求未知参数置信区间一般方法
置信区间的计算与应用
置信区间的计算与应用一、引言置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
通过计算样本数据的统计量，可以得到一个区间，该区间内有一定的概率包含了总体参数的真实值。
本文将介绍置信区间的计算方法和应用场景。
二、置信区间的计算方法1. 样本均值的置信区间当总体标准差已知时，样本均值的置信区间可以通过以下公式计算：置信区间 = 样本均值± Z * (总体标准差/ √n)其中，Z为给定的置信水平对应的Z值，n为样本容量。
当总体标准差未知时，可以使用样本标准差代替总体标准差，计算方法如下：置信区间 = 样本均值± t * (样本标准差/ √n)其中，t为自由度为n-1的t分布对应的t值。
2. 总体比例的置信区间当样本容量较大时，可以使用正态分布来计算总体比例的置信区间。
计算方法如下：置信区间 = 样本比例± Z * √((样本比例 * (1-样本比例)) / n) 其中，Z为给定的置信水平对应的Z值，n为样本容量。
当样本容量较小时，可以使用二项分布来计算总体比例的置信区间。
计算方法如下：置信区间 = 样本比例± Z * √((样本比例 * (1-样本比例)) / n) 其中，Z为给定的置信水平对应的Z值，n为样本容量。
三、置信区间的应用场景1. 市场调研在市场调研中，我们常常需要估计某一产品的市场份额。
通过抽取一定数量的样本进行调查，可以计算出总体比例的置信区间，从而估计出产品市场份额的范围。
2. 医学研究在医学研究中，我们常常需要估计某一治疗方法的有效性。
通过随机抽取一定数量的患者进行治疗，并观察其疗效，可以计算出样本均值的置信区间，从而估计出治疗方法的有效性的范围。
3. 质量控制在质量控制中，我们常常需要估计某一生产过程的平均值或比例。
通过抽取一定数量的样本进行检验，可以计算出样本均值或比例的置信区间，从而估计出生产过程的平均值或比例的范围。
四、总结置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
置信区间 计算方法
置信区间计算方法
置信区间，也称为可信区间，是用来估计参数真值的一个重要统
计学概念。
在统计学分析中，我们通常无法直接得到总体参数的真值，因此需要通过样本数据对其进行估计。
而置信区间指的是样本统计量
的一个范围，该范围内有一定置信度（通常为95%或99%）包含了总体
参数真值的可能性。
下面将介绍置信区间的计算方法。
置信区间的计算方法基于正态分布或者t分布，具体计算步骤如下：
1. 确定置信水平（通常为95%或99%），转换为显著性水平（通
常为0.05或0.01）。
2. 根据样本数据计算统计量的值，比如平均数或者比例等。
3. 计算标准误差，即统计量的标准差除以样本量的平方根。
4. 确定分布类型。
如果总体参数的分布已知且符合正态分布，应该使
用z分布；如果总体参数的分布未知或者不符合正态分布，应该使用t 分布。
5. 根据分布类型和显著性水平确定临界值。
临界值告诉我们在某个置
信水平下，多少的观测值会出现在计算得到的置信区间之外。
6. 计算置信区间。
统计量的值加减分布类型对应的临界值与标准误差
的乘积，即可得到置信区间的上限和下限。
以上是常见的置信区间计算方法，需要注意的是不同的分布类型
和显著性水平会影响置信区间的宽度和准确性。
因此，在使用置信区
间进行参数估计时，需要根据实际情况进行合理的选择和判断。
置信区间 计算方法
置信区间计算方法置信区间是统计学中常用的概念，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，只能通过样本来推断总体的特征。
因此，置信区间的计算方法就显得尤为重要。
置信区间的计算方法主要分为两种：参数估计法和非参数估计法。
参数估计法是指利用样本数据来估计总体参数，并根据样本的大小和总体的分布情况，计算出置信区间。
其中，最常用的是t分布法和z分布法。
t分布法适用于样本量较小（小于30）的情况，其计算公式为：置信区间 = 样本均值 ± t值 × 标准误差其中，t值需要根据样本量和置信水平来查表得到，标准误差则是样本标准差除以样本量的平方根。
z分布法适用于样本量较大（大于30）的情况，其计算公式为：置信区间 = 样本均值 ± z值 × 标准误差其中，z值需要根据置信水平来查表得到，标准误差同样是样本标准差除以样本量的平方根。
非参数估计法则是指利用样本数据的排序信息来估计总体分布，并根据样本的大小和总体的分布情况，计算出置信区间。
其中，最常用的是Bootstrap法和Jackknife法。
Bootstrap法是一种基于重复抽样的方法，其计算步骤如下：1. 从样本中有放回地抽取n个样本，组成一个新的样本。
2. 计算新样本的统计量（如均值、中位数等）。
3. 重复步骤1和步骤2，共进行B次。
4. 根据B次计算结果，计算出置信区间。
Jackknife法则是一种基于留一法的方法，其计算步骤如下：1. 对于样本中的每一个数据，分别将其从样本中删除，得到n个新样本。
2. 计算每个新样本的统计量（如均值、中位数等）。
3. 根据n个新样本的统计量，计算出样本的偏差。
4. 根据样本的偏差，计算出置信区间。
置信区间的计算方法是统计学中的重要内容，不同的方法适用于不同的情况。
在实际应用中，我们需要根据样本的大小和总体的分布情况，选择合适的方法来计算置信区间，以获得更加准确的估计结果。
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
置信区间估计方法
置信区间估计方法
置信区间估计方法是统计学中一种常用的区间估计方法，它通过构造一个置信区间来估计未知参数的取值范围。
这个区间通常包含了未知参数的真实值，并且随着置信水平的提高，这个区间的长度也会相应地缩短。
在应用置信区间估计方法时，我们首先需要选择一个合适的置信水平，通常为95%或99%。
然后，根据样本数据和选定的置信水平，计算出置信区间的上下限。
这个计算过程可以通过一些常见的统计软件或在线工具来完成。
置信区间估计方法在许多领域都有广泛的应用。
例如，在医学研究中，我们可以通过置信区间估计方法来评估治疗效果的有效性，并确定治疗方案的适用范围。
在经济学中，置信区间估计方法可以用于预测模型的误差范围和评估政策效果的不确定性。
在社会科学中，它可以帮助我们了解社会现象的发展趋势和变化范围。
值得注意的是，置信区间估计方法也存在一些局限性。
例如，当样本量较小或者数据不符合正态分布时，置信区间估计的结果可能会存在较大的误差。
此外，置信区间估计方法也不能提供关于单个观测值的预测或决策。
综上所述，置信区间估计方法是一种实用的统计方法，它可以用于估计未知参数的取值范围，并且在许多领域都有广泛的应用。
然而，在使用置信区间估计方法时，我们也需要注意其局限性，并根据实际情况选择合适的方法来进行参数估计。
置信区间知识
s125 试由试验结果求EX的置信水平为99%的近似置信
区间
解 由题设x17.84 s125 n100 给定001
查附表u/22.56 计算可得
x u /2
s 17.840.32 n
故的置信水平为99%的近似置信区间为(1752 1816)
由
P12 / 2(2n)
2n
X
2/2(2n)
1
经不等式变形得
P
2nX
2/2(2n)
2nX
2 1
/2(2n)
1
于是
2nX
2/2(2n)
,
2nX
2 1
/2(2n)
为所求置信区间
11
三、正态总体参数的置信区间
1 均值的置信区间 (1)方差 2已知的情形
根据例512 在 2已知的条件下 的1置信区间为
T X
S/ n
渐近服从N(0 1) 于是的近似置信区间为
X u/2
S n
,
X
u /2
S n
26
例519 某厂新研究开发了某类设备所需的关键部件，
现无法确定此部件的的连续使用寿命X(单位 kh)所服从的
分布类型 通过加速失效试验法 测试100个此类部件的连
续使用寿命 测得样本平均值为x17.84 样本标准差为
P|
Xp p(1 p)/n
|
u
/
2
1
经不等式变形得 P{ap2bpc0}1 其中
a n(u/2)2 b 2nX (u/2)2 c n(X )2
又由a0知ap2bpc0等价于p1pp2 其中
p1
1 2a
(b
b2
4ac
求未知参数置信区间一般方法
求未知参数置信区间一般方法未知参数的置信区间是统计学中一种重要的概念，用来衡量样本估计值的不确定性。
一般方法包括点估计、置信区间估计和假设检验。
在本文中，我们将重点介绍置信区间估计的一般方法。
置信区间估计是用样本估计值构造区间估计，以描述未知参数的可能取值范围。
它包括点估计和间隔估计两个部分。
点估计是用样本统计量估计未知参数的具体值，而置信区间估计则是在点估计基础上，给出未知参数可能的取值区间。
构造置信区间的一般步骤如下：1.选择一个合适的概率分布假设：在进行置信区间估计之前，需要选择适当的概率分布假设，以确定参数的分布。
一般来说，如果样本容量较大，可以使用正态分布进行近似；而对于小样本容量，可以使用t分布。
2.确定置信水平：置信水平描述了对参数估计的可信程度。
常见的置信水平有95%和99%。
一般来说，置信水平越高，置信区间就越宽。
3.计算样本统计量：使用给定的样本数据计算出所需的样本统计量，比如样本均值、样本比例等。
这些统计量可以作为点估计。
4.计算标准误差：标准误差是样本估计值与真实参数值之间的平均差异。
它可以用来估计置信区间的宽度。
标准误差可以使用公式计算，也可以通过抽样方法进行估计。
5.确定置信界限：根据所选的概率分布，计算出相应的临界值。
临界值分为两个，分别对应于置信区间的下限和上限。
一般使用正态分布或t 分布的分位数。
6.构造置信区间：使用估计值、标准误差和置信界限，可以构造出一个包含未知参数真实值的区间。
这个区间就是所求的置信区间。
需要注意的是，置信区间并不是参数的真实取值区间，而仅仅是对其可能取值的一个估计。
在统计学中，我们不能确定未知参数的真实值，只能通过样本数据进行估计。
总结起来，构造未知参数的置信区间所使用的一般方法包括：选择概率分布假设、确定置信水平、计算样本统计量、计算标准误差、确定置信界限和构造置信区间。
这些方法可以帮助我们理解样本估计值的不确定性，并提供了对未知参数可能取值范围的估计。
置信度(置信区间计算方法)
引例 已知 X ~ N ( ,1), 的无偏、有效点估计为 X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据
所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch73
a
68
如引例中，要找一个区间,使其包含 的
真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
+
22)
的样本
Z XY,
SZ 2n1 1i n1(XiYi)(XY)2
仿单个正态总体公式(2) 1 2 的置信区间为
(XY)t(n1)SZ (8)
ch73
2
a n
92
(5)
方差比
2 1 2 2
的置信区间 ( 1 ,
2
未知)
S12
取枢轴量
FSS1222
/12 /22
12 S22
~F(n1,m1)
2
22(n)1
得 2 的置信度为1置信区间为
n (Xi )2 n (Xi )2
i1
, i1
(3)
ch73
2(n)
2
1a22(n)
82
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
选取 K(n 12)S2 ~2(n1) 则由
P (1 2 2(n1 2 )S2 2 2)1
0.15 0.125
X~N(1,n12),Y~N(2,m 22) X , Y 相互独立,
(XY)(12)~N(0,1)
2 1
22
nm
1 2 的置信区间为
(XY)z 2
2 2
12, nm
(XY)z
2
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f /2 (x) x
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 6/9
设 X1, X2,, Xn 为总体 X ~ N(, 2) 的样本 , , 2 均 未知. 的置信水平为1 的置信区间
(X
S n
t
/
2
(n
1))
2 已知, 的置信水平为1 的置信区间
(9.5 0.98) (8.52, 10.48)
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 4/9
设 X1, X2,, Xn为来自总体 X ~ N(, 2) 的样本,
, 2均未知,,求2 的无2 的偏置估(n信计1水2分)S平2别~视为为为21X(n“,S1等2的,) 且价置符形信式区运间算. ”
等价地有
P
|
X S
/
n
|
t
/
2
(n
1)
1
P{ X
S n
t / 2(n 1)
X
S n
t /2(n 1)} 1 Nhomakorabea故 的置信水平为1 的置信区间为
(X
S n
t
/
2
(n
1))
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 3/9
试验中,用老工艺进行了 8 次试验,计算出得率的 x 91.73,
样本方差 s12 3.89 ;又用新工艺进行了 8 次试验,计算出得 率的平均值 y 93.75,样本方差 s22 4.02 .假定老、新工艺
的得率分别为 X ~ N(1, 2 ),Y ~ N(2, 2 ), 两样本相互独立. 试求 1 由2题的给置条信件水有平n为1 0看n.92似5的新8置,工t0信.艺025区能(1间4提).高2得.14率48
1 2 ( X Y
2) )n1St1(n1nn11n2122n)1S2
1
n1
1
n2
t / 2(n1 n2 2)
t第/ 2七(n章1 n参2数12估)计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 9/9
为了提高某化学产品得率,试采用新工艺.在对比
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 5/9
求未知参数 的置信区间的一般方法
设 是待估计的未知参数， 是其它的未知参数
求, 的较好的点估计ˆ,ˆ
构造样本函数
一般运用抽样分布定理
W W (,ˆ,ˆ) ~ f (x)
对于给定的置信水平1 ，由 f (x) 确定两个分
S n
t / 2 (n 1))
由题给数据计算得
8.52~10.48
n 5, 0.05,t /2(n 1) t0.025(4) 2.7764
ˆ
x
9.5,
s2
1 4
(1
0
0.25
0.25
1)
0.625
故 的 0.95 的置信区间为
e | ˆ | 20.98 1.96
(X
S n
t
/
2
(n
1))
未知, 2的置信水平为 1的置信区间
(n 1)S 2
2 / 2 (n 1)
,
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 7/9
设产品的某质量指标
X
~
N
(1
,
2 1
)
由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或技术革
从甲地发送一个电讯号到乙地，设发送的讯号值
为 ,由于噪声干扰使得乙地接收的讯号值 X ~ N(, 2 ). 设 甲地发送讯号 5 次,乙地收到的讯号值为
8.5, 9.5, 10, 9, 10.5
试给出 的置信水平为 0.95的区间估计. 由上例, 的置信水平为 0.95 的置信区间为
(X
F / 2 (n1
1 1, n2
, 1)
S12 S22
1
F1 / 2 (n1 1, n2
1)
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 10/9
随机地从 A, B 两批导线中各抽取 4 根和 5 根,分 别测得电阻 ()为
A 批 : 0.143 , 0.142 , 0.143 , 0.137
B 批 : 0.140 , 0.142 , 0.136 , 0.138 , 0.140
设 A, B 两批导线的电阻分别为 X ~ N(1, 2 ) , Y ~ N( 2, 2 ). 试求 1 2 的 95%的置信区间,并问两批导线电阻是否有
分布密度f (x已) 知,且
数P{f1,而 /2不 W含(其,它ˆ,ˆ) f /2} 不1含任何未知参数
等价地 未知参数
/2
/2
P{ } 1 的置信区间为 ( , )
f 1 /2 (x)
f /2 (x) x
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 2/9
新等因素的影响，使得产品质量指标可能发生变化，此时
该产品的质量指标应为 Y
~
N
(
2
,
2 2
)
为了了解产品质量指标有多大的变化，需要考虑
的统计推断问题
1
2,
2 1
/
2 2
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 8/9
Y1,Y2 ,,Y设n2是X来1, 自X2总,体, XYn1 是~ N来(自2,总 2体) 的X样~本N(,两1,样2 )本的独样立本,,
§5 正态总体均值与方差的区间估计 11/9
设 X1, X2 ,, Xn1为来自总体 X ~ N (1,12 )的样本, Y1,Y2 ,,Yn2为来自总体 Y ~ N (2,22 )的样本，两样本独立,
其样本均值和样本方差分别为 X ,Y , S12 , S22 .试求12 /22的置信 水平为 1 的置信区间.
1, 2,12 ,22的无偏估计分别为 X ,Y , S12 , S22,且
S12 / S22
12
/
2 2
~ F(n1 1, n2 1)
/2
12 ~ S12
1
/2
2 2
S22 F (n1 1, n2 1)
故
12 22
的置信度为
1
的置信区间为
S12 S22
显著差异？
1
2
(X
的(XY1)SYt)置n/121((信n11n1区2n2间2) 为2~)t(Sn1
n2
1
n1
2)
1
n2
具体计算得
x 0.14125, y 0.1392
1 2的置信区s12 间 8为.251016,s22 ~(5X.2Y1)06t(n1 n2 2) S
s2
(n1
1)s12
n1
(n2 1)s22
n2 2
3.96
,
s
s2
1.99
求得 1 2的置信度为 0.95的置信区间为
(x y) t0.025 (14)S
1 8
1 8
(4.15, 0.11)
新工艺是否能显著提高产品得率
0 (4.15, 0.11) 1 2 故不能认为新工艺显著提高了第产七章品得参率数估计
设 X1, X2,, Xn 为总体 X ~ N(, 2) 的样本 , , 2 均 未知.试求 的置信水平为1 的置信区间.
, 2 的无偏估计分别为 X , S2 ,且
X ~ t(n 1)
S/ n
故对于给定的置信水平 1 , 查表可求得 t /2 (n 1) 使得
( X Y ) (1 2) ~ t(n1 n2 2)
S
故改1为 分2 位的形数置式信上度有为
1改n11为的n不12 置等信号区间为
改为分位数
P
(
X
Y
)
t(n1n(2(12X)S2Y)n1)~1(tXn12/
2(Yn1)nt(2n1 2)n2S
故 2 的置信怎水样平直为接1写出的置置信信区区间间为
仍用这个
改为分位数(n
2 /
2 (1n)(Sn221()n1,)S1)21(2n~
12)S 2 区间行否？ /2 (n改1为) 不等号
若 已知, /2 2的置信区间是什么
2 的置2 的信区MPL间E利为为(用n2 /2S下(1n2)S述1221)1n/n分22(/Sin2nX布(121n()/)2X能,ni 否~11(22nn求)NS22///222,(1(出2((0n且)n/n,2S1)1))21n)2S的22置~1信2 区(n)间
§5 正态总体均值与方差的区间估计 1/9
求未知参数 的置信区间的一般方法
设 是待估计的未知参数， 是其它的未知参数
求, 的较好的点估计ˆ,ˆ
构造样本函数
一般运用抽样分布定理
W W (,ˆ,ˆ) ~ f (x)
对于给定的置信水平1 ，由 f (x) 确定两个分
位点 f1 W/ 2 ,只f /包2，含使未得知参