高中数学《相似三角形的判定》
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高二数学相似三角形的判定及性质
形成结论
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个三角形的斜边和一 条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
相似三角形的判定 及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.相似三角形 的对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似； （3ttps:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面
《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
A D B E CB D O E
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
A
三边对应成 比例
A’
B’
B
C
C’
A'B' B' C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
高中几何知识解析相似三角形的判定方法
高中几何知识解析相似三角形的判定方法相似三角形是高中几何学中一个非常重要的概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
相似三角形的判定方法主要有三种：AAA相似、AA相似和相似比例判定法。
1. AAA相似判定法AAA相似是指两个三角形的对应角度相等，对应边的长度比例相等，即全等。
具体来说，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似的。
这种判定方法常用于证明两个三角形的相似关系。
例如，我们考虑两个三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么可以断定三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA相似判定法AA相似是指两个三角形的两个对应角度相等，对应边长成比例，即对应边的长度比例相等。
具体来说，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们可能是相似的。
为了确定它们是否相似，我们还需要比较第三个角的大小。
例如，我们考虑两个三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么可以猜测它们相似。
为了确认相似关系，我们还需要比较∠C和∠F的大小。
如果两个角相等，则可以得出三角形ABC与三角形DEF相似。
3. 相似比例判定法相似比例判定法是指通过对应边的长度比例来判定两个三角形是否相似。
具体来说，如果两个三角形的三条对应边的长度比例相等，那么它们一定是相似的。
例如，我们考虑两个三角形ABC和DEF，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么可以断定三角形ABC与三角形DEF相似。
在实际问题中，我们常常利用相似三角形的性质来求解未知长度或角度的值。
例如，通过构建相似三角形的比例方程，在已知条件下，可以求解出未知边的长度。
这为解决实际问题提供了有力的工具。
综上所述，相似三角形的判定方法包括AAA相似、AA相似和相似比例判定法。
这些方法在高中几何学中有着重要的应用，能够帮助我们理解和解决复杂的几何问题。
通过运用这些判定方法，我们可以提高解题效率，并且深化对几何知识的理解。
《相似三角形的判定》课件5(人教A版选修4-1)
A
F
D
B
E
CA1 2源自A OCB
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
课堂小结
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。 方法3：三边对应成比例。 方法4：两边对应成比例且夹角。 方法5：通过两角对应相等。
（这可是今天新学的，要牢记噢！)
观察你与老师的直角三角尺(30 与60 ) ,会相似吗？
O O
这两个三角形的三个内角的 大小有什么关系？
相 似
三个内角对应相等。
三个内角对应相等的两个三角 形一定相似吗？
画△ ，使三个角分别为60°，45°, 75° 。 ①同桌分别量出两个三角形三边的长度； ②同桌这两个三角形相似吗? 观察
即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角 相似 形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．
例3.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD 证明:连接AC、BD
⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角
∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B
PA PC PD PB
A
D
O
C
P B
∴△PAC∽△PDB
即PA· PB=PC· PD
例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
B
B'
C'
C
例题分析
例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 试说明△ADE∽△EFC.
B D
A
高二数学相似三角形的判定3
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B，
A A/
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
D
E
∴ ΔADE∽ΔABC。 ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C B/
C/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角 对应相等，两三角形相似。
求证： AD2 DC AC
； 试管婴儿 子宫肌瘤 不孕不育 ；
把雪球裹成泥团,或者把泥块隐藏在雪团里...”婷玉把云非雪の训练内容详细说一遍.“对了,你刚才怎么来の？”陆羽忽然想起来.云非雪眨眨眼睛,“踩着泥层.”没有破坏雪层充当掩饰,雪一融,那些泥层肯定也跟着融了.哇,陆羽给她竖起大拇指,牛叉.“对了,好像看过别人の,里边关于土系技 能大概有石笋、飞岩、泥坑、山崩地裂等等,最厉害の是能筑起六七米厚の围墙...”陆羽把土系异能者日常使用の技能告诉她.“...可能还有隐藏技能,这得靠你自己琢磨.”都是梦里见过最常用の技能,凭云非雪の聪明将来肯定想得到,提前说是希望她能早日熟练运用.趁有婷玉在一旁监督,若 失控或者发生其他意外至少有她控制局面.云非雪向她做了一个手势,“明白,谢了.”人家有心提点,自己心里明白就好,不必揭穿.两人在家歇一阵,喝杯热茶暖暖肚子,然后便出了门.婷玉按往常习惯带了两只大狼狗出去,它们不怕冷,是这冰天雪地里の勇士.在她の药膳滋补调养之下,整栋陆宅里 の生命强壮旺盛,包括橘猫小吉,它都胖成球了动作依旧灵敏利索.温暖の书房里,陆羽抱着小吉牌暖宝宝努力码字,不时地撸几下.她家有个电子秤,入冬之后一直在忙没秤过体重,结果昨天一看,嚯,胖了好几斤！是好几斤不是一两斤,把她吓了一大跳.“...这样下
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B，
A A/
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
D
E
∴ ΔADE∽ΔABC。 ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C B/
C/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角 对应相等，两三角形相似。
求证： AD2 DC AC
； 试管婴儿 子宫肌瘤 不孕不育 ；
把雪球裹成泥团,或者把泥块隐藏在雪团里...”婷玉把云非雪の训练内容详细说一遍.“对了,你刚才怎么来の？”陆羽忽然想起来.云非雪眨眨眼睛,“踩着泥层.”没有破坏雪层充当掩饰,雪一融,那些泥层肯定也跟着融了.哇,陆羽给她竖起大拇指,牛叉.“对了,好像看过别人の,里边关于土系技 能大概有石笋、飞岩、泥坑、山崩地裂等等,最厉害の是能筑起六七米厚の围墙...”陆羽把土系异能者日常使用の技能告诉她.“...可能还有隐藏技能,这得靠你自己琢磨.”都是梦里见过最常用の技能,凭云非雪の聪明将来肯定想得到,提前说是希望她能早日熟练运用.趁有婷玉在一旁监督,若 失控或者发生其他意外至少有她控制局面.云非雪向她做了一个手势,“明白,谢了.”人家有心提点,自己心里明白就好,不必揭穿.两人在家歇一阵,喝杯热茶暖暖肚子,然后便出了门.婷玉按往常习惯带了两只大狼狗出去,它们不怕冷,是这冰天雪地里の勇士.在她の药膳滋补调养之下,整栋陆宅里 の生命强壮旺盛,包括橘猫小吉,它都胖成球了动作依旧灵敏利索.温暖の书房里,陆羽抱着小吉牌暖宝宝努力码字,不时地撸几下.她家有个电子秤,入冬之后一直在忙没秤过体重,结果昨天一看,嚯,胖了好几斤！是好几斤不是一两斤,把她吓了一大跳.“...这样下
27.2.1_相似三角形的判定_第1课时ppt课件
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
ppt课件
A
D
F
E
B
C
16
6.如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，且 BE：EC=3：2，连接AE、BD交于点F，
则BF：FD=__________。
A
D
ppt课件
F
B
E
C
7.如右下图,已知DE∥BC，EF∥AB
AD:DB=2:3 , BC=20cm
A
则CF=
ppt课件
强化“对应”两字理解和记忆如图
AB EF BD FH
左上 右上 (左下 右下)
BD FH AB EF
左下 右下 (左上 右上)
ab
AE
l1
B
F l2
D
H l3
6
如图l1∥l2∥l3 ，试根据图形写出成比例线段.
AB DE BC EF
BC EF AB DE
AB DE AC DF
ppt课件
即对应角相等,对应边的比相等,我们说△ABC与△A'B'C'
相似，记作 △ABC∽△A'B'C'，△ABC和△A'B'C'的相似比为k， △A'B'C'与△ABC的相似比为 . 1
k
如果k=1,这 两个三角形有 怎样的关系?
4
ppt课件
问题 如图l1∥l2 ∥ l3，在两直线a，b上截得的线段有什么
.
D
E
B
F
C
17
ppt课件
通过本节课的学习，需要掌握 1.平行线分线段成比例定理及其推论的应用. 2.判定三角形相似的方法.
ppt课件
A
D
F
E
B
C
16
6.如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，且 BE：EC=3：2，连接AE、BD交于点F，
则BF：FD=__________。
A
D
ppt课件
F
B
E
C
7.如右下图,已知DE∥BC，EF∥AB
AD:DB=2:3 , BC=20cm
A
则CF=
ppt课件
强化“对应”两字理解和记忆如图
AB EF BD FH
左上 右上 (左下 右下)
BD FH AB EF
左下 右下 (左上 右上)
ab
AE
l1
B
F l2
D
H l3
6
如图l1∥l2∥l3 ，试根据图形写出成比例线段.
AB DE BC EF
BC EF AB DE
AB DE AC DF
ppt课件
即对应角相等,对应边的比相等,我们说△ABC与△A'B'C'
相似，记作 △ABC∽△A'B'C'，△ABC和△A'B'C'的相似比为k， △A'B'C'与△ABC的相似比为 . 1
k
如果k=1,这 两个三角形有 怎样的关系?
4
ppt课件
问题 如图l1∥l2 ∥ l3，在两直线a，b上截得的线段有什么
.
D
E
B
F
C
17
ppt课件
通过本节课的学习，需要掌握 1.平行线分线段成比例定理及其推论的应用. 2.判定三角形相似的方法.
《相似三角形的判定》课件5(人教A版选修4-1)
一定需三个角吗？
相似三角形的识别方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两 角对应相等，那么这两个三角形相似． 思考 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它 们是否一定相似？
相似三角形的识别
用数学符号表示：
A A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
泰勒斯测量金字塔高度的示意图:
A′
A′
A
A B C B′ C′ B
C
B′
C′
如果人体高度AC＝1.7米，人影长BC＝2.2米，而B′C′ ＝176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？
可证△ABC∽△A’B’C’ AC BC 即 A'C' B'C' 所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD· AB=
AE· AC
A D E B C
找一找
（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。 （2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 A △AOB∽△FOE∽△DOC。
例3.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD 证明:连接AC、BD
⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角
∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B
PA PC PD PB
A
D
O
C
P B
∴△PAC∽△PDB
即PA· PB=PC· PD
例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
相似三角形的判定-高中数学知识点讲解
相似三角形的判定
1．相似三角形的判定
【知识点的知识】
相似三角形的判定
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
1/ 1。
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“A”型
A D
“X”型
D
O
E
E C
B （图2） C
B
（图1）
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 图中共有____对相似三角形。 AB∥EF △AOB∽ △FOE △AOB ∽△DOC △EOF∽△COD
A Oபைடு நூலகம்E F
B
AB∥CD
EF∥CD
C
D
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB， DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似 的三角形共有多少个?请你写出来.
A
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. （2） △ADE∽△ABC
50 DE . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm ). 50 30
D
B
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A D E G H I C
F
B
相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理
E C
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AE BF 则 过E作EF//AB交BC于F AC BC
∵DBFE是平行四边形
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个 三角形, 叫做相似三角形 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
如果△ ABC∽ △DEF, 那么
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
B
A
AB AC BC DE DF EF
D E F
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
D B
A
E
C
DE ∥ BC
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
A D
F
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AD AE 1 过E作EF//AB交BC于F AB AC 2 可证DBFE是平行四边形 △ADE≌△EFC B DE 1 ∴DE=BF,DE=FC BC 2 AD AE DE 1 ∴△ADE∽△ABC AB AC BC 2
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
△AＤＥ
A G
△ＧＦＣ
△ＧＯＥ
B
D O F E C
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. E (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. 解: (1) DE ∥ BC
C
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. AE DE ,即
AD AE AB AC
A
D
B
E
C
∴DE=BF F ∴△ADE∽△ABC
AE DE AC BC
AD AE DE AB AC BC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所
构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,所 相似 得的三角形与原三角形________.
C
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 相似比是多少？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？ ３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？
300
450
它们是相似三角形吗？为什么？
A 5
B 47°
A′ 3
C 10 82° 6
82°
6 6
51°
B′
12 C′
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些角 的关系？边呢？