福建省三明市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
2021-2022学年福建省三明市初一数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年福建省三明市初一数学第一学期期末试卷一、选择题。
（本题共10小题，每小题4分，共40分.）.1．（4分）5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣D．2．（4分）数据248.65万用科学记数法表示为（）A．248.65×104B．24.865×105C．2.4865×105D．2.4865×1063．（4分）以下几何体的截面不可能是圆的是（）A．球体B．长方体C．圆柱体D．圆锥体4．（4分）下列运算正确的是（）A．a3+a3＝2a6B．3x﹣x＝3C．2m2n﹣mn2＝m2n D．2abc﹣3abc＝﹣abc5．（4分）某超市迎春节让利促销，若某商品按8折销售的价格为20元，则该商品的原价是（）A．12元B．16元C．25元D．28元6．（4分）为了解某县七年级4000名学生近视的情况，随机抽取了其中200名学生的视力进行检查并统计．下列判断正确的是（）A．这种调查方式是普查B．这4000名学生是总体C．每名学生的视力是个体D．这200名学生是总体的一个样本7．（4分）已知A，B，C，D四点在同一直线上，若AB＝3，B是AD中点，则线段CD的长为（）A．6 B．C．3 D．8．（4分）已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．＞0 D．ab＞09．（4分）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，所围成的几何体的体积是（）A．4πB．6πC．12πD．18π10．（4分）“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法，“甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸”被称为“十天干”，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥”被称为“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，其相配顺序为：甲子，乙…癸酉，乙亥，…，癸亥，这样60年一个循环，周而复始（草案）》提出，展望2035年，那么2035年是“干支纪年法”中的（）A．甲寅B．乙卯年C．丙辰年D．丁巳年二、填空题。
2021-2022学年福建省泉州市晋江市第一中学高一上学期期中质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省泉州市晋江市第一中学高一上学期期中质量检测数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B ⋃=A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A【详解】由题意{1,2,3,4}A B ⋃=，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．已知命题2:R,210p x x x ∀∈-+≥，则p ⌝为（ ） A ．2R,210x x x ∃∈-+≥ B ．2R,210x x x ∃∈-+< C ．2R,210x x x ∀∈-+< D ．2R,210x x x ∀∈-+≤ 【答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题，可选出答案.【详解】由题意可知，命题2:R,210p x x x ∀∈-+≥的否定为：2,210x R x x ∃∈-+<， 故选：B.3．函数1()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像必经过定点是（ ） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()0,2D ．()0,1【答案】B【分析】利用01a =，求解指数型函数图像过的定点. 【详解】10x -=时，有1x =，则0(1)2123f a =+=+=，∴函数1()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像必经过定点是()1,3. 故选：B4．下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ） A ．2yxB ．y x =C ．ln y x =D ．e x y -=【答案】A【分析】判断单调性和奇偶性得到A 正确，根据单调性排除BD ，根据奇偶性排除C ，得到答案. 【详解】对选项A ：函数定义域为()(),00,∞-+∞，()2y f x x -==，2fx x f x ，函数为偶函数，当0x <时，函数单调递增，满足；对选项B ：当0x <时，y x =-，函数单调递减，排除；对选项C ：ln y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，排除； 对选项D ：当0x <时，e x y -=单调递减，排除. 故选：A.5．已知函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ） A ．9- B ．9C ．19-D ．19【答案】D【分析】根据题意，直接计算即可得答案. 【详解】解：由题知，211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D6．设3log 2a =，5log 2b =，2log πc =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【详解】因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==，而22log 3log 21c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以2211log 5log 3<，即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选D ．7．函数()()2ln 23f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．().1-∞-B ．(),1∞-C ．()1,+∞D ．()3,+∞【答案】D【解析】先由2230x x -->求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由2230x x -->可得()()310x x -+>，解得：3x >或1x <-，所以函数()()2ln 23f x x x =--的定义域为()(),13,-∞-+∞，因为()()2ln 23f x x x =--是由ln y t =和223t x x =--复合而成，因为ln y t =在定义域内单调递增，223t x x =--对称轴为1x =，开口向上，所以223t x x =--在(),1-∞-单调递减，在()3,+∞单调递增， 根据复合函数同增异减可得：()()2ln 23f x x x =--在(),1-∞-单调递减，在()3,+∞单调递增，所以函数()()2ln 23f x x x =--的单调递增区间是()3,+∞，故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是先计算函数的定义域，外层函数单调递增，只需求二次函数在定义域内的增区间即可.8．定义：区间[]()x x x x <1212，的长度为21x x -,已知函数2x y =的定义域为[]a b ，，值域为[]12，，记区间[]a b ，的最大长度为m ，最小长度为.n 则方程()ln m x n -+=20的实根个数（ ）A ．1B ．2C ．0D ．3【答案】B【分析】作出函数2xy =的图象，从而结合图象可得m ，n 的值；进而方程()ln m x n -+=20的根的个数转化为函数y m =与()ln y x n =+的图象交点的个数，分别作出函数的图象即可求解.【详解】由题意可知，作函数2xy =的图象,如图所示函数2xy =的定义域为[]a b ，，值域为[]12，， 可知区间[]a b ，的最大长度为2m =，最小长度为1n =，所以()ln m x n -+=20，即()ln x +=14方程()ln x -+=2210的根的个数转化为函数4y =与()ln y x =+1的图象交点的个数作函数4y =与()ln y x =+1的图象，如图所示由图可知，函数4y =与()ln y x =+1的图象有2个交点，所以方程()ln m x n -+=20的实根个数为2.故选:B ．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件 【答案】BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断. 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题. 10．下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()f x =()g x x =C ．2()lg f x x =与()2lg g x x =D ．()xf x x=与0()g x x =【答案】AD【分析】根据两个函数定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一个函数即可得出结果.【详解】对于A 选项，()f x x =，定义域为R ，()||g x x ==，定义域为R ，两函数定义域相同， 对应关系相同，是同一个函数，所以A 选项正确；对于B 选项，()f x ==-(,0]-∞，()g x x =(,0]-∞， 两函数对应关系不同，不是同一个函数，所以B 选项错误；对于C 选项，2()lg f x x =，定义域(,0)(0,)-∞+∞，()2lg g x x =，定义域为(0,)+∞， 两函数定义域不同，不是同一个函数，所以C 选项错误；对于D 选项，()1xf x x==，定义域(,0)(0,)-∞+∞，0()1g x x ==，定义域(,0)(0,)-∞+∞， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数，所以D 选项正确， 故选：AD11．若0m n >>，则下列结论一定成立（ ）A ．1155m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．lg()0m n ->C ．1m n -π>D ．11m mn n+>+ 【答案】AC【分析】利用指数函数单调性可以判定A 和C 选项，对数函数性质可判定B 选项， D 选项可代入特殊值法判断.【详解】若0m n >>，则0m n ->，根据指数函数单调性性质，直接得1155m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01m n ππ->=，所以A 和C 选项正确，由对数函数性质，当01m n <-<时， lg()0m n -<，当1m n ->时，lg()0m n ->，所以B 选项错误，取特殊值3m =，12n =，1813m n +=+， 6mn =，所以11m m n n+<+，即D 选项错误， 故选：AC12．—般地,若函数()f x 的定义域为[],a b ,值域为[],ka kb ,则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”;特别地,若函数()f x 的定义域为[],a b ,值域也为[],a b ,则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,则3b =B ．函数()32f x x=-不存在跟随区间C ．若函数()f x m =,则1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”【答案】BCD【解析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 错误.对B,由题,因为函数()32f x x =-在区间(),0∞-与()0,+∞上均为增函数,故若()32f x x=-存在跟随区间[],a b则有3232aabb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即,a b为32xx-=的两根.即2230x x-+=,无解.故不存在.故B正确.对C, 若函数()f x m=[],a b,因为()f x m=,故由跟随区间的定义可知b ma ba m⎧=⎪-=⎨=⎪⎩a b<即()()()11a b a b a b-=+-+=-,因为a b<,1=.易得01≤<.所以(1a m m==-,令t=20t t m--=,同理t=20t t m--=,即20t t m--=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故140mm+>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C正确.对D,若()212f x x x=-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b,值域为[]3,3a b.当1a b<≤时,易得()212f x x x=-+在区间上单调递增,此时易得,a b为方程2132x x x-+=的两根,求解得0x=或4x=-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-.故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.三、填空题13．已知方程2410x x-+=的两根为12,x x,则2212x x+=_______．【答案】14【分析】根据韦达定理,得到1212,x x x x+⋅,将数值代入到()2212121222x x x x x x++⋅=-中即可求得.【详解】解:由题知2410x x-+=的两根为12,x x,由韦达定理可知:121241x xx x+=⎧⎨⋅=⎩,()2221212122x x x x x x ∴+=+-⋅162=-14=.故答案为:1414．函数()()ln 2f x x =-________． 【答案】{}12x x -≤<【解析】根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2010x x ->⎧⎨+≥⎩，解得12x -≤<.因此，函数()y f x =的定义域为{}12x x -≤<. 故答案为：{}12x x -≤<.【点睛】本题考查函数定义域的求解，一般要根据求函数定义域的基本原则建立不等式组求解，考查计算能力，属于基础题. 15．设函数()21221xx f x e x--=++，若()()24f ax f x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】[]4,4-【解析】首先判断函数的奇偶性和单调性，根据函数性质，不等式等价于()()()()2244f ax f x f ax f x ≥+⇒≥+，再根据函数的单调性得24ax x ≤+，再利用参变分离的方法，转化为函数的最值，求a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为R ，且满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，当0x >时，()()22112224222x x x x f x e e x x ---++-=+=+++， ()12412x f x e x -∴=+-+ ()0x >， 1x y e -=是单调递减函数，()24102y x x =->+也是减函数， 所以函数()12412xf x e x-=+-+ ()0x >是单调递减函数 ()()()()2244f ax f x f ax f x ≥+⇒≥+，即24ax x ≤+，当0x =时，不等式成立，当0x ≠时，244x a x x x +≤=+，即min4a x x ⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭， 4424x x x x+≥⋅=，当2x =±时，等号成立， 即444a a ≤⇔-≤≤， 综上可知a 的取值范围是[]4,4-. 故答案为：[]4,4-【点睛】本题考查指数函数，函数的奇偶性和函数的单调性，解抽象不等式，属于中档题型. 方法点睛：本题涉及利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式，一般包含以下方法： 1.奇函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数的给定区间上的单调性，将不等式转化为()()12f x f x <的形式，再根据单调性去掉“f ”，再解不等式；2.偶函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数在()0,∞+的单调性，根据()()()f x f x f x -==，将不等式转化为()()12f x f x <的形式，再根据单调性去掉“f ”，解不等式.四、双空题16．图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x 的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是______；图③的建议是_____.【答案】 增加票价，运营成本不变 票价不变，降低运营成本【解析】由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y 轴上的截距的相反数表示运营成本，根据图②③中的斜率截距变化即可得出.【详解】由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y 轴上的截距的相反数表示运营成本， 图②中，直线的斜率增加，在y 轴上的截距不变，即表示增加票价，运营成本不变，图③中，直线斜率不变，直线的截距增加，即表示票价不变，降低运营成本. 故答案为：增加票价，运营成本不变；票价不变，降低运营成本.五、解答题17．计算下列各式的值．21513236231.538a a a-⎛⎫⋅÷+⨯ ⎪⎝⎭；(2)421lg log8log3log100++⋅【答案】(1)π(2)0【分析】（1）根据根式的定义与分数指数幂的运算法则计算．（2）根据对数的运算法则、换底公式计算．【详解】（1）原式223115323633222aπ-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⨯⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22332122ππ-⎛⎫⎛⎫=-++⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()2323221lg10log2log3log22-⎛⎫⎪⎝=+⋅⎭+223312lg10log2log3log222⎛⎫=-++⋅ ⎪⎝⎭312022=-++=18．已知0,0x y>>，且141x y+=．(1)求x y+的最小值；(2)若26xy m m>+恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)9(2)()8,2-【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；（2）根据题意结合基本不等式可得16xy≥，然后求解关于m的不等式，即可得到结果. 【详解】（1）因为0,0x y>>，所以()144559x yx y x yx y y x⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭当且仅当4x y y x=，即3,6x y ==时取等号， 所以x y +的最小值为9（2）因为0,0x y >>，所以141x y =+≥， 所以16xy ≥，当且仅当2,8x y ==时等号成立，因为26xy m m >+恒成立，所以2166m m >+，解得82m -<<所以实数m 的取值范围为()8,2-19．已知幂函数()93m f x x -=()*m N ∈的图像关于原点对称，且在R 上函数值随x 的增大而增大.（1）求()f x 的解析式；（2）求满足()()1340f a f a ++-<的a 的取值范围.【答案】（1）()3f x x =；（2）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据幂函数()f x 图像关于原点对称和在R 上递增，求得m 的值.（2）利用幂函数()f x 的奇偶性和单调性列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）由题可知，函数在R 上单调递增，∴930m ->，解得3m <.又*m N ∈，∴1,2m =.又函数图像关于原点对称，∴93m -为奇数，故2m =.∴()3f x x =.（2）∵()()1340f a f a ++-<，∴()()134f a f a +<--.∵()f x 为奇函数，∴()()143f a f a +<-.又函数在R 上单调递增，∴143a a +<-.∴34a <. ∴a 的取值范围是3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 20．已知()f x 是二次函数，()0f x >的解集是{35}x x -<<且()015f =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[1,4]x ∈-时，函数()f x 的最值；（3）令()()()12g x m x f x =--.若函数()g x 在区间[]0,2上不是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()2215f x x x =-++；（2）()f x 的最大值为16，最小值为7；（3）13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由()015f c ==，再转化()0f x >的解集是{35}x x -<<为3,5-是对应方程的两个根，结合韦达定理，可得12a b =-⎧⎨=⎩，即得解； （2）()2215f x x x =-++为开口向下的二次函数，对称轴为1x =，根据二次函数性质即得解；（3）转化为()()22115g x x m x =-+-的对称轴在给定区间的开区间内，即21022m +<<，求解即可 【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠.∵()015f =∴15c =又()0f x >的解集是{35}x x -<<∴3,5-是方程2150ax bx ++=的两个根 ∴351535b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯==⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩ ∴()2215f x x x =-++.（2）由于()2215f x x x =-++为开口向下的二次函数，对称轴为1x =根据二次函数性质，当[1,4]x ∈-当1x =时，取得最大值，即max ()(1)16f x f ==，由于4比1-离对称轴远，故当4x =时，取得最小值，即min ()(4)7f x f ==（3）∵()()()12g x m x f x =--∴()()22115g x x m x =-+-.∵函数()g x 在区间[]0,2上不是单调函数 ∴21022m +<<,解之得:1322m -<<. ∴实数m 的取值范围是13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21．地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t ．（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量（2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）210200200,210(),10401200,1020t t t p t t ⎧-++<=⎨⎩， （2）当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【分析】（1）由题意知21200(10),210()1200,1020k t t p t t ⎧--<=⎨⎩，t N ∈，(k 为常数），再由p （2）560=求得k ，则()p t 可求，进一步求得p （6）得答案；（2）由6()3360360p t Q t -=-，可得2120010(10)5606[60],2103840360,1020t t t Q t t⎧----<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，分段求最值得答案． 【详解】（1）由题意知21200(10),210()1200,1020k t t p t t ⎧--<=⎨⎩，t N ∈，(k 为常数）， p （2）21200(102)560k =--=，10k ∴=，22120010(10),21010200200,210()1200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧--<-++<∴==⎨⎨⎩⎩， p ∴（6）2120010(106)1040=--=；（2）由6()3360360p t Q t-=-，可得 2120010(10)5606[60],2103840360,1020t t t Q t t⎧----<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩， 当210t <时，366[14010()]6(1401012)120Q t t=-+-⨯=， 当且仅当6t =时等号成立；当1020t 时，7200336036038436024Q t -=--=，当10t =时等号成立， ∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．已知函数()()1e ,ln 1x f x g x x -==+．(1)判断函数()()()ln F x f x g x ⎡⎤⎦+⎣=在其定义域上的单调性（不需要证明）﹔ (2)对任意的1,e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，都有()()f b a g a b =，若存在a 的两个取值()1212,a a a a ≠，使得2(b c c -=为常数），求12a a ⋅的值．【答案】(1)()F x 在()0,∞+上单调递增(2)212e a a =【分析】（1）求出函数式，然后根据单调性的性质判断；（2）已知等式交叉相乘后取对数变形利用（1）中函数的单调性得出ln 1b a =+，代入2b c -=，利用12,a a 是此方程的两个解，得出培训五日关系，完成证明.【详解】（1）由已知()1ln 1ln F x x x x x =-++=+，由于y x =和ln y x =在(0,)+∞上都是增函数， 因此()F x 在定义域内是增函数；（2）由()()f b a g a b=，即ln 10a +>，化简为()1e ln 1b b a a -=+． 因为1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以ln 10a +>，又由题可知0a >，所以0b >． 所以两边取对数得()()1ln e ln ln 1b b a a -=+⎡⎤⎣⎦，即()1ln lne ln ln ln 1b b a a -+=++， 即()ln 1ln ln ln 1b b a a +-=++，即()()ln ln 1ln ln 1b b a a +=+++，即()()ln 1F b F a =+，由（1）知()ln F x x x =+为()0,∞+上的增函数，所以ln 1b a =+． 又因为2ln 1b a c -=-=，即存在()1212,a a a a ≠使ln 1a c -=成立，不妨设12a a <，即12ln 1ln 1a a c -=-=，即12ln 1ln 1a a -+=-，即12ln 2a a =，所以212e a a =．。
2021-2022学年福建省泉州市高一年级上册学期期中考试数学试题【含答案】
2021-2022学年福建省泉州市高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合，，则（ ）{}|02A x x =<≤{}|1B x x =>()R A C B = A ．B ．C ．D ．{}|01x x <≤{}1|0x x <<{}|12<≤x x {}2|x x ≤【答案】A【分析】根据集合交集和补集的定义进行运算即可.【详解】解析：，所以，{}1R C B x x =≤∣(){}|01R A C B x x =<≤ 故选：A ．2．函数的定义域是（ ）1()2f x x =-A ．B ．C ．D ．[0,2)(2,)+∞1,2(2,)3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 1,2(2,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据解析式的形式可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.x 【详解】由题设可得，故且，31020x x -≥⎧⎨-≠⎩13x ≥2x ≠故函数的定义域为.1,2(2,)3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 故选：C.3．若，一定成立的是（ ）a b >A ．B ．a c b c +>+22a b>C ．D ．22ac bc >11a b<【答案】A【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.【详解】若，则，故A 正确；a b >a c b c +>+当时，，故BC 错误；1,2a b ==-2211114,12a b a b =<==>-=当时，，故C 错误.0c =220ac bc ==故选：A.4．设，则“”是“”的（ ）x ∈R ()50x x -<11x -<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】解不等式、，利用集合的包含关系判断可得出结论.11x -<()50x x -<【详解】由可得，()50x x -<05x <<由可得，解得，11x -<111x -<-<02x <<因此“”是“”的必要不充分条件.()50x x -<11x -<故选：B.5．已知关于x 的方程有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）312x a-=A ．B ．C ．D ．(),0-¥()0,2()0,+¥()0,1【答案】B【分析】将问题转化为与的图象有两个交点，应用数形结合法判断参数a 的取值范2ay =31xy =-围即可.【详解】函数，其大致图象如图所示．31,03131,0x xxx y x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩关于x 的方程有两个不等实根等价于直线与的图象有两个交点，由图可312x a-=2a y =31x y =-知：，即．012a <<02a <<故选：B ．6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的()f x部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）()f xA ．B ．()21x f x x=-()221x f x x =+C ．D ．()221xf x x =-()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据时函数值为正排1x >除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当时，，不满足图象；对于C ，当时，，满足图象.1x >0y <1x >0y >故排除A ，选C.故选：C7．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为1.75%，若按复利计算，将这1000元存满5年，可以获得利息（ ）（参考数据：，，）41.0175 1.072=51.0175 1.091=61.0175 1.110=A ．110元B ．91元C ．72元D ．88元【答案】B【分析】根据已知求出存满5年后的本息和，再减去本金，即可得出答案.【详解】解：将1000元钱按复利计算，则存满5年后的本息和为，故可以获51000 1.01751091⨯=得利息（元）.1091100091-=故选：B.8．已知的定义域是，，且函数为偶函数．当时，()f x R ()()110f x f x ++--=()1f x +[]0,1x ∈在区间上的所有根之和为（ ）()f x =()()210x f x --=[]3,6-A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D 【分析】由得函数在上是奇函数.由函数为偶函数，得()()110f x f x ++--=()f x R ()1f x +关于直线对称.画出函数图像，由函数图像即可得到方程在区间()f x 1x =()()210x f x --=上的所有根之和.[]3,6-【详解】由得，()()110f x f x ++--=()()0f x f x +-=所以在上是奇函数.()f x R 又因为函数为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以关于直线对称.()f x 1x =当时，[]0,1x ∈()f x =如图，做出在区间上的图像.()f x []3,6-由方程解得，令，()()210x f x --=()1,22f x x x =≠-()1,22g x x x =≠-如图，做出在区间上的图像.()g x []3,6-由图可知，与在区间上有个交点：.()f x ()g x []3,6-4A BC D 、、、且与均关于直线对称.()f x ()g x 2x =所以,,22DA x x +=22C B x x +=所以，8A C DB x x x x +++=即方程在区间上的所有根之和为.()()210x f x --=[]3,6-8故选：D【点睛】难点点睛：本题解题的关键在于根据题目所给的条件，进行适当变形得到函数的奇偶性和对称性，根据函数的奇偶性和对称性，画出函数在给定区间内的图像.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．B ．2.531.71.7<2.530.80.8<C ．D ．220.90.8--<0.33.11.70.8>【答案】ACD【分析】利用指数函数和幂函数图像比较数的大小.【详解】对于A ，在定义域上是增函数，，故A 正确；1.7x y = 2.532.53, 1.7 1.7<∴< 对于B ，在定义域上是减函数，，故B 错误；0.8x y = 2.532.53,0.80.8∴ 对于C ，在上是减函数，，故C 正确；2y x -=()0,+∞220.80.9,0.90.8--<∴< 对于D ，故D 正确；0.3 3.10.3 3.11.710.81, 1.70.8>∴ ，故选：ACD.10．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．，B ．()f x x=-[]1,2x ∈-()1f x x x=+C ．D ．()f x x x =-()3f x x =-【答案】CD【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解.【详解】对于A ，，的定义域不关于原点对称，不符合题意；()f x x=-[]1,2x ∈-对于B ，，因为，()1f x x x =+()()1212f f -=-<=所以该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C ，，故为奇函数，()()f x x x f x -==-当时，在上单调递减，0x ≥2()f x x =-[)0,∞+当时，在单调递减，0x <2()f x x =(),0∞-又函数为连续函数，且，所以函数在上单调递减，故C 符合题意；()00f =R对于D ，为奇函数，且在定义域内是减函数，故D 符合题意.()3f x x =-故选：CD.11．下列结论中，正确的结论有（ ）A ．如果，，且，那么的最小值为40a >0b >111a b +=a b +B ．如果，那么取得最大值为102x <<()43x x-43C ．函数2()f x D ．如果，，，那么的最小值为60x >0y >39x y xy ++=3x y +【答案】AD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】对于选项A ，如果，，且，0a >0b >111a b +=那么，()11114a ab a b b b b a a ⎛⎫+⋅=++++≥ ⎪+=⎝⎭当且仅当且，即时取等号，故选项A 正确；b aa b =111a b +=2a b ==对于选项B ， 如果，那么，102x <<430x ->则，()()()23113334343423x x x x x x ⎡⎤=-⋅≤⋅⎢⎥⎣+⎦--即，当且仅当，即时取等号，()3443x x -≤343x x =-23x =因为，所以不能取得最小值，故选项B 错误；102x <<43对于选项C，函数，()2f x==≥时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C 错误；1=x 对于选项D ，如果，，，0x >0y >39x y xy ++=则21393332x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++⋅ ⎪⎝⎭整理得，()()231231080x y x y +++-≥所以或（舍去），36x y +≥318x y +≤-当且仅当时取得最小值，故选项D 正确.1,3y x ==故选：AD12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利()R 1,0,x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩Q Q 克雷函数，则关于函数有（ ）()f x A ．函数的值域为B ．()y f x ={}0,1()()1f f x =C ．D ．，都有()1ff >x ∀∈R ()()12f x f x -=+【答案】ABD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】对于A ，因为函数，所以的值城为，故A 正确；()1,Q0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩()f x {}0,1对于B ，因为，所以，故B 正确；(){}R 01x f x ∀∈∈，，()()1f f x =对于C ，，，所以，，C错误；0f =(1)1f=(1)f f >对于D ，由题意，函数定义域为，且，所以，为偶函数，R ()()f x f x -=()f x 若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；x x T +x x T +所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，T 对恒成立，故，()()f x T f x +=x ∈R (2)()()(1)f x f x f x f x +==-=-所以，都有，D 正确.x ∀∈R ()()12f x f x -=+故选：ABD.三、填空题13．已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m 的值为()()2231mm f x m m x +-=--__________．【答案】1-【分析】根据幂函数定义，由求得m ，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.211m m --=【详解】由幂函数知，()()2231mm f x m m x +-=--得或.211m m --=2m =1m =-当时，图象与坐标轴有交点，2m =()3f x x =()0,0当时，与坐标轴无交点，1m =-()3f x x-=∴.1m =-故答案为:1-14．是定义在R 上的奇函数，当时，，当x ＜0时，= ______.()f x 0x ≥2()2f x x x =-+()f x 【答案】22x x+【分析】当时，，所以，然后结合函数的奇偶性可得答案.0x <0x ->2()2f x x x -=--【详解】当时，，所以0x <0x ->2()2f x x x -=--因为是定义在R 上的奇函数，所以，所以()f x ()2()2f x x x f x -=--=-2()2f x x x =+故答案为：22x x+15．已知函数有最小值，则的取值范围是 _______．()()212,02,0a x a x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩a 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情0x ≥0x <()()12f x a x a=-+况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围.a 【详解】当时， ，此时；0x ≥()()211f x x =--()()min 11f x f ==-当时，.0x <()()12f x a x a=-+①时，为常函数，此时在R 上满足函数有最小值为，1a =()2f x =()f x 1-②时，函数此时为单调的一次函数，要满足在R 上有最小值，1a ≠()f x 需 解得，10(1)021a a a -<⎧⎨-⨯+≥-⎩112a -≤<综上，满足题意的实数的取值范围为：.a 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、双空题16．若函数对任意实数x ，y 都有，则称其为“保积函数”．若时，()f x ()()()f xy f x f y =[)0,1x ∈，且，，则__________，不等式的解集为()[)0,1f x ∈()8127f =()11f -=()9f =()f x ≤__________．【答案】[]9,9-【分析】令，可证明函数为偶函数，再根据即可求得，设任意的1y =-()8127f =()9f ，则，证明在上单调递增，再根据函数的单调性解不等式即可.1201x x ≤<<1201x x ≤<()f x ()0,∞+【详解】令，则对任意实数x 都成立，1y =-()()()()1f x f x f f x -=-=所以是偶函数，()f x ，()()()(228199927f f f =⨯===⎡⎤⎣⎦因为，所以()0f x ff f ==⋅≥()9f =设任意的，则，所以，1201x x ≤<<1201x x ≤<1201x f x ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以，()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在上单调递增，()f x ()0,∞+所以不等式等价于，()f x ≤()()9f x f ≤又是R 上的偶函数，所以，解得，()f x 9x ≤99x -≤≤所以不等式的解集为．()f x ≤[]9,9-故答案为：．[]9,9-【点睛】关键点点睛：设任意的，则，结合时，，证明1201x x ≤<<1201x x ≤<[)0,1x ∈()[)0,1f x ∈在上单调递增，是解决本题的关键.()f x ()0,∞+五、解答题17．（1）化简求值：；11273192-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知，求的值．13a a -+=1122a a -+【答案】（12【分析】（1）利用幂的运算直接求解；（2）先判断出和，根据式子结构，对待求式平0a >120a >方后即可求解.【详解】（1）1122173163129292--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(42233=+-=（2）因为，所以，所以.13a a -+=0a >120a >因为，()1122212325a aa a--+=++=+=所以1122a a-+=18．设A ={x |2<x <4}，B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}．(1)当a =3，求；A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围．A B ⊆【答案】(1){}29A B x x ⋃=<<(2)423a ≤≤【分析】（1）当时，求出集合B ，根据并集的定义即可求出；（2）讨论a 求解二次不等式，3a =根据列不等式直接求出A B ⊆【详解】（1）当时，B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}=，3a ={|39}x x <<；{}29A B x x ∴⋃=<<（2）B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}=，()(){|30}x x a x a --<当不符合题意；0,a B ==∅当 则需要{|0,3}x a a a B x ><<=A B ⊆0422334a a a a >⎧⎪≤⇒≤≤⎨⎪≥⎩当 不符合题意，故 实数a 的取值范围是{|30,}x a a x B a <<<=423a ≤≤19．条件①：；条件②：不等式的解集为．已知二次函数()()12f x f x x+-=()4f x x <+()1,3-满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知．（注：如果选择条件①()f x ()01f =和条件②分别解答，按第一个解答计分）(1)求的解析式；()f x (2)若函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围．()f x 2y x m =+m 【答案】(1)()21f x x x =-+(2)54m <-【分析】（1）依题意设，若选择①，表示出，即可得到关()()210f x ax bx a =++≠()()1f x f x +-于、的方程组，解得即可，选择②由题知方程的两实根分别为和，利a b ()2130ax b x +--=1-3用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得对恒成立，令，则问题可转化为，231x x m -+>x ∀∈R ()231g x x x =-+()min g x m >根据二次函数的性质求出函数的最小值，即可得解.【详解】（1）由，可设．()01f =()()210f x ax bx a =++≠选择①，则有，()()()()()221111122f x f x a x b x ax bx ax a b x+-=++++-++=++=由题意，得，解得，故．220a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=-⎩()21f x x x =-+选择②，则可化为，()4f x x <+()2130ax b x +--<由题知方程的两实根分别为和，()2130ax b x +--=1-3所以，即，1132b a --=-+=21a b +=及，即，所以，3133a -=-⨯=-1a =1b =-故．()21f x x x =-+（2）由题意，得，即对恒成立．212x x x m -+>+231x x m -+>x ∀∈R 令，则问题可转化为，()231g x x x =-+()min g x m>又因为在上单调递减，在上单调递增，()g x 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，故．()min 3524g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭54m <-20．已知函数是奇函数．()331xxb f x -=+(1)求b 的值；(2)证明在R 上为减函数；()f x (3)若不等式成立，求实数t 的取值范围．()()222360f t t f t ++-<【答案】(1)1b =(2)证明见解析(3)或32t <-1t >【分析】（1）利用奇函数定义和奇函数中求b 的值；()00f =（2）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；（3）通过函数的单调性，然后结合奇函数的性质把转化为一元二次()f x ()()222360f t t f t ++-<不等式，最后由一元二次不等式知识求出t 的取值范围．【详解】（1）∵的定义域为R ，()f x 又∵为奇函数，∴由得，()f x ()00f =1b =此时，∴为奇函数，()()13313113x x x xf x f x -----===-++()1331x x f x -=+所以．1b =（2）任取，，且，则，1x 2x ∈R 12x x <()()()()()2112122333131x x x x f x f x --=++∵，∴，∴．12x x <2133x x >21330x x->又∵，∴，即，()()1231310x x ++>()()120f x f x ->()()12f x f x >故为R 上的减函数．()f x （3）因为为奇函数，所以，()f x ()()222360f t t f t ++-<可化为，()()22263f t t f t +<-又由（2）知为减函数，所以，所以或．()f x 22263t t t +>-32t <-1t >21．物联网是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）），仓库到车站的距离x （单位：千米，1y ），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元），；若在距离车站9千0x >1y 1x +2y 20.8y x =米处建仓库，则仓库每月土地占地费为2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，1y 才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？【答案】应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元【分析】设，根据题意求出，设两项费用之和为z （单位：万元），求出的关()101ky k x =≠+k ,z x 系式，再结合基本不等式即可得解.【详解】设，其中，()101ky k x =≠+0x >当时，，解得，所以，9x =1210ky ==20k =1201y x =+又，设两项费用之和为z （单位：万元），20.8y x=则12200.81z y y x x =+=++，()200.810.80.87.2,01x x x =++-≥=>+当且仅当，即时，“”成立，()200.811x x =++4x ==所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．22．已知函数.()1422x x f x a +=-⋅-（1）若的最小值为，求实数的值；()f x 3-a （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.()0f x <[)0,1x ∈a 【答案】（1）；（2）.1a =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）换元，问题转化为求二次函数在时有最小值，20x t =>222y t at =--()0,t ∈+∞3-求实数的值，然后分、两种情况讨论，分析二次函数在区间上的a 0a ≤0a >222y t at =--()0,∞+单调性，求出函数的最小值，进而可求得实数的值；222y t at =--a （2）由（1）结合，可得出对任意的恒成立，分析函数在区间()0f x <12t a t >-[)1,2t ∈()12t g t t =-上的单调性，求出的值域，由此可得出实数的取值范围.[)1,2()g t a 【详解】（1），()()214222222x x x x f x a a +=-⋅-=-⋅- 换元，则.20x t =>()222222y t at t a a =--=---①当时，二次函数在区间上单调递增，无最小值；0a ≤222y t at =--()0,∞+②当时，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，0a >222y t at =--()0,a (),a +∞所以，，，解得.2min 23y a =--=-0a > 1a =综上所述，；1a =（2）由（1）知，若对任意的恒成立，则，()0f x <[)0,1x ∈[)21,2x t =∈即对任意的恒成立，2220y t at =--<[)1,2t ∈即对任意的恒成立，22122t t a t t ->=-[)1,2t ∈令，其中，易知函数在区间上单调递增，()12t g t t =-[)1,2t ∈()12t g t t =-[)1,2当时，，即，所以，，12t ≤<()()()12g g t g ≤<()1122g t -≤<12a ≥因此，实数的取值范围是.a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；x D ∀∈()()min m f x m f x ≤⇔≤（2），；x D ∀∈()()max m f x m f x ≥⇔≥（3），；x D ∃∈()()maxm f x m f x ≤⇔≤（4），.x D ∃∈()()minm f x m f x ≥⇔≥。
福建省三明市10-11学年高一数学上学期期末考试
三明市2022—2022学年第一学期普通高中期末考试高一数学试卷第一卷〔选择题 共36分〕一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1．直线20x y --=的倾斜角为A ．30︒B ．45︒ C. 60︒ D. 90︒ 2．在数列{}n a 中，1112, 2n n a a a +=-=，那么5a 的值为 A ．3B ．72C ．4D ．923．如图是一个物体的三视图．那么此三视图所描述的几何体是4．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a +等于A. 12B. 24C. 36D. 48 5．直线210mx y m ++-=恒过定点A ．(-2，1)B ．(2，-1)C ．(0,1)D ．(-2，-1) 6．直线,a b 和平面α，以下四个说法 ①a ∥α，b ⊂α,那么a //b ；②a ∩α＝P ，b ⊂α，那么a 与b 不平行；③假设a ∥b ，b α⊥，那么a α⊥；④a //α，b //α，那么a //b ． 其中说法正确的选项是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 7．直线012=--y x 被圆2)1(22=+-y x 所截得的弦长为30 B 355C 230D 6558．以下命题中正确的选项是A ．假设22,a b am bm >>则B ．假设,a b a b c c>>则 Ｃ．假设11,0,<a b ab a b >>则 Ｄ．假设2211,0,<a b ab a b>>则9．设A 在x 轴上，它到点2,3)P 的距离等于到点(0,1,1)Q -的距离的两倍，那么A 点的坐标是A.〔1，0，0〕和〔 -1，0，0〕B.〔2，0，0〕和〔-2，0，0〕C.〔12，0，0〕和〔12-，0，0〕 D.〔22，0，0〕和〔22，0，0〕10．在ABC ∆中，假设cos cos a A b B =，那么ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形11．,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，那么2z x y =+的最大值是A ．32-B ．32 C ．-3 D ． 312. 1)1,1(=f ，(,)N f m n +∈〔,N m n +∈〕，且对任意,N m n +∈都有①2),()1,(+=+n m f n m f ； ② )1,(2)1,1(m f m f =+.那么(2010, 2011)f 的值为 A. 201024022+ B ．201022010+ C ．201022011+ D ．201024020+第二卷〔非选择题 共64分〕二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分．在答题卷相应题目的答题区域内作答． 13．直线2310x y +-=与直线40x ay += 平行，那么a = ． 14．数列{n a }的前n 项和n S ＝22n ，那么n a ＝ ． 15．在ABC ∆中，C ∠为钝角，2AC =，1BC =，3ABC S ∆=,那么AB ＝ ． 16．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，6SD PD ==，CR SC =，AQ AP =，点,,,S D A Q 及,,,P D C R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使,,,P Q R S 四点重合，那么 需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．17.〔本小题总分值8分〕集合A =2{|340}x x x --<，集合B =22{|(1)(1)0}x x x +->，求A B ．18．〔本小题总分值8分〕如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果 冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由．19．〔本小题总分值8分〕如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中． (I) 求异面直线BD 与1B C 所成的角；(II) 求证平面1ACB ⊥平面11B D DB ．20．〔本小题总分值9分〕圆22:(3)(4)4C x y -+-=，〔Ⅰ〕假设直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 假设圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．21．〔本小题总分值9〕某厂家2022年拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量m 万件〔即该厂的年产量〕与促销费用x 万元(0)x ≥满足231m x =-+．2022年生产该产品m 万件的本钱168C m =+万元，厂家将每件产品的销售价定为每件产品本钱的1.5倍． 〔Ⅰ〕试将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数；〔Ⅱ〕该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ (利润=销售额-本钱-促销费用)_ 12 cm_ 4 cmD 1C 1B 1A 1CDBA22．〔本小题总分值10分〕数列{n a }有以下的特征：11=a ， 12 , ,a a ...5,a 是公差为1的等差数列；56 , ,a a (10),a 是公差为d 的等差数列；1011,,a a …15,a 是公差为2d 的等差数列；……；55152,,,n n n a a a ++…55,n a +是公差为n d 的等差数列〔*n N ∈〕，其中0d ≠．设数列{}n b 满足55(1)n n n b a a -=- (2)n ≥ ，15b a =． (Ⅰ) 求证数列{n b }为等比数列； (Ⅱ) 求数列{n b }的前n 项和n S ；(Ⅲ) 当1d >-时，证明对所有正奇数n ，总有52n S >．三明市2022—2022学年第一学期普通高中阶段性考试高一数学参考答案二、填空题〔本大共4小题.每题3分,共12分〕13．6 14. 42n - 16. 3． 三、解答题〔本大题共6小题,共52分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值8分〕解： 0432<--x x ，解得41<<-x ； ……………………………………3分 由22(1)(1)0x x +->，又210x +>，所以210x ->， 解得 1,1>-<x x 或； …………………………………6分 ∴AB ＝〔1,4〕 ………………………………………8分18．〔本小题总分值8分〕解： 由图可知33314141284()23233V R cm πππ=⨯=⨯⨯=半球；……………………3分2231141264()33V r h cm πππ==⨯⨯=圆锥； ……………………………………6分因为圆锥半球V V <，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．…………………………………………8分 19．〔本小题总分值8分〕 解：〔Ⅰ〕如图，DB ∥11D B ，那么11D B C ∠就是异面直线BD 与1B C 所成的角． 连接1D C ，在11D B C ∆中，1111D B B C CD ==， 那么1160D B C ∠=，因此异面直线BD 与1B C 所成的角为60．………4分(Ⅱ) 由正方体的性质可知 1DD AC ⊥面， 故1DD AC ⊥，又 正方形ABCD 中，AC BD ⊥， ∴ 11AC B D DB ⊥面；又 AC 1ACB ⊂平面，∴ 平面111ACB B D DB ⊥平面． …………………………………………8分 20．〔本小题总分值9分〕 解：〔Ⅰ〕①假设直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意． …………………1分②假设直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心〔3，4〕到直线1l 的距离等于半径2， 即2= …………………………………………………………………4分解之得 34k =． 所求直线方程是1x =，3430x y --=． …………………………………… 5分 〔Ⅱ〕依题意设(,2)D a a -，又圆的圆心(3,4),2C r =， 由两圆外切，可知5CD =∴可知＝5， ……………………………………… 7分 解得 2,3-==a a 或，OD 1C 1B 1A 1CDBA∴ (3,1)D -或(2,4)D －，∴ 所求圆的方程为9)4()29)1()32222=-++=++-y x y x 或（（．…… 9分 21．〔本小题总分值9分〕解：〔Ⅰ〕依题意得：20.5848(3)41y C x m x x x =-=+-=-+-+ 1628(0)1x x x =--≥+ …………………………………… 5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得1629(1)29211y x x =-++≤-=+ 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号， 所以厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的最大利润为21万元 ………9分22．〔本小题总分值10分〕解：〔Ⅰ〕证明：当2≥n 时，)1(55--=n n n a a b 15-=n d ，∴ 1155nn n n b d d b d+-== )0(≠d ． …………………………………… 2分 又d a a b a a b 5,5145102151=-==⨯+==， ∴21b d b =，……………… 3分 ∴ 当时，2≥n 1n n bd b -= 都成立，故数列{}n b 是以5为首项，d 为公比的等比数列． ……………………………4分 〔Ⅱ〕∵ 21125555n n n S b b b d d d -=+++=++++5(1),(1)15 , (1)n d d d n d ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩…………………………７分〔Ⅲ〕 当),0(+∞∈d 时，2155555n n S d d d -=++++> 显然成立 …………8分当时)0,1(-∈d ， 211<-<d ，又 n 为正奇数 ，∴nd -<11故 1112n d d ->-，∴ 52n S >． ……………………………………… 10分或当时)0,1(-∈d ，又 n 为正奇数，那么102n d d +>>，所以2210n d d ->->．因此1112n d d ->-，∴ 52n S >． ……………………………………… 10分。
2021-2022学年福建省三明市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|0<x<4),B={2,3,4}，则A∩B=()A. {2,3}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}2.命题“∀x>2，x2+2>6”的否定()A. ∃x≥2，x2+2>6B. ∃x≤2，x2+2≤6C. ∃x≤2，x2+2>6D. ∃x>2，x2+2≤63.函数f(x)=√2−x+1x−1的定义域为()A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (−∞,1)∪(1,2)D. (−∞,1)∪(1,2]4.若条件p：x≤2，q：1x ≥12，则p是q成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分各件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.已知sin(π3−x)=35，则cos(x+π6)=()A. 35B. 45C. −35D. −456.设m>0，n>0，且m+2n=1，则1m +1n的最小值为()A. 4B. 3+√2C. 3+2√2D. 67.已知a=0.30.2，b=0.20.3，c=20.3，则它们的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. b<c<a8.设f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0).若存在0≤x1<x2≤π2，使得f(x1)−f(x2)=−2，则ω的最小值是()A. 2B. 73C. 3 D. 133二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=tan(2x−π3)，以下判断正确的是()A. f(x)的最小正周期为π2B. f(x)的最小正周期为πC. (π3,0)是y=f(x)图象的一个对称中心D. (π6,0)是y=f(x)图象的一个对称中心10.若实数a，b，c，d满足a>b>0>c>d，则以下不等式一定成立的是()A. c2<cdB. a−d>b−cC. ac>bdD. ac <bd11.整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，其中k∈{0,1,2,3,4}.以下判断正确的是()A. 2021∈[1]B. −2∈[2]C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D. 若a−b∈[0]，则整数a，b属同一类12.已知函数f(x)=log2(2x+8x)−2x，以下判断正确的是()A. f(x)是增函数B. f(x)有最小值C. f(x)是奇函数D. f(x)是偶函数三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角α的终边经过点(−√32,12)，则sin(α−π6)=______．14.已知f(x)=x2，g(x)=x.若实数m满足f(m)+g(−m)≤6，则m的取值范围是______．15.函数y={x 2+2x−1,x≤0lgx+2x−3,x>0的零点个数为______．16.设x，y∈R，a>0，b>0.若a x=b y=4，且a+2b+ab=16，则1x +1y的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列各式的值：(1)823−(−78)0+√(3−π)2+[(−2)4]12；(2)lg2−lg14+3lg5+lg0.1．18. 已知f(θ)=sin(π−θ)cos(2π−θ)sin(θ−π2)cos(π+θ)．(1)化简f(θ)，并求f(8π3)的值；(2)若f(θ)=3，求2sin 2θ−3sinθcos0的值．19. 设函数f(x)=2+x2−x ，g(x)=log 2f(x)．(1)根据定义证明f(x)在区间(−2,2)上单调递增； (2)判断并证明g(x)的奇偶性；(3)解关于x 的不等式g(1−x)+g(x2)>0．20. 国际上常用恩格尔系数r(r =食物支出金额总支出金额×100%))来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如表：某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%.统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长6%．根据上述材料，回答以下问题：(1)该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；(2)最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？参考数据：1.0410=1.480，1.0610=1.791，ln2=0.693，ln3=1.099，ln5=1.609，ln52=3.951，ln53=3.970．21.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x+m(m∈R)的最大值为2．(1)求m的值；(2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合；(3)将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的t(t>0))倍(纵坐标不变)，得到是y=g(x)的一个零点，求t的最大值．函数y=g(x)的图象，若π422.已知函数f(x)=m√−x2−2x+3+√1−x+√3+x，其中m为实数．(1)求f(x)的定义域；(2)当m=0时，求f(x)的值域；(3)求f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|0<x <4),B ={2,3,4}， ∴A ∩B ={2,3}． 故选：A ．进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x >2，x 2+2≤6， 故选：D ．根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】D【解析】解：要使f(x)有意义，则{2−x ≥0x ≠1，解得x ≤2且x ≠1，∴f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,2]． 故选：D ．可看出，要使得f(x)有意义，则需满足{2−x ≥0x −1≠0，然后解出x 的范围即可．本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：p ：x ≤2，q ：1x ≥12，解得：0<x ≤2， 而(0,2]⫋(−∞，2]， 则p 是q 成立必要不充分条件， 故选：B ．根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵π3−x+x+π6=π2，∴cos(x+π6)=sin(π3−x)=35．故选A．利用诱导公式，可得cos(x+π6)=sin(π3−x)，即可得出结论．本题考查诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由n>0，n>0，m+2n=1，得1m +1n=(m+2n)(1m+1n)=3+2nm+mn≥3+2√2nm ⋅mn=3+2√2，当且仅当2nm =mn，即m=√2−12，n=2−√22时等号成立，所以1m +1n的最小值为3+2√2．故选：C．由题意，1m +1n=(m+2n)(1m+1n)=3+2nm+mn，从而即可利用基本不等式进行求解．本题考查基本不等式的运用，解题关键在于运用1的代换并构造出“积定”的形式进行求解．7.【答案】B【解析】解：∵a=0.30.2>0.30.3>0.20.3=b，且0.30.2<0.30=1，c=20.3>20=1，∴b<a<c．故选：B．直接由幂函数与指数函数的单调性比较a ，b ，c 的大小．本题考查实数的大小比较，考查指数函数与幂函数的性质，是基础题．8.【答案】D【解析】解：∵f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)，存在0≤x 1<x 2≤π2，使得f(x 1)−f(x 2)=−2，则函数f(x)在区间[0,π2]上，存在包含最大值和最小值的一个增区间． ∵ωx +π3∈[π3,ωπ2+π3]，∴ωπ2+π3≥5π2，∴ω≥133，则ω的最小值是133． 故选：D ．先化简f(x)的解析式，由题意利用正弦函数的单调性和最值即可求解． 本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：函数的最小正周期T =π2，故A 正确，B 错误； 由2x −π3=12kπ，k ∈Z ，得x =kπ4+π6，k ∈Z ，当k =0时，x =π6，即点(π6,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．根据正切函数的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及正切函数的图象和性质，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：因为0>c >d ，所以c 2<cd ，故A 正确；因为a >b >0>c >d ，所以−d >−c ，所以a −d >b −c ，故B 正确；取a=2，b=1，c=−1，d=−2，满足a>b>0>c>d，此时ac=bd，故C错误；因为a>b>0>c>d，所以−d>−c>0，所以−ad>−bc，所以ad<bc，又1cd >0，所以ad⋅1cd<bc⋅1cd，即ac<bd，故D正确．故选：ABD．由不等式的性质可判断ABD，由特值法可判断C．本题主要考查不等式的基本性质，考查特值法的应用，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：对于选项A，2021=404×5+1，即2021∈[1]，即选项A正确；对于选项B，−2=(−1)×5+3，即2021∈[3]，即选项B错误；对于选项C，任一整数除以5，余数为0或1或2或3或4，即Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，即选项C正确；对于选项D，若a−b∈[0]，则a，b除以5余数相同，即整数a，b属同一类，即选项D 正确，故选：ACD．先阅读题设中“类”的定义，再逐一判断即可得解．本题考查了阅读理解能力，属基础题．12.【答案】BD【解析】解：函数f(x)=log2(2x+8x)−2x，则f(x)=log2(2x+8x)−log222x，则f(x)=log2(2x+12x)，则f(x)=f(−x)，即函数为偶函数，即选项D正确，选项C错误；由2x+12x ≥2√2x×12x=2，当且仅当x=0时取等号，即函数f(x)有最小值1，即选项B正确；由函数f(x)为偶函数，则f(x)不为增函数，且减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞)，即选项A错误，综上，判断正确的是选项BD，故选：BD．先由对数的运算化简，再结合对数函数的性质逐一判断即可得解．本题考查了对数的运算，重点考查了对数函数的性质，属中档题．13.【答案】√32【解析】解：因为角α的终边经过点(−√32,12 )，所以cosα=−√32，sinα=12，则sin(α−π6)=sinαcosπ6−cosαsinπ6=√32sinα−12cosα=√32×12−12×(−√32)=√32．故答案为：√32．由题意利用任意角的三角函数的定义可求cosα，sinα的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】[−2,3]．【解析】解：∵f(x)=x2，g(x)=x．实数m满足f(m)+g(−m)≤6，即m2+(−m)≤6，即m2−m−6≤0，解得−2≤m≤3，则m的取值范围是[−2,3]．故答案为：[−2,3]．结合题意将m代入函数表达式，可得不等式m2−m−6≤0，求解不等式即可．本题考查了不等式的解法，是基础题．15.【答案】2【解析】解：当x ≤0时，x 2+2x −1=0，解得x 1=−√2−1或x 2=√2−1，∵x 2=√2−1>0，∴此时零点为x 1=−√2−1；当x >0时，y =lgx +2x −3在(0,+∞)上单调递增，当x =1时，y <0，当x =2时，y >0，故在(1,2)之间有唯一零点， 综上所述，函数y 在R 上有2个零点． 故答案为：2．当x ≤0时，令函数值为零解方程即可，当x >0时，根据零点存在性定理判断即可． 本题考查函数零点问题，属基础题．16.【答案】32【解析】解：由a +2b +ab =16，得a =16−2b b+1，所以ab =b(−2b+16)b+1=−2(b+1)2+20(b+1)−18b+1=−[2(b +1)+18b+1]+20≤−2√2(b +1)⋅18b+1+20=8，当且仅当2(b +1)=18b+1，即a =4，b =2时等号成立， 又a >0，b >0，a x =b y =4，得1x =log 4a ，1y =log 4b ，所以1x +1y =log 4a +log 4b =log 4(ab)≤log 48=32，当且仅当a =4，b =2时等号成立， 所以1x +1y 的最大值为32． 故答案为：32．由a +2b +ab =16可得a =16−2b b+1，从而ab =b(−2b+16)b+1=−2(b+1)2+20(b+1)−18b+1，进一步可求出ab 的取值范围，最后结合1x +1y =log 4a +log 4b =log 4(ab)进行求解即可． 本题考查基本不等式的运用，解题的关键在于准确消元求最值，属于中档题．17.【答案】解：(1)原式=23×23−1+|3−π|+24×12=22−1+(π−3)+22=4−1+(π−3)+4=4+π；(2)原式=lg2+2lg2+3lg5−1=3(lg2+lg5)−1=3lg10−1=3×1−1=2．【解析】(1)进行指数式和根式的运算即可； (2)进行对数式的运算即可．本题考查了指数式、根式和对数式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：法一：(1)f(θ)=sin(π−θ)cos(2π−θ)sin(θ−π2)cos(π+θ)=sinθcos(−θ)−sin(π2−θ)(−cosθ)=sinθcosθ−cosθ(−cosθ)=tanθ，则f(8π3)=tan(8π3)=tan(2π3)=−tan(π3)=−√3． (2)由(1)知，tanθ=3，即sinθcosθ=3， 所以sinθ=3cosθ． 因为sin 2θ+cos 2θ=1，所以(3cosθ)2+cos 2θ=1，即10cos 2θ=1， 解得cosθ=±√1010．当cosθ=√1010时，sinθ=3√1010； 当cosθ=−√1010时，sinθ=−3√1010， 所以sin 2θ=910，sinθcosθ=310，所以2sin 2θ−3sinθcosθ=2×910−3×310=910． 法二： (1)同解法一．(2)由(1)知，tanθ=3， 则2sin 2θ−3sinθcosθ=2sin 2θ−3sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2sin 2θ−3sinθcosθcos 2θsin 2θ+cos 2θcos 2θ=2tan 2θ−3tanθtan 2θ+1=2×32−3×332+1=910．【解析】法一：(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解． (2)利用同角三角函数基本关系式即可求解． 法二： (1)同解法一．(2)由(1)知，tanθ=3，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．19.【答案】证明：(1)∀x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2+x 12−x 1−2+x22−x 2=(2+x 1)(2−x 2)−(2+x 2)(2−x 1)(2−x 1)(2−x 2)=4(x 1−x 2)(2−x 1)(2−x 2)．因为x 1−x 2<0，2−x 1>0，2−x 2>0． 所以f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(−2,2)上单调递增．(2)由f(x)>0，得−2<x <2，即g(x)的定义域为(−2,2)．对于任意x ∈(−2,2)，g(x)=log 22+x2−x ，g(−x)=log 22+(−x)2−(−x)=log 22−x2+x =log 2(2+x2−x )−1=−log 22+x 2−x=−g(x)，所以g(x)是奇函数．(3)由(1)知，y =2+x2−x 在(−2,2)上单调递增，又因为y =log 2x 是增函数，所以g(x)是(−2,2)上的增函数． 由{−2<1−x <2−2<x 2<2，得−1<x <3．由g(1−x)+g(x 2)>0， 得g(x2)>−g(1−x)，因为g(x)是奇函数，所以−g(1−x)=g(x −1)． 所以原不等式可化为g(x2)>g(x −1)， 则x2>x −1， 解得x <2．所以原不等式的解集为{x|−1<x <2}．【解析】(1)根据函数单调性的定义进行证明即可． (2)根据函数奇偶性的定义进行判断，(3)根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．是个中档题．20.【答案】解：(1)该地区2000年底的恩格尔系数为r 2000=60%，则2010年底的思格尔系数为r 2010=1.04101.0610⋅r 2000……………………(1分)=1.4801.791×0.6……………………(2分)因为1.480×0.6=0.8880，1.791×0.5=0.8955， 所以1480×0.6<1.791×0.5， 则1.4801.791×0.6<0.5，所以r 2010<50%.……………………(4分)所以该地区在2010年底已经达到小康水平．……………………(5分) (2)从2000年底算起，设经过n 年，该地区达到富裕水平 则1.04n 1.06n ⋅r 2000≤40%，……………………(6分)故(1.041.06)n ≤23，即(5253)n ≤23．化为nln 5253≤ln 23.……………………(7分) 因为0<5253<1，则In 5253<0，所以n ≥ln23ln 5253.……………………(8分)因为ln23ln 5253=ln2−ln3ln52−ln53……………………(9分)=ln3−ln2ln53−ln52=1.099−0.6933.970−3.951≈21.37.……………………(11分) 所以n ≥22．所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平．……………………(12分)【解析】(1)用食品消费支出额除以消费支出总额，求出食品消费支出额是消费总额的百分之几(即n)，然后找出所处的范围，从而判断其生活水平． (2)从2000年底算起，设经过n 年，该地区达到富裕水平，推出1.04n 1.06n⋅r 2000≤40%，转化求解即可．本题考查实际问题的处理方法，恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重的理解与应用．21.【答案】(1)f(x)=√3sin2x +2cos 2x +m =√3sin2x +cos2x +1+m =2(√32sin2x +12cos2x)+1+m =2sin(2x +π6)+1+m ； 因为sin(2x +π6)的最大值为1，所以f(x)的最大值为3+m ；依题意，3+m =2， 解得m =−1．(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x +π6)， 由f(x)≥1， 得sin(2x +π6)≥12； 所以π6+2kπ≤2x +π6≤5π6+2kπ,k ∈Z ．解得kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈Z所以，使f(x)≥1成立的x 取值集合为{x|kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈Z}． (3)依题意，g(x)=sin(2t x +π6)，因为π4是g(x)的一个零点，所以sin(π2t +π6)=0， 所以π2t +π6=kπ,k ∈Z ． 所以t =36k−1，因为t >0，所以k ≥1， 所以t 的最大值为35．【解析】(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出m 的值； (2)利用整体思想的应用求出x 的范围；(3)利用三角函数的关系式的变换和函数的零点的关系求出t 的最大值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象和函数的零点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22.【答案】解：法一(1)由{1−x ≥03+x ≥03−2x −x 2≥0，得{x ≤1x ≥−3−3≤x ≤1，解得−3≤x ≤1．所以f(x)的定义域为{x|−3≤x ≤1}． (2)当m =0时，f(x)=√1−x +√3+x ． 设t =√1−x +√3+x ，则t 2=2√−x 2−2x +3+4=2√−(x +1)2+4+4． 当x =−1时，t 2取得最大值8；当x=−3或x=1时，t2取得最小值4．所以t2的取值范围是[4,8]．所以f(x)的值域为[2,2√2].(3)设t=√1−x+√3+x，由(2)知，t∈[2,2√2]，且√−x2−2x+3=t2−42，则m√−x2−2x+3+√1−x+√3+x=m2(t2−4)+t=m2t2+t−2m．令φ(t)=m2t2+t−2m，t∈[2,2√2]，若m=0，φ(t)=t，此时φ(t)的最小值为φ(2)=2；若m≠0，φ(t)=m2t2+t−2m=m2(t+1m)2−12m−2m．当m>0时，φ(t)在[2,2√2]上单调递增，此时φ(t)的最小值为φ(2)=2；当−1m ≥1+√2，即1−√2≤m<0时，|−1m−2|≥|2√2−(−1m)|，此时φ(t)的最小值为φ(2)=2；当0<−1m <1+√2，即m<1−√2时，|−1m−2|≥|2√2−(−1m)|，此时φ(t)的最小值为φ(2√2)=2m+2√2．所以，当m≥1−√2时，f(x)的最小值为2；当m<1−√2时，f(x)的最小值为2m+2√2．解法二(1)同解法一．(2)当m=0时，f(x)=√1−x+√3+x．因为−3≤x≤1，所以0≤√1−x2≤1,0≤√3+x2≤1，且(√1−x2)2+(√3+x2)2=1，令√1−x2=cosα,√3+x2=sinα，其中0≤α≤π2．则√1−x+√3+x=2cosα+2sinα=2√2sin(α+π4)．因为0≤α≤π2，即π4≤α+π4≤3π4，当α+π4=π4，即α=0时，sin(α+π4)取最小值√22；当α+π4=π2，即α=π4时，sin(α+π4)取最大值1所以，当m=0时，f(x)的值域为[2,2√2].(3)令√1−x2=cosα,√3+x2=sinα，其中0≤α≤π2，则m√−x2−2x+3+√1−x+√3+x=4msinαcosα+2(sinα+cosα)．令t=sinα+cosα，由(2)知，t∈[1,√2]．因为sinαcosα=t2−12，所以4m⋅sinαcosα+2(sinα+cosα)=2mt2+2t−2m．令φ(t)=2mt2+2t−2m，t∈[1,√2]．若m=0，φ(t)=2t，此时φ(t)的最小值为φ(1)=2；若m≠0，φ(t)=2m(t+12m )2−12m−2m．当m>0时，φ(t)在[1,√2]上单调递增，此时φ(t)的最小值为φ(1)=2；当−12m ≥1+√22，即1−√2≤m<0时，|−12m−1|≥|√2−(−12m)|，此时φ(t)的最小值为φ(1)=2；当0<−12m <1+√22，即m<1−√2时，|−12m−1|<|√2−(−12m)|，此时φ(t)的最小值为φ(√2)=2m+2√2．所以，当m≥1−√2时，f(x)的最小值为2；当m<1−√2时，f(x)的最小值为2m+2√2．【解析】(1)根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可，(2)当m=0时，求出函数f(x)的解析式，利用换元法进行转化求解即可，(3)利用换元法进行转化，利用函数的单调性和最值关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域，值域以及最值的求解，利用换元法进行转化是解决本题的关键，是中档题．。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
A．{x|﹣4≤x＜﹣2 或 3＜x≤7}
B．{x|﹣4＜x≤﹣2 或 3≤x＜7}
C．{x|x≤﹣2 或 x＞3}
D．{x|x＜﹣2 或 x≥3}
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
故选：A．
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣2x2﹣x＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0．
பைடு நூலகம்
∴M≥N．
故选：A．
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于 B，0＜x＜1⇒x2＜1，故 B 正确；
对于 C，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故 C 正确；
对于 D，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故 D 错误．
故选：BC．
11．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 M＝{2，3，4}，则 M 的子集个数是 8
B．函数 y
与 y＝（ ）2 是同一函数
t C．不等式
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）不等式 x2＞8 的解集是（ ）
A．（﹣2 ，2 ）
B．（﹣∞，﹣2 ）∪（2 ，+∞）
C．（﹣4 ，4 ） 6．（5 分）下列函数中，最小值为 2 的是（
(以此份为准)三明市2021-2022上学期高三期末质量检查测试参考答案
高三数学试题参考答案第1页（共10页）三明市2021-2022学年第一学期普通高中期末质量检测高三数学试题参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．AC 10．BC 11．ABD 12．BCD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[]0,414．215．53或33（注：写出一个或两个正确值均可得满分）16．6四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：因为)2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos cos sin cos )A A C B B C =+，即2sin cos )A A B C =+，即2sin cos A A A =,又因为A 为内角，0sin >A ，所以3cos 2A =，..........................................................4分因为(0,)A ∈π，所以6A π=.根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-及b =，1a =，6A π=，高三数学试题参考答案第2页（共10页）得2223132c c =+-⋅，即21c =，即1=c ，3=b ，.....................................8分所以ABC ∆的面积43211321sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC .....................................10分18．解：（1）因为123232n a a a na n++++= ，所以123232n a a a na n ++++= ①..................................................................................................................................................1分当1n =时，12a =，............................................................................................................2分当2n ≥时，123123(1)2(1)n a a a n a n -++++-=- ②...........................................4分①-②得，2n na =，即2n a n =（2n ≥），....................................................................5分又因为12a =，满足2n a n =，所以2n a n=（n *∈N ），..............................................6分（2）因为2n a n =，所以22.(2)n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩，为奇数，，为偶数.....................................................7分所以20222(2638)()24462022S =+++++++⨯⨯⨯ ，.......................................8分所以20(238)10111111(224462022S +⨯=+-+-++- ，.....................................10分所以2011200222S =+-，即20220511S =．.................................................................12分19．解：（1）由题知，15=μ，5=σ，所以)2()2510(σμσμ+<<-=<<X P X P )22(21)(21σμσμσμσμ+<<-++<<-=X P X P高三数学试题参考答案第3页（共10页）)9545.06827.0(21+≈6372.121⨯=8186.0=...............................................................................................4分所以1000位植树者中植树的棵数在15(，)25内的人数估计为8198186.01000≈⨯人........................................................................................................................................................5分（2）甲箱内一次摸奖，奖金1Y 的所有可能值为0，50，100，且21)0(1==Y P ，10)50(1b Y P ==，10)100(1a Y P ==，则2555)(5105101001050210(1+=++=+=⨯+⨯+⨯=a a b a a b a b Y E ），所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为7515)(31+=a Y E ，{}1,2,3,4a ∈...............8分乙箱内一次摸奖，奖金2Y 的所有可能值为0，150，且2151(150)453P Y ===，22(0)3P Y ==，212()15005033E Y =⨯+⨯=所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为22()100E Y =.................................................10分所以，当1,4a b ==时，90)(31=Y E 100)(22=<Y E ，建议该职工选择方案二；当2,3a b ==时，105)(31=Y E 100)(22=>Y E ，建议该职工选择方案一；当3,2a b ==时，120)(31=Y E 100)(22=>Y E ，建议该职工选择方案一；当4,1a b ==时，135)(31=Y E 100)(22=>Y E ，建议该职工选择方案一...............................................................................................................................................12分.20．解：（1）取BC 的中点O ，连结AO ，1C O ，因为ABC △为等边三角形，所以AO BC ⊥........................................................................................................................................................1分高三数学试题参考答案第4页（共10页）因为侧面11B BCC 为菱形，所以12BC CC ==，又因为160BCC ∠= ，所以1BCC △为等边三角形，所以1C O BC ⊥，..............................................................2分因为1AO C O O = ，AO ⊂平面1AOC ，1C O ⊂平面1AOC ，所以BC ⊥平面1AOC ，..................................................................................................................................................4分因为1AC ⊂平面1AOC ，所以1AC BC ⊥.. (5)分（2）因为侧面11B BCC 为菱形，所以11BC B C ∥，由（1）知1AC BC ⊥，所以111AC B C ⊥，所以2221111AB AC B C =+，因为1AB =，112B C =，所以1AC =，...............................................................6分又因为1AO OC ==1AOC △为等边三角形.在平面1AOC 过点O 作1OH OC ⊥，由（1）知BC ⊥平面1AOC ，且OH ⊂平面1AOC ，所以BC OH ⊥.以O 为原点，OC ，1OC ，OH为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系...........................................................................................................................7分高三数学试题参考答案第5页（共10页）此时，33(0,,)22A ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C，1C，所以()1CC =- ，因为11CC AA =，所以13(1,)22A -，.................................................................................8分所以1BC = ，1333(0,,22BA = 设(),,x y z n =为平面1A BC 的一个法向量，则110,0,BC BA ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ n =n =即0,3330,22x y +z ⎧+⎪⎨⎪⎩==取z =，则1y =-，x =-n =，........................................10分又因为平面11BB C 的一个法向量为()0,0,1m =，所以cos 7,=⋅<>==⋅m n m n m n ,所以二面角111A BC B --的余弦值为217...................................................................12分21．解法一：（1）由焦距为得2=c ，................................................................1分又因为3)3P -在椭圆上，所以1)33(22222=-+b a ）（，即131222=+b a ...........2分又因为222a b c =+，所以23a =，21b =.......................................................................4分所以椭圆C 的方程为：1322=+y x ....................................................................................5分（2）假设在y 轴上存在定点N ，使得ABN AMN ∠=∠2恒成立，高三数学试题参考答案第6页（共10页）设0(0,)N y ，()()1122,,,A x y B x y ①当直线l 的斜率存在时，设1:2l y kx =-由221213y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()224121290k x kx +--=，()22144364120k k ∆=++>，121222129,412412k x x x x k k-+==++........................7分因为ABN AMN ∠=∠2，所以点N 在以AB 为直径的圆上，即0NA NB ⋅= ..........8分因为()()110220,,,NA x y y NB x y y =-=- ，所以()()121020NA NB x x y y y y ⋅=+-- ()212120120x x y y y y y y =+-++()()2212121201201124k x x k x x x x y k x x y =+-+-+-++⎡⎤⎣⎦()()22120120011124k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭()22200021214480412y k y y k-++-==+20200104480y y y ⎧-=⎪∴⎨+-=⎪⎩解得01y =，即存在()0,1N ......................................................11分②当直线l 的斜率不存在时(0,1),(0,1),(0,0)A B M -，点()0,1N 满足20AMN ABN ∠=∠= .综上，存在定点()0,1N ，使得ABN AMN ∠=∠2恒成立........................................12分解法二：（1）由焦距为2=c ，可知)0,2(1-F ,)0,2(2F .......................1分高三数学试题参考答案第7页（共10页）由椭圆定义：a PF PF 221=+得：a 2332233222222=-+-+-+）（）（）（）（......................................................2分整理得：32335332=+=a ，即3=a .................................................................3分由2222==-cb a 得：1=b ...............................................................................................4分所以椭圆的方程为：1322=+y x .........................................................................................5分（2）同解法一.解法三：（1）由焦距为2=c ，可知)0,2(1-F ,)0,2(2F .......................1分因为3)3P -，所以a b PF 22=，即ab 233=.........................................................2分又因为2222==-c b a ，解方程组得：3=a ，1=b 所以椭圆的方程为：1322=+y x ........................................................................................5分（2）同解法一.22．解法一：（1）()f x 定义域为R ，由2()()e xf x ax x a =++得22()(21)e ()e (21)1e x x x f x ax ax x a ax a x a '⎡⎤=++++=++++⎣⎦．....................1分当0a =时，()(1)e x f x x '=+，此时()f x 在(1,)-+∞上单调递增；在(,1)-∞-上单调递减.........................................2分高三数学试题参考答案第8页（共10页）当0a >时，令()(1)(1)e 0x f x x ax a '=+++=，即11x =-，21a x a+=-，..........3分因为2111a x a a +=-=--，所以12x x >.令()0f x '>，则1a x a+<-或1x >-，即()f x 在1(,)a a+-∞-和(1,)-+∞上单调递增.令()0f x '<，则11a x a +-<<-，即()f x 在1(,1)a a+--上单调递减....................4分当0a <时，令()(1)(1)e 0x f x x ax a '=+++=，即11x =-，21a x a +=-.因为2111a x a a+=-=--，所以12x x <，令()0f x '>，则11a x a +-<<-，即()f x 在1(1,)a a+--上单调递增.令()0f x '<，则1x <-或1a x a +>-，即()f x 在(,1)-∞-和1(,)a a +-+∞上单调递减..................................................................................................................................................5分综上所述：当0a =时，()f x 在(1,)-+∞上单调递增；在(,1)-∞-上单调递减.当0a >时，()f x 在1(,)a a +-∞-和(1,)-+∞上单调递增，在1(,1)a a+--上单调递减.当0a <时，()f x 在1(1,a a +--上单调递增，在(,1)-∞-和1(,)a a+-+∞上单调递减...................................................................................................................................................6分（2）因为函数()f x 有两个不大于1-的极值点，由（1）知0a >，高三数学试题参考答案第9页（共10页）因为22()()e (1)e x xf x ax x a x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦且0a >，所以()e x f x x >，所以要证明()e ln(1)1x f x x x ≥+-++，只要证明e e ln(1)1x x x x x ≥+-++，即要证明e e ln(1)10x x x x x -----≥............................................................................7分令()e e ln(1)1x x g x x x x =-----（1x >），则1()e e e 1e 11x x x x x g x x x x x '=+---=---，令()0g x '=，则1e 01x x -=-，令1()e 1x h x x =--，则21()e 0(1)x h x x '=+>-，所以()h x 在()1,x ∈+∞上单调递增，因为2(2)e 10h =->，2212(1)e 0e h e e --++=-<，所以()h x 在()1,x ∈+∞上有唯一零点，设为0x ，且当()01,x x ∈时，()0h x <，()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()g x 单调递增，所以00min 0000()()e e ln(1)1x x g x g x x x x ==-----，.............................................10分因为001e 01x x -=-，即001e 1x x =-，即00ln(1)x x -=-，所以min 000001()()(1)10(1)g x g x x x x x ==-+--=-所以()0g x ≥，所以原不等式成立..................................................................................12分解法二：（1）同解法一；高三数学试题参考答案第10页（共10页）（2）因为函数()f x 有两个不大于1-的极值点，由（1）知0a >，因为22()()e (1)e x xf x ax x a x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦且0a >，所以()e x f x x >，所以要证明()e ln(1)1x f x x x ≥+-++，只要证明e e ln(1)1x x x x x ≥+-++，即要证明e e ln(1)10x x x x x -----≥............................................................................7分即要证明()1e ln(1)e 10x xx x ----≥，令()1e xt x =-（1x >），即要证明ln 10t t --≥，....................................................9分因为'(1)x x x t e x e xe =+-=，所以()1e xt x =-在()1,x ∈+∞上单调递增，所以0t >，令()ln 1h t t t =--（0t >），因为'11()1t h t t t-=-=，所以()h t 在()0,1t ∈上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增，所以()(1)0h t h ≥=，所以原不等式成立...............................................................................................................12分。
广东省云浮市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
广东省云浮市2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =<≤，{}3782B x x x =-≥-，则A B = （）A ．[]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．(]3,42．9sin 4π=（）A ．12B ．2C ．2D ．2-3．指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,24．已知函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：x 12456()f x 123.13615.55210.88-52.488-232.064在以下区间中，()f x 一定有零点的是（）A ．（1，2）B ．（2，4）C ．（4，5）D ．（5，6）5．如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6．若关于x 的一元二次不等式23208x kx -+>对于一切实数x 都成立，则实数k 满足（）A ．{k k <B ．{k k <C ．{k k <<D ．{k k >7．已知函数()()()sin 0,0,0f r A x k A ωϕωϕπ=++>><<的部分图象如图所示，若函数()g x 的图象由()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到，则（）A ．()3sin 226g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()23sin 223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()2sin 236x g x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D ．()3sin 22g x x =-8．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2017年8月8日我国四川九寨沟县发生里氏7.0级地震的（）A ．32倍B ．64倍C ．1000倍D ．1024倍二、多选题9．下列结论中正确的是（）A ．2sin cos sin 2ααα=B ．若3sin 5x =，则4cos 5x =±C ．命题“x ∀∈R ，10x +>”的否定是“x ∀∈R ，10x +<”D ．“a b >”是“22a b >”的充分条件10．若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则（）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图像的对称轴是直线4x =D ．()f x 的最小值为1-11．已知0a b >>，则（）A ．22ac bc >B ．22a ab b >>C ．11b a>D的取值范围是[)2,+∞12．已知函数()()221,1,2,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.函数()y f x a =-有四个不同零点，1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（）A ．a 的值范围是()0,1B ．21x x -的取值范围是()0,1C ．342x x +=D ．12342212x x x x +=+三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．14．若4log 31x =，则33x x -+=__________．15．函数()()()sin 2cos 2sin cos 1sin 1cos f x a x x x x a x a x =+++⋅++-，a ∈R ，且()f x 的最大值为3，则实数=a ______．四、双空题16．已知0x >，则2x x+的最小值为______，此时x ＝______．五、解答题17．求下列各式的值．(1)1lg lg 254-；(2)．18．已知函数()sin f x x x =+．(1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求()f x 的最小正周期、最大值、最小值及单调递增区间．19．已知函数()1f x x x=+．(1)判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；(2)用定义证明f （x ）在（1，＋∞）上单调递增；(3)求f （x ）在[－2，－1]上的值域．20．已知函数()()e 1e x xf x a -=++．(1)若()f x 是偶函数，求a 的值；(2)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()1f x a +恒成立，求a 的取值范围．21．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t 的最小值．22．已知函数()3131x x a f x ⋅+=-．(1)当1a =时，解方程()()lg 2lg 1lg16f x f x -=-；(2)当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．A【分析】求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥，所以[]3,4A B ⋂=．故选：A.2．B【分析】利用诱导公式即可求得答案.【详解】9sin sin 2sin 4442ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.故选：B.3．D【分析】由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可【详解】因为指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，所以011a <-<，得12a <<，所以实数a 的取值范围是()1,2，故选：D 4．C【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.【详解】∵(1)0(2)0(4)0(5)0(6)0f f f f f >>><<，，，，∴(1)(2)0f f >，(2)(4)0f f >，(4)(5)0f f <，(5)(6)0f f >,又函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，由函数零点存在定理可得()f x 在区间()4,5上一定有零点．故选：C.5．C【分析】求出α的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.【详解】由图可知，1284παπ=⨯=，所以该扇形的面积212481S ππ=⨯⨯=．故选：C.6．C【分析】只需要满足条件()234208k ∆=--⨯⨯<即可.【详解】由题意()234208k ∆=--⨯⨯<，整理可得，230k -<，解得k <<故选：C.7．A【分析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.【详解】由图象可得1,5,A k A k +=⎧⎨-+=-⎩解得3A =，2k =-．因为22362T πππ=-=，所以2T ππω==．又因为0ω>，所以2ω=．因为3sin 2216πϕ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，所以2262k ππϕπ⨯+=+，Z k ∈，即26k πϕπ=+，Z k ∈．又因为0ϕπ<<，所以6πϕ=．()3sin 226f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．()3sin 226g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．故选：A.8．C【分析】设里氏9.0级和7.0级地震释放出的能量分别为1E 和2E ,可得出12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩，利用对数的运算性质可求得12E E 的值，即可得解.【详解】设里氏9.0级和7.0级地震释放出的能量分别为1E 和2E ,由已知可得12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩，则()()122lglg lg 4.8 1.59.0 4.8 1.57.03l E E E E =-=+⨯-+⨯=，故312101000EE ==．故选：C.9．AB【分析】根据二倍角正弦公式的逆用，可知A 正确；由22sin cos 1x x +=，解出cos x 值，即可判断B 项；根据全称量词命题的否定，写出命题的否定，可判断C 项；举例可说明D 项.【详解】对于A 项，根据二倍角正弦公式的逆用，可知2sin cos sin 2ααα=，故A 项正确；对于B 项，由22sin cos 1x x +=，可知4cos 5x ==±，故B 项正确；对于C 项，命题“x ∀∈R ，10x +>”的否定是“0x ∃∈R ，010x +≤”，故C 项错误；对于D 项，取1a =，2b =-，则a b >成立，2214a b =<=，故D 项错误.故选：AB.10．ABD【分析】根据已知求出()243f x x x =-+，再利用二次函数的性质判断得解.【详解】由题得()()1018f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即1018b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，所以()243f x x x =-+.对于A 项，因为431b c +=-+=-，故A 正确；对于B 项，因为()2334330f =-⨯+=，故B 正确；对于C 项，因为()243f x x x =-+的对称轴为2x =，故C 项错误；对于D 项，因为()()224321f x x x x =-+=--，所以()f x 的最小值为1-，故D 项正确.故选：ABD.11．BC【分析】根据不等式的性质与基本不等式依次判断各选项即可.【详解】解：对于A 选项，当0c =时，22ac bc >不成立，A 错误.对于B 选项，因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，故BC 正确；对于D 选项，当0a >，0b >时，a b +≥a b =时，等号成立，而a b >，所()2,+∞，故D 错误.故选：BC 12．AD【分析】将问题转化为()f x 与y a =有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.【详解】()y f x a =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，即()f x a =有四个不同的解．()f x的图象如下图示，对于A 项，由图知：当01a <<时，()y f x =与直线y a =有4个交点，故A 项正确；对于B 项，由图知：1201x x <<<，所以210x x ->，即21x x -的取值范围是(0,＋∞)，故B 项错误；对于C 项，3x ，4x 是()22x a -=的两个根，由二次函数()22y x =-的对称性得：344x x +=，故C 项错误；对于D 项，因为1x ，2x 是21xa -=的两个根，则121221x x -=-，即12222x x +=.又344x x +=，所以12342212x x x x +=+．故选：AD【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.13．3【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(,12,2aa ==，()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14．174【解析】先求出x 的值,然后再运用对数的运算法则求解出3x 和3x -的值,最后求解答案.【详解】若4log 31x =,则341log 4log 3x ==,所以33log 4log 41173333444x x --+=+=+=.故答案为:174【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.15．1±【分析】化简得()22122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪⎭⎭.令sin α=cos α=()()()|sin 2||12|f x x x αα=+++.令()2m x α=+，()2n x α=+，则2221m n a +=+，根据基本不等式推得m n +≤()1f x ≤.根据题意，列出方程，即可得到结果.【详解】函数22()|sin 2cos 2||(1)sin 2sin cos (1)cos |f x a x x a x x x a x =++++⋅+-()|sin 2cos 2||1cos 2sin 2|a x x a x x =++--22122x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪⎭⎭.令sin α=cos α=则()()()sin 2||12|f x x x αα=+++.令()2m x α=+，()2n x α=+，则2221m n a +=+.因为()()2222222m n m n mn m n +=++≤+，当且仅当m n =时，等号成立.所以m n +≤m n ==时，取等号.所以()1113f x m n m n =+-≤++≤+=，解得1a =±，故答案为：1±.【点睛】关键点点睛：将函数变形为()()()2||12|f x x x αα=++-+是本题求解的关键.16．.【分析】根据基本不等式可求出和的最小值，根据等号相等的条件可求出x 的值.【详解】因为0x >，所以2x x+≥当且仅当2xx=，且0x >，即x .故答案为：.17．(1)2-；(2)18.【分析】（1）根据对数的运算性质，即可得出答案；（2）现将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质，即可得出答案.【详解】（1）2111lglg 25lg 25lg lg10244100-⎛⎫-=÷==- ⎪⎝⎭.（2）()11132263233232⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭11111332366236318-+++=⨯⨯=⨯=.18．(1)2；(2)最小正周期为2π，最大值为2，最小值为2-，单调递增区间为()5ππ2π,2π66Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦k k k 【分析】（1）将π4x =代入()f x 解析式，求解即可得出答案；（2）由已知可得()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得出最小正周期、最大值、最小值.解πππ2π2π,232k x k k -+≤+≤+∈Z ，即可得出()f x 的单调递增区间.【详解】（1）由已知可得，πππsin 444f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为，()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以，()f x 的最小正周期2πT =.当ππ2π,32x k k +=+∈Z 时，()f x 有最大值为2；当ππ2π,32x k k +=-+∈Z 时，()f x 有最小值为2-.由πππ2π2π,232k x k k -+≤+≤∈Z 可得，5ππ2π2π,66k x k k -+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为()5ππ2π,2π66Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦k k k .19．(1)f （x ）为奇函数，理由见解析(2)证明见解析(3)[－52，－2]【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；（2）由单调性的定义证明；（3）由单调性得值域．【详解】（1）f （x ）为奇函数．由于f （x ）的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，且()()1f x x f x x-=-+=--，所以f （x ）为在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）（2）证明：设任意x ，1212,(1,),x x x x ∈+∞<，有()()12121212112211(1)x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由1212,(1,),x x x x ∈+∞<，得1212121,11,0x x x x x x >>+>-<，()12121210x x x x x x --<，即()()12f x f x <，所以函数f （x ）在（1，＋∞）上单调递增．（3）由（1），（2）得函数f （x ）在[－2，－1]上单调递增，故f （x ）的最大值为()12f -=-，最小值为()522f -=-，所以f （x ）在[－2，－1]的值域为[－52，－2]．20．(1)0(2)(],3-∞【分析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；（2）由()1f x a + 分离参数得2e e 1e 1x x x a -+≤-，利用换元法得出2e e 1e 1x x x -+-的最小值，即可得出a 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()e 1e e 1e x x x xa a --++=++，故0a =．（2）由题意知()e 1e 1x xa a -++≥+在()0,∞+上恒成立，则()2e 1e e 1xx x a --+，又因为()0,x ∈+∞，所以e 1x >，则2e e 1e 1x x xa -+≤-．令()e 10xt t -=>，则e 1x t =+，可得()()22111111t t t t a t ttt+-++++≤==++，又因为113t t++≥，当且仅当1t =时，等号成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞．21．(1)()260cos 680y x x tπ=-+≥(2)25【分析】（1）建立坐标系，由68y OA =-得出所求函数关系式；（2）由98y ≥得出21cos 2x t π≤-，由余弦函数的性质得出第一圈满足98y ≥持续的时间，再解不等式225333t t -≥得出t 的最小值．【详解】（1）如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处1O 为原点，以地平面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系1xO y ，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O 到地面的距离为68米．因为每转动一圈需要t 分钟，所以12xO OP t π∠=．()126868cos 60cos 680y OA OP O OP x x tπ=-=-∠=-+≥．（2）依题意，可知260cos 6898x y tπ=-+≥，即21cos 2x t π≤-，不妨取第一圈，可得22433x t πππ≤≤，233t t x ≤≤，持续时间为225333t t -≥，即25t ≥，故t 的最小值为25．22．(1)1x =(2)115,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）当1a =时，()3131x x f x +=-，求出()2f x ，把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果；（2）()()()23321131x xx a f x f x -⋅---⇔≥≥⇔|a+1|≥2x−12x ，令3xt =，(]1,3t ∈，则211t a t -+≥对任意(]1,3t ∈恒成立，利用函数的单调性求出()1g t t t=-的最大值，再求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围．【详解】（1）解：当1a =时，()31313131xxx x a f x ⋅++==--，()()()2222313123131x xx x f x ++==--．原方程等价于()()210lg lg16f x f x =且()20f x >，()0f x >，即()()258f x f x =，且()()2231031x x +>-，31031x x +>-，所以()()223131531831x x x x+-=+-，且31x >．令3xt =，则原方程化为()221581t t +=+，整理得231030t t -+=，解得3t =或13t =，即33x =或x133=（舍去），所以1x =．故原方程的解为1x =．（2）解：因为()()21f x f x -≥，所以()()22313113131x x x x a a ⋅+⋅+-≥--，即()233131x xx a -⋅-≥-．令3x t =，因为(]0,1x ∈，所以(]1,3t ∈，210t ->．则()2111a tt +⋅≥-恒成立，即211t a t-+≥在(]1,3上恒成立，令函数()1g t t t =-，因为函数y t =与1y t=-在(]1,3上单调递增，所以()g t 在(]1,3上单调递增．因为()833g =，()10g =，所以()80,3g t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2183t t -≤，所以813a +≥，解得113a ≤-或53a ≥．故a 的取值范围是115,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得.
【详解】对于选项A， 时， ，此时 为增函数；
对于选项B， 的最小正周期为 ；
对于选项C，因为 ， ，所以图象不是关于直线 成轴对称；
对于选项D，令 ， ，得 ，令 得 ，所以图象关于点 成中心对称.
所以 ，即 ；
因为 ，所以 解得 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的基底表示，选择合适的基底是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
8.设函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则实数 的最大值是（ ）
A. B.2C.4D.16
【答案】C
【解析】
【分析】
先求 的值域，根据题意 的值域应该是 的值域的子集，对 分类讨论可得.
6.在平面直角坐标系中，已知 是以原点 为圆心，半径长为2的圆.设角 的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与 的交点为 ，则点 的纵坐标 关于 的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出点 的坐标，结合三角函数的定义可求.
【详解】设 ，则 ，
，
所以 .
故选：D.
福建省三明市2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一､单选题：
1.函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据真数大于零可得定义域.
【详解】要使函数 有意义，则有 ，即 ，所以函数 的定义域为 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，对数函数一般要求真数大于零，侧重考查数学运算的核心素养.
【解析】
【分析】
先作出函数 的图象，然后依据图象可得.
【详解】对于选项A， ，显然函数 的图象不关于直线 对称；
对于选项B， 的图象是开口向上的抛物线，所以函数 在区间 上单调递增；
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】
逐项考查每两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.
【详解】对于选项A， 与 对应法则不同，所以两者不是同一函数；
对于选项B， 与 定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；
对于选项C， 与 定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查正切型函数的性质，熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻辑推理的核心素养.
11.设 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A.若 ，则存在实数 使得
B.若 ，则
C.若 ，则 在 方向上的投影为
D.若存在实数 使得 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】
若 ，则 反向，从而 ；
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的确定，根据零点存在定理可得 ，则 至少存在一个零点.
3.设向量 与向量 垂直，则实数 的值是（ ）
A. B. C.3D.12
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量垂直的坐标表示可得 ，从而可求实数 的值.
【详解】因为向量 与向量 垂直，
所以 ，即 .
故选：A.
【详解】因为对任意 ， ，
所以根据题意可知 的值域包含 .
当 时， 符合题意；
当 时， ， ，解得 ；
显然当 时，不符合题意；
所以实数 的最大值是4.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的值域问题，二次型函数的值域要关注二次项系数的影响，侧重考查数学抽象的核心素养.
二､多选题：
9.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
对于选项D， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，所以两者不是同一函数；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查同一函数的判定，两个函数是同一函数要满足两个条件：一是定义域要相同；二是对应法则要一致.侧重考查数学抽象的核心素养.
10.已知函数 ，则下列关于 的判断正确的是（ ）
A.在区间 上单调递增B.最小正周期是
故选：AB.
【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
12.已知函数 方程 ，则下列判断正确的是（ ）
A.函数 的图象关于直线 对称
B.函数 在区间 上单调递增
C.当 时，方程有2个不同的实数根
D.当 时，方程有3个不同的实数根
【答案】BC
2.用二分法求解方程 近似解的过程中，设 ，经计算得部分函数值近似值如下表：
1ห้องสมุดไป่ตู้
1.25
1.5
2
2.25
0.98
5.39
8.24
据此可以判断方程的根所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理可得，只需要找到函数值异号的区间即可.
【详解】因为根据零点存在定理可得 ，则 至少存在一个零点，
若 ，则 ，从而可得 ；
若 ，则 同向， 在 方向上的投影为
若存在实数 使得 ，则 共线，但是 不一定成立.
【详解】对于选项A，若 ，则 反向，由共线定理可得存在实数 使得 ；
对于选项B，若 ，则 ， ,可得 ；
对于选项C，若 ，则 同向， 在 方向上的投影为 ;
对于选项D，若存在实数 使得 ，则 共线，但是 不一定成立.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据角终边上一点的坐标可得定义式，侧重考查数学抽象的核心素养.
7.如图，在 中， 分别是 的中点， 是该平面上任意一点，设 ，则 （ ）
A. B. C.2D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形中位线性质可得 ,结合 可得 ，从而可求.
【详解】因为 分别是 的中点，
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，向量垂直则得向量的数量积为0，侧重考查数学运算的核心素养.
4.已知幂函数 的图象经过点（2，8），则实数 的值是（ ）
A. B. C.2D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用幂函数 的图象经过点（2，8），可得实数 的值.
【详解】因为幂函数 的图象经过点（2，8），
所以 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，函数图象经过某点，则该点坐标一定适合解析式，侧重考查数学运算的核心素养.
5.已知函数 ，则 （ ）
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求 ，再把 代入 可得.
【详解】因为
所以 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分段函数的求值要注意”对号入座”，侧重考查数学运算的核心素养.