光纤传感技术与应用光电传感器中的光纤技术1

m = 0、1、2、- - -
（1.4）
应以2 为周期； m = 0 意味场量不随方位角变化，即子午光线； m 0意味场量在圆周方向按正弦或余弦分布。
方程的左边：
r
d dr
r
dRdrr
kc2 r 2
m2
Rr 0
令：X = kc r ，表示成贝塞尔方程形式：
d 2R dX 2
1 X
2 H
-
k02n2 H
r r
H
0
对于缓变媒质：折射率或相对介电常数随位置变化缓慢
r 1 r
近似有
2 E - k02n2 E 0
2 H - k02n2 H 0
上式虽然与均匀介质的波动方程形式相同，但有重要区别：折射率随位置缓 慢变化。
利用波动方程求解光纤波导中的电磁向分量
包层内
k02n2 - 2 kc2 0
其解：
Rr
KI mmaaccrr
ra
其中：
ac2
kc2
k02n
2
2
-2
0
K m ac r 和 I m ac r
变态贝塞尔函数
（1.7）
不合理
Km(X)在r较大时按指数规律迅速衰减，呈现表面波特性。 Im(X)随 r增大呈无限增大状态，物理上不合理，故舍去。
1 r2
2Ez
2
k02n2 -
Ez
0
1
r
r
r
H z r
1 r2
2Hz
2
k02n2 -
Hz
0
（二阶偏微分标量方程方程）
（1.1）
式中：
Ez Hz
Rr Φ e
jz
（1.2）
所有沿z向传播的场分量都有传播因子 e j，z 为z向传播
常数；
纵向分量给出电矢量或磁矢量在横截面的半径R 方向和圆 周 方向上随 z 轴变化的规律；
4
m
2
特点：两类贝塞尔函数都是震荡函数，有无穷多个零点或根。
X = kc r
在径向按 1 / kcr 衰减的驻波场
第二类贝塞尔函数的两种极端状态：
N
0
X
x 0
2 π
ln
X 2
N
m
X
x 0
m
π
1!
2 X
m
x
NmX
2
X
sin X
4
m
2
在kcr 0时（光纤纤芯）呈发散状，物理上不合理，故舍去。
2E - k02n2E 0 2H - k02n2H 0
（三维矢量方程）
zr
0
2 ET k02n2 ET 0 （横向分量，矢量方程） 2 HT k02n2 HT 0
2 EZ k02n2 EZ 0 2 H Z k02n2 H Z 0
（纵向分量，标量方程）
1 r Ez
r r r
用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于R 和 两个解。
3. 根据麦克斯韦方程的横向矢量与纵向分量的关系求出 横向分量，无需解矢量方程。
E jH
H jE
z
r
横向分量以r和 为参量
略去推导过程，横向分量有：
kc2 Er
j
Ez r
j 0
r
H z
kc2 E
j
r
Ez
j0
H z r
kc2 H r
2) 在圆周方向场量分布和纤芯内相同，以保证满足界面边界条件。 3) 具有表面波特性。否则成为辐射波而不是导波。
纵向分量（1.2）式场解用贝塞尔函数表示，则有：
纤芯内的 场解
E z1
A1
J
m
k
c
r
sin cos
m m
e
jz
H z1
B1
J
m
k
c
r
cos sin
m m
e
jz
kc2
0
（1.1） （二阶偏微分方程）
式中： kc2 k02n2 - 2
。 用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于r和 两个解
r, , z Rr Φ e jz （1.2）
（1.2）式代入（1.1）式：
r
d dr
r
dRr
dr
Rr
r2
d
2
2
kc2
Rr
0
两边同乘
r2 / RrΦ
r
纵向分量Ez 和 Hz的特点： 1. 在纤芯内
1) 沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。 2) 在圆周方向场量呈sin m 或 cos m 驻波分布，m是沿圆周方向出现
最大值的对数。 3) m = 0 对应子午光线。 4) 沿z轴呈行波状态，波的相位常数为。
2. 在包层内
1) 沿半径方向呈渐消场，用变态贝塞尔函数描述，以保证电磁波能量集中 在纤芯和边界面附近。
主要内容
1 光波导模式理论 2 光纤的损耗 3 光纤的色散 4 光纤的耦合技术 5 光纤中光波的控制技术 6 小结
电磁场方程 阶跃光纤的严格解 阶跃光纤中的线偏振模 梯度光纤的解析解 模式的横向耦合理论 模式的纵向耦合理论 单模光纤
对于非导电、非磁性介质：M = 0，
0，J 0
E B
t
麦克斯韦方程 方程组
H D t
•D 0
物质特性方程：
•B 0
J E
D E 且 B μ0 H
D ε0r E B 0H
均匀各向同性媒质的波动方程：
2 E - k02n2 E 0 2 H - k02n2 H 0
非均匀媒质的波动方程：
2 E
-
k02n2 E
E
•
r r
0
j 0n2
r
Ez
j
H z r
kc2 H
j0n2
Ez r
j
r
H z
式中kc为横向传播常数：
k02 n 2
k
2 c
kc2 200n2 2 k02n2 2
n2
r
0
2
如果光纤中折射率是变量r的函数，则 n 用n(r ) 代替
重写纵向分量（1.1）式：
1 r
r
r
r
1 r2
2
2
ra
（1.6）
表示场量（电矢量或磁矢量）在横截面半径r 方向变化的规律。
J m kc r —— 第一类贝塞尔函数 Nm kcr —— 第二类贝塞尔函数
（贝塞尔函数——级数表示的特殊函数）
第一类贝塞尔函数的两种极端状态：
x0
J0X 1
JmX
x0
1 m!
X 2
m
x
JmX
2
X
cos X
Rr
d dr
r
dRr
dr
kc2 r 2
1
d
2
2
上式左边只是r 的函数，右边只是 的函数，而r 、 都是独立变量，欲使上式 对任何r 和 都成立，只有两边都等于同一常数才有可能。
方程的右边：
1
d
2
2
m2
即：
d
2
2
m2
0
（1.3）
表示场量（电矢量或磁矢量）在横截面圆周方向变化的规律。
其解为：
cos m sin m
dR dX
1
m2 X2
R 0
（1.5）
X2 0 ，m阶贝塞尔方程标准形式
（纤芯内的场解）
X2 0 ， m阶变态贝塞尔方程标准形式 （包层内的场解）
X2 的正负取决于
k
2 0
n
2
-
2
k
2 0
n
2
k
2 c
其解：
纤芯内： k02n2 - 2 kc2 0
2
Rr
NJ mmkkccrr