测度论基础知识总结
第二章测度论的知识要点与复习自测
第二章测度论的知识要点与复习自测第二章测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue 外测度的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述nR 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设n n Q R ?为有理点集，计算*nm Q 0=；（2）设n R E ?为至多可数集，计算*m 0E =；（3）设n ,R E F ?，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ?==。
2、据理说明下面的结论是否成立：设nR E ?，（1）若E 为有界集，则*m E <+∞；（2）若*m E <+∞，则E 为有界集；（3）若*m E =+∞，则E 为无界集；（4）若E 为无界集，则*m E =+∞。
3、设nR I ?为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设1[0,1]R P ??为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ?上的黎曼可积函数，{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈?，()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设nR E ?有内点，则*m 0E >；（4）（外侧度的介值性）设1R E ?为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ?，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =。
测度论简要介绍
测度论简要介绍测度论是数学中的一个重要分支，主要研究测度空间及其上的可测集合和测度函数。
测度论在实分析、概率论、数学物理等领域有着广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础理论之一。
本文将简要介绍测度论的基本概念、性质和应用。
一、测度的基本概念1.1 测度空间在测度论中，我们首先要定义测度空间。
测度空间是一个三元组$(X, \Sigma, \mu)$，其中$X$是一个集合，$\Sigma$是$X$上的一个$\sigma$代数，$\mu$是定义在$\Sigma$上的测度。
测度通常用来度量集合的大小，类似于长度、面积和体积等概念。
1.2 可测集合在测度空间中，$\Sigma$中的元素称为可测集合。
对于一个给定的测度空间，我们可以定义一个测度函数$\mu$，用来度量可测集合的大小。
常见的测度包括勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。
1.3 测度的性质测度函数$\mu$通常具有以下性质：（1）非负性：对于任意可测集合$E$，$\mu(E) \geq 0$；（2）空集的测度为零：$\mu(\emptyset) = 0$；（3）可数可加性：对于任意可数个两两不相交的可测集合$\{E_n\}$，有$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$。
二、测度论的应用2.1 实分析中的应用在实分析中，测度论被广泛应用于研究函数的性质、积分的定义和性质等问题。
勒贝格积分就是建立在测度论的基础上，通过对可测函数的积分来定义积分运算，为实分析提供了坚实的理论基础。
2.2 概率论中的应用在概率论中，测度论也扮演着重要角色。
概率空间可以看作是一个测度空间，样本空间是全集，事件是可测集合，概率测度则是定义在事件上的测度函数。
通过测度论的方法，我们可以建立概率论的基本理论，研究随机变量、随机过程等概率模型。
2.3 数学物理中的应用在数学物理领域，测度论也有着重要的应用。
第三章_测度论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m I m (I E) m (I E c )
(1)
反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于
定理： 有界集E可测的充要条件是：对任何一个
集合A都有 c m A m ( A E) m ( A E )
复习 中点集的测度
n
一、外测度（外包） 作开集序列G1 G2 „ Gn „ E * 则m E inf mGn inf I i Ii E (1) m* E总存在 * (2) 0，开集G E，使得mG m E 二、内测度 m*E I m* (I E) 内填：作闭集序列F1 F2 „ Fn „ E
*
而G是开集，它是可测的 m*G mG c c G (G E) (G E )且(G E) (G E )= * * * c m G m (G E) m (G E ) (3) 将(3)代入(1) m* A m* (G E) m* (G E c ) m* ( A E) m* ( A E c ) * * * c 令 0，有 m A m ( A E) m ( A E ) * c 由(1),(2)知 m A m ( A E) m ( A E )
第三章 测度论
引言
§1 外测度 §2 可测集 §3 可测集类
引言：
19世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的
局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积
分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所 以积分概念的推广，自然要想到对Rn中的点集给于一种度量，使之成
测度论基础
高等概率论（讲义）一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。
建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980基本内容[1] 测度与概率[2] 随机变量的刻画：分布函数[3] 随机变量的刻画：特征函数[4] 随机变量的收敛性[5] 渐近分布理论第1章 Lebesgue 测度与概率1.1 集和类 ● 基本概念所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。
不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。
[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。
如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。
[4] 集的基本运算（1）交。
集合A 与B 的交集：A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）简记为AB 。
实变函数与测度论
实变函数与测度论实变函数与测度论是数学中两个重要的分支领域，它们在分析学、概率论、测度论等方面有着广泛的应用。
实变函数研究的是定义在实数集上的函数，而测度论则是研究集合的度量性质和测量方法。
本文将介绍实变函数与测度论的基本概念和主要内容。
一、实变函数实变函数是定义在实数集上的函数，它是分析学的基础。
实变函数的研究主要包括函数的连续性、可导性、积分等方面。
1. 连续性实变函数的连续性是指函数在某一点处的极限等于该点处的函数值。
连续函数是实变函数中最基本的一类函数，它在整个定义域上都具有连续性。
2. 可导性实变函数的可导性是指函数在某一点处的导数存在。
可导函数是实变函数中具有平滑性质的一类函数，它在整个定义域上都具有可导性。
3. 积分实变函数的积分是指对函数在某一区间上的面积或曲线长度进行求解。
积分是实变函数中重要的计算工具，它可以用于求解函数的面积、体积、平均值等问题。
二、测度论测度论是研究集合的度量性质和测量方法的数学分支。
它主要包括测度空间、测度函数、可测函数等内容。
1. 测度空间测度空间是指一个集合与其上的测度构成的数学结构。
测度空间中的集合可以是有限集、无限集、开集、闭集等。
测度空间的研究可以帮助我们理解集合的大小、形状等性质。
2. 测度函数测度函数是定义在测度空间上的函数，它用于度量集合的大小。
测度函数可以是有限测度函数、无限测度函数等。
测度函数的研究可以帮助我们计算集合的面积、体积等量。
3. 可测函数可测函数是指定义在测度空间上的函数，它具有一定的测度性质。
可测函数的研究可以帮助我们理解函数的性质和变化规律。
三、实变函数与测度论的关系实变函数与测度论有着密切的联系，它们在分析学、概率论等领域有着广泛的应用。
1. 实变函数的测度性质实变函数的测度性质是指函数在测度空间上的性质。
通过测度论的方法，我们可以研究实变函数的积分、收敛性等性质。
2. 测度论在实变函数中的应用测度论在实变函数中有着广泛的应用。
测度论简要介绍
测度论简要介绍测度论（Measure theory）是数学中的一个分支领域，主要研究集合的大小、度量和测度的概念。
它是现代数学分析的基础之一，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。
本文将对测度论的基本概念和主要结果进行简要介绍。
一、集合的测度在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。
测度是一种将集合映射到实数的函数，用来度量集合的大小。
常见的测度有长度、面积、体积等。
在测度论中，我们希望能够给出一个满足一定性质的测度函数。
1. 外测度外测度是测度论中最基本的概念之一。
给定一个集合，我们可以通过一系列简单的操作来定义它的外测度。
首先，我们将集合划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的长度之和。
最后，我们取所有可能的划分方式中的最小值作为集合的外测度。
2. 测度空间测度空间是指一个集合和一个在该集合上定义的测度构成的数学结构。
在测度空间中，我们可以对集合进行测度运算，比较集合的大小。
测度空间的定义需要满足一定的公理，如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
二、测度的性质测度论中的测度具有一些重要的性质，这些性质对于研究集合的大小和度量具有重要的意义。
1. 可测集在测度论中，我们将满足一定条件的集合称为可测集。
可测集是测度论中的基本对象，它们具有良好的性质和结构。
可测集的定义需要满足一定的条件，如可数可加性、闭性等。
2. 测度的可数可加性测度的可数可加性是测度论中的一个重要性质。
它表示对于可数个互不相交的集合，它们的测度等于各个集合测度的和。
这个性质在测度论中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中。
3. 测度的完备性测度的完备性是指测度空间中的任意一个零测集的任意子集也是零测集。
这个性质保证了测度的一致性和完整性，使得我们可以对集合进行更精确的度量。
三、测度论的应用测度论在数学和其他学科中有着广泛的应用。
以下是测度论在一些领域的应用举例：1. 概率论测度论为概率论提供了坚实的基础。
概率论中的概率可以看作是一种特殊的测度，它度量了事件发生的可能性。
实变函数中的测度论与积分
实变函数中的测度论与积分实变函数是数学分析领域的一个重要概念。
测度论和积分是实变函数理论的两个基础组成部分。
本文将介绍实变函数中的测度论与积分的概念、性质和应用。
一、测度论的基本概念在实变函数中，测度论是研究集合的大小的一种数学工具。
测度是一个定义在集合上的函数，它可以用来衡量集合的大小。
在测度论中，常用的测度有长度、面积和体积等。
对于一个给定的集合，测度应满足以下三个性质：1. 非负性：对于任意的集合，它的测度必须大于等于零。
2. 空集的测度为零：空集是一个没有元素的集合，它的测度应为零。
3. 可数可加性：对于可数个互不相交的集合，它们的并集的测度等于各自测度的总和。
二、实变函数的测度论实变函数的测度论主要研究实数轴上的集合的测度和测度函数。
实数轴上的测度函数是定义在实数轴上的一个函数，它可以用来衡量集合的大小。
在实变函数的测度论中，常用的测度函数有：1. 长度：定义在一维实数轴上的测度函数，用来衡量集合在实数轴上的长度。
2. 面积：定义在二维平面上的测度函数，用来衡量平面上的集合的大小。
3. 体积：定义在三维空间中的测度函数，用来衡量物体的体积。
测度函数具有以下性质：1. 非负性：对于任意的集合，它的测度必须大于等于零。
2. 空集的测度为零：空集是一个没有元素的集合，它的测度应为零。
3. 单调性：对于两个集合，如果一个集合包含在另一个集合中，则大集合的测度不小于小集合的测度。
4. 动态性：当一个集合添加一个元素或删除一个元素时，它的测度可能会发生变化。
三、积分的概念与性质在实变函数中，积分是一种将函数与区间之间的关系进行量化的方法。
积分可以用来计算函数在给定区间上的面积或总量。
常用的积分有：1. 定积分：用来计算函数在一个给定区间上的面积。
定积分是一个实数，它表示函数在该区间上的累积效应。
2. 不定积分：用来计算函数的原函数。
不定积分是一个函数，它表示函数在给定点上的变化率。
积分具有以下性质：1. 线性性：积分具有线性性质，即对于常数乘以一个函数的积分，等于常数乘以函数的积分。
测度空间与测度论基础
测度空间与测度论基础在数学领域中，测度空间和测度论是一些重要的概念和理论，它们在实分析、概率论、统计学以及其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍测度空间和测度论的基础知识和理论。
一、测度空间的定义首先，我们来定义测度空间。
给定一个非空集合Ω，称Ω的某些子集合为可测集合，并给出一个函数μ，该函数满足以下性质：1. 对于Ω中的空集，μ(∅)=0；2. 如果A是Ω的可测集合，那么μ(A)≥0；3. 如果A₁,A₂,...是Ω的可测集合，并且这些集合两两互斥（即任意不同的i和j，有A_i∩A_j=∅），那么μ(∪A_i)=∑μ(A_i)。
具有这些性质的函数μ被称为Ω上的测度函数，并且称(Ω, μ)为一个测度空间。
二、测度空间的性质测度空间具有以下性质：1. 单调性：对于任意的可测集合A和B，如果A包含于B（即A⊆B），那么μ(A)≤μ(B)；2. 子可加性：对于任意的可测集合A₁,A₂,...，有μ(∪A_i)≤∑μ(A_i)；3. 完全可加性：对于任意的可测集合A₁,A₂,...，如果这些集合两两互斥，那么有μ(∪A_i)=∑μ(A_i)。
三、测度的扩展性在实际应用中，我们可能会碰到一些更一般化的集合，如无限集合、复杂集合等。
为了能够测量这些集合，我们需要进行测度的扩展。
1. 外测度外测度是指将集合的测度扩展到任意集合上的一种方法。
给定一个非空集合Ω，将Ω的子集族P(Ω)称为Ω的幂集。
定义一个函数μ*，该函数满足以下性质：（1）对于Ω的空集和单点集合，有μ*(∅)=0和μ*({x})=1；（2）对于任意的集合A⊆B，有μ*(A)≤μ*(B)；（3）对于任意的可测集合A₁,A₂,...，有μ*(∪A_i)≤∑μ*(A_i)。
具有这些性质的函数μ*被称为Ω上的外测度函数。
2. 测度的可测性为了能够更方便地进行测量，需要对测度进行可测性的要求。
具体而言，给定一个测度空间(Ω, μ)，如果对于任意的集合A⊆Ω，有以下等式成立：μ(A)=μ*(A)+μ*(Ω\A)，那么称这个测度空间满足可测性。
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测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}·元素与集合的关系：x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B={x| x A且x B}并：A B={x| x A或x B}差：A\B（或写成A-B）={x| x A且x∉B}补：=U\A（U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={(x,y)| x A且y B }（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，I称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】={x| x>}，A={x| x>0}，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{}，定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=；若为递减列，则有=。
1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。
像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)| x A}记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x| x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
双射是一一对应的映射。
·逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。
记为:Y→X·复合映射：f:X→Y，g:Y→Z，它们的复合g o f:X→Z，写成g(f(X))·函数，一个（n维实数向量）到R（实数）上的映射·性质（映射与交并运算顺序可交换性）对于f:X→Y，X若干个子集，Y若干个子集f(U)=Uf()=f()包含于（只有这一个不一定等于！！！）不等于的例子：A={1} ，B={-1}，f(x)=|x|，则f(A B)f(A)f(B)=用集合相等定义可证明。
1.3集合的势·对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。
记为A~B性质：①A到B有单射→A与B子集对等A到B有满射→B与A子集对等②A~B，B~C，则A~C（传递性）③A~C，B~D，则A×B~C×D判定：（康托—伯恩斯坦定理）若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集对等，则X~Y·基数：有限个元素的集合为元素个数。
·势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。
在有限个元素的情况下，势就是基数。
无限个元素的情况下，定义自然数集的势是（阿列夫0）。
A的势用|A|表示。
·若A与B的一个子集对等，则|A||B|，若与B的真子集对等，则|A|<|B|1.4可数集·可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。
·性质：①任何无穷集合都包含可列子集②可数集的子集还是可数集③两个可数集的交、并还是可数集④可数集和可数集的直积还是可数集·定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。
（有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和Z×N对等。
实数不可列证明方法有多种，可用闭区间套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方法）定义实数的势是c=·定理：单调函数的间断点集是可数集。
证明思路：不妨设单调递增。
间断点x0左右必有界，否则不单调。
f(x0-0)和f(x0+0)之间必有有理数rx0，而且x0不同的话每个区间(f(x0-0),f(x0+0))不会相交，否则不单调。
所以间断点和有理数子集{rx0}建立双射，是可数的。
·不可数集性质：①一个集合子集不可数，则它不可数②A不可数，B可数，则A~AUB2.n维欧式空间极其简单的性质2.1定义·向量与运算：（略）这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算（加、减、模、内积）、距离等。
·一些常用的集合：开球：B(x,r)（以x为球心，r为半径的球内部）就是{y|d(x,y)<r}（d(x,y)是x、y的距离）闭球：上面改为d(x,y)r有界集：包含于一个开球的集合。
2.2分析相关的概念·点列的极限点：{}在k趋于时与定点x的距离趋向于0，则x为{极限点。
·聚点和导集：若对于{}，点为圆心的任何开球内都有无数个{}中的点，则为{}聚点。
一个集合A的所有聚点构成的集合叫A的导集，记为A’。
若A且不是A的聚点则为A的孤立点，孤立点集记为A\A’。
注：聚点未必属于集合，比如[0,1]所有有理数构成的集合聚点是[0,1]中所有数，包括无理数。
但是定义孤立点属于集合。
定理：若是点集A的聚点，则A中存在一个点列趋向。
·内点和边界点内点（记为）：存在一个以它为球心有一个开球包含在A中边界点（记为）：以它为圆心有一个所有开球不包含在A中，但都有A中的点（用几何图像很好理解）定理：A’\A=\A（用集合相等的定义证出）A=（用几何图像很好理解）·闭包A的闭包定义为A与A’的并。
称A在A的闭包中稠密。
（闭包在几何图像上可以理解为一个图形加上它的边界组成的封闭图形）有若干性质，略2.3 n维欧式空间中的集合·闭集：闭包等于自己的集合。
开集：闭集的补集。
·闭集性质：有限个闭集并还是闭集，任意个闭集交还是闭集。
无限个闭集并可能是开集，比如-]=(0,1)开集类似：有限个开集交还是开集，任意个开集并还是开集。
·集和集。
集：可数个闭集的并。
集：可数个开集的交。
性质：集的补集是集注意：一个集合有可能既是集又是集！比如半开半闭区间。
·与矩体的关系矩体：若干个R上的区间直积。
半开半闭矩体就是若干个前开后闭区间的直积。
性质：开集一定是可列个互不相交的半开半闭矩体的并。
·康托集C。
开始是[0,1]区间，然后挖掉中间的三分之一开区间得到[0,1/3]U[2/3,1]，再把每个区间挖掉中间1/3的开区间，如此往复，无数次的极限就是康托集。
康托集对应三进制小数0.XXXXX…中只有0,2数字，没有1数字的小数。
（这个结论可以从每次区间的端点都保留在集合里来得到）性质：①康托集是非空有界闭集。
②势是。
③是完全集C=C’。
④没有内点。
·代数和博雷尔集①代数：设F是X的一些子集构成的集合，而且①；②若则；③若一列集合，则。
则称F是X的一个代数。
②博雷尔集：n维欧式空间的一切开集的最小代数中的集合。
2.4 连续函数·定义：设f是集合E上面的实值函数，若对任一点，任何，均存在，使得时|f-f()|<，则f为E上连续函数。
连续函数性质与微积分中一元函数类似，不详述。
·特殊判定方法：①对于任何t，{x| f>t，x}(记为E(f>t))是开集，则f在E上连续。
大于号可换为大于等于、小于、小于等于。
②若R任意开集在f的原像是开集，则f在E上连续。
“开集”可换为“闭集”。
2.5 n维欧式空间的完备性定理有柯西收敛准则、闭集套定理、有限覆盖定理、聚点原理，类似于R的情况，不详细叙述。
3.勒贝格测度3.1勒贝格外侧度勒贝格测度的定义·开矩体的体积n维欧式空间中的开矩体I={()|}=（都是R中的开区间）定义它的体积|I|=||×||×…×||·勒贝格外侧度对于任意n维欧式空间的集合E，总有可数个开矩体可以将其覆盖。
定义E外侧度为可数个覆盖它的开矩体体积和的下确界，记为(E)。
性质：①非负性：(E)②平移不变性：(E)=(E+x)，E+x为把集合E向右平移x。
③子集的外侧度：若，则()()④集合的并的外侧度：n维欧式空间中，()()一些集合外侧度的例子：①()=0②单个点构成的集合外侧度为0。
③可数集的外侧度是0定义：外侧度为0的集合称为零测集。
④平面（2为欧式空间）上的任意直线外侧度为0（即直线面积是0）⑤开矩体与它的闭包外侧度相等，都等于它的体积。
（而且还等于有一部分边界的矩体的外侧度）·可测集勒贝格测度①可测集：如果对于一个n维欧式空间中的集合E，任意n维欧式空间中的集合T，都有(T)=(E T)+()，则称E为可测集。
n维欧式空间中的所有可测集的全体记为M()。
理解：就是用任意一个集合T去“检验”这个E，与E相交的部分外侧度和E以外部分的外侧度加起来还等于原来T的外测度，那么E就是一个“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，这样的集合E叫做可测集。
这个概念不要记错……注1：不可测集一定是存在的，但是要举出不可测集的例子非常麻烦，要有很多铺垫，所以略去。
注2：条件可以减弱，只要把任意集合T换成任意开矩体I成立即可。
证明略。
·可测集例子：①零测集可测，显然测度为0②开矩体可测·勒贝格测度：当一个集合E是可测集的时候，它的外侧度定义为它的勒贝格测度，简称测度，记为m(E)。
·可测集族M()是n维欧式空间上的代数①空集可测②若E可测，则可测③若一列集合，则可测·勒贝格测度的性质①可列可加性：若一列可测集合②上连续：若递增集合列都可测则=③下连续：若递减集合列都可测，而且测度有限，则=注：无测度无限时候不一定成立，比如，=但是对任意n，m()=+注：康托集可测，测度为0。
（证明很容易，因为康托集是一些区间的极限）故测度为0的集合不一定可数，康托集不可数却测度为0。
·可测集的性质①若E是可测集，则任给存在一个开集G包含E，且m(E/F)②若E是可测集，则任给存在一个闭子集F且m(E/F)证明思路：分情况讨论（有界与无界）证明①，有界时用定义的开矩体证明，无界时，开集包含且差集测度任意小，G=。
对于②取补集再用①证。
③若E是可测集，则存在包含E且与E差集测度为0。