1.静电场习题课

4πε 0 r r0 ：是从场源 指向场点 的单位矢。 的单位矢。
点电荷的电场强度： 点电荷的电场强度：E =
q0
q
2
r0
3. 电场强度的叠加原理： 电场强度的叠加原理： • 多个点电荷的场强叠加： 多个点电荷的场强叠加：
电场中任何一点的总场强等于每个点电荷 单独存在时在该点所产生的场强的矢量和.
∑Q E= 2 4πε 0 r
σ E = 2ε 0
的均匀带电无限长圆柱型分布： ③ 电荷线密度为 λ 的均匀带电无限长圆柱型分布： ∑ λ ∑ λ ：过场点所做同轴圆柱面包围的电荷 E= 线密度代数和。 2πε 0 r 线密度代数和。 λ λ 柱面： 柱面： E = 柱体： 柱体： E 外 = 外 2πε 0 r 2πε 0 r λr E内 = E内 = 0 2
Q
L
19. 场强与电势梯度的关系： = − dU en 场强与电势梯度的关系： E
dn
场强沿任意方向的分量等于电势沿该方向空间 变化率的负值。 变化率的负值。 ∂U ∂U ∂U ; Ez = − ∴Ex = − ; Ey = − ∂y ∂x ∂z
• 场强和电势不能点点对应。 场强和电势不能点点对应。 20. 导体的静电平衡条件：导体内部电场强度处 导体的静电平衡条件： 处为零。即：内 部 合 = 0 处为零。 E 21. 导体处于静电平衡状态时的性质： 导体处于静电平衡状态时的性质：
dE = 4πε 0 ( L + d − x )
λ dx
2
∴E = ∫
L
0
Q 轴正方向） （沿X轴正方向） 轴正方向 dE = 4πε 0d ( d + L )
4. 带电量为 的均匀带电圆环轴线上一点 P 的电 带电量为q 场强度。 场强度。E = q cos θ P 2
4πε 0 ℓ
方向：沿轴线，正电荷背离； 方向：沿轴线，正电荷背离；负电荷指向 5. 电偶极矩 电偶极矩:
13. 电势：U = 电势： ａ ∫
零电势点
ａ
E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl ） （
ａ
∞
当电荷只分布在有限区域 有限区域时 当电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在 无穷远处。 无穷远处。 ｂ 14. 电势差：U ab = Uａ − Uｂ = ａ E ⋅ dl 电势差：
∫
• 两点之间的电势差与电势零点的选取无关。 两点之间的电势差与电势零点的选取无关 零点的选取无关。 15. 点电荷 在电场中的电势能：Wa= qUa 点电荷q 在电场中的电势能： • 点电荷 1和 q2之间的相互作用能（即电势能）： 点电荷q 之间的相互作用能（即电势能）： q2 W = q1U = q1 4πε 0 r 16. 电场力的功等于电势能的减少。 电场力的功等于电势能的减少 减少。 即：A电场力 = Wa - Wb= qUa- qUb 电场力ab
为中心以r为半径的球面 解：做一个以q为中心以 为半径的球面 做一个以 为中心以
q 2π r(r − h) q h Φｅ = ⋅ S球冠 = ⋅ = (1 − ) 2 S球面 4π r 2ε0 ε0 R2 + h 2
q
O
h
P q
ε0
10. 能用高斯定理求电场强度的几个对称性分布 的特例： 的特例： 均匀带电的球型分布 包括球体和球壳) 带电的球型分布( ① 均匀带电的球型分布(包括球体和球壳)：
• 外力的功等于电势能的增量：A外力 = qUb- qUa 外力的功等于电势能的增量： 外力ab 的功等于电势能的增量 17. 电势的计算： 电势的计算： [1] 用点电荷电势公式加电势叠加原理： 用点电荷电势公式加电势叠加原理： q (1) 点电荷的电势公式： = 点电荷的电势公式： (选U∞ = 0) U 4πε 0 r (2) 电势的叠加原理： 电势的叠加原理： 一个电荷系的电场中， 一个电荷系的电场中，任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 qi 点电荷系的电场中， 点电荷系的电场中，U = ∑ πε0r i 4 i dq 电荷连续分布的电场中， 电荷连续分布的电场中，U = ∫ 4πε 0 r 带电体
在非均匀外电场中, 在非均匀外ห้องสมุดไป่ตู้场中,电偶极子 ①一方面受到力
矩的作用，使电偶极矩力图转到与外电场一致 矩的作用， 的方向；②另一方面其中心还要受到合力的作 的方向； 用：通常对于稳定平衡位置，其方向指向场强 通常对于稳定平衡位置， 对于稳定平衡位置 数值增大的方向；对于非稳定平衡位置，合力 数值增大的方向；对于非稳定平衡位置， 增大的方向 非稳定平衡位置 方向指向场强数值减小的方向。 方向指向场强数值减小的方向。 减小的方向
2πε 0 R 11. 有关电场强度及电场力在真空中的所有公式，当充 有关电场强度及电场力在真空中的所有公式， 满均匀电介质（或分层均匀充满） 满均匀电介质（或分层均匀充满）时，只要将公式 中的ε 0改为场点处电介质的电容率 ε 即可.
12. 静电场的环流定理：∫LE ⋅ dl = 0 静电场的环流定理： 静电场的积分与路径无关， 即：静电场的积分与路径无关，只取决于始末位 故静电场是保守场。 置，故静电场是保守场。
1 2
3
4
静电平衡后， 例：静电平衡后，金属板各面所带电 荷面密度之间的关系： 荷面密度之间的关系：σ1 = σ4 , σ2 = −σ3 • 当两板带等量异号电荷时 σ1 =σ4 = 0 , σ2 =−σ3 当两板带等量异号电荷时: 等量异号电荷时 • 当两板带等量同号电荷时 σ1 = σ 4 , σ 2 = −σ3 = 0 当两板带等量同号电荷时: 等量同号电荷时 22. 静电平衡下空腔导体的性质： 静电平衡下空腔导体的性质： 若金属空腔内部无带电体, ①若金属空腔内部无带电体,则空腔内表面不带
电 学 总 结
1. 库仑定律 大小： = 库仑定律: 大小： F
1 4 πε
0
q1q 2 r2
方向：沿两电荷的联线，且同性相斥， 方向：沿两电荷的联线，且同性相斥， 异性相吸。 异性相吸。 • 适用条件：两个静止的点电荷 之间的相互 适用条件： 作用力 F 2. 电场强度的定义： = 电场强度的定义： E
带电体
2 pe = 3 4πε 0 r
dqE
是指排除所考虑的受力带电体以外 E是指排除所考虑的受力带电体以外 空间其它 处产生的合场强。 所有电荷在 dq 处产生的合场强。 q -q σ q2 S S d 例：两板之间的相互作用力：F = q ⋅ = 两板之间的相互作用力： 2ε0 2ε0s 7.电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩： 电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩： 电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩 Me = pe × E F=0 •力偶矩 Me 力图使电偶极子的偶极矩 pe转到与外 电场 E 一致方向上来。 一致方向上来。
任何电荷，空腔内部任一点场强为零。 任何电荷，空腔内部任一点场强为零。
②若金属空腔内部有带电体，则空腔内表面有等 若金属空腔内部有带电体，
量异号感应电荷。 量异号感应电荷。
③外界无电荷，且导体接地，则外壁上电荷处处 外界无电荷，且导体接地，
为零，外部空间任一点场强为零。 为零，外部空间任一点场强为零。 腔内电荷(包括内壁上的电荷) ④腔内电荷(包括内壁上的电荷)对内壁以外空间 任何一点的合场强为零；腔外电荷(包括外壁上的 任何一点的合场强为零；腔外电荷( 电荷)对外壁以内空间任何一点的合场强也为零。 电荷)对外壁以内空间任何一点的合场强也为零。
[2] 用电势定义式：U a = 用电势定义式：
∫
∞
a
E ⋅ dl
ε外
（当电荷分布具有一定的对称性时，用高斯定理很容易 当电荷分布具有一定的对称性时， 求出场强分布，这种情况下用该式求电势较方便） 求出场强分布，这种情况下用该式求电势较方便）
例：半径为R，带电量为 的均匀带电 半径为 ，带电量为q的均匀带电 ε内 球面的电场中的电势分布。 球面的电场中的电势分布。 R q q U内 = U外 = 4π ε 外 R 4πε 外 r [3] 利用已知电势结果加电势叠加原理： 利用已知电势结果加电势叠加原理： 18. 等势面的性质： 等势面的性质： U= 4πε 0 L Q •电力线与等势面正交 电力线与等势面正交; 电力线与等势面正交 •沿着电力线的方向电势降低 沿着电力线的方向电势降低; 沿着电力线的方向电势降低 •等势面较密集的地方，场强较大。 等势面较密集的地方， 等势面较密集的地方 场强较大。
A 有时利用高斯定理求电通量非常方便。 ③ 有时利用高斯定理求电通量非常方便。 位于正立方体中心, 例1：点电荷 位于正立方体中心, ：点电荷q位于正立方体中心 q 则通过侧面abcd的电通量：Φ e = 的电通量： 则通过侧面 的电通量
6ε 0
b q d c
a
若将点电荷q位于正立方体的 角上 若将点电荷 位于正立方体的A角上 位于正立方体的 角上, q 则通过侧面abcd的电通量：Φe = 的电通量： 则通过侧面 的电通量
24ε 0 的圆平面。 例2： 真空中有一半径为 的圆平面。在通过圆心 与平 ： 真空中有一半径为R的圆平面 在通过圆心O与平 面垂直的轴线上一点P处 有一电量为q的点电荷 的点电荷。 、 面垂直的轴线上一点 处，有一电量为 的点电荷。O、P r 间距离为ｈ，试求通过该圆平面的电通量。 ｈ，试求通过该圆平面的电通量 间距离为ｈ，试求通过该圆平面的电通量。
8. 电场中通过任一曲面 的电通量： 电场中通过任一曲面S的电通量： 的电通量
Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ EdS cos θ
S S
匀强电场中 通过平面 S 的电场强度通量： 的电场强度通量：
Φ e = ES cosθ
通过任一闭合曲面S的电场强度通量： 通过任一闭合曲面 的电场强度通量： e = ∫ E ⋅ dS 的电场强度通量 Φ 外法线方向(自内向外)为正方向。 闭合曲面外法线方向(自内向外)为正方向。 S 穿进闭合面的电场线对该闭合面提供 负通量； 通量。 穿出闭合面的电场线对该闭合面提供 正通量。 1 9. 静电场的高斯定理： E ⋅ dS = ∑ qi 静电场的高斯定理： ∫