论牛顿力学与拉格朗日方程的优缺点
牛顿力学和拉格朗日力学的联系和区别
牛顿力学和拉格朗日力学的联系和区别作者：翟晨光来源：《赢未来》2018年第30期摘要：质点力学的问题，既可以用牛顿力学也可以用拉格朗日力学（还有哈密顿原理）中的任何一种基本原理来表述。
经典力学中惟一可以用实验加以验证的是牛顿第二定律，也正是这一定律，构成了牛顿质点力学的基础，而拉格朗日力学却要求抽象的虚位移、虚功，显然这种依赖于思维的原理是不可能用实验加以验证的。
、关键词：牛顿力学；拉格朗日力学；联系；区别下面就两种力学理论的主要联系和区别进行说明：一、两种理论的区别（一）力学规律的比较牛顿力学的基本观念：时间的绝对性与时空分离的观念，使得它只适用于物体运动速度远小于光速的范围，为了摆脱经典概念的束缚，而且成为自然地过渡向非经典力学的桥梁，拉格朗日力学为这种过渡做出了最好的准备。
拉格朗日方程是以达朗伯原理为基础，而达朗伯原理的出发点是牛顿运动方程，后面进行的所有推导都只是改变表述的形式。
如引进广义坐标是为了使变量独立，利用虚功原理是为了去掉约束力的贡献，这些过程既没有增加也没有减少力学规律的内容。
但它得到的力学系统在完全一般性广义坐标描下具有不变形式的动力学方程，概括了比牛顿力学要广泛得多的系统，同时它也提供对力学系统的动力学、稳定性、振动方程作一般性研究的可能，并发展研究了非完整系统，特别是非线性完整系统的研究。
（二）理论研究的切入点的比较拉格朗日力学与牛顿力学的着眼点是不一样的。
牛顿力学方法是以质点为对象，把着眼点放在作用于物体上的外界因素（力），在处理质点系统问题时，须分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动，而拉格朗日在处理问题时，以整个力学系统作为对象，用广义坐标来描述整个力学系统的位形，着眼于体系的能量（如动能和势能）概念。
实际上在拉格朗日表述中没有一处引入过力的概念，这主要是因为能量是标量，并且一系统的拉格朗日函数是不随坐标变化而变化的；在力学系统受到理想约束时，可在不考虑约束力的情况下来解决系统的运动问题；另外牛顿力学用矢量（如力速度、角速度、力矩等）形式来考虑力学系统，而在拉格朗日力学中运动方程完全是在位形空间以标量运算的形式获得的因而往往我们可以把在普通空间中很复杂的运动方程变换到位形空间，并适当选择位形空间可使问题得到很大的简化如求解双摆问题、陀螺运动等等）。
应用拉格朗日方程在求解机器人动力学问题的优点
应用拉格朗日方程在求解机器人动力学问题的优点
机器人动力学问题是指研究机器人在运动过程中受到的各种力
和力矩的作用，以及机器人关节运动的角度、速度和加速度等参数的变化规律。
在机器人控制和设计中，动力学问题是一个非常重要的研究领域。
在求解机器人动力学问题时，常用的方法是应用牛顿-欧拉方程或欧拉-拉格朗日方程。
其中，应用欧拉-拉格朗日方程能够更加简便、快捷地求解机器人动力学问题，具有以下优点：
1. 数学上更加简洁
欧拉-拉格朗日方程是一种用于描述系统动力学的方程，它不仅可以描述机器人的运动，还可以应用于其他物理系统的研究。
相较于牛顿-欧拉方程，欧拉-拉格朗日方程在数学上更加简洁，形式更加优美。
2. 可以考虑非完整约束
机器人运动时受到的约束是非常复杂的，有些约束甚至是非完整约束，这些约束甚至可能导致机器人的运动无法得到完全描述。
但是，欧拉-拉格朗日方程可以更好地考虑这些非完整约束的影响，使得机器人动力学问题的求解更加准确和全面。
3. 适用范围广泛
欧拉-拉格朗日方程不仅适用于机器人动力学问题，还可以应用于其他的物理学问题中，例如弹簧振子、摆锤等。
这意味着，应用欧拉-拉格朗日方程可以更好地将机器人的动力学问题与其他物理学问
题联系起来，使得机器人控制和设计更加全面和综合。
综上所述，应用欧拉-拉格朗日方程在求解机器人动力学问题中具有诸多优点，是一种更加简便、快捷、准确、全面的求解方法。
对拉格朗日力学的评价
对拉格朗日力学的评价拉格朗日力学是经典力学的重要分支之一，它以一种全新的方式描述了物体的运动和力学规律。
相比于牛顿力学，拉格朗日力学更加优雅简洁，具有更广泛的适用性和更深刻的物理意义。
本文将对拉格朗日力学进行全面评价。
拉格朗日力学采用了一种新的数学表达方式，即拉格朗日方程。
拉格朗日方程将物体的运动描述为一种能量的变化，而不是像牛顿力学那样直接描述物体所受的力和加速度之间的关系。
这种能量的观点使得拉格朗日力学更加直观和易于理解。
拉格朗日力学的最重要的特点是它的广泛适用性。
无论是刚体还是弹性体、连续介质还是离散系统，无论是线性问题还是非线性问题，拉格朗日力学都能够给出统一而简洁的描述。
这使得拉格朗日力学成为各个领域中研究物体运动的重要工具。
拉格朗日力学还具有非常强大的计算能力。
通过使用拉格朗日方程，我们可以得到物体的运动方程，从而可以非常方便地求解物体的运动轨迹。
而且，拉格朗日力学还可以通过引入约束等额外条件，将复杂的问题简化为更容易求解的形式。
这使得我们能够更加深入地研究物体的运动特性。
拉格朗日力学还具有非常重要的物理意义。
拉格朗日方程中的拉格朗日函数是描述物体的能量，它包含了物体的动能和势能，以及可能的其他能量项。
通过对拉格朗日函数的分析，我们可以了解到物体所受的各种力和能量之间的关系，从而揭示出物体运动的本质。
这使得拉格朗日力学不仅仅是一种数学工具，更是一种物理规律的表达方式。
拉格朗日力学还具有一些独特的特点。
例如，拉格朗日方程的形式不依赖于坐标系的选择，这使得我们可以方便地选择适合问题的坐标系进行求解。
而且，由于拉格朗日方程中只包含了广义坐标和广义速度，而不包含其他的物理量，因此可以避免一些复杂的计算过程，使得问题的求解更加简洁。
拉格朗日力学是一种非常重要且优雅的力学描述方法。
它通过引入拉格朗日方程，将物体的运动描述为一种能量的变化，具有更加直观和易于理解的特点。
而且，拉格朗日力学具有广泛的适用性和强大的计算能力，使得它成为研究物体运动的重要工具。
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿-欧拉法是两种常用的力学建模和分析方法。
它们都用于解决运动方程，并有各自的独特特点。
拉格朗日法是一种以能量为中心的分析方法。
它通过定义系统的拉格朗日函数来描述系统的动力学行为。
拉格朗日函数是系统动能和势能的差，这样只需考虑系统的总能量即可。
拉格朗日法中使用的变量是广义坐标，不需要引入惯性力。
拉格朗日法的特点是它能够描述复杂的运动系统，将系统自由度降低到最小，减少了问题的复杂性。
使用广义坐标描述运动使得计算更加简洁和直观。
拉格朗日法也具有较好的坐标变换性质，适用于非惯性系。
牛顿-欧拉法是一种以力和加速度为中心的分析方法。
它基于牛顿力学的基本原理，通过分析物体受到的外力和惯性力来推导运动方程。
牛顿-欧拉法中使用的变量是位置、速度和加速度等基本物理量。
牛顿-欧拉法的特点是它更适用于描述大尺度和低速度的运动系统。
由于牛顿-欧拉法依赖于速度和加速度，用于描述刚体和机械系统更为方便。
牛顿-欧拉法也更容易与实际问题的观测结果相结合，因为它更直接地涉及到已知的力和加速度。
拉格朗日方程
拉格朗日方程是理论力学中非常重要的方程。
像牛顿力学一样，它是对机械系统的描述。
但是与牛顿力学不同，他从整个系统的角度分析了系统的运动状态，而牛顿力学则分别分析了每个粒子。
这两种方法是等效的，可以相互推论，但使用方案却大不相同。
拉格朗日方程以数学物理学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）的名字命名，是分析力学中的重要方程，可用于描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
假定一个物理系统满足一个完整系统的要求，即所有广义坐标彼此独立，则拉格朗日方程式为：其中，是拉格朗日量，广义坐标，时间函数和广义速度。
以分析力学为指导，有三种方法可以指导拉格朗日方程。
最原始的方法是使用D'Alembert原理来指导Lagrange方程（请参阅D'Alembert原理）。
在更高级的水平上，拉格朗日方程可从哈密顿原理（指哈密顿原理）推导。
最简而言之，它可以通过数学变分方法的欧拉-拉格朗日方程推导：集合函数sum：,,,;哪里是自变量。
如果该函数获得局部平稳值，则Euler-Lagrange方程将保持在区间。
现在，进行以下变换：将自变量设置为时间，将函数设置为广义坐标，并将函数设置为拉格朗日量，从而可以获得拉格朗日方程。
为了满足此转换的正确性，广义坐标必
须彼此独立，因此系统必须是完整的系统。
拉格朗日量是动能减去势，势必须是广义势。
因此，该系统必须是单人系统。
经典力学中的拉格朗日力学方法简介
经典力学中的拉格朗日力学方法简介自古以来，人类一直在探索自然定律，经典力学即为其中一个分支。
经典力学是研究物体运动规律的科学，其中拉格朗日力学方法是解决物体运动问题的重要工具。
本文将简要介绍拉格朗日力学方法的基本概念，以及其在经典力学中的应用。
一、拉格朗日力学方法是什么？拉格朗日力学方法是经典力学中一种研究物体运动的方法，与牛顿力学方法是等价的，但从不同的角度出发。
拉格朗日力学方法基于哈密顿原理，即运动物体沿着满足最小作用量的路径运动。
由此，可以得到物体的运动方程。
拉格朗日力学方法有以下几个优点：1、可以处理复杂系统的运动问题，例如多体系统、非惯性系等。
2、可以很方便地保持能量守恒和动量守恒，使问题的研究更加方便。
3、可以借助虚功原理很容易地处理约束系统问题。
拉格朗日力学方法也有一些缺点，例如处理非线性问题时比较复杂，需要使用数值方法等。
二、拉格朗日力学方法的基本原理在拉格朗日力学方法中，运动的物体可以由广义坐标$q_1,q_2, ..., q_n$表示，其中$n$为系统的自由度。
广义坐标可以是物体的位置，也可以是位形描述中的其它参数。
物体在广义坐标下的运动可以由拉格朗日量$L(q,\dot q ,t)$表示，其中$\dot q$表示广义坐标的一阶导数， $t$为时间。
拉格朗日量是与系统运动有关的函数，体现了物体的势能和动能之间的关系。
根据哈密顿原理，系统动力学过程中总作用量应该是一个极小值。
根据此原理可以得到拉格朗日力学方法的基本方程，即欧拉-拉格朗日方程：$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partialL}{\partial q_i}=Q_i$$其中$Q_i$为拉格朗日约束力。
欧拉-拉格朗日方程是求解拉格朗日力学问题的基础，它可以根据问题的实际情况引入不同的约束条件。
在实际问题中，通常需要根据拉格朗日量的具体形式来确定问题中的广义坐标。
理论力学的课程研究报告
理论力学的课程研究报告理论力学是一门理论基础课程，在物理学、工程学等领域起着重要的作用。
本篇报告将对理论力学课程进行研究和总结。
理论力学课程主要涵盖牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学三个部分，主要学习物体受力学的基本规律以及运动的规律。
通过这门课程的学习，可以深入了解运动物体的力学特性，从而对各种物理现象和工程问题进行分析和解决。
首先，牛顿力学是理论力学的基础，它通过牛顿三定律描述物体受力和运动的规律。
学习这一部分，我们可以了解到质点和刚体的运动特性以及力的作用方式。
熟练掌握牛顿三定律及其应用，可以准确描述和分析物体的运动轨迹，并解决与运动相关的问题。
其次，拉格朗日力学是对牛顿力学的进一步推广和发展。
它以一种更抽象的方式描述物体的运动，引入广义坐标和广义力。
拉格朗日力学通过建立拉格朗日方程，可以用更简洁的数学形式描述系统的运动，对于复杂系统的分析尤为有用。
掌握了拉格朗日力学，可以更深入地理解物体的运动规律，并应用于各种物理问题的研究。
最后，哈密顿力学是对拉格朗日力学的又一种表述方式。
哈密顿力学引入了广义动量和哈密顿函数，通过哈密顿方程描述系统的演化。
相较于拉格朗日力学，哈密顿力学更适用于能量守恒和瞬时性质的研究，能够提供更多问题的解析解。
哈密顿力学在量子力学和统计力学中有广泛的应用，掌握了哈密顿力学，可以进一步拓展自己的理论物理知识。
除了牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学的基本理论，理论力学课程还包括刚体力学、运动学和动力学、孤立性和守恒性、稳定性和非线性振动等内容。
通过这些内容的学习，可以全面了解物体力学特性的各个方面，培养解决实际问题的能力。
综上所述，理论力学是物理学和工程学中一门重要的基础课程，通过学习这门课程，可以深入了解物体受力和运动的规律，掌握牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学的基本理论，提高分析和解决实际问题的能力。
希望通过本篇报告的研究和总结，能够对理论力学课程有一个清晰的认识，并对相关领域的研究和应用提供一定的指导。
拉格朗日机动力学
拉格朗日机动力学拉格朗日机动力学是研究系统运动的一种数学方法，其核心是拉格朗日方程。
它与牛顿力学是两种等效的力学理论，但拉格朗日机动力学更加优美、简洁，而且适用于非惯性参考系下的力学问题。
拉格朗日机动力学广泛应用于天体力学、量子力学、统计力学等物理学领域。
拉格朗日机动力学的基本假设是：系统的运动可以用一组广义坐标$q_1,q_2,…,q_n$表示，这些坐标可以是位置、角度、时间等物理量。
系统的动力学规律可以用拉格朗日函数$L(q_1,q_2,…,q_n,\dot{q}_1,\dot{q}_2,…,\dot{q}_n,t)$表示，其中$\dot{q}_i=\frac{dq_i}{dt}$是广义坐标$q_i$对时间$t$的导数。
拉格朗日函数$L$的形式是由系统的能量和运动方式所决定的，它是广义坐标及其时间导数的函数。
在拉格朗日机动力学中，系统的运动被看成是一个能量最小化的过程，即拉格朗日函数$L$的作用量$I$必须最小化。
定义作用量$I$为$$I=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t) dt$$其中$t_1$和$t_2$是某一运动过程的起止时间。
基于变分法，可以证明，在所有可能的广义坐标$q(t)$和广义速度$\dot{q}(t)$的运动曲线中，使得$I$取最小值的曲线就是系统真实的运动曲线。
这样，系统的运动规律就可以用最小作用量原理表述为：系统在所有可能的运动曲线中选择使得$I$取最小值的一条曲线。
为了得出系统真实的运动曲线，需要使用拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以用来描述系统的运动规律，它是作用量$I$的极值问题的欧拉-拉格朗日方程，给出了广义坐标$q$和广义速度$\dot{q}$的微分方程：$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partialL}{\partial q_i}=0$$其中$i=1,2,…,n$。
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论牛顿力学与拉格朗日方程的优缺点
拉格朗日力与牛顿力学学并非是在力学中的两大体系，也不是在力学里建立的新的理论，反而拉格朗日力学是在力学中引入广义坐标和虚功原理将牛顿力学的进一步拓展，它们在力学范畴内所包含的内容完全等价，但不过是解决问题的出发点不一样.
1、从牛顿力学出发来看这个问题，而牛顿力学的核心在于牛顿第二定律，牛顿力学为求解力学问题提供可靠而有效的方法，但在实际生活中，用牛顿力学研究质点系统的运动却不尽人意。
其一，在它表达方式上有时显得十分复杂。
其二，力学方程组包含大量的微分方程，在处理约束问题时，虽然独立变量减少了，可相关约束方程又增加了，加大了解决问题的难度。
比如：对于有n个质点所组成的受到K个约束条件限制的力学体系，用牛顿力学求解则需3N+K个方程联立求解，而采用拉格朗日方程则只需3N-K个方程，然而，粗看感觉没多大优越之处，但约束越多，则拉格朗日越显其锋芒。
2、拉格朗日力学是牛顿力学的拓展形式，但在处理问题时的着
眼点不同。
牛顿力学的方法是以质点为对象，着眼点放在作用在物体上的外在因素（受力情况），在处理问题是，先考虑各个质点的受力，然后类似推断怎个系统的运动，然而拉格朗日力学是以整个力学系统为对象，通过广义坐标来描述质点的位形，着眼于对整个系统的能量概念。
因此，在用拉格朗日力学处理力学问题时，撇开了牛顿力学是矢量，解决问题是既要注意其大小再要注意其方向，所以采用能量（标量）来解决问题，这就降低问题
的难度。
但拉格朗日方程得到的各种表达式的物理图像，又不如牛顿力学那样简单直观。
3、牛顿力学与拉格朗日力学相互联系，但其基本观念并不相同。
牛顿力学的基本观念：时间的绝对性欲时空分离的观念，使它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。
拉格朗日是以达朗伯原理为基础，而达朗伯原理出发点是牛顿方程，其推导只是改变形式。
比如引入广义坐标使变量独立，利用虚功原理去掉约束力的贡献。
总之：拉格朗日力学只是选择从另外角度来研究力学，其与牛顿力学等价，在处理问题时各有优缺，只有在适当的地方合适选择才使问题变得简单！！。