线性代数-第一次课§1.1-1.3
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数全套教学课件
方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
方法3: 依次计算出排列中每个元素后面比它小的 数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
§1.2 全排列及其逆序数 一、全排列
引例: 用1, 2, 3三个数字, 可以组成多少个没有重 复数字的三位数？
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
0 1 1
线性代数第一章
0 0
a11a22 ann
ann
除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：
a2 ，n1
a1n
a1n
a11 a12
a1n
a2 ，n1 a2n a21 a22
an1
an1 an2
ann
an1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2 ，n1 an1 ，
1.2.4 特殊行列式
定义4
（4）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为对称行列式．
（1-3）
1.2.1 二阶行列式
定义1
二元线性方程组的解（1-2）可简单表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
(D 0) ．
（1-4）
其中， D a11 a12 为方程组未知数的系数所组成的行列式，称为方程组的系数行列 a21 a22
式；D1
b1 b2
a12 a22
（用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）；D2
uvgh
分析：按行列式的定义，它应有 4! 24 项．但只有 adeh，adfg，bceh，bcfg 这四项不为
零．与这四项相对应列标的排列分别为 1 2 3 4，1 2 4 3，2 1 3 4 和 2 1 4 3，它们的逆序数分
别为 0，1，1，2，所以第一、四项应取正号，第二、三项应取负号．
解： D adeh adfg bceh bcfg ．
行列式的和，即
a11
a12
bi1 ci1 bi2 ci2
a1n
a11 a12
bin cin bi1 bi2
a1n
a11 a12
bin ci1 ci2
线性代数第一课
观察特性
抽得的号码
可能结果 1，2，3，4， 5，6
标有1，2，… ， 6一个数字（4张 红色，2张白色） 任取一张
E2 同上 E3 某人向靶射击一
枪
取得卡片的颜 红色、白色 色 命中靶的环数 0，1，„ ，10 两人中靶情况
AB ， B A AB A B ，
E4 甲、乙两人同时
向某一目标射击 一枪
随机现象：在一定条件下，重复进行实验或观察，
它的结果未必是相同的现象。即：在一定条件下，可
能发生，也可能不发生的现象。 其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下 实验或观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前 无法预测出现哪一个结果，而实验或观察后必然出现
一个可能结果。
例如：掷硬币出现正面反面情况；在一定条件下，
三 随机事件 定义1.1.1 随机试验的E的每一种结果称为随机事件
（简称事件）
随机事件一般用大写字母A，B，C，D等表示。 如E1:A= “抽得号码为1”,B=“抽得号码大于等于3”
C=“抽得号中，一定会发生的结果。用 S表示。 如E1:S=“抽得号码小于6”
三 事件的运算性质 （1）交换律 （2）结合律
（3）分配律
（4）德.摩根律（对偶原理）:
A B A B A B A B
对于一个具体事件，要学会用数学符号表
示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清
楚其具体含义是什么.
例1：从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 问： A ? A={两件产品都是合格品}，
某射手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。
随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定
条件下对其进行大量重复实验或观察，它的结果会
线代1.1-1.3
线性代数天津城市建设学院 理学院上页 下页在以往的学习中，我们接触过二元、 三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导 出的线性方程组常常含有相当多的 未知量，并且未知量的个数与方程 的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程的个数相 等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行 列式这个计算工具.上页 下页第一章内容提要§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7行列式•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.上页 下页§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.二元线性方程组 由消元法，得⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2(a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − a12b2(a11a22 − a12a21 ) x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0 时，该方程组有唯一解 b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = x2 = a11a22 − a12a21 a a −a a11 22 12 21上页下页二元线性方程组⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.b1a22 − a12 b2 ⎧ ⎪ x1 = a a − a a ⎪ 11 22 12 21 ⎨ ⎪ x = a11b2 − b1a21 ⎪ 2 a11a22 − a12 a21 ⎩上页下页二元线性方程组⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2其求解公式为我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.a11 数表 a 21a12 a22a11 记号 a21a12 a22b1a22 − a12 b2 ⎧ ⎪ x1 = a a − a a ⎪ 11 22 12 21 ⎨ ⎪ x = a11b2 − b1a21 ⎪ 2 a11a22 − a12 a21 ⎩表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即D=a11 a21a12 a22= a11a22 − a12 a21a 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列. 下页上页原则：横行竖列二阶行列式的计算 ——对角线法则主对角线 副对角线a11 a21a12 a22= a11a22 − a12 a21即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积上页下页⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 二元线性方程组 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2若令D= b1 b2 a12 a22a11 a21a12 a22 D2 =(方程组的系数行列式)D1 =a11 a21b1 b2则上述二元线性方程组的解可表示为b1 a12 D1 b2 a22 , x1 = = D a11 a12 a21 a22a11 b1 D2 a21 b2 . x2 = = D a11 a12 a21 a22上页下页例1求解二元线性方程组 ⎧ 3 x1 − 2 x2 = 12⎨ ⎩ 2 x1 + x2 = 1解因为 D =3 −2 2 1= 3 − ( −4) = 7 ≠ 012 − 2 D1 = = 12 − ( −2) = 14 1 1 3 12 D2 = = 3 − 24 = −21 2 1D1 14 = = 2, 所以 x1 = 7 D D2 −21 x2 = = = −3 7 D上页 下页二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表a11 a21 a31a11 a21副对角线a12 a22 a32a13a13 a23 a33原则：横行竖列引进记号 主对角线a12 a22 a32a31a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 a33二阶行列式的对角线法则 并不适用！ 下页上页称为三阶行列式.上页下页上页下页三、三阶行列式与三元线性方程组上页下页上页下页上页下页上页下页§2全排列及其逆序数上页下页上页下页上页下页上页下页排列的记号j1 j2 j3…jn ——— 一个n级排列• （ j1 j2 j3…jn ）——— 所有n级排列 • 例如：（ j1 j2 j3 ）表示所有3级排列 当j1=2、j2=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231 当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312上页 下页二、逆序与逆序数对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序3 2 5 1 4逆序 逆序思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.上页 下页定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 排列 i1 i 2i n的逆序数通常记为 t ( i1 i2in ) .奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数 等于零，因而是偶排列.上页 下页计算排列的逆序数的方法逆序数计算方法1：(从最左面的的数开始算) 前 → 后设 p1 p 2p是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定 n由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1大的数排在 p1 前面，记为 t 1 ； 再看有多少个比 p 2 大的数排在 p 2前面，记为 t 2 ; ……则此排列的逆序数为 t = t1 + t 2 +最后看有多少个比 p n 大的数排在 p n前面，记为 t n ;+ tn逆序数计算方法1：(从最右面的的数开始算) 后 → 前 逆序数计算方法1：(从最小的数开始算) n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为 t1;再看有多少个比2大的数排在2前 面，记为t2;继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记tn=0;则此排列的 逆序数为: t =t +t + +t1 2 n上页下页例1：求排列 32514 的逆序数.解：法一 左 → 右 法二 右 → 左 法三 小→大 练习： 解：t (32514) = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5 t (32514) = 0 + 0 + 2 + 1 + 2 = 5t (32514) = 3 + 1 + 1 = 5求排列 453162 的逆序数.t=9上页下页三、例题与讲解例：判断排列135…(2k-1)246…(2k）的奇偶性。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
线性代数教案
第一章行列式§1.1 n阶行列式§1.2 n阶行列式的性质教学目的：使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算，了解和掌握n阶行列式的基本性质教学重点：n阶行列式定义及计算义，n阶行列式的基本性质教学难点：n阶行列式定义、基本性质及利用行列式的性质计算行列式教学时数：4学时教学方法：课堂讲授教学内容与过程：1．课堂考勤2．讲授新课§1.1 n 阶行列式定义一、导言线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授(一) n级排列及其奇偶性1.定义：由n个数1，2，3，……，组成的一个有序数组称为一个n级排列。
例1 4321是一个4级排列，35241是一个5级排列．123…n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列．2.定义：在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序。
在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列 j1j2…j n的逆序数记为τ(j1 j2… j n)。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例3 在4级排列中，τ(3412)=2+2=4，故4级排列3412为一个偶排列。
τ(2341)=1+1+1=3，故4级排列2341为一个奇排列。
定理1.1：一个排列中的任何两个元素对换，排列改变奇偶性 （二） 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12）x 2=a 11b 2-a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0，方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1.2）容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。
线性代数(1)
(除1之外)
4前面比4大的数有n 2个
2(n 1)前面比2(n 1)大的数有1个 : 2n 1 •
(除1,3之外)
(135 (2n 1)246 2n) 1 (n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
例2：求i,j。使排列3972i15j4是偶排列 解:由定义:i,j只能取6,8两个数 当i=6 τ
a11a22 a33 a21a32 a13 a31a12 a23 a13a22 a31 a23a32 a11 a12 a21a33
（展开式）
对角线展开法则：主对角线的元素乘积之 和减去次对角线元素乘积之和
注意：1.对角线法则只适用二阶、三
阶行列式。 2.展开式的每一项都是由不同 的行，不同的列的元素相乘而得的。 3.符号规律：主对角线方向为 正，次对角线方向为负。换个说法， 当行标按自然数排列排好后，列标为 偶排列取正号，列标为奇排列取负号。
为奇数时，称为奇排列
( j1 j2 jn )
公式
=kn+kn-1+…+k2
其中kn是第k个数前面比它大的数的个
数。 注意：由定义可知，一个n元排列的逆 序数的计算方法：先算出jn前面比jn大 的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数 kn-1……。从后向前，用类似方法计算
(行标按自然排列)
τ
(52143)=2+1+2+1=6
∴选(D)
例7
下列各项，哪些是五阶行列式
a11 a 21 a 51 a12 a 22 a 52 a15 a 25 a 55
的项？若是，决定该项的符号： （1）a13a25a32a41a54 （2）a31a12a43a52a24 （3）a43a21a35a12a54 （4）a21a42a53a14a25 解：（2），（4）不是五阶行列式的项 而（1），（3）是五阶行列式的项 （1）的符号为正号，（3）的符号为负号
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a12 b a a b , 1 22 21 2 a22
D2
a11 a21
b1 b2
a b b a 11 2 1 12
例1: 解二元线性方程组 x 3x 1 2 2 12 . 2x 1x 2 1
令
a11 a12 a a a a 11 22 12 21 称其为二阶行列式。 a21 a22
由方程组的四个系数确定
2.二阶行列式的定义 定义：由4个数排成二行二列的数表 a11 a12 a21 a22
(1)
a 11 记 a 21
a 12 =a11a22 – a12a21 a 22
(2)
(2)式称为由数表(1)所确定的二阶行列式. 3.二阶行列式的计算——对角线法则
1.三阶行列式的引入
a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 当a 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 2 1 1 3 2 3 2 时，
用消元法解得
ba a a a b a ba ba a a ba a a b 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 3 2 3 2 1 2 3 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 2 3 x , 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 a ba ba a a a b a a b ba a a ba 1 1 2 3 3 1 2 3 3 1 1 3 2 1 3 1 1 2 3 3 1 2 1 3 3 1 3 2 3 1 x , 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 a a b a ba ba a a ba a a b ba a 1 1 2 2 3 1 2 2 3 1 1 2 1 3 2 1 1 2 3 2 1 2 2 1 3 1 2 2 3 1 x 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1
a1 1 a
1 2
a
1 3
令
a2 1 a 2 2 a 2 3a a 1a1 a 3a3 a 1 2a 2a3 a 2 2 3 1 a 1a 3 a 2 1 3a 2 a a 1 1 2a 3 a 3 2 a31 a31 a32 a33
称为三阶行列式
a x x2 b 11 1 a 12 1 求解二元一次方程 x x2 b 1 a 22 2 a21
当(a11a22 – a12a21) 0时, 用消元法解得:
b a a b 1 22 12 2 x , 1 a a a a 11 22 12 21
a b b a 11 2 1 21 x 2 a a a a 11 22 12 21
当(a11a22 – a12a21) 0时, 解得:
a b b a 11 2 1 21 x 2 a a a a 11 22 12 21
分析：D
b1 D1 b2
a11
a12
a21 a22
a a a a 11 22 12 21
b1 a 12 D 1 b 2 a 22 x1 , a a D 11 12 a 21 a 22
a12
a1n
b1 b2
a 21 a m1
a 22 am2
a2n a mn
a22 a2 n
am1 am 2 amn bm
第一章 行列式
• 什么是行列式
行列式的定义、性质、计算
• 行列式的应用
能解决什么问题
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式 1.二阶行列式的引入
a11x1 a12x2 a1n xn b 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1x1 am2 x2 amnxn bm a 11 a 12 a 1 n
a11 a21
线性代数
1. 教师姓名: 王国联 2. 52学时，第17周结束 3. 期中考试(待定) 4. 作业：练习册 5. 平时成绩所占比例20%(作业、平时抽查、 期中考试(若有))
课程简介
代数中心课题-------解方程
最简单的方程一元一次方程。 （1）一元n次方程 ---多项式理论
（2） n元一次方程---线性代数
解:
D
3 2 2 1
= 3 – (–4) = 7 0,
3 12 12 2 21 , 14 , D2 D 1 2 1 1 1 D1 14 D 2 21 3. 2, x 2 x1 7 D 7 D
二、三阶行列式
a 11 x 1 a 12 x2 a 13 x 3 b 1 求解三元线性方程：a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
主对角线 副对角线
a 11 a 21
a 12 a 22
＝ a11a22 –
a12a21
４.二阶行列式的应用 x x2 b a 11 1 a 12 1 x x2 b 1 a 22 2 a21
b a a b 1 22 12 2 x , 1 a a a a 11 22 12 21