高三二轮复习--数列
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题二数列第2讲数列求和及其综合应用
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专题二 数列
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5．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1， Sann是公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式； (2)证明：a11＋a12＋…＋a1n<2.
专题二 数列
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【解析】 (1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴Sa11＝1， 又∵Sann是公差为13的等差数列， ∴Sann＝1＋13(n－1)＝n＋3 2，∴Sn＝(n＋32)an， ∴当 n≥2 时，Sn－1＝(n＋13)an－1， ∴an＝Sn－Sn－1＝(n＋32)an－(n＋13)an－1，
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【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1，a2，a3－2成等差数 列，得2a2＝a1＋a3－2，
即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)， 则an＝a1qn-1＝2n，n∈N*.
专题二 数列
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(2)bn＝a1n＋2log2 an－1＝21n＋2log2 2n－1＝21n＋2n－1， 则数列{bn}的前 n 项和 Sn＝12＋14＋…＋21n＋(1＋3＋…＋2n－1) ＝1211－－2121n＋12n(1＋2n－1)
专题二 数列
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n(n1＋1)＝1n－n＋1 1； n(n1＋k)＝1k1n－n＋1 k； n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1； 4n21－1＝122n1－1－2n1＋1.
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专题二 数列
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2．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn} 的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意： (1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特 别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题三数列第一讲等差数列与等比数列
专题三 数列第一讲 等差数列与等比数列——小题备考常考常用结论 1．等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝n (a 1+a n )2＝na 1＋n (n−1)2d ；(3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m)d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列． 2．等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)； (2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1(1−q n )1−q＝a 1−a n q 1−q；(3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；②a n ＝a m ·q n －m ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列．微专题1 等差数列与等比数列的基本量计算保分题1.[2022·河北石家庄二模]等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 2 021＝6，则S 2 022＝( )A ．3 033B ．4 044C ．6 066D ．8 0882．[2022·辽宁沈阳三模]在等比数列{a n }中，a 2，a 8为方程x 2－4x ＋π＝0的两根，则a 3a 5a 7的值为( )A ．π√πB ．－π√πC ．±π√πD ．π33．[2022·全国乙卷]已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝( ) A ．14 B ．12 C ．6D ．3提分题例1 (1)[2022·江苏盐城三模]已知数列{a n}，{b n}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37的值为()A．760 B．820C．780 D．860(2)[2022·广东佛山三模]已知公比为q的等比数列{a n}的前n项和S n＝c＋2·q n，n∈N*，且S3＝14，则a4＝()A．48B．32 C．16D．8听课笔记：技法领悟1．等差、等比数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差或等比数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本元素；(2)解题思路：①设基本量a1和d(q)；②列、解方程(组)；把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，减少计算量．2．等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则a m＋a n ＝a p＋a q”这一性质与求和公式S n＝n(a1+a n)2的综合应用．巩固训练11.[2022·河北邯郸二模]在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱？若已知这五人分得的钱数从多到少成等差数列，则这个等差数列的公差d＝()A．－16B．－15C．－14D．－132．[2022·山东淄博一模]已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2＝4，S 3＝14，则a 3＝________.微专题2 等差数列与等比数列的综合保分题1.[2022·辽宁沈阳一模]已知等差数列{a n }的公差为2，且a 2，a 3，a 5成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n(n －2)B ．n(n －1)C ．n(n ＋1)D ．n(n ＋2) 2．各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，4a 1，2a 3，a 5成等差数列，则a 1＝( ) A ．5√2－5 B ．5√2＋5 C ．5√2 D ．53．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝4，S 9＝19，则S 6，S 9的等差中项为________．提分题例2 (1)[2022·山东日照三模]在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 2，a k 1，a k 2，a k 3成公比为3的等比数列，则k 3＝( )A ．14B ．34C ．41D ．86(2)[2022·山东潍坊三模](多选)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．数列{Snn }为等差数列B ．对任意正整数n ，b +n 2b n+22 ≥2b n ＋12 C ．数列{S 2n ＋2－S 2n }一定是等差数列 D ．数列{T 2n ＋2－T 2n }一定是等比数列 听课笔记：技法领悟等差、等比数列综合问题的求解策略对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．巩固训练21.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则S6S 3＝( )A ．1或43B ．1或13C ．2或43D ．13或432．[2022·湖北荆州三模](多选)等差数列{a n }的前项n 和为S n ，数列{b n }为等比数列，则下列说法正确的选项有 ( )A ．数列{2a n }一定是等比数列B ．数列{b a n }一定是等比数列C ．数列{Snn }一定是等差数列D ．数列{b n ＋b n ＋1}一定是等比数列微专题3 数列的递推保分题1.[2022·广东汕头三模]已知数列{a n }中，a 1＝－14，当n>1时，a n ＝1－1a n−1，则a 2 022＝( )A ．－14 B ．45 C ．5 D ．－45 2．数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n +2，则a 7＝( )A ．18 B ．17 C ．27 D ．143．[2022·山东泰安三模]已知数列{a n }满足：对任意的m ，n ∈N *，都有a m a n ＝a m ＋n ，且a 2＝3，则a 20＝( )A ．320B ．315C ．310D ．35提分题 例3 (1)[2022·湖南雅礼中学二模](多选)著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n 个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n ，则( )A ．a 2＝3B ．a 3＝8C ．a n ＋1＝2a n ＋nD ．a n ＝2n －1(2)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)a n+12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1，2，3，…)，则它的通项公式是a 100＝( )A ．100B ．1100C ．101D ．1101听课笔记：技法领悟1．通过验证或者推理得出数列的周期性后求解．2．根据已知递推关系式，变形后构造出等差数列或等比数列，再根据等差数列或等比数列的知识求解．3．三种简单的递推数列：a n ＋1－a n ＝f(n)，a n+1a n＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q(p ≠0，1，q ≠0)，第一个使用累加的方法，第二个使用累乘的方法，第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，展开比较系数得出λ)．巩固训练3 1.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列{a n}，则() A．a5－a4＝4 B．a100＝5 000C．2a n＋1＝a n＋a n＋2D．a n＋1－a n＝n＋12．[2022·福建漳州二模]已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，记b n＝a n＋a n＋1＋a n＋2且b n＋1－b n＝2，则S31＝()A．171 B．278 C．351 D．395第一讲等差数列与等比数列微专题1等差数列与等比数列的基本量计算保分题＝1 011×6 1．解析：由等差数列{a n}知，a2＋a2 021＝a1＋a2 022＝6，所以S2 022＝2 022(a1+a2 022)2＝6 066.答案：C2．解析：在等比数列{a n}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝a52，所以a5＝±√π，所以a3a5a7＝a53＝±π√π.故选C.答案：C3．解析：设等比数列{a n }的公比为q.由题意知，{a 2q+a 2+a 2q =168，a 2−a 2q 3=42.两式相除，得1+q+q 2q (1−q 3)＝4，解得q ＝12.代入a 2－a 2q 3＝42，得a 2＝48，所以a 6＝a 2q 4＝3.故选D .答案：D提分题[例1] 解析：(1)∵数列{a n }，{b n }均为等差数列，设公差分别为d 1，d 2 (a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， 则数列{a n ＋b n }也为等差数列， a 1＋b 1＝100，a 2＋b 2＝120，数列{a n ＋b n }的首项为100，公差为20， ∴a 37＋b 37＝100＋20×36＝820，故选B .(2)因为公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝c ＋2·q n ①， 当n ＝1时a 1＝S 1＝c ＋2·q ， 当n ≥2时S n －1＝c ＋2·q n －1 ②， ①－②得a n ＝2·q n －2·q n －1＝(2q －2)·q n －1，所以2q －2＝c ＋2q ，则c ＝－2，又S 3＝14，所以S 3＝－2＋2·q 3＝14，解得q ＝2， 所以a n ＝2n ，则a 4＝24＝16. 答案：(1)B (2)C [巩固训练1]1．解析：若分得的钱从多到少分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5， 所以{a 1+a 2=a 3+a 4+a 5a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5，所以{a 1=−8d5a 1+10d =5，可得{a 1=43d =−16.答案：A2．解析：设等比数列的公比为q ，因为a 2＝4，S 3＝14，所以a 1＋a 3＝10，即a2q ＋a 2q ＝10，所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，所以当q＝2时，a3＝8；当q＝12时，a3＝2所以，a3＝2或a3＝8.答案：2或8微专题2等差数列与等比数列的综合保分题1．解析：设等差数列{a n}公差d＝2，由a2，a3，a5成等比数列得，a32＝a2·a5，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，解得a1＝0，∴S n＝n×0＋n(n−1)2×2＝n(n－1)．答案：B2．解析：设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)，a1≠0，故由题意可得：{a1(1+q+q2+q3)=154a3=4a1+a5，{a1(1+q+q2+q3)=154q2=4+q4，解得q2＝2，q＝√2，a1＝5√2－5.答案：A3．解析：设S6＝x，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．因为S3＝4，S9＝19，所以4(19－x)＝(x－4)2，解得x＝10或x＝－6(舍去)．所以S6，S9的等差中项为292.答案：292提分题[例2]解析：(1)因为a1，a2，a k1，a k2，a k3成公比为3的等比数列，可得a2＝3a1，所以a k3＝a1·34＝81a1，又因为数列{a n}为等差数列，所以公差d＝a2－a1＝2a1，所以a k 3＝a 1＋(k 3－1)d ＝a 1＋2(k 3－1)a 1＝(2k 3－1)a 1， 所以(2k 3－1)a 1＝81a 1，解得k 3＝41. 故选C .(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n−1)2d ，所以，S n n ＝a 1＋(n−1)d 2.对于A 选项，S n+1n+1−S n n＝a 1＋nd 2－a 1－(n−1)d 2＝d 2，所以，{S n n}为等差数列，A 对；对于B 选项，对任意的n ∈N *，b n ≠0，由等比中项的性质可得b n+12＝b n b n ＋2，由基本不等式可得b n 2 +b n ＋22≥2b n b n ＋2＝2b n+12，B 对；对于C 选项，令c n ＝S 2n ＋2－S 2n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1， 所以，c n ＋1－c n ＝(a 2n ＋4＋a 2n ＋3)－(a 2n ＋2＋a 2n ＋1)＝4d ， 故数列{S 2n ＋2－S 2n }一定是等差数列，C 对； 对于D 选项，设等比数列{b n }的公比为q ，当q ＝－1时，T 2n ＋2－T 2n ＝b 2n ＋2＋b 2n ＋1＝b 2n ＋1(q ＋1)＝0， 此时，数列{T 2n ＋2－T 2n }不是等比数列，D 错． 答案：(1)C (2)ABC [巩固训练2]1．解析：设等比数列公比为q ，由a 2，2a 5，3a 8成等差数列可得，2×2a 1·q 4＝a 1·q ＋3a 1·q 7，化简得3q 6－4q 3＋1＝0，解得q 3＝13或q 3＝1，当q 3＝1时，S6S 3＝2；当q 3＝13时，S 6S 3＝a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 3)1−q＝1＋q 3＝43.答案：C2．解析：若{a n }公差为d ，{b n }公比为q ， A ：由2a n+12a n＝2a n+1−a n ＝2d 为定值，故{2a n }为等比数列，正确； B ：由b a n+1b a n＝b a n +d b a n＝b a n q d b a n＝q d 为定值，故{b a n }为等比数列，正确；C ：由Sn+1n+1−S nn＝a 1+a n+12−a 1+a n 2＝a n+12−a n2＝d 2为定值，故{Snn}为等差数列，正确； D ：当q ＝－1时b n ＋b n ＋1＝0，显然不是等比数列，错误． 答案：ABC微专题3 数列的递推保分题1．解析：由题意得：a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14，则数列{a n }的周期为3，则a 2 022＝a 674×3＝a 3＝45.答案：B2．解析：因为a n ＋1＝2a n a n +2，所以1a n+1＝12+1a n，即1a n+1−1a n＝12，又1a 1＝12，则{1a n}是以12为首项，12为公差的等差数列，即1a n＝12+12(n －1)＝n2，则a n ＝2n ，所以a 7＝27. 答案：C3．解析：因为对任意的m ，n ∈N *，都有a m a n ＝a m ＋n ， 所以a 1a 1＝a 2，a 1a n ＝a 1＋n ， 又a 2＝3，所以a 1＝±√3，所以a n+1a n＝a 1，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为a 1的等比数列， 所以a n ＝a 1·(a 1)n －1＝(a 1)n ， 所以a 20＝(a 1)20＝310. 答案：C提分题[例3] 解析：(1)将圆盘从小到大编为1，2，3，…号圆盘，则将第n ＋1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1～n 号圆盘移动到2号柱，需a n 次操作；将第n ＋1号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1～n 号圆需移动到3号柱需a n 次操作，故a n ＋1＝2a n ＋1，a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，即a n ＝2n －1，∴a 2＝3，a 3＝7.(2)∵(n +1)a n+12−na n 2＋a n ＋1a n ＝0，∴(n +1)a n+12+anan ＋1－na n 2＝0，[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，又∵a n >0，∴a n ＋1＝n n+1·a n ，即a n+1a n ＝n n+1， ∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n−1＝12·23·…·n−1n ，即a n a 1＝1n ， 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n ，∴a 100＝1100.答案：(1)AD (2)B[巩固训练3]1．解析：由相邻层球的个数差，归纳可知a n ＋1－a n ＝n ＋1，a 1＝1， 对a n ＋1－a n ＝n ＋1累加得a n ＝n (n+1)2. 所以，a 5－a 4＝5，a 100＝100(100+1)2＝5 050，2a n ＋1≠a n ＋a n ＋2，所以ABC 错误，故选D.答案：D2．解析：由b n ＋1－b n ＝2，b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3－(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)＝a n ＋3－a n ＝2， ∴a 1，a 4，a 7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a 2，a 5，a 8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a 3，a 6，a 9，…是首项为3，公差为2的等差数列，S 31＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(a 2＋a 5＋…＋a 29)＋(a 3＋a 6＋…＋a 30)＝1×11＋11×10×22＋2×10＋10×9×22＋3×10＋10×9×22＝351.故选C.答案：C。
高三二轮复习--数列综合作业用
高台一中2020级二轮复习数列专题作业1.【数列中的方程思想】【2019全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．2.【数列中的最值问题】【2018年全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．3.【分组求和】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b +的前n 项和．【答案】（I ）21,3nn n a n b =+=；（II ）()331(2)2n n n -++.【解析】（I ）由11a b =，42a b =，则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3nn b =；（II ）(21)3n n n a b n +=++，所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++L L2(3521)(333)nn =++++++++L L (321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++.4.【裂项相消求和】已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是241,a a -的等比中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()11n n n b n a a *+=∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【答案】（I ）21n a n =+.（II ）8.【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，6336a a d -==Q ，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+， 31a -Q 是21a -，4a 的等比中项，()()232411a a a ∴-=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（II ）由（I ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭.1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 由()13237n n <+，得9n <.∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.5.【错位相减求和】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前3项和39S =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）(23)23nn T n =-⋅+.【解析】（1）∵()()311129S a a d a d =++++=，∴13a d +=① 又∵125,,a a a 成等比数列，∴()()21114a d a a d +=+，② ∵0d ≠，由①②解得：11a =，2d =， ∴()1121n a a n d n =+-=-. （2）∵()112212n n n n b a n --==-，1231n n n T b b b b b L -=+++++，∴()()01221123252232212n n n T n n L --=⨯+⨯+⨯++-+-()()12312123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-L两式相减，得()231222212nnn T n -=++++--L∴()2323nn T n =-⋅+.6.【数列与不等式】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <； （3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）时，当时，2≥n是以为首项，为公差的等差数列……………………………(4分)（2）， ，即2n T <……………………………(8分)（3）由得， 当且仅当时，有最大值，……………………………(12分)。
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)-选择题：数列-
2022届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）选择题：数列1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=()A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+2.已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则12a 的值是()A ．15B ．30C ．31D ．643.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为,i j a ,比如3,24,25,49,15,23a a a ===,若,2017i j a =,则i j +=()A.64B.65C.71D.724.已知{}n a 为等差数列,若3489a a a ++=,则9S =()A.24B.27C.36D.545.已知{}n a 是等差数列,且34784,8a a a a +=-+=-,则这个数列的前10项和等于()A.16- B.30- C.32- D.60-6.已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（）A.18B.30C.36D.457.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若14611,6a a a =-+=-,则当n S 取最小值时,n 等于（）A.6B.7C.8D.58.等差数列{}n a 中,已知611||||a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时n 的值为()A.6B.7C.8D.99.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a aa a a++++的值为（）A ．914B ．1115C ．1316D ．151710.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走的路程为（）A ．96里B ．189里C ．192里D ．288里11.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a a ＝89，5a ＝163，则()A ．23nn a ＝B ．13n n a －＝C ．312nn S －＝D ．213n n S -=12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式n a =（）A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +13.等比数列{}n a 各项均为正数,若12118,n n n a a a a ++=+=,则{}n a 的前6项和为()A.1365B.63C.6332D.1365102414.已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n 时，22222n n a a -=，设2log n n b a =，数列()21(1)1nn n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =()A.20202021B.20202021-C.20192020-D.2019202015.化简式子11111+++12233445(1)n n ++=⨯⨯⨯⨯+ ()A.n +11B.n n -+11C.n n +1 D.n n-1答案以及解析1.答案：B解析：{}n a ∵是各项均为正数的等比数列，4756a a a a =∴又475618a a a a +=,47569a a a a ==∴110293847569a a a a a a a a a a =====∴()3132310312310log log log log a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅∴51033log 9log 310===2.答案：A解析：由等差数列的性质得，79412a a a a +=+，∵79416,1a a a +==，∴1279415a a a a =+-=.故选A.3.答案：D解析：按照蛇形排列,第1行到第i 行末共有(1)122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数;第1行到第45行末共有1035个奇数;则2017位于第45行;而第45行是从右到左依次递增,且共有45个奇数;故2017位于第45行,从右到左第19列,则45,2772i j i j ==⇒+=,故选D4.答案：B解析：根据等差数列的通项公式,我们根据3489a a a ++=,易求也53a =,由等差数列的前 n 项和公式,我们易得()91992S a a =+,结合等差数列的性质“当2q m n =+时,2a q =a m +a n ”,得()1952a a a +=,即可得到答案.解:设等差数列{}n a 的公差为 d ,3489a a a ++= ()()()1112379a d a d a d ∴+++++=即()1349a d +=143a d ∴+=即53a =又()919992S a a =+=527a =5.答案：B解析：通解设{}n a 的公差为d ,则341781254,2138,a a a d a a a d +=+=-⎧⎨+=+=-⎩解得13,41,2a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以{}n a 的前10项和10310911030422S ⨯⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.优解因为数列{}n a 是等差数列,所以374856,22a a a a a a ++==,所以34785662a a a a a a ++++==-,所以{}n a 的前10项和()()110561*********a a a a S ++===-.故选B.6.答案：C解析：因为等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，所以由题55590,18a a ==，285236a a a +==.7.答案：A解析：465676320,0a a a d a a +=-∴=-∴∴<>=，所以6S 最小8.答案：C解析：由0d >可得等差数列{}n a 是递增数列,又611||||a a =,所以611a a -=,即11510a d a d --=+,所以1152d a =-,则890,022d da a =-<=>,所以前8项和为前n 项和的最小值,故选C.9.答案：C解析：等差数列{}n a 中，因为139,,a a a 成等比数列，所以有2319a a a =⋅，即()()211128a d a a d +=⋅+，解得1d a =，所以该等差数列的通项为n a nd =，则1392410(139)13(2410)16a a a d a a a d ++++==++++，故选C ．10.答案：A 解析：111113782481632x x x x x x +++++=,解得192x =，故962x =.11.答案：D解析：设公比为q ,有2314189163a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则1(12)213123n n n S --==-.12.答案：B解析：当1n =时，111121,1S a a a =-=∴=，当2n ≥时，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-∴=，因此12n n a -=13.答案：B解析：设公比为(0).q q >218,n n n a a a +++= 228,n n n a q a q a ∴+=228,q q ∴+=解得2q =或4q =-(舍)，661(12)63,12S ⨯-∴==-故选B.14.答案：B解析： 数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，∴当2n 时，222222n n na a a -==，2(2)n n a n ∴= ，又{}n a 为等比数列，*22,,log n n n n a n b a n ∴=∈∴==N ，()212111(1)(1)(1)1(1)1nn n n n n n b b n n n n ++⎛⎫∴-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，2020111111122320192020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111202012020202120212021⎛⎫+=-+=- ⎪⎝⎭，故选B.15.答案：C 解析：()n n n n =-++111∵11()n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+1111∴1223341n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111122334111。
高三二轮复习--数列
高三二轮复习-数列【例1】S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记b n＝[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1 000项和．‘【例2】已知数列{a n}的前n项和为S n，且有a1＝2,3S n＝5a n－a n－1＋3S n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n－1)a n，求数列{b n}的前n项和T n.【例3】等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.【例4】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 22－3a 7＝2，且1a 2，S 2－3，S 3成等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n a n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对于任意的n ∈N *，都有8T n <2λ2＋5λ成立，求实数λ的取值范围．【例5】数列的综合问题已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【例6】数列与其他的综合问题设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛320，内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13(32)n .【例2】已知等差数列{a n}的公差d>0，其前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，1＋a3成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝1a n a n＋1(n∈N*)，且数列{b n}的前n项和为T n，证明：14≤T n<13.【例3】设n∈N*，x n是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{x n}的通项公式；(2)记T n＝x21x23…x22n－1，证明：T n≥1 4n.【例4】自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值a n的表达式；(2)设A n＝a1＋a2＋…＋a nn，若A n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新．练习1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .2.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)． (1)求a n ；(2)若b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .3.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且4a 3是a 1与2a 2的等差中项． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ＋1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足13()2n na b n a ⋅+=，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．5.已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n <163.6.设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列}1{na 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且(a －1)S n ＝a (a n －1)(a ＞0)(n ∈N *)． (1)求证数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x }，问是否存在实数a ，使得对于任意的n ∈N *，都有S n ∈A ？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．8.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．9.已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2nk ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑nk ＝11T k <12d 2.10.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .11.已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．12.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3. (1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．13.(17年高考真题文)记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。
高考数学第二轮复习数列典型例题2
1 已知数列{}n a 满足0>n a 且对一切*∈N n ,有,233231n n S a a a =+++,21n n S a a a =+++ （1）求证：对一切n n n S a a N n 2121=-∈++*有（2）求数列{}n a 通项公式. （3）求证：33212232221<++++na na a a (1) 证明: 233231n n S a a a =+++ ………. ① 213133231++=++++n n n S a a a a …………②② - ①：31221++=-n n n a S S 3111))((+++=+-n n n n n a S S S S 31111(2);0.n n n n n a S a a a +++++=≠n n n S a a 2121=-∴++ (*∈N n )(2) 【解】：由n n n S a a 2121=-++及)2(212≥=--n S a a n n n两式相减,得: n n n n n n a a a a a a +=-++++111))(()2(,1011≥=-∴>+++n a a a a n n n n)1(1,2,1,2,1121≥=-===+n a a a a n n n 易得时∴{},n n a a n =是等差数列.(3) 证明: ∵n a n =n ===<==∴1n S =+1(1<++++++23=<2 已知等比数列}{n a 的前n 项和为S n =K ·2n+m ，k ≠0,且a 1=3. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和T n . 解：.2,211k S S a n n n n n ⋅=-=≥--时 由331==k a 得∴123-⋅=n n a又3,321-==+=m m k a （2）解)223221(31,23121--++++=⋅==n n n n n n T n a n b ， ④ )2212221(312112n n n nn T +-+++=- ， ⑤ ④－⑤得)22122211(312112n n n nT -++++=- ，).2211(342211)211(1321+--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅=n n nn n n n T3 已知： 3,2,1,)1()1(,)(221=⋅-=-+++=n n f x a x a x a x f n n n n n（Ⅰ）求;,,321a a a（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求证：1)31(<n f解：（Ⅰ）由已知1,1)1(111=-=-=-a a f 所以3)1(,32)1(32132212-=-+-=-==+-=-a a a f a a a f 所以，所以，53=a（Ⅱ）n n f f a n n n n n n ⋅--+⋅-=---=⋅-++++)1()1()1()1()1()1(111112)1(11+=++=∴++n a n n a n n ，即所以对于任意的12,..........3,2,1-==n a n n （Ⅲ）n n x n x x x x f )12(....53)(32-++++=n n n f )21)(12(....)31(5)31(331)31(3-++++=∴ ○1 1432)31)(12(...)31(5)31(3)31()31(31+-++++=⋅n n n f ○2 ○1—○2，得 132)31)(12()31(2...)31(2)31(231)31(32+--++++=n n n n fn n n n n )31(32232)31)(12(311)31(1923111+-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-n n n f 311)31(+-=∴又1)31(..,.........3,2,1<=n f n 故 4 已知数列{}n a满足112,3n n a a a +=-=n N +∈） （1）证明：数列{}1n n a a +-成等差数列；（2）设13n n n a b n -=∙，数列{}nb 的前n 项的和n S ，求证：23n S ≥。
2024届高三数学二轮专题复习数列求和—裂项相消法教学设计
高三二轮复习数列求和—裂项相消法教学设计内容教学目的掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.教学重点难点识别裂项相消求和的使用环境.如何裂项？如何相消？教学过程过程一、强调本微课学习内容，学习目标，重难点，易错点。
学习目标：掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.学习重点：识别裂项相消求和的使用环境.学习难点：如何裂项？如何相消？易错点：裂项时忘记配平，相消时留下哪些项？过程二、通过熟悉的典型例子入手，引导学生回顾裂项相消的具体类型。
裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.看下面两个例子：)211(2121+-=+nnnn）（⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯211121121211......513141213112121......531421311nnnnnn）（()()))2)(1(1)1(1(21211++-+=++nnnnnnn()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)2)(1(12121)2)(1(1)1(1......43132132121121211......543143213211nnnnnnnnn过程三、因为是二轮专题复习，学生经过一轮的复习，对于裂项的方法有一定的理解，在此基础上直接点出裂项的四种基本类型，并强调裂项的常用方法为通分的逆运算，分母有理化，对数的运算等。
本质是恒等变形，运用化归与转化思想、等式思想。
等差型：1a n a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)，其中a n≠0，d≠0. . （通分的逆运算）指数型：（a－1）a n（a n＋b）（a n＋1＋b）＝1a n＋b－1a n＋1＋b. （通分的逆运算）无理型：1a＋b＝1a－b(a－b)(a>0，b>0). （分母有理化）对数型：log n a n ＋1a n＝log n a n ＋1－log n a n (a n >0). （对数的运算法则）过程四、对照四种类型，分别用4道典型例题进行讲解与说明，并敲掉裂项时要配平，求和相消时要注意消去哪些项，剩下哪些项。
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高三二轮复习-数列【例1】S n为等差数列｛a n｝的前n项和，且a i= 1 ,S = 28.记b n = [lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0 , [lg 99] = 1.(1)求b i, b ii, b ioi；⑵求数列｛b n｝的前1 000项和.【例2】已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且有a i = 2,3S n= 5a n —a n-1 + 3S n-i(n>2).(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵若b n= (2n—1)a n，求数列｛b n｝的前n项和T n.【例3】等比数列｛a n｝中，a i，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且在下a i，a2，a3中的任何两个数不表的同一列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵若数列｛b n｝满足：b n= a n+ ( —1)% a n，求数列｛b n｝的前n项和S n.1【例4】设等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a22—3a7= 2,且—,S2 —3, S3成等比数列，n€ N*.(1)求数列｛a n｝的通项公式；2⑵令b n= ，数列｛b n｝的前n项和为T n，若对于任意的n € N*，都有8T n<2入2+ 5入成立，求实数入的取值范—n—n +2围.【例5】数列的综合问题已知等差数列｛a n｝的公差为一1，且a2+a7+ a i2=— 6.(1) 求数列｛a n｝的通项公式a n与前n项和S n；(2) 将数列｛a n｝的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列｛b n｝的前3项，记｛b n｝的前n项和为T n,若存在m€ N*，使对任意n€ N*，总有S n<T m+入恒成立，求实数入的取值范围.【例6】数列与其他的综合问题设f n(x) = x+ x2+…+ x n—1，x> 0，n € N，n》2.(1)求f n' (2)；2 1 1 2⑵证明：f n(X)在0厂内有且仅有一个零点(记为a n)，且0V a n—产~( )13 2 3 3【例2】已知等差数列｛a n｝的公差d>0，其前n项和为S n,若S B= 12，且2a i, a2, 1 + a3成等比数列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；1 1 1⑵记b n= ——（n€ N*），且数列｛b n｝的前n项和为T n,证明：T n<-.a n a n + 1 4 3【例3】设n€ N*, x n是曲线y= x2n+2+ 1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求数列｛X n｝的通项公式；1⑵记T n= X&3 …x2n—1,证明：T n> .【例4】自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M,M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值a n的表达式；a 1 + a2 +・・・+ a n⑵设A n= ------- n 一，若A n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新.练习1. 设数列｛a n｝的前n 项和为S n,已知a i = 1, a2= 2,且a n+ 2= 3S n —S n +1 + 3, n € N(1)证明：a n+ 2 = 3a n；⑵求S n.2. 已知正项数列｛a n｝的前n项和S n满足：4S n= (a n —1)(a n + 3)(n € N*).(1)求a n；⑵若b n= 2n• a n,求数列｛b n｝的前n项和T n.3. 已知数列｛a n｝的前n项和S n满足Sn = a(S —a n + 1)(a为常数，且a>0)，且4a3是a1与2a2的等差中项.(1)求｛a n｝的通项公式；2n+ 1⑵设b n= ——，求数列｛ b n｝的前n项和T n.a n4. 已知数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n —1 = 3(a n—1), n€ N(1)求数列｛a n｝的通项公式；3 a b⑵设数列｛b n｝满足a n 1 ( ) n n，若b n< t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围.25. 已知数列｛a n｝是等比数列，并且a1，a2+ 1, a3是公差为一3的等差数列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n= a2n，记S n为数列｛ b n｝的前n项和，证明：16 $＜亍6. 设数列｛a n｝( n= 1,2,3，…)的前n项和$满足S n= 2a n—a1，且a1，a2+ 1，a3成等差数列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；1 1⑵记数列｛一｝的前n项和为T n，求使得|T n—1|< 1000成立的n的最小值.a n7. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 1+入a n,其中入工0.(1)证明｛a n｝是等比数列，并求其通项公式；31 ⑵若&求入.7.已知数列｛a n｝的前n 项和为S n,且(a—1)S n= a(a n—1)(a >0)(n€ N*).(1)求证数列｛a n｝是等比数列，并求其通项公式；⑵已知集合 A = ｛x|x1 2 3+ a< (a + 1)x｝，问是否存在实数a,使得对于任意的n€ N*，都有S n€ A?若存在，求岀a 的取值范围；若不存在，说明理由.18. 已知｛a n｝是公差为3的等差数列，数列｛ b n｝满足b1 = 1，b2= 3，a n b n+ 1+ b n+ 1 = nb n3(1)求｛a n｝的通项公式；⑵求｛b n｝的前n项和.9.已知｛a n｝是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n € N*, b n是a n和a n+1的等比中项.(1) 设C n= b n + 1 - b n, n € N*，求证：数列｛C n｝是等差数列；2n n1 1(2) 设a1 = d , T n = g 1 (- 1)k b k, n € N*，求证〒;＜廿.2 110. 在数列｛a n｝中，a1= 1，当n》2时，其前n项和S n满足S^= a n S n-q .(1)求S n的表达式；⑵设b n= 2"nS+^，求｛b n｝的前n项和T n.11. 已知数列｛a n｝满足a n+ 2= qa n(q 为实数，且q工1)，n€ N*，a1= 1，a2= 2，且a2 + a3，a3+ a4，a4+ a5成等差数列.(1)求q的值和｛a n｝的通项公式；⑵设b n= log逊，n € N*，求数列｛b n｝的前n项和.a2n-112. 已知数列｛a n｝的前n 项和 $ = a n + n2—1,数列｛ b n｝满足3n b n+1 = (n + 1)a n+1 —na n,且b i= 3.(1)求a n, b n；⑵设T n为数列｛ b n｝的前n项和，求T n,并求满足T n<7时n的最大值.13. (17年高考真题文)记$为等比数列a n的前n项和，已知S2=2，S3=-6.(1)求a n的通项公式；(2)求S1，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列。
14.(16年高考真题文)已知a n是公差为3的等差数列，数列b n 满足a=1，b2=-，a n b n 1 0 1 ng，(i)求a n的通项公式; (ii )求b n的前n项和.1（I ）求a n 的通项公式；（II ）求b n 的前n 项和.16.（2016 全国n 文）等差数列 ｛ a n ｝中，a 3 a 4 4,a 5 a 7 6.（1） 求｛ a n ｝的通项公式；（2） 设b n [a n ]，求数列｛b n ｝的前10项和，其中[X]表示不超过X 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.17. （2016全国n 理）S n 为等差数列 a n 的前n 项和，且a 1=1，S 7 28.记b n = lga n ，其中x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.9 =0, Ig99 =1 . （I ）求 bi ，九，b 101;（n ）求数列 b n 的前1 000项和.15. （ 2016全国I 文）已知a n 是公差为3的等差数列，数列b n 满足 b|=1, b 2=-, a n b n 13b n 1nb n ,.218.(2016全国皿文)已知各项都为正数的数列 a n 满足印 1, a n (2a ni "a .⑴求a 2, a 3; (ii )求a n 的通项公式.19( 2016全国皿理)已知数列 ｛a n ｝的前n 项和S n 1 a n ，其中(I )证明｛a n ｝是等比数列，并求其通项公式;31(II )若 S 31，求•32220.( 2016山东文)已知数列 a n 的前n 项和S n 3n 8n , b n 是等差数列，且(I) 求数列 b n 的通项公式；(a 1)n 1(II)令C n -.求数列C n 的前n 项和T n .(b n 2)2a 1 o .b n b n 1.21. （2016山东理）已知数列a n的前n项和S n=3n2+8n, b n是等差数列，且a. b n b n 1.（I）求数列b n的通项公式；（H）令C n (a 1)n 1n-.求数列C n的前n项和T n.(b n 2)n22 （2017全国新课标I文）记S n为等比数列a n的前n项和，已知S2=2 , S3=-6.（1 ）求a n的通项公式；（2）求S n,并判断S n+1 , S n , S n+2是否成等差数列23 （2017全国新课标n文）已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，等比数列｛b n｝的前n项和为T n , 6 1上1,a2 b2 2.（0若a3 b3 5,求｛b n｝的通项公式；（2）若T3 21，求S3.24(2017全国新课标皿文)设数列a n满足a13a2K (2n 1)a n2n.a n(1) 求a n的通项公式;(2)求数列———的前n项和.2n 125. ( 2018全国新课标I文)已知数列％满足a 1, n 3n 1 2n 1an,设n(J 求b , b2 , t3 ；(2)判断数列b n是否为等比数列，并说明理由；(3)求a n的通项公式.26. ( 2018全国新课标H文、理) 记S n为等差数列的前n项和，已知a 7 , S3 15 .(1)求｛a n｝的通项公式；(2)求W，并求S n的最小值.27 .( 2018全国新课标皿文、理)等比数列｛a n｝中，a1 1, a5 4a3 .(1 )求｛a n｝的通项公式；(2)记S n为｛a n｝的前n项和•若S m 63，求m .。