高中物理万有引力定律的应用技巧(很有用)及练习题

2．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度 v0 抛出一个小球，测 得小球经时间 t 落回抛出点，已知该星球半径为 R，引力常量为 G，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度； (3)该星球的“第一宇宙速度”．
【答案】(1) g 2v0 t
【解析】
(2) 3v0 (3) v 2v0R
【答案】(1)
(2)
【解析】
【详解】
（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G
解得地球质量为：M= ； （2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期 T，同步卫星做圆周运动，万有
引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：
；
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同
（2）设卫星 A 和 B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔 t，在时间间隔 t 内，卫星 A 和 B
绕地心转过的角度分别为 α 和 β，则：α＝ t ×2π，β＝ t ×2π ④
T
T
若不考虑卫星 A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星 B 的位置应在下图中 B 点和 B′点之
间，图中内圆表示地球的赤道．
（1）月球的平均密度是多少？ （2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近 （两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他
们又会相距最近？
【答案】（1） 192 n2 ；（2） t m（ t m 1，2，3）
Gt 2
7n
【解析】
【答案】 r
3
R2gT 2 4 2
【解析】
【分析】
根据万有引力充当向心力即可求出轨道半径大小。
【详解】
质量为 m 的北斗地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
G
Mm r2
＝m
4 2 T2
r
；
在地球表面： G
Mm1 R2
m1g
联立解得： r 3
GMT 2 4 2
3
R2gT 2 4 2
gR2 2hR2 M G Gt2
（3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得：
G
Mm R2
m
v12 R
v1
GM R
2hR t
点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求
星球的质量。
7．2018 年 11 月，我国成功发射第 41 颗北斗导航卫星，被称为“最强北斗”。这颗卫星是 地球同步卫星，其运行周期与地球的自转周期 T 相同。已知地球的 半径为 R，地球表面的 重力加速度为 g，求该卫星的轨道半径 r。
考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题．
4．某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周 围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的 一颗卫星的运动半径为 R1，周期为 T1，已知万有引力常量为 G。求： (1)行星的质量； (2)若行星的半径为 R，行星的第一宇宙速度大小； (3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心 天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为 R2，周期 为 T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。
R h
+arcsin
R r
)T
【解析】
试题分析：（1）设卫星 B 绕地心转动的周期为 T′，地球质量为 M，卫星 A、B 的质量分别
为 m、m′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：
G
Mm h2
＝mh
4 2 T2
①
G
Mm r2
＝m′r 4 2 T 2
②
联立①②两式解得：T′＝ ( r )3/2T ③ h
GMT 2 4 2
R
（3）h1=
h2
【解析】
【分析】
（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；
（2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】
（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2π T
(3)重力提供向心力，故 mg m v2 R
该星球的第一宇宙速度 v gR 2v0R t
【点睛】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力， 掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．
3．已知地球的自转周期和半径分别为 T 和 R，地球同步卫星 A 的圆轨道半径为 h．卫星 B
高中物理万有引力定律的应用技巧(很有用)及练习题
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．2018 年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级 2018”．例如，我 国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射 18 颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及 周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和 倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速 圆周运动的周期为 T，地球质量为 M、半径为 R，引力常量为 G．
沿半径为 r（r<h）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相
同．求：
（1）卫星 B 做圆周运动的周期；
（2）卫星 A 和 B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．
【答案】（1） ( r )3/2T h
（2）
r 3/ 2 π(h3/2
r3/2 )
(arcsin
（1）求静止轨道卫星的角速度 ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度 h1； （3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是 T，距离地面的高度为 h2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较 h1 和 h2 的大小，并说 出你的理由．
【答案】（1） =
2π T
；（2） h1= 3
（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有： G
Mm (R h1)2
=m(R
h1
)(
2π T
)
2
解得： h1= 3
GMT 2 4π2
R
（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面 与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也
（2）该星球的质量是地球的几倍？
【答案】（1） g 15m/s2 （2）星球质量是地球质量的 6 倍
【解析】 【详解】 （1）星球表面平拋物体，水vy 2g'h (vy2 2g'h)
（或 vy
gt
，h
1 2
g
't2
）
因为
解得 g 15m/s2
是
T，根据牛顿运动定律， G
Mm (R h2 )2
=m(R
h2
)(
2 T
)2
解得： h2 = 3
GMT 2 4 2
R
因此 h1= h2．
故本题答案是：（1） =
2π T
；（2） h1= 3
GMT 2 4 2
R
（3）h1= h2
【点睛】
对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的 物理量．
（2）小石子能上升的最大高度．
【答案】(1) R
GM （2） h v02
g
2g
【解析】
（1）对行星表面的某物体，有：
mg
GMm R2
-
得： R GM g
（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：
0 v02 2gh 得： h v02
2g
步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式
与牛顿第二定律可以解题．
10．某行星表面的重力加速度为 g ，行星的质量为 M ，现在该行星表面上有一宇航员站 在地面上，以初速度 v0 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为 G ．不考虑阻力和行星自
转的因素，求：
（1）行星的半径 R ；
8．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过 变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上 作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行 n 圈所用时间为 t，到达 A 点时经过暂短的点火变 速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点 B 点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ， 而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行 n 圈所用时间为 ．不考虑 其它星体对飞船的影响，求：
试题分析：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期： T3
t 8n
，由万有引力提供向心力有：
G
Mm R2
m
2 T
2
R
又： M
4 R3 ，联立得： 3
3 GT32
192 n2 Gt 2
．
（2）设飞船在轨道
I
上的角速度为 1
、在轨道
III
上的角速度为 3
，有： 1
2 T1
所以 3
2 T3
设飞飞船再经过
t
时间相距最近，有：3t﹣ 1t 2m
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据万有引力提供向心力得：
解得行星质量为：M=
（2）由
得第一宇宙速度为： （3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天
体，根据万有引力提供向心力得：
所以行星和其他卫星的总质量 M 总＝