《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积体积》
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件(67张)2020-2021学年高一数学人教A版(20
1
PART ONE
核心概念掌握
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体 棱柱 棱锥 棱台
表面积
多面体的表面积就是 S 棱柱表＝ 02 _S__棱_柱_侧__＋__2_S_底____
01 _围__成__多__面__体__各__个__面_ _的__面__积__的__和_______
S
棱锥表＝ 03 _S__棱_锥_侧__＋__S_底__
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例 1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对 角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．
(2)已知棱长均为 5，底面为正方形的四棱锥 S－ABCD 如图所示，求它 的侧面积、表面积．
D．6
解析 S 表＝4× 43×22＝4 3.故选 B.
解析 答案
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角线长为 6，
则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为 1，长方体
的高为 6－2＝2，故这个棱柱的侧面积为 1×2×4＝8.
解析
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例 2 (1)已知高为 3 的三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三 角形，如图所示，则三棱锥 B1－ABC 的体积为( )
A．14
B．12
C．
3 6
D．
3 4
答案
(2)如图，已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1 的中点， F 为 CC1 上一点，求三棱锥 A1－D1EF 的体积．
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(优秀经典公开课课件)
则 E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在 Rt△E1HE 中， E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以 E1E＝3 17. 所以 S 侧＝4×21×(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3 17＝108 17.
[素养聚焦] 通过空间几何体的体积的计算，把直观想象等核心素养体现在解题过程中．
[规律方法] 求几何体体积的常用方法
[触类旁通]
2.已知高为 3 的棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图，则三
棱锥 B-AB1C 的体积为( )
A．41
B．21
C．
3 6
D．
3 4
解析
2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体 究，提升逻辑推理的素养.
的表面积与体积．(重点)
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开 图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系 吗？
A．75
B．250
C．150
D．300
解析 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边
长为 5，所以侧面积为 S 侧＝4×5×15＝300.
答案 D
题型二 简单几何体的体积(一题多解) [例 2] 如图所示，在长方体 ABCD -A′B′C′D′中，用截面截下一个棱 锥 C -A′DD′，求棱锥 C -A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
4．(2019·山东淄博月考)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( B )
A．136π
3 3
AB＝2
3 .设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆
圆心的距离为d，则d＝ R2－r2 ＝ 16－12 ＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4
＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×9 3×6＝18 3.
核心素养系列 (三十六)数学建模——实际问题中的核心素养 以学习过的几何体的体积为基础，通过对实际问题的抽象，转化为数学问 题，体现了数学建模的核心思想.
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝_2_π_r_l___
S圆锥侧＝_π_r_l___
S圆台侧＝π_(_r_1＋__r_2_)l___
3．柱、锥、台和球的表面积和体积
几何体
名称
表面积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
考点三 与球有关的切、接问题
师生 共研
(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的
球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( B )
A．4π
B．92π
C．6π
D．323π
解析 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半
1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积
变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．
解 如图所示，正三棱台 ABC—A1B1C1 中，O1、O 是上、下底面中心，D1、D 是 B1C1、BC 的中点，则 DD1 是斜高． 设 A1B1＝20，AB＝30， 10 则 OD＝5 3，O1D1＝ 3， 3 1 3 2 ∵S 侧＝S 底，∴2(60＋90)· DD1＝ 4 (20 ＋302)． 13 ∴DD1＝ 3. 3 在直角梯形 O1ODD1 中， O1O＝ D1D2－(OD－O1D1)2 13 2 10 2 ＝ 3 －5 3－ 3 ＝4 3 (cm)， 3 3 即棱台的高是 4 3 cm.
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂 料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。
解：（1）因为
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R 2
+(2.5R)2+(3R)2
=21.85R2.
S球=4πR2. 因此，这个盖子的全面 积为S全=(21.85+4π)R2.
课时作业
一、选择题 1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为 2，体对 角线为 6，则这个棱柱的侧面积是 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 (
D )
2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a，则 该三棱锥的表面积是 3＋ 3 2 3 2 A. 4 a B.4a ( A ) 6 2 C. 2 a 3 2 D. 3 a
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 c ' c h ' 2
柱、锥、台、球的表面积和体积
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
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二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
探究 2:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c '
ch'
S锥侧
1 2
ch '
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r，母线长为l，则侧面积
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
例3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
V V 解:
棱锥B1 A1BC1
A1
棱锥B A1B1C1
1 3 SA1B1C1 BB1
1 1 a2 a
七.小结:
1.记住常见几何体的体积公式.
V柱体=sh
V锥体=
1 sh 3
V台体=
1 3
h(s
+
ss'+ s')
V球
=
4 3
πR3
1 4 R2
3
R
2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算
柱，锥，台，球等常见的几何体的体积。
谢 谢 大 家！
（A）2：π （B）3：π （C）4：π （D）6：π
练习4:
2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的（ ）倍。
4 (2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（ ）倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是（1: 2 2 ）。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是（1: 3 4）。
D
C
O
E
A
B
例2. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积.
解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO1=20cm，
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
O2
B
O1
A
O
所以R2=x2+202=(x+9)2+72. 解得x=15(cm).
（A）3 + 3 a2
4
（B） 3 a2
4
（C）3 + 3 a2
2
（D）
3 2
+
3 4
a2SA来自CB5. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，
底面边长为a，该三棱锥的全面积是
（A ）
（A）3
4
3 a2
（C）3 3 a2
2
（B）
3 4
a2
（D）( 3 3 )a2
24
6. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为（ A ）
(5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 ,
4 则两球的直径之差为（ ）
练习5:
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ ）
A 3л
B 4л C 3 3 D 6л
2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相 切。求球的表面积。
小结：
1、多面体的侧面积公式及球的表面 积公式 2、公式的应用 3、数学思想方法——转化、类比、 归纳猜想
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一 个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的 半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周
S圆锥侧= πrl，其中l为圆锥母线长，r为底 面圆半径。
S
l
c=2r
Or
A
（3）圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图 是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R， 母线长为l， 则S圆台侧=π(r+R)l= 12(c1+c2)l，其中r，R 分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为 上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
3 2
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
1 6
a3
O D
C1 B1
C B
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
六.球的体积
V球
=
4 3
πR3
例1. 已知正四棱锥底面正方形 长为4cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积及 P 全面积.（单位：cm2 ）
S c1 c2
r O1 l
R O2
三、球的表面积
球面面积（也就是球的表面积）等于 它的大圆面积的4倍，即
S球=4πR2， 其中R为球的半径.
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
所以圆的半径R=25(cm).
O2
B
所以S球=4πR2=2500π(cm2) O1
A
O
练习：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全 等的小正方体，则表面积增加了（ B ） （A）6a2 （B）12a2 （C）18a2 （D）24a2
3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面 边长为a，该三棱锥的全面积是（ A ）