正态总体均值及方差的假设检验表
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8.2-0单正态假设检验
解 这里方差σ2未知，因此检验统计量为
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
正态总体方差的假设检验
方差计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i mu)^2$，其中$N$是样本数量， $x_i$是每个样本值，$mu$是样本均 值。
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
两个正态总体的假设检验
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
假设检验汇总表
12
m
2 2
{u u (m n 2)}
n
{ u u1 2}
{t t1 (n 1)} {t t (n 1)}t 检验ຫໍສະໝຸດ 1 2 但未知
1 2 0 1 2 0
xy t ~ t (m n 2) 1 1 Sw m n
{u u1 }
已 知
0 0 0
n
~ N (0,1)
{u u }
{ u u1 2}
{t t1 (n 1)} {t t (n 1)}
t 检验
2
未 知
0 0
{ t t1 2 (n 1)}
二、关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表： 检验名称 条件 原假设 H 0 备择假设 H 1 检验统计量及其分布 拒绝域
2
(n 1)S 2
2 0
~ 2 (n 1)
2 2 (n 1)
2 21 ( n 1) 或 2 2 (n 1) 2 2
2 2 0
2 2 0
四、关于两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总成如下的表： 条件 原假设 H 0
{ t t1 2 (n 1)}
三、关于单个正态总体方差的假设检验问题可汇总成如下的表： 条件 原假设 H 0
2 2 0
2 2 0
备择假设 H 1
2 2 0
2 2 0
检验统计量及其分布
拒绝域
已 知
2
( xi )
i 1 2 0
n
2 12 2
2 12 2
FF
双正态总体参数的假设检验
§7.3 双正态总体参数的假设检验设样本1,,1n X X 取自正态总体211(,)N μσ，样本2,,1n Y Y 取自总体222(,)N μσ，两样本相互独立，它们的样本均值分别为∑==1111n i iX n X ，∑==2121n j jYn Y ，样本方差分别为∑=--=112121)(11n i i X X n S ，∑=--=212222)(11n j j Y Y n S 。
一、 关于两个正态总体方差比的假设检验以双侧检验：2221122210::σσσσ≠↔=H H 为例 选用检验统计量2221S S F =，它在原假设0H 成立的条件下服从F 分布)1,1(21--n n F ；记2221s s f O =表示检验统计量F 的样本观测值，则检验的P 值为⎪⎩⎪⎨⎧<=≥≥=≥=1),/1/1(21),(222212221O O O O f f F P f f F P P 如果如果σσσσ这种检验方法通常称为“F 检验”。
例7.3.1 甲乙两台车床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布),(211σμN ，),(2σμN ，从各自加工的轴中分别抽取若干根，测得其直径如下表所示：试问在显著性水平05.0=α下，两台车床加工的精度是否有显著差异？解：（1）依题意，考虑假设检验问题2221122210::σσσσ≠↔=H H （2）用F 检验，检验统计量为)6,7(~02221F S S F H =或)7,6(~/102122F S S F H =；（3）由样本观测值可得2164.021=s ，2729.022=s ，检验统计量的值为793.0/2221==s s f O 。
故检验的P 值为76.038.02)793.0/1/1(22221=⨯==≥=σσF P P 。
（4） 因为05.0>P ，所以不拒绝原假设0H ，即没有充分理由认为两种机床所加工轴的精度有显著差异。
假设检验表-leycon
u u
t t (n 1)
2
未 知
2
T
II III I
~
t
x 0 s/ n
t t (n 1)
t (n 1)
(n 1)S 2 2 0
2
t t ( n 1)
2 2 2 (n 1) ( 2 (n 1), 1 2 2
一 个 正 太 总 体 方 差
u 未 知
II III I
2
2 (n 1)
n
(n 1)S 2 0
2
2 2 1- ( n 1)
2 2 (n 1),
未 知
2
u 已 知
II III
2
(X
i 1
i
)
2
2 2
1
2
2 (n) ( 2 (n), 2
2
方 差 大 为 一 总 体
S2 F 12 S2
F (n1 1, n2 1)
约定大样本来自第 一个总体
F F1 (n1 1, n2 1)
F
2 s1 2 1 s2
F F (n1 1, n2 1)
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2012/12/27
个人呕心之作-请勿商业化使用-CY
u u
u u
2
U
X 0 S/ n
~ N (0,1)
u
x 0 s/ n
u u
代 替
u u
U X Y
2 2 S1 S 2 n1 n 2
u u
u x y
2 2 s1 s 2 n1 n2
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
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或
2 ≤ 02
2 ≥ 02
2 > 02
2 < 02
2 个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 a1=a2
2 12 ， 2
备择假设 H1 a1≠a2 a1>a2 a1<a2 a1≠a2 a1>a2
检验统计量
拒绝域 |U|≥ u( n - 1) a
a=a0 已 知 方差 2
c2 =
1 n 2 x - a0 ) ～c (2n) 2 å ( i s i =1
轾n n 2 2 犏 x i - a0 ) x i - a0 ) 邋 ( ( 犏 i =1 , i =1 犏 骣 骣 a a 犏 c2 琪 c (2n) 琪 1琪 犏 ( n) 琪 2 桫 桫 2 臌
( )
U≥ u( n - 1) 2a
( ) ( )
U≤- u( n - 1) 2a |T|≥ t( n - 1) a
( )
σ 未知
2
a≤a0 a≥a0
T=
x - a0 ～ t( n- 1) S n- 1
T≥ t( n - 1) 2a
( )
( )
T≤- t( n - 1) 2a
2 = 02
a= a0 已 知
(
已知
( )
( )
2 12 = 2
a1≤a2 a1≥a2
T=
未知
Z ～ t( n- 1) S n- 1
T≥ t( n - 1) 2a
( )
( )
T≤- t( n - 1) 2a
单正态总体均值及方差的区间估计(置信度 1-α)
待估参数 条件 检验统计量 拒绝域
2 s 2 =s 0
U=
已知 均值 a
或
骣 a F ≤ F( n1 - 1,n2 - 1) 琪 1琪 桫 2
F ≥ F( n1 - 1, n2 - 1) ( a )
F ≤ F( n1 - 1, n2 - 1) ( a )
F ( n1 - 1, n2 - 1)
2 个配对样本正态总体均值的假设检验表(显著性水平 α)
2 Z=ξ-η～N(a1-a2， 12 + 2 )，Zi=ξi-ηi.
条件
原假设 H0 a1=a2
备择假设 H1 a1≠a2 a1>a2 a1<a2 a1≠a2 a1>a2 a1<a2
检验统计量
拒绝域 |U|≥ u( n - 1) a
2 12 ， 2
a1≤a2 a1≥a2 a1=a2
U=
Z
2 s +s 2 n 2 1
( ) )
～ N(0,1)
U≥ u( n - 1) 1 - a U≤- u( n - 1) 2a |T|≥ t( n - 1) a
轾 1 犏 x - h ? t( n1 +n2 - 2) ( a ) SW 犏 n1 臌
(
)
1 n2
t( n1 +n2 - 2)
2
n2 i a1 n1 i a2
i 1 i 1 n2
n1
2
a1， a2 已 知
12 ～ 2 2 2
轾 骣 a 骣 a 犏 F( n1 ,n2 ) 琪 1A, F( n1 ,n2 ) 琪 A 琪 琪 犏 2 桫 2 桫 臌
2 ≠ 02
1 n 2 c = 2 å ( x i - a0 ) ～c (2n) s 0 i =1
2
骣பைடு நூலகம்a c 2 > c (2n) 琪 琪 或 2 桫 骣 a c 2 < c (2n) 琪 1琪 桫 2
c 2 > c (2n) ( a ) c 2 < c (2n) ( 1 - a )
2 ≤ 02 2 ≥ 02
a1≤a2 a1≥a2 a1=a2 a1≤a2
U=
x -h
2 s 12 s 2 + n1 n2
( ) )
～ N(0,1)
U≥ u( n - 1) 1 - a U≤- u( n - 1) 2a
(
已知
( )
( )
T=
=
2 1
2 2
x -h ～ 1 1 SW + n1 n2
|T|≥ t( n1 +n2 - 2) a
2 1
2 2
(x - h ) - ( a - a ) ～
1
已知 均值 a1-a2
2 12 = 2
s s + n1 n2
2 1
2 2
轾 s 12 犏 x h ? u a 犏 n1 犏 臌
(
)
2 s2 n2
N(0,1)
(x - h ) - ( a - a ) ～
1 2
SW
未知
1 1 + n1 n2
2 > 02 2 < 02
2 = 02
a 未知
2 ≠ 02
nS 2 c = 2 ～c (2n- 1) s0
2
骣 a c 2 > c (2n- 1) 琪 琪 2 桫 骣 a c 2 < c (2n - 1) 琪 1琪 桫 2
c 2 > c (2n - 1) ( a )
c 2 < c (2n - 1) ( 1 - a )
a 未知
c2 =
nS 2 ～c (2n- 1) 2 s0
轾 犏 nS 2 犏 nS 2 , 犏 骣 骣 a a 2 犏 c (2n - 1) 琪 1琪 c ( n - 1) 琪 琪 犏 2 桫 桫 2 臌
2 个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度 1-α)
待估参数 条件 检验统计量 拒绝域
2
，
T≥ t( n1 +n2 - 2) 2a
( ) ( )
未知 a1≥a2 a1<a2
t( n1 +n2 - 2) ,
n S 2 + n2 S 22 SW = 1 1 n1 + n2 - 2
T≤- t( n1 +n2 - 2) 2a
2 12 = 2
2 12 ≠ 2
a1， a2 已 知
2 12 ≤ 2 2 12 ≥ 2 2 12 > 2 2 12 < 2
F ≤ F( n1 ,n2 ) ( a )
2 12 = 2
2 12 ≠ 2
a1， a2 未 知
2 12 ≤ 2 2 12 ≥ 2 2 12 > 2 2 12 < 2
nS n -1 F = ( 1 2) ～ n2 S2 ( n2 - 1)
2 1 1
骣 a F ≥ F( n1 - 1,n2 - 1) 琪 琪 2 桫
F( n1 - 1,n2 - 1)
n S + n2 S SW = ，A= n1 + n2 - 2
2 1 1
2 2
n1å ( x i - a2 ) n2 å ( x i - a2 )
i =1 i =1 n1
n2
2
2
，B=(
( n2 - 1) n1S12
2 n1 - 1) n2 S2
．
1 2 x i - a1 ) å ( n i =1 F= 1 n ～ 1 2 å ( hi - a2 ) n2 i =1
n
骣 a F ≥ F( n1 ,n2 ) 琪 琪 2 桫 骣 a F ≤ F( n1 ,n2 ) 琪 1琪 桫 2
F ≥ F( n1 ,n2 ) ( a )
或
F ( n1, n2 )
x -a ～ N(0,1) s0 n1
轾 s0 s 犏 x u( n- 1) ( a ) ,x + 0 u( n- 1) ( a ) 犏 n n 臌
未知
2
T=
x -a ～ t( n- 1) S n- 1
轾 犏 x 犏 臌
S S t( n- 1) ( a ) ,x + t n- 1 ( a ) n- 1 n- 1 ( )
2 方差 12 2
a1， a2 未 知
F( n1 ,n2 )
( n - 1) n S ( n - 1) n S
2 1
2 1 1 2 2 2
s 12 ～ 2 s2
轾 骣 a 骣 a 犏 F( n1 - 1,n2 - 1) 琪 1B, F( n1 - 1,n2 - 1) 琪 1B 琪 琪 犏 桫 2 桫 2 臌
正态总体均值及方差的假设检验表：
单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 a=a0
2 σ2= 0
备择假设 H1 a≠a0 a>a0 a<a0 a≠a0 a>a0 a<a0
检验统计量
拒绝域 |U|≥ u( n - 1) a
a≤a0 a≥a0 a=a0
U=
已知
x - a0 ～ N(0,1) s0 n1