9. 【2015高考天津，文8】已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为________. 【答案】2【解析】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为12x +=-;当02x ≤≤ 时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--= ,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2x > 时,()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2224355f x g x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为x =综上可得函数y ()()f x g x =-的零点的个数为2.10.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是__________.【答案】7,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<. 初等函数经过四则运算后的函数为背景，考查图象的变换或者根据函数解析式，通过考察函数的性质来判断函数图象；其次是方程的根或函数零点的问题.从近几年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程，不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．具体对函数图象的考查，主要包括三个方面，“识图”、“作图”、“用图”，其中包含函数图象的变换（平移、伸缩、对称）以及从已知图象提取信息的能力.对方程的考查，实质是对函数与方程思想的考查.一是借助有关基本初等函数的图象，把方程根的问题转化为求函数图象交点问题，把根的个数问题转化为函数图象交点个数问题；二是通过建立函数关系式，把方程问题转化为讨论函数性质的问题；三是直接解方程.所以函数图象与方程式密不可分的整体，方程问题最终归根于一“算”二“看”，所谓“算”就是通过代数的方程，经过对方程的等价变形，直到得到结果位置；所谓“看”就是数形结合，把根转化为交点问题处理，预测2018年仍然会有函数图象与方程的题目出现，而且会加大对函数图象和性质的考查力度，同学们在复习时要多加注意，多总结多质疑．预测2018年高考很有可能以函数的零点、方程根的存在问题，将以识图、用图为主要考向，重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题．【2018年高考考点定位】高考对函数图象与方程的考查有二种主要形式：一是考察基本初等函数的图象、图象变换和提取信息能力；二是通过研究函数图象的交点，进而得方程根的分布. 【考点1】作函数图象【备考知识梳理】（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 的图像的画法：先画0x ≥时()y f x =，再将其关于y 对称，得y 轴左侧的图像.()f x 的图像画法：先画()y f x =的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于轴翻折上去.()()f a x f a x +=-Þ()y f x =的图象关于x =a 对称；()()f a x f a x +=--Þ()y f x =的图象关于(a,0）点对称. ()y f x =的图象关于轴对称的函数图象解析式为(y f x =-）；关于y 轴对称的函数解析式为(-y f x =）；关于原点对称的函数解析式为-(-y f x =）. (3)熟记基本初等函数的图象，以及形如1y x x=+的图象x +1x【规律方法技巧】画函数图象的方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【考点针对训练】1.已知函数()|lg |f x x =.若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】(3，＋∞)【解析】画出|lg |y x =的图象如图：∵0a b <<，且()()f a f b =，∴|lg ||lg |a b =且01,1a b <<<，∴lg lg a b -=即1ab =，∴22,(0,1)y a b a a a =+=+∈，∵2y a a =+在(0,1)上为减函数，∴2131y >+=， ∴2a b +的取值范围是(3,)+∞.2．函数()21log f x x =+和()12xg x +=在同一直角坐标系下的图像大致是下列图象中的．【答案】（D ）【考点2】识图与辨图【备考知识梳理】1．通过分析函数解析式特征，定性研究函数具有的性质或者经过的特殊点，从而判断函数大致图象．2. 根据已知图象，通过分析函数图象特征，得出函数具有的某些特征，进而去研究函数．【规律方法技巧】 2. 识图常用方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．【考点针对训练】1..函数()cos xx y x e ππ=-≤≤的大致图象为④②③①【答案】① 【解析】令xe x xf cos )(=，则)()(cos )cos(x f e x e x x f xx -=-=-=--，即函数的图像关于原点对称，排除选项③,④;当2π=x 时，02)2(>=ππf ，排除选项②；所以选①.2．在下列A 、B 、C 、D 四个图象中，大致为函数)(22R ∈-=x x y x的图象的是．【答案】A【解析】首先注意到函数)(22R ∈-=x x y x是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，因此排除B 和D ，再当x=5时，y=25-52=7>0,故排除C ，从而选A ．【考点3】判断方程根的个数有关问题【备考知识梳理】方程()0f x =的根的个数等价于函数()y f x =的图象与轴的交点个数，若函数()y f x =的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题．【规律方法技巧】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【考点针对训练】1.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xx mf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数的取值范围是【答案】33[,]22- 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，则有1m =，所以1()22xxf x =-，可以作出的图象（如图1），再由图像变换可以得到图2. 3()(,),1,2()3()[,),1,2f x xg x f x x ⎧∈+∞>⎪⎪=⎨⎪-∈-+∞≤⎪⎩“函数()y g x t =-有且只有一个零点”等价于“函数1()y g x =与函数2y t =只有一个交点”，数形结合可以得到33[,]22t ∈-2．设函数*),1,[,1)(N n n n x n x f ∈+∈-=，函数x x g 2log )(=，则方程)()(x g x f =实数根的个数是_____________个. 【答案】2【考点4】与方程根有关问题【备考知识梳理】（１）方程()0f x =有实根Û函数()y f x =的图象与轴有交点Û函数()y f x =有零点．（２）如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c (a b)∈，，使得f (c)= 0，这个c 也就是方程f (x) = 0的根【规律方法技巧】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【考点针对训练】 1.已知函数3|lg()|,0()64,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩，关于x 的函数2()()3y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的范围为 .【答案】19]4【解析】如图作出函数()f x 的图象，(0)4f =因此只有在04m <<时直线y m =与()y f x =的图象有四个交点，所以要满足关于x 的函数2()()3y f x bf x =-+有8个不同的零点，则方程230t bt -+=在(0,4]上有两个不等实根，22120443030042b b b ⎧∆=->⎪-+≥⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得194b ≤．2.函数ln |1|y x =-的图像与函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于___________________. 【答案】6【解析】函数ln |1|y x =-的图像关于直线x=1对称，函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6．【两年模拟详解析】1. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数()24,0,3,0,x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】与相切时（正舍），与相切时，与不相切.由图可知实数的取值范围为2．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知函数22|log |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，关于x 的方程()f x m =（m ∈R ）有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 则1234x x x x 的取值范围为．【答案】（0,1）【解析】函数22|log |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩的图象如图所示，关于x 的方程()f x m =恰有四个互不相等的实根1234,,,x x x x ，即函数()y f x =的图象与直线m y =有四个不同的交点，则10<<m ，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为1234x x x x <<<.当0>x 时，由对数函数的性质知2324log log x x =-，341x x =，当0<x 时，由22y x x =--的对称性知122x x +=-，又120x x <<，则120x x ->->，12()()2x x -+-=，所以2121212()()0()()[]12x x x x x x -+-<=--<=，所以，123401x x x x <<，故答案为(0,1).3．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】已知定义在R 上的函数f (x )存在零点，且对任意m ,n ∈R 都满足f [m ·f (m )＋f (n )]＝f 2(m )＋n ，若关于x 的方程|[()]3|f f x -＝1－log a x （a ＞0,a ≠1）恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________【答案】a ＞3【解析】∵f (x )存在零点，∴令f (x 0)＝0 ∴令m ＝x 0 ∴f [x 0·f (x 0)＋f (n )]＝f 2(x 0)＋n ∴f [ f (n )]＝n ∴|3|x -＝1－log a x 恰有三个不同的根，∴函数y=log a x 与函数y ＝1－|3|x -有三个不同的交点，因此log 3113aa a <>⇒>且．4．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ▲ ．【答案】7【解析】由题意作出()y f x =在区间[]2,4-上的图像，与直线1y =的交点共有7个，故函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为75．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(－1－21e ，2) 【解析】令1x x y e -=，则2x xy e-'=，所以当2x ≤时，211(,]x x y e e -=∈-∞，当2x ≥时，211(0,]x x y e e-=∈因此要使函数g (x )恰有3个零点，须2a <且211a e --<，即实数a 的取值范围为(－1－21e，2)6．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .【答案】0a <或2a >7．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若函数31()12x f x e x x =+--的图象上有且只有两点12,P P ，使得函数3()+mg x x x=的图象上存在两点12,Q Q ，且1P 与1Q 、2P 与2Q 分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是 ▲ .3 【答案】{22e e-} 【解析】由题意得)()(x f x g =有且只有两交点，即y m =与21(0)2x y xe x x x =--≠有两零点，因为(1)101xy x e x x '=+--=⇒=-，或0=x ，由图可知211+-=-e m 时满足条件.8．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】设0x 是函数()2xf x x =+的零点，且()0,1x k k ∈+，k Z ∈，则k= . 【答案】-1【解析】易知函数)(x f 单调递增，且0211010<-=->=)(,)(f f ,所以根据零点存在定理知，在区间（-1，0）之间有一个零点，故k=-1.9．【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】已知函数()3|log |,034,3x x f x x x <≤⎧=⎨-+>⎩，若a<b<c 且()()()f a f b f c ==，则()2cab +的取值范围是 . 【答案】（27,81）【解析】函数f(x)的图像如上图，结合图像并由已知a<b<c 且()()()f a f b f c ==，所以431<<<<<<c b a 31且b a 33log log =，解得ab=1,则()2cab +c 3=,),(43∈c ,所以),(81273∈c .故()2cab +的取值范围是（27,81）10．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________ 【答案】1(1,1)e+【解析】10,(),()0, 1.xx xx f x xe f x e xe x e'≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e'≤∈；当10x -<≤时，()[1,)f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e'>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e+【一年原创真预测】1.已知函数()y f x =是定义域为R ，且(1)f x -关于1x =对称. 当0x ≥时，，若关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++=（a R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________________.又∵函数(1)f x -关于1x =对称，所以函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++=，a ∈R 有且仅有6a x f =)(，a ∈R 共有且仅有6四个不同的实数根，所以必须且只需方程a x f =)(，a ∈R 有且仅有2个不同实数根，由图可知10≤<a 或【入选理由】本题主要考查函数零点与方程根之间的关系，以及零点判定定理的应用,体现了分类讨论和数形结合的数学思想,意在考查学生的分析和计算能力.函数零点，方程的根是高考考查的重点与难点，故选此题.2.已知函数⎩⎨⎧≤≤≤≤-+=-ex e nx x x x f 2,107|,1|)(，x x x g 2)(2-=，设a 为实数，若存在实数m ，使0)(2)(=-a g m f ，则实数a 的取值范围为________________.【答案】]3,1[-【解析】当07≤≤-x 时，]6,0[1)(∈+=x x f ，当e x e ≤≤-2时，]1,2[ln )(-∈=x x f ，故]6,2[)(-∈x f ，所以只需要]6,2[)(2-∈a g 即313212≤≤-⇒≤-≤-a a a【入选理由】本题主要考查函数的性质、方程的根等基础知识，意在考查学生转化与化归能力.将方程的根转化为函数的值域问题，此题构思较好，难度不大，故选此题．3. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=)0(211)0(23)(2x x x x f x ，若关于x 的方程0)(=-tx x f 恰有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围为 . 【答案】()+∞,2【解析】⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=)0(211)0(23)(2x x x x f x 的图像如图所示，显然当0<t 时，直线tx y =与)(x f 的图像只有一个交点；当0>t 时，直线tx y =与)(x f 的图像在第一象限一定存在一个交点，若直线tx y =与)(x f 的图像有三个交点，则直线tx y =与)(x f 的图像在第三象限有两个交点；先研究直线tx y =与)(x f 的图像在第三象限的相切情况；设直线tx y =与)(x f 的图像在第三象限相切于点()b a ,，则斜线方程为)()211(2a x a a y --=---，代入)0,0(，得22211a a =+，解得2-=a ，此时2=t ；所以直线tx y =与)(x f 的图像有三个交点，则2>t.【入选理由】本题考查转化与化归、数形结合的思想方法，将方程0)(=-tx x f 恰有3个不同的实数根转化为两个函数)(x f y =与tx y =的图象有3个交点.，意在考查数形结合的数学思想,学生的分析和计算能力.给出方程的根的个数，求参数的范围，像这一类题比较少见，故选此题.。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.8_函数与方程(练)有答案

第08节函数与方程A 基础巩固训练1.【2017赣中南五校联考】函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1) B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)【答案】D【解析】由于()2103f <－＝－，()003010f >＝－＝， ∴()0(10)f f ⋅<－.则()f x 在(10)－，内有零点. 2.函数11ln 22y x x x=+--的零点所在的区间为（） A ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()2,eD ．(),3e 【答案】C3. ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】D【解析】由题意得：与sin 2y x =交点个数，因为9x =±时，lg101y ==，所以当[0,9]x ∈与sin 2y x =有6个交点；当[9,0)x ∈-时，与sin 2y x =有6个交点；所以共有12个交点，选D ． 4.函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数的取值范围是（） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ．(0,2) 【答案】C【解析】由题意可得()()()()03021<--=a a f f ，解得30<<a ，故实数的取值范围是()3,0，故选C ．5. 【2017山东】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()0,223,⎤⎡+∞⎦⎣（D ）([)0,23,⎤+∞⎦【答案】BB能力提升训练1．已知函数()231,01,0xx f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若存在()(]120,,,0x x ∈+∞∈-∞，使得()()12f x f x =，则1x 的最小值为（）A ．2log 3B ．3log 2C ．D ．【答案】B【解析】画出函数图象如下图所示，由图可知113311,log 2xx -==.2．【2017湖南长沙一中模拟】定义域为R 的函数lg |x 2|,x 2(x)1,2f x -≠⎧=⎨=⎩，若关于x 的方程2(x)bf(x)c 0f ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345(xx x x)f x ++++的值等于（）A.4lg 2B.3lg 2C.2lg 2D.lg 2 【答案】B3log(2)210b x b x -=⇒=-，所以12345(x x x x )(10)lg 1023lg2f x f ++++==-=，故选B.3．【2017湖南衡阳二联】已知方程sin x k x=在()0,+∞有且仅有两个不同的解α、()βαβ<，则下面结论正确的是（）A.1tan41πααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭B.1tan41πααα-⎛⎫+=⎪+⎝⎭C.1tan41πβββ+⎛⎫+=⎪-⎝⎭D.1tan41πβββ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭【答案】C【解析】设,,有两个交点如图，只有当第二个交点与的正半轴第二个波峰一段曲线相切才只有两个交点，否则肯定大于或小于两个交点．于是：切点：，，，设切点，则，所以，所以，所以．4．【2017广东梅州一检】函数的定义域为实数集，，对于任意都有，若在区间内函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D5．【2017云南曲靖一中模拟】设函数若有三个不等实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由下图可得，故选D.C 思维拓展训练1. 【2017安徽马鞍山三模】已知函数(),0{,0lnx xf x mxx>=<，若()()0f x f x--=有四个不同的根，则m的取值范围是（）A. ()0,2e B. ()0,e C. ()0,1 D.10,e⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】若0m<，那么()()f x f x=-只会有2个交点，所以0m>，若()()f x f x=-有四个交点，根据对称性可知当0x>时，lnmxx=-有两个实根，即lnm x x-=有2个交点，设lny x x=，ln1y x'=+，令ln10x+=，解得1xe=，当10,xe⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y'<，函数单调递减，当1xe>时，函数单调递增，所以函数的最小值是11fe e⎛⎫=-⎪⎝⎭，即11m me e->-⇒<，所以10me<<，故选D.2．【2017陕西师范附属二模】直线y x =与函数()22,{42,x mf x x x x m>=++≤的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是_______.【答案】[)1,2-3. 【2017河南豫南九校考评】若函数()log 2(0,1)xa f x x a a -=->≠的两个零点是,m n ，则（）A. 1mn =B. 1mn >C. 1mn <D. 以上都不对【答案】C【解析】由题设可得1log 2xa x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设1a >，画出方程两边函数1log ,2xa y x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图像如图，结合图像可知01,1m n <，且1log 2ma m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 1log 2na n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以上两式两边相减可得()11log 022n ma mn ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以01mn <<，应选答案C 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、选择题1．(2017·长沙调研)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)2．(2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．63．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，16．已知函数f (x )＝x ＋sin x ＋2x－12x ＋1，且方程f (|f (x )|－a )＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[－1,2)D ．(－1,2)7．(2016·太原期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)8．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．(2015·湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．10．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.11．定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.则函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数为________．12．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根；②方程g [f (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f (x )]＝0有且仅有7个根；④方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根．其中正确命题的序号为________.答案精析1．C [∵函数f (x )＝|x －2|－ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f (1)＝1>0，f (2)＝－ln 2<0，f (3)＝1－ln 3<0，f (4)＝2－ln 4>0，f (5)＝3－ln 5>0，∴f (1)·f (2)<0，f (3)·f (4)<0.∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.]2．C [方程f (x )＝log 3|x |的零点个数，即函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |图象的交点个数，作函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.]3．C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3＝0，则2x＝－x ＋3，分别画出函数y ＝2x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )有一个零点，又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C.]4．D [当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝0，0<14m<2.解①得－18<m <0或0<m <38，解②得m ∈∅，解③得m ＝38.综上可知－18<m ≤38，故选D.]5．A [令f (x )－mx ＋2＝0，则f (x )＝mx －2，设g (x )＝mx －2，可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3与函数g (x )的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象，其中A (0，－2)，B (3,1)，C (4,0)，可知直线g (x )＝mx －2应介于直线AB 与直线AC 之间，其中k AB ＝1，k AC ＝12，故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选A.]6．B [由于f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称．由于(x ＋sin x )′＝1＋cos x ≥0，且2x－12x ＋1＝1－22x ＋1为增函数．故f (x )为R 上的增函数，且f (0)＝0.所以|f (x )|－a ＝0，即|f (x )|＝a 有两个不同的实数根，|f (x )|的图象是由f (x )图象的将x <0的部分关于x 轴对称翻折上来，x >0部分保持不变所得，所以a ∈(0，＋∞)．]7．D [由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，即为f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，则f (x )是周期为4的函数．当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，可得x ∈(0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1.在同一坐标系内作出f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)在区间(－2,6)内的图象，若要使它们有4个交点，则0<log a (6＋2)<1，即a >8，故选D.]8．B [令sgn(ln x )－ln 2x ＝0，得当ln x >0，即x >1时，1－ln 2x ＝0，解得x ＝e ；当ln x <0，即0<x <1时，－1－ln 2x ＝0，无解；当ln x ＝0，即x ＝1时，成立．故方程sgn(ln x )－ln 2x ＝0有两个根，即函数f (x )有2个零点．] 9．2解析函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g(x)与h(x)的图象有2个交点．故函数f(x)有2个零点．10．5解析∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3.∴a＋b＝5.11．4解析∵定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝2f(x)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|，∴函数f(x)在区间[1,28]上的图象如图所示：函数g(x)＝f(x)－2在区间[1,28]上的零点个数，即为函数f(x)在区间[1,28]上的图象与直线y＝2交点的个数，由图可得函数f(x)在区间[1,28]上的图象与直线y＝2有4个交点，故函数g(x)＝f(x)－2在区间[1,28]上有4个零点．12．①④解析①设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，g(x)＝0有2个不同根；当－2<t2<－1时，g(x)＝t2有2个不同根；当1<t3<2时，g(x)＝t3有2个不同根，∴方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根，故①正确．②设t＝f(x)，若g[f(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，f(x)＝t1有1个根；当0<t2<1时，f(x)＝t2有3个不同根，∴方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，故②错误．③设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，则f(t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，f(x)＝t1有3个不同根；当－2<t2<－1时，f(x)＝t2有1个根；当1<t3<2时，f(x)＝t3有1个根，∴方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根，故③错误．④设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，g(x)＝t1有2个不同根；当0<t2<1时，g(x)＝t2有2个不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根，故④正确．综上，命题①④正确．。