8第八章-系统仿真结果分析

8第八章-系统仿真结果分析第八章 系统仿真结果分析采用统计方法来估计系统的性能，利用统计分析方法要求样本数据具有统计独立性，但实际上在很多情况下这个条件并不能满足。

解决这一难题的途径无非两条：一是对样本序列进行处理，使之尽量满足统计独立性条件；二是在经典统计方法的基础上进行修正使之适合于处理相关的样本序列。

终态仿真是指仿真实验在某个持续事件段上运行。

稳态仿真则是通过系统的仿真实验，希望的得到一些系统性能测度指标在系统达到稳态时的估计值。

有必要采用方差减小技术，即在相同的仿真运行次数下获得较小方差的仿真输出结果。

§8.1终态仿真的结果分析8.1.1 重复运行法所谓重复运行方法是指选用不同的独立随机数序列，采用相同的参数、初始条件以及用相同的采样次数n 对系统重复进行仿真运行。

对于一终态仿真的系统，由于每次运行是相互独立的，因此可以认为每次仿真运行结果()n i X i ,,2,1⋅⋅⋅=是独立同分布的随机变量，是服从正态分布的随机变量。

随机变X 量的期望值E (X )地估计值μ为：nn S t Xnj n jn/)(211,112∑=--±=αμ(8.1)其中， ()[]()1/)(212--=∑=n X n X n S nj j(8.2)∑==nj jnXX 11 (8.3)α为置信水平。

根据中心极限定理，若产生的样本点X j 越多，即仿真运行的次数越多，则X j 越接近于正态分布，因此在终态仿真中使用仿真方法运行的重复次数n 不能选取得太小。

8.1.2序贯程序法在终态仿真结果分析得重复运行法中，通过规定次数得仿真 可以得到随机变量取值的置信区间，置信区间的长度与仿真次数的平方根成反比。

显然，若要缩小置信区间的长度就必然增加仿真次数n 。

这样就产生了另一个方面的问题，即在一定的精度要求下，规定仿真结果的置信区间，无法确定能够达到精度要求的仿真次数。

这样就可以对置信区间的长度进行控制，避免得出不适用的结论。

一般说来，在同样精度要求下，采用序贯程序法得出的仿真重复运行次数比利用解析法得到的次数要少。

由式(8.1)可知，样本X 的100(1-α)%置信区间的半长为：()X t n ))σβα⋅=-2/,1(8.4) 式中 ()n S X /=))σ(8.5)S 为样本的标准差，n 为重复运行次数。

设给定一准确的临界值ε，即限定置信区间的长度为[]εε+-X X )),，并给定精度(1-α)。

为了达到此精度要求，需要取足够大的仿真运行次数n ，使之满足：αε-≥<-1)(X X P )(8.6)假设仿真已经重复运行了n 0次(n 0≥2)，为了满足置信区间半长的临界值，必须选择重复运行次数n ，使得：n ≥n 0(8.7)且 εβα≤⋅=-nS t n 02/,1(8.8)初始运行仿真运行的次数应当至少大于2，最好取4或5。

由式8.8可以推出n 应当满足()202/,1εαS t n n ⋅-≥(8.9)显然n 的解就是满足式8.9的最小整数。

(){}202/,1: min εαS t n i i n ⋅-≥=(8.10)注意这里假定n 次独立重复运行结果总体方差σ2的估计值S 2(n )随着增加n 次运行没有显著的变化，因此可以用n 0的总体方差代替。

实际上，利用0n 次仿真运行的方差)0(2n S 来替代n 次仿真运行的方差，会使得计算得出的n 值偏大。

为了消除这种影响，一般采用序贯程序法，其步骤为：1） 预定独立仿真运行的初始次数20≥n ，置n=0n ，独立运行n 次； 2） 计算该n 次运行的样本n X X X ,,2,1K 以及相应的)(2n S ；3） 利用下式计算β值nn S n t )(2/,12•-=αβ如果εβ≤，则得到置信度为α-1的满足精度要求的置信区间[]ββ+-)(,)(n X n X ，从而确定了相应的仿真次数n ；4） 否则令n=n+1，进行仿真得到样本值1+n X ； 5） 返回步骤2）。

8.2稳态仿真的结果分析研究系统的稳态性能，需要研究一次运行时间很长的仿真。

在仿真运行过程中，每隔一段时间即可获得一个观测值i Y ，从而可以得到一组自相关时间序列的采样值n Y Y Y ,,,21Λ，其稳态平均值定义为：∑=∞→=ni i Y n n 11limν (8.11)如果ν的极值存在，则ν与仿真的初始条件无关。

8.2.1批均值法批均值法的基本思想是：设仿真运行时间足够长，可以得到足够多的观测值m Y Y Y ,,,21Λ，将()m i Y i ,,2,1Λ=分为n 批，每一批中有l 个观测值，则每批观测数据如下：第一批：l Y Y Y ,,,21Λ第二批：l l l Y Y Y 221,,,Λ++M第n 批：nl l n l n Y Y Y ,,,2)1(1)1(Λ+-+-首先对每批数据进行处理，分别得出每批数据的均值∑=+-=lk k l j lj Y Y 1)1(1(8.13)由此可得总得样本均值为：∑∑====nj mi i mjnY Y Y 1111(8.14)此即ν的点估计。

为了构造ν的置信区间，需要假定j Y 是独立的且服从正态分布的随机变量，并具有相同的均值和方差。

此时ν的近似置信区间的计算公式为：nn S n j t Y )(2/1,12αν--±=(8.15) 式中 21112)()(∑=--=nj j n jY Y n S(8.16)n 为观测值的批数。

8.2.2稳态序贯法在利用批均值法进行计算时，假定每批观测值的均值是独立的，但实际上n Y Y Y ,,2,1Λ是相关的。

为了得到不相关的jY ，直观的做法是：保持批数n 不变，不断增大l ，直到满足不相关的条件为止。

但是如果n 选择过小，则j Y 的方差加大，结果得到的置信区间就会偏大，为此n 也必须足够大。

这样为了达到精度要求就必须选择足够大的n 和l ，使得样本总量l n m ⨯=特别大，而仿真过程中时间的消耗也是必须考虑的重要因素。

稳态序贯法是一种尽可能减少m 的方法，较好地解决了批长度的确定以及仿真运行总长度的确定问题，并能满足规定的置信区间精度的要求。

设仿真运行观测值的批长度为l ，已经有观测值n •λ批（2≥λ），考察相隔为i 的两批观测值批均值的相关系数)1,,2,1(],1,[)(-=+=n j j Y j Y Cov l i Λρ)(l i ρ随l 的变化规律大致有三种情况：1） )(l i ρ为递减函数（见图8.1）；2） )(l i ρ的值一次或多次改变方向，然后严格地减少到0（见图8.2）；3） )(l i ρ<0或者随着l 变化没有一定的规律。

根据)(l i ρ的以上3种特性，基于批均值法的稳态序贯法原理如下：1） 给定批数因子n 、f 以及仿真长度1m （1m 是f n •的整数倍），)(l i ρ的判断值为u ，置信区间的相对精度γ，置信水平α。

令i =1。

2） 进行长度为i m 的仿真运行，获得i m 个观测值i m Y Y Y ,,2,1Λ。

ll)(l i ρ)(l i ρ图8.1 )(l i ρ为单调图8.2 )(l i ρ多次改3） 令)/(f n i m l •=，计算)1)(,(),,2,1(==j l nf j nf k k Y 可以取、ρΛ。

4） 如果u l nf j ≥),(ρ，则说明i m 太小，需加大，可以令i =i +1，且12-=i m i m ，返回第2步获取其余1-i m 个观测值。

5） 如果0),(≤l nf j ρ，则表明增长仿真运行长度无助于)(l j ρ的判断，执行第8步。

6） 如果ul nf j <<),(0ρ，计算)1)(2,2/()2/,,2,1(),2(==j l nf j nf k l k Y ρ、Λ，判断)(l j ρ是否具有第2类特征；如果),()2,2/(l nf j l nf j ρρ≥，则说明该)(l j ρ确实具有第2类特征，需要进一步加大i m ，令i =i +1，且12-=i m i m ，返回第2步获取其余1-i m 个观测值。

7） 如果),()2,2/(l nf j l nf j ρρ<，则说明)(l j ρ已经具有第1类特征，而且达到)(l j ρ判断值n 的l 已经得到，可以相信),(fl n j ρ的值满足独立性要求，此时用批均值法计算该n 批长度为fl 的置信区间。

8） 计算),(),,(fl n Y fl n k Y 以及置信区间的半长n S n t 22/1,1αδ--=，最后得),(ˆfl n Y δγ=9） 如果γγ>ˆ，说明精度不满足要求，令i =i +1，且12-=i m i m ，返回第2步获取其余1-i m 个观测值。

10） 如果γγ≤ˆ，则精度满足要求，可以令估计值δυ±=),(fl n Y ，仿真停止。

稳态序贯法较好地解决了批长度的确定以及仿真运行总长度的确定问题，并能满足规定的置信区间精度的要求。

8.2.3再生法在批均值法中，选取批长度的原则尚未完全确定，因此有必要考虑其它有效的方法。

再生法的思想就是要找出稳态仿真过程中系统的再生点，由每个再生点开始的再生周期中所获得的统计样本都是独立同分布的，可以采用经典统计方法对参数进行评估并构造参数值的置信区间在仿真过程中，随着仿真时钟的推进，系统的状态变量在不断地发生变化。

如果在某一时刻观测到了系统一组状态变量的数值，而在其后的若干时间之后又重新观测到系统的完全相同的一组状态变量的数值，则称所观测到的系统为再生系统。

也就是说，在稳态仿真中，系统从某一初始状态开始运行，若干时间后重新达到该状态；这时可以认为系统重新达到该状态后的过程相对于以前的过程是独立的，这就相当于系统在此时重新运行。

显然在若干时间后这种情况将重新发生，因此这个重复的过程称为系统的再生周期，而系统初始状态重复出现的时刻点称为系统的再生点。

再生法的缺点在于系统再生点的数量要求足够多，而且每个再生周期应该是独立的。

而实际系统的仿真运行中可能不存在再生点或者再生周期过长，这样就要求仿真运行的总长度要足够大。

Y为第j个再生周假设在M/M/1系统的观测中有p个完整的再生周期，令j期中各个实体等待时间的总和：∑==jn k kj j Y 1ϖj n 为第j 个再生周期中受到服务的实体个数。

{j Y }和{j n }都是独立同分布的随机序列，然而j Y 和j n 并不相互独立，因为较大的j Y 值可指望有较大的j n 值伴随产生。

假设总观测次数为N ，各个实体的等待时间分别为N ϖϖϖ,,,21Λ，则实体的平均等待时间的估计值由下式给出：∑==Ni iNW 11ϖ如果将各个实体等待时间根据再生周期进行分组，则上式又可以写为：nYn n n Y Y Y W N N =++++++=ΛΛ2121式中：∑∑====pj jppj jpnn YY 1111Y 是一个再生周期中实体等待时间综合的估计值，n 是一个再生周期中受到服务的实体个数的估计值。