第八章常微分方程数值解
边值问题的数值解法
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2， ，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方 其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在 处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程 好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解 先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2
第8章常微分方程数值解法
的解为
y ( x) e
x2
x 0
e dt
t2
但要计算它的值，还需要用数值积分的方法。如果要 对许多个 x 值计算解 y(x) 的近似值，那么工作量非常大。况 且实际计算不一定要求解析表达式，而是只需求在某些点 上满足精度的解的近似值或解的近似表达式就可以了。
由于高阶常微分方程可以转化为一阶常微分方程组，因 此，为了不失一般性，本章主要介绍一类一阶常微分方程初 值问题
的解来近似微分方程初值问题(8.2)的解，其 中 h (b- a) / 2 ，式(8.3)也称为欧拉公式。
欧拉法的几何意义是用一条自点 ( x0 , y0 ) 出发的 折线去逼近积分曲线 y f (x) ，如图8.1所示。 因此，这种方法又称为折线法。显然，欧拉法 简单地取折线的端点作为数值解，精度非常差。
float euler(float x0,float xn,float y0,int N) { float x,y,h; int i; x=x0; y=y0; h=(xn-x0)/(float)N; /* 计算步长 */ for(i=1;i<=N;i++) /* 欧拉公式 */ { y=y+h*func(x,y); x=x0+i*h; } return(y); }
8.4 龙格—库塔（Runge-Kutta）法 8.4.1 龙格—库塔法的基本思想
在欧拉法 yi 1 yi h f ( xi , yi ) (i 0,1,) 中，用解函数 y f (x) 在 点 x i 处的斜率 f ( xi , y i ) 计算从 yi 到 y i 1 的增量，y i 1 的表达式 与 y( xi 1 ) 的Taylor展开式的前二项相等，使方法只有一阶精度。 改进的欧拉法用两个点 x i ，x i 1 处的斜率 f ( xi , y i )、f ( xi 1 , yi 1 ) 的平均值计算增量，使方法具有二阶精度，即 y i 1 的表达式 与 y( xi 1 ) 的Taylor展开式的前三项相等。 由此龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法， y (x) 即利用 在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组 合式，选取适当系数使这个组合式进行Taylor展开后与 y( xi 1 ) 的Taylor展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数 值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。
第8章 代数方程和常微分方程求解
8.2 常微分方程求解
求解微分方程必须事先对自变量的某些值规定出 函数或是导数的值。 若在自变量为零的点上，给出初始条件，称为初 值问题，最普遍的自变量是“时间”。例如，弹 性系统的自由振动，若以时间为零来限定位移和 速度，这是一个初值问题。 若在自变量为非零的点上，给出边界条件，称为 边值问题，最普遍的自变量是“位移”。例如， 描述梁弯曲变形的微分方程，边界条件总是规定 在梁的两端。
当 x 0 2 和 y 0 0 条件下的特解。 在此问题中，两个微分方程的MATLAB表达式为： e1：Dx+2*x-Dy=10*cos(t) e2：Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t) 初值条件表达式为： C1：x(0)=2 C2：y(0)=0
8.1 代数方程求解
8.1.1 代数方程图解法
符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解 法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一 维方程或二维方程组。 对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点 所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该 方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没 有解。 例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的 图形（图5-3左图）中可见，函数在区间[-5,5]内 与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个 实根。
M文件运行结果： 采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解： xx (zx)= 1.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 计算残量： r = 1.0e-014 * 0.0888 0.2220 -0.4441 0.1776 计算残量的模： R = 5.3475e-015
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
常微分方程的数值解算法
常微分方程的数值解算法常微分方程的数值解算法是一种对常微分方程进行数值计算的方法，这可以帮助我们更好地理解和研究自然现象和工程问题。
在本文中，我们将介绍一些常用的数值解算法，探讨它们的优缺点和适用范围。
常微分方程（ODE）是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。
然而，对于许多ODE解析解是无法求出的，因此我们需要通过数值方法对其进行求解。
常微分方程可以写作：y' = f(t, y)其中，y是函数，f是给定的函数，表示y随t的变化率。
这个方程可以写成初始值问题（IVP）的形式：y'(t) = f(t,y(t))，y(t0) = y0其中，y（t0）=y0是方程的初始条件。
解决IVP问题的典型方法是数值方法。
欧拉方法欧拉方法是最简单的一阶数值方法。
在欧拉方法中，我们从初始条件开始，并在t = t0到t = tn的时间内，用以下公式逐步递推求解：y n+1 = y n + hf (t n, y n)其中，f（t n，y n）是点（t n，y n）处的导数， h = tn - tn-1是时间间隔。
欧拉方法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它的缺点是在整个时间段上的精度不一致。
程度取决于使用的时间间隔。
改进的欧拉方法如果我们使用欧拉方法中每个时间段的中间点而不是起始点来估计下一个时间点，精度就会有所提高。
这个方法叫做改进的欧拉方法（或Heun方法）。
公式为：y n+1 = y n + h½[f(t n, y n)+f(tn+1, yn + h f (tn, yn))]这是一个二阶方法，精度比欧拉方法高，但计算量也大一些。
对于易受噪声干扰的问题，改进的欧拉方法是个很好的选择。
Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是ODE计算的最常用的二阶和高阶数值方法之一。
这个方法对定义域内的每个点都计算一个导数。
显式四阶Runge-Kutta方法（RK4）是最常用的Runge-Kutta方法之一，并已得到大量实践的验证。
边值问题的数值解法在具体求解常微分方程时-2022年学习资料
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-=323-z2=-x32+4y2?-y20=0, 20=0。-取h=0.02,用经典R-K法分别求这两个方程组解yx和y2x的计算值y1:和-y2i,然后按 8.6.6得精确解-6=,t2=0.x-y21-的打靶法计算值》：，部分点上的计算值、精确值和误差列于表8 12。-版核防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-值得指出的是，对于线性边值问题86.2，一个简单 实用的方法是用解-析的思想，将它转化为两个初值问题：-y"+pxyi+qxy =fx-ya=a,ya=0: 「片+px5+gxy2=0,-ly2a=a,y2a=l。-求得这两个初值问题的解yx和y2x,若y2b≠0 容易验证-a高-8.6.6-为线性两点边值问题8.6.2的解。-例8.7用打靶法求解线性边值问题-版核防行 小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-y”+y-4y=12x2-3x,0<x<1,-1 0=0,y1=2,-其解的解析表达式为yX=x4+x。-解先将该线性边值问题转化为两个初值问题-y0=0, 1=0,-y2+y%-4y2=0,-y20=0,y1=1。-令乙1=2=y?，将上述两个边值问题分别降为一 方程组初值问题-31=-x31+4y1+12x2-3x,-y,0=0,z10=0,-版权防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-表8-12-Xi-yu-y2i-yx-y-yl-0.2--0.002407991-0.204007989-0.2016000053-,0.2016000 00-0.53×10-8-0.4--0.006655031-0.432255024-0.425600008 -0.4256000000-0.80x108-0.6-0.019672413-0.709927571-0. 2960000830.7296000000-0.83×108-0.145529585-1.06407038 -1.2096000058-1.2096000000-0.58x108-0.475570149-1.524 28455-2.00000000002.0000000000-例8.8用打靶法求解线性边值问题-4y"+y =2x3+16,-y2=8,y3=35/3。-要求误差不超过0.5×106，其解析解是yx=x2+8/x。 解对应于8.6.4的初值问题为-版凤防行：小人学数：学烧
第八章_常微分方程初值问题的单步法
为使局部截断误差为O(h ) ,应取
则
k j f ( xi c j h, y( xi c j h)) f ( xi c j h, y( xi ) hc j y( xi )) f ( xi c j h, y( xi ) hc j f ( xi , y( xi )))
f ( xi c j h, yi h a jm km )
f xx f xx ( xi , yi ), f yy f yy ( xi , yi ), f xy f xy ( xi , yi ),
由此得
k1 f , k2 f ( xi c2 h, yi c2 hk1 ) f ( xi , yi ) c2 h( f x k1 f y ) O(h ),
一. Euler方法
a x0 x1 x2 xN 1 xN b, ba x j x0 jh, h , j 1, 2, , N . N
y0 y ( x0 ), yi 1 yi hf ( xi , yi ), i 0,1, , N 1
一阶常微分方程初值问题的数值方法
------单步法
武汉大学数学与统计学院
一阶常微分方程初值问题的一般形式是:
y f ( x, y ), a x b (1) y(a) y0 D {( x, y ) a x b, c y d }
称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz 条件是指:
定理显然得证.
8.1.2 一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutta方法
考虑一阶常微分方程初值问题
y f ( x, y ), a x b, y (a ) y0 ,
常微分方程数值解法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是常微分方程数值解法中最基础的方法之一，其基本思想是通过离散化时间点上的函数值来 逼近微分方程的解。
详细描述
欧拉方法基于微分方程的局部线性化，通过在时间点上逐步逼近微分方程的解，得到一系列离散点上 的近似值。该方法简单易行，但精度较低，适用于求解初值问题。
龙格-库塔方法
总结词
影响
数值解法的稳定性对计算结果的精度和可靠 性有重要影响。
判断方法
通过分析数值解法的迭代公式或离散化方法， 判断其是否具有稳定性和收敛性。
数值解法的收敛性
定义
数值解法的收敛性是指随着迭代次数的增加， 数值解逐渐接近于真实解的性质。
影响
数值解法的收敛性决定了计算结果的精度和 计算效率。
分类
根据收敛速度的快慢，可以分为线性收敛和 超线性收敛等。
判断方法
通过分析数值解法的迭代公式或离散化方法， 判断其是否具有收敛性。
误差分析
定义
误差分析是指对数值解法计算过程中 产生的误差进行定量分析和估计的过 程。
分类
误差可以分为舍入误差、截断误差和 初始误差等。
影响
误差分析对于提高计算精度和改进数 值解法具有重要意义。
分析方法
通过建立误差传递公式或误差估计公 式，对误差进行定量分析和估计。
生物学
生态学、生物种群动态和流行病传播 等问题可以通过常微分方程进行建模
和求解。
化学工程
化学反应动力学、化学工程流程模拟 等领域的问题可以通过常微分方程进 行描述和求解。
经济学
经济系统动态、金融市场模拟和预测 等问题可以通过常微分方程进行建模 和求解。
02 常微分方程的基本概念
常微分方程的定义
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151第八章 常微分方程数值解在工程和科学技术的实际问题中，常常需求解常微分方程。
但由常微分方程理论可知，常微分方程中往往只有少数较简单和典型的方程可求出其解析解。
在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。
这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类则是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似解。
本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==0,y a y y x f dx dyb x a ≤≤ （8.1） 从理论上讲，只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使()()2121,,y y L y x f y x f -≤-则常微分方程存在唯一解)(x y y =。
所谓微分方程数值解，就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点 b x x x x a n n =<<<<=-110处()i x y 的近似值i y ),,1,0(n i =. 相邻的两个节点之间的距离i i i x x h -=+1称为由i x 到1+i x 的步长，通常取为常数h 。
求数值解，首先应将微分方程离散化，常用的方法有： （1） 用差商代替微商 若用向前差商代替微商，即()()()()()i i i i i x y x f x y hx y x y ,1='≈-+ )1,,1,0(-=n i代入（8.1）中的微分方程，则得()1+i x y ()()()i i i x y x hf x y ,+≈152 记)(i x y 的近似值i y ，则由上式右端可计算出)(1+i x y 的近似值，即()i i i i y x hf y y ,1+=+ )1,,1,0(-=n i （8.2）（2） 数值积分法 利用数值积分法左矩形公式()()i i x y x y -+1=()()()i i x x y x hf dx x y x f i i,,1≈⎰+可得同样算法 ()i i i i y x hf y y ,1+=+（3） 用泰勒（Taylor ）公式将函数)(x y 在i x 处展开，取一次Taylor 多项式近似，则得()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+=从而也得到离散化得计算公式 ()i i i i y x hf y y ,1+=+§1 欧拉（Euler ）方法1.1欧拉方法对一阶微分方程（8.1），把区间[]b a ,作n 等分：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 则分点为 ih a x i +=， nab h -=),2,1(n i = 由以上讨论可知，无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式()i i i i y x hf y y ,1+=+并将初值条件代入，则得到数值算法：()()⎩⎨⎧=+=+a y y y x hf y y i i i i 01, ),2,1(n i = （8.3） 称其为欧拉方法。
几何上欧拉方法就是用一条折线近似表示曲线()x y y =（如图8-1）。
因此欧拉方法又称为欧拉折线方法。
153y图8-1 欧拉方法 1.2欧拉方法的误差估计定义1 假设)(i i x y y =为准确值，考虑计算一步所产生得误差，即用某种数值算法计算)(1+i x y 1+i y 所产生的误差()111+++-=i i i y x y R ，称为该数值算法的局部截断误差。
定义2 考虑用某种数值算法计算时，因前面的计算不准确而引起的准确解)(i x y 与数值解i y 的误差，()i i i y x y e -=称为该数值算法的整体截断误差。
设函数),(y x f 充分光滑，问题（8.1）的解()x y 在],[b a 上有二阶连续导数，由泰勒公式有()()h x y x y i i +=+1=()()()i i i y h x y h x y ξ''+'+221=()()i i i i y h y x hf y ξ''++221,所以154 ()111+++-=i i i y x y R =)(212i y h ξ''，1+<<i i i x x ξ （8.4） 定义3 如果一数值解法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该算法为p 阶算法。
当h 充分小时，由（8.4）知欧拉方法的局部截断误差为)(2h O ，因此欧拉方法是一个 一阶方法，计算结果的精度较差。
1.3 改进的欧拉方法由微分方程数值解的三种基本构造方法知，若取不同的差商（如向后差商），不同的数 值积分公式（如梯形公式），以及泰勒公式取前三项、四项等可得不同的算法。
如果用向后差商近似代替导数，则有()()()()()i i i i i x y x f x y hx y x y ,1='≈-- ),,1(n i =即 ()111,)()(++++≈i i i i y x hf x y x y )1,,1,0(-=n i所以有 ()111,++++=i i i i y x hf y y )1,,1,0(-=n i （8.5） （8.5）式称为隐式欧拉公式。
如果用梯形公式计算积分：()()()()()()[]11,,2,1+++≈⎰+i i i i x x x y x f x y x f hdx x y x f i i()()[]111,,2+++++=i i i i i i y x f y x f hy y （8.6） 且 ()111+++-=i i i y x y R = ()ξy h '''-3121（8.7）由于此方程为1+i y 的隐式方程，不易求解。
一般将其与欧拉方法联合使用，可得算法()()()()()()[]⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+++++k i i i i i k i i i i i y x f y x f h y y y x hf y y 111101,,2, （8.8）)1,2,1,0;,2,1,0(-==n i k按式（8.8）计算问题（8.1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将欧拉公式与梯形公式结合使用，即在实际计算中，当h 比较小时，常取一次迭代后的近似值()11+i y 为1+i y ，155于是有改进的欧拉方法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)]~,(),([2),(~1111i i i i i i i i i i y x f y x f h y y y x hf y y )1,2,1,0(-=n i （8.9） 例1 用欧拉方法和改进的欧拉方法求微分方程()[]7.0,0,10322∈⎪⎩⎪⎨⎧==x y xydx dy 的数值解（取h=0.1）。
解 由欧拉方法（8.3），得数值计算公式1+i y =i y ＋0.1×232i i y x 计算结果如表8-1由改进的欧拉方法（8.8），得数值计算公式⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++]~3232[05.0321.0~2112121i i i i i i i i i i y x y x y y y x y y 计算结果如表8-2表8-1x i 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y i 1.0000 1.0069 1.0208 1.0391 1.0628 1.0923 1.1269 1.1643 误差 0.0000 0.0037 0.0077 0.0993 0.0120 0.0151 0.0189 0.0222表8-2x i 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y i 1.0000 1.0033 1.0132 1.0292 1.0506 1.0773 1.1079 1.1422 误差 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0020 0.0101 0.0122 0.0053例2 用欧拉法、改进欧拉法求微分方程数值解（h=0.1）。
156 ⎪⎩⎪⎨⎧=-='1)0(y y x y y解 由欧拉方法（8.3），得数值计算公式1+i y =i y ＋0.1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-i i i y x y 由改进的欧拉方法（8.8），得数值计算公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=-+=+++++)]~~()[(05.0)(1.0~11111i i i i i i i i i i i i i y xy y x y y y y x y y y计算结果如下§2 龙格－库塔（Runge －Kutta ）方法2.1 泰勒展开法由于欧拉方法为一阶方法，为了提高算法的阶，有必要讨论更高阶的方法。
在泰勒展 开式中取更多的项，如取p ＋1项可得p 阶算法。
()p i p i i i i y p h y h y h y y !!221++''+'+=+157()()()i p p i yp h R ξ111!1++++= 其中()k i y ）可用复合函数求导法则计算。
如p=2时得二阶泰勒方法()221(,),[]2!2i i i i i i i i i x y x y h h y y hy y y hf x y f f f +'''''=++=+++⋅2.2 龙格－库塔法为了避免计算高阶导数，龙格－库塔方法利用()y x f ,某些点处的值的线性组合构造计算公式，使其按泰勒公式展开后与初值问题解的泰勒展开式比较，有尽可能多的项相同。
龙格－库塔法的一般形式为：()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++==++++=+h y h x f K h y h x f K y x f K K a K a K a h y y m i m i m i i i m m i i μλμλ,,,222122111 （8.10） 下面以二阶龙格－库塔法为例说明龙格－库塔法的构造过程。
二阶龙格－库塔公式为（8.11）其中221,,λa a 为待定参数。
事实上，将K 2在()i i y x ,处按泰勒公式展开，则()i i i i i y x hf a y hK a hK a y y ,122111+=++=+＋()()()()()],,,,[2222h O y x f yy x hf y x f x hy x f h a i i i i i i i i +∂∂+∂∂+λλ ()()()⎪⎩⎪⎨⎧++==++=+1222122111,,hK y h x f K y x f K K a K a h y y i i i i i i λλ158 ()()()()()()322221,,,,h O y x f y y x f y x f x h a y x hf a a y i i i i i i i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+++λ=()()()()()322221h O x y h a x y h a a x y i i i +''+'++λ 另一方面()()h x y x y i i +=+1=()()()()3221h O x y h x y h x y i i i +''+'+于是为使局部截断误差的阶尽可能高，应使⎪⎩⎪⎨⎧==+2112221λa a a 方程组有无穷多组解，取定参数则得到许多具体的二阶龙格－库塔公式。