可靠性设计方法

可靠性设计

第一节

概述

①可靠性是与故障相对应的的一个概念。可靠性研究开始于美国，起源于军用电子设备，二战后，陆续成立了很多可靠性研究的机构。

②为什么展开可靠性研究：可靠性差带来的危害。航空航天、军用器械、民用电子产品，IT 产品。

③最初来源于航空、航天等高科技领域的可靠性设计开始向兵器、船舶、电子、机械、汽车、信息技术等行业渗透。我国加入WTO 后，在市场竞争日益激烈的情况下，国内民用企业将从价格、服务这种低层次竞争走向产品质量和可靠性的竞争，从而对质量和可靠性专业人才的需求将不断增加。因此，一些高校开设了可靠性系统工程专业（如北航）或开设了可靠性设计课程。一些大的企业开始使用大型可靠性设计软件进行辅助设计（如可靠性系统软件CARMES 2.0（可靠性维修性综合分析软件R elex ）等）。真正将可靠性设计理论应用于生产实际。形成了一些产品的设计准则及可靠性设计标准，如HB7251-95《直升机可靠性设计准则》、HB7232-95《军用飞机可靠性设计准则》、GJB2635-96《军用飞机腐蚀防护设计和控制要求》。

④可靠性带来的效益。如运输包装，提高使用寿命，提高使用可靠度。 第二节 定义及度量指标

1. 可靠性（5-1）

2.

可靠度（5-2）：产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的概率 设有N 台设备，在规定的条件下和规定的时间内，工作t 时刻，有n(t)个失效，其可靠度的估计值为()

()N n t R t N

-

-=

lim ()()N R t R t -

→∞

=即为该产品的可靠度。

失效概率（5-3）为()1()F t R t =- 3) 失效概率密度函数 ()/n t N t ??

N 为试件的总数，()n t ?表示在[,]t t t +?时间内失效的件数。

随着N 的增大和t ?的减小，失效概率密度的图形变成光滑曲线。其和失效概率的关系为

()()t

F t f t dt =?

4) 失效率：工作到某个时刻尚未失效的产品，在该时刻后单位时间内失效的概率。

0()()()

()lim

[()][()]N t n t t n t dn t t N n t t N n t dt λ->∞

?->+?-==

-?- 分子分母同时除以N ，得到()

()()

f t t R t λ=

例 某批产品100个，工作了5年有90在工作。到了第六年，又有五个不能工作，第七年又出现10个不能工作的，使计算该产品第五年和第六年时的失效率。

9590(5) 5.26%951λ-=

=，9080

(6)11.11%901

λ-== 4）平均寿命 N 个产品从开始工作到发生故障的时间分别为1234,,,,,n t t t t t ???，则平均寿

命为11N

i i t N θ==∑

()()/f t n t N t =??

所以0

()t f t dt θ∞

=

??

即失效的产品个数()n t ?与失效的时间t 相乘等于工作总时间，在

除以产品总数即为平均寿命。0

()

t n t dt Ndt

θ∞

??=

?

00

()()()

()()|()lim ()0,lim ()0()t t t f t dt tdF t tdR t udv uv vdu tdR t tR t R t dt R t tR t R t dt

θθθ∞

∞

∞∞

∞

∞

∞

→∞

→∞

=?==-=-→=-=-+==→=??????

?? 5）失效过程分为（5-5）：早期失效期；随机失效期；损耗失效期。

6）可靠寿命：使可靠度等于给定值r 时的产品寿命称为可靠寿命，即为r t ，其中r 称为可靠水平。r t 的值可通过()r R t r =解出。 例：某产品的可靠度服从指数分布()t

R t e λ-=，求0.9r =时的寿命（即0.9r =时产品

已经工作的时间）。

1

ln(1/)/0.105r t r e t r r

λλλ=

→==

第一节 概率分布 1.

概率分布（5-4）有：(0-1分布)二项分布；泊松分布；正态分布；对

数正态分布；指数分布； 2.

离散型随机变量的分布：二项分布(贝努利分布)：设试验

E 只有两种结果，抽到合格品或抽到不合格品，这两种结果分别用事件A 与_

A 表示。发生A 的概率为()

P A p =，

发生_

A 的概率为_

()1(01)P A p q p =-=<<，若以X 表示在n 重实验中事件A 发生的次数，则X 是一个随机变量，它的可能取值为0,1,2,3,…,k,…n(共n+1种)，此时X 所服从的概率分布为二项分布。分布如下：

(0)(1)n P X p ==-

1

1(1)(1)n n P X C p p -==-

。。。

()(1)k k n k n P X k C p p -==-

。。。

()n P X n p ==

由上面的分布来看，上面的n+1项刚好是二项式()n p q +的展开式的各项。即随机变

量X 取值为K 的概率()(1)k k

n k n P X

k C p p -==-恰好是()n p q +的展开式

的第k+1项。这就是二项分布的由来。称随机变量X 服从参数为n,p 的二项分布。 当n=1时，二项分布变为0-1分布。 即()(1)k k

n k n P X

k C p p -==-（p 为A 出现的概率，q 为A 不出现的概率，

!

!()!

r

n n C r n r =

-）

累积分布函数：事件A 在n 次试验中发生少于r 次的概率为 0

()r

x x n x n

x P x r C

p q -=≤=

∑

例题1：投掷硬币10次中出现“正面“的概率。 根据公式()r

r n r

n P r C p q

-=得到:

出现0次的概率：0

010010(0)0.50.50.001P C -== 出现1次的概率：1110110(1)0.50.50.009P C -== 出现2次的概率：2210210(2)0.50.50.044P C -== 出现3次的概率：3310310(3)0.50.50.117P C -== 出现4次的概率：4410410(4)0.50.50.205P C -== 出现5次的概率：5510510(5)0.50.50.246P C -== 出现6次的概率：6610610(6)0.50.50.205P C -== 出现7次的概率：7710710(7)0.50.50.117P C -== 出现8次的概率：8810810(8)0.50.50.044P C -== 出现9次的概率：9910910(9)0.50.50.009P C -== 出现10次的概率：1010101010(10)0.50.50.001P C -==

例题2 若将次品率为10%的产品每15个装一箱，求一箱中有0，1，2，3，…15个的概

率。按式()r r n r n P r C p q -=（p=0.1，q=0.9，r=0,1,2,3,…15）

分别得到:

出现0个概率为:0.201 出现1个概率为:0.342 出现2个概率为:0.267 出现3个概率为:0.128 出现4个概率为:0.047 出现5个概率为:0.010 出现6个概率为:0.002 出现7个概率为:0.000 出现8个概率为:0.000 …

出现15个概率为0.000

可靠性实验一般投入N 个零件进行实验T 小时，而仅仅允许r 个失效。已知产品的可靠

度()R t q =，不可靠度()1()F t R t p =-=，则N 个抽检零件中出现失效产品不多于r 个的概率为： 0

()[()][()]r

x x n x n x P x r C F

t R t -=≤=

∑

因此根据实验可测得可靠度。或根据实验检验供货厂家的可靠度是否和提供的可靠度吻合。 3.

离散型随机变量的分布：泊松分布：对于二项分布来说，

当p=q=0.5时，不管n 多大，X 的分布曲线是对称的（横坐标是事件发生的次数，纵坐标是该事件发生的概率）；而当p 很小时，此时，n 越小，X 的分布曲线越不对称，n 越大，X 的分布曲线越对称。当n

→∞时二项分布趋向于极限分布，即泊松分布。

泊松定理：随机变量X 服从参数为n,p 的二项分布，其分布律为

()(1),0,1,...,k k

n k n P X k C p p k n -==-=，式中设

0np μ=>是常数，则有

lim ()lim (1)(0,1,...,)

!

k k n k n n n k P X k C p p e k n k μ

μ-→∞

→∞

-==-=

=

证明：()(1)()(1)(1)...(1)()(1)

!121[1(1)(1)(1)](1)(1)!k k

n k

n k k

n k

n

k

n k k n k P X k C p p C n n

n n n k k n n

k k n n n n n

μ

μ

μμμμμ----==-=---+=--=?--???--- 对于任意的数k,有：

121lim(1)(1)(1)1lim(1)lim(1)1

n n n k n k n n n e n

n

μμ

μ

→∞-→∞

-→∞

---???-=-

=-

=

故得证。

对于n 很大，p 很小的二项分布，可以用柏松分布代替，即

(1)!

k k k n k n e C p p k μ

μ---≈

np μ=是随机变量X 的均值。

柏松分布的各项为：

211!

2!

!

k e e e e k μ

μ

μ

μμμμ----+

+

+???+

=

（p 代表产品失效的概率）第一项表示一个都不失效的概率（二项分布对应为k=0）；第二项表示失效一个的概率；第三项表示失效二个的概率。

例题 若将次品率为15%的产品每100个装一箱，求一箱中有0，1，2，3，4，5，6，7个次品的概率及次品在7个以下的概率。 解 p=0.05,n=100,u=np=5,0.00674e

μ

-=)（查表可得）

因此可分别得到次品为0，1，2，3，4，5，6，7个的概率。 4.

连续型随机变量的分布：正态分布(Gauss

分布)，它是一

切随机现象的概率分布中最常见和应用最广泛的一种分布。如机械加工中的误差、测量误差，打靶时的射击误差，同龄男或女的身长，年降雨量等值与其平均值的差值等。 离散性随机变量的分布函数为

(){}{}i i i i x x

x x

F x P X x P X x P ≤≤=≤===∑∑

如果对于随机变量X 的分布函数()F x ，存在非负的函数()f x ，对于任意的实数x

有

(){}()x

F x P X x f x dx -∞

=≤=

?

则称X 为连续型随机变量，而函数

()f x 称为X 的概率密度函数

概率密度函数的性质有： （1）()0f x ≥

（2）

()1f x dx +∞

-∞

=?

（3）2

1

1221{}()()()x x P x X x F x F x f x dx ≤≤=-=

?

1 正态分布的定义： 正态分布的概率密度为：

22

()2()()x f x x μσ--=

-∞<<∞

其中μ为位置参数（均值），σ为形状参数（标准差） 则称X 服从参数为μ与2σ的正态分布，记作2(,)X

N μσ。

累积分布函数：

22

()2()()x x

F x P X x e dx μσ---∞

=≤=

?

2 正态分布的概率密度函数的性质：

（1）曲线()y f x =对于轴线x μ=为对称

（2）当x μ=时，()f x

1

（3）当x →±∞时，()0f x →

（4）曲线()y f x =在x μσ=±处有拐点

（5）曲线()y f x =是以x 轴为渐近线，且()f x 应满足()1f x dx +∞

-∞

=?

（6）当给定σ值而改变μ值时，曲线()y f x =仅沿着x 轴平移，而

形状不变。

（7）当给定μ值而改变σ值时，图形的对称轴不变，但图形

形状改变。由于标准差σ的变动引起()f x

和拐点

位置x

μσ=±的改变以及性质()1f x dx +∞

-∞

=?，使σ愈小时图形愈高而

“瘦”；σ愈大时图形愈矮而“胖”；即分不为之不变，只改变其分散程度。

3 标准正态分布的定义：

0,1μσ==的正态分布称为标准正态分布

引入新变量x z μ

σ

-=

代入

22

()2()()x x

F x P X x e

dx μσ--

-∞

=≤=

?

并令1σ=，此时标准正态分布的

概率密度函数()z ?和累积分布函数()z Φ分别为

2

2()()x z e z ?-=

-∞<<+∞

22

()()()z z

z e

dz P Z x F x -

-∞

Φ=

=≤=?

其中

x z μ

σ

-=

。

通过正态分布表可查得上式的值，正态分布表给出的是用数值积分法求出的()z Φ的近似值。

例题3：已知2(,)X

N μσ，求{}P a X b ≤≤的值

解：21()2{}x b

a P a X

b dx μσ--≤≤=?

令x z μσ-=

，则2

121{}b z a P a X b dz μσμ

σ---≤≤=?

=(

)(

)b a μ

μ

σ

σ

--Φ-Φ

已知某轴在精加工后,其直径的尺寸变动可用正态分布描述，且其均值14.90mm μ=，标准差为0.05.m m σ=按图纸规定,轴径尺寸是14.900.114.8015.00m m ±=的产品均为合格

品，求合格品的百分数。 解

：

合

格

品

的

百

分

数

应

为

14.8014.914.8014.9{14.8015}()()0.050.05

P X --≤≤=Φ-Φ

=(2)(2)

95.44%Φ-Φ-=

例题4 有1000个零件，已知其失效为正态分布，均值为500h ，标准差为40h 。求：t=400 h 时，其可靠度、失效概率为多少？经过多少小时后，会有20%的零件失效？

400500

2.540

t z μ

σ

--=

=

=-

所以累积分布函数为( 2.5)0.0062Φ-=即()0.0062F t = 所以(400)1(400)0.9938R F =-=

当()20%F A =时，由()0.20.84A A ?=→=- 因此0.08440500466.4t A t h μ

σ

-=

→=-?+=

例题5 电车的车门高度是按照使男子碰头的机会少于1%来设计的。假设穿皮鞋的男子的平均身长为165cm ，标准差为6 cm ，问车门高应设计成多大尺寸。

解：设x 是设计的车门高度，那么下图中双重斜线部分就是男子身高的分布落在大于车门高度的区域,按题意,该部分的面积不能超过1%. 根据正态分布表查()0.01Z Φ=得到 2.33Z =

根据

2.332.3361651

x z x c m μ

σ

-=

=→=?+= 例题6 设男子的平均身高为165cm,标准差为6 cm, 女子的平均身高为153cm,标准差为5 cm.问在一次偶然相遇的一对男女中,女子高于男子的概率是多少? 解:两个符合正态分布的随机变量

221

11222(,);(,)X N X N μσμσ,

它们的和或差也符合正态分布.即

2212

1212(,)X X X N μμσσ=+++

根据题意,男女身长差符合正态分布.均值为10 cm,

7.8cm = ,

因此女子高于男子的身高相当于在该正态分布中的小于0的部分即

1212()(0)P X X P X X X <==-<

计算下图中小于0的部分的面积,将原来的分布化成正态分布,即

107.8

x x z μ

σ

--=

=

将0x

=代入上式得到

1.28z =-

查正态分布表得到( 1.28)0.1003Φ-=

x 165

即女子高

于男子的概率为10.03%.

正态分布的寿命试验的参数估计

n 个样本的失效时间分别是123,,,...,n t t t t ，则正态分布试验的数学期望μ与标准差

σ的估计值分别为： 1

1n

i i t n μ==∑

σ=5.

对数正态分布：

对数正态分布的概率密度为：

2

(l n )

2()x f x e μσ

--=

计算时将变量X 变换为ln(X)即可。 6.

指数分布：

指数分布适合()t λ为常数的情况。其概率密度函数为： ()f x e λλ-= λ为失效率（常数）

()

()()()1()1()

t t f t t R t e F t R t e R t λλλ--=

→=→=-=- 1、指数分布λ为常数；

10

2、指数分布的平均寿命00

1

1

()|t t R t dt e dt e λλθλ

λ

∞

∞

--∞=

==-

=

?

?

3、指数分布具有无记忆性。 第四节 可靠性设计原理 7.

常规设计与概率设计的不同（5-6）：设计变量的性质不同；设计变量

运算方法不同；设计准则的含义不同。 8.

传统设计采用安全系数法或许用应力法。其出发点是使作用在危险截

面上的工作应力s 小于等于许用应力[s]，而许用应力[s]是等于极限应力lim s 除 以大于1的安全系数n 而得到的。其缺陷是：

首先：试验表明，大量的设计变量如负荷、极限应力以及材料硬度、尺寸都是随机变量，都呈现出离散性，都应该依概率取值。

其次：常规设计方法关键是选取安全系数的值。系数过大，浪费。过小，影响正常使用。受经验影响，往往不能正确反映设计的安全裕度。 9. 应力强度干涉模型。

10.

可靠性设计即概率设计，其基本观点如下：首先：认为零件的强度服

从于概率密度为()r f r 的随机变量，加在零件上的载荷也是服从正态分布的随机变量，因而导致加在零件上的应力服从于概率密度为()s f s 的随机变量。其次，零件的强度随时间推移而退化，均值随时间推移减小，均方差随时间推移增大。最后，当零件强度r 大于加在零件上的应力时，零件是可靠的，可靠度表示为：()()R t P r s => 11.

传统设计即常规设计方法与可靠性设计即概率设计的不同点：第一，

设计变量的性质不同。第二，运算方法不同。第三，可靠性准则的含义不同。可靠性设计准则是设计人员在长期的设计实践中积累起来的、能提高产品可靠性的行之有效的经验和方法，并归纳、总结形成具有普遍适用价值的设计原则。它是设计人员进行产品设计时必须遵循的准则，以避免重复发生过去已发生过的故障或设计缺陷。

可靠性设计准则一般是针对某个具体产品制定的。但也可以将产品的可靠性设计准则的共性部分上升为某类产品的可靠性设计准则。如：HB7251-95《直升机可靠性设计准则》、HB7232-95《军用飞机可靠性设计准则》、GJB2635-96《军用飞机腐蚀防护设计和控制要求》 12.

可靠度的确定方法：

首先：1E 表示应力随机变量s 落在某一假定应力0S 附近一微小区间ds 内的事件,则1E 出现的概率为

10()()s P E f s ds =

其次: 2E 表示强度随机变量r 大于0S 的事件,则2E 出现的概率为

20()()()r s P E P r s f r dr ∞

=>?

第三：事件1E 和2E 是独立事件，同时发生的概率为

1

2120()()()()()s r s P E E P E P E f s ds f r dr ∞

==?

最后：假定应力i s 包括随机变量s 所有可能出现的值，而只要i s 落在 某个区域，而r 又大于i s ，产品就可靠。因此可靠的产品包括了所有这 些概率的累加。可靠度为

0()()[()]s r s R P r s f s f r dr ds +∞

∞

-∞

=>=?

?

13.

应力强度都服从正态分布时的可靠度计算

2

1()2

()()r

r

r r f r r μ--=

-∞<<∞

2

1()2

()()s

s

s s f s s μ--=

-∞<<∞

令y r s =-，也服从正态分布。因此

2

1(

)2

()()y

y

y y f y y μσ--=-∞<<∞

y 的均值y r s μμμ=-,y 的标准差222y r s σσσ=+因此可靠度为

21()20

(0)y y

y R P r s e dy μσ--+∞

=->=?

令y

y

y z μσ-=

则y dz dy σ=

原来的变量y 积分下限为0,那么z

积分下限为

0y

y

μσ-=

那么可靠度变为2

2

z R dz +∞

-

=

?

令0z =

则可靠度变为20

2

z z R e

dz +∞

-

-=

?

根据正态分布的对称性

220

2

2

z z z z e

dz e

dz +∞

-

-

--∞

即可靠度等于0()z Φ(查标准正态分布表)其中

0z =

称为“联结方程”，0z 称为可靠度系数。

14.

机械强度可靠度计算：载荷分布+尺寸分布

材料力学性能分布+尺寸分布 强度分布 应力分布+强度分布可靠度

①材料性能的数据处理：服从正态分布，一般手册中给出性能的（强度极限、屈服极限、疲劳极限、硬度、延伸率、韧性等）范围max,min ，则 均值1(max min)2μ=

+,标准差1

(max min)6

σ=- 有的手册中没有给出范围，只给出均值，那么标准差=均值*V （V 为变异系数）。 ②工作载荷的统计分析：静载荷一般服从正态分布，动载荷一般服从正态分布或指数分布。为了获得载荷的分布，通过实测，获得一系列数据，再根据数理统计原理进行分析，确定分布类型和参数。

③几何尺寸的统计分析：和材料性能的数据处理一样。一般尺寸都给出公差。尺寸的标准差=（尺寸的上限-下限）/6

④随机变量函数的统计特征值：12(,,,)n y f x x x =???，其中i x 服从正态分布，其均值和标准差为

i μ和i σ，那么y 也服从正态分布，其均值和标准差分别为

12(,,,)y n f μμμμ=???， y σ= 15.

例题：

1 承受转矩的轴的静强度可靠性设计

设计一端固定，一端受扭的轴，设计随机变量的分布参数为： 作用转矩1130300,1130300T T N mm N mm σ-

=?=? 许用剪切应力344.47,34.447MPa MPa δδσ-

==

求轴半径的尺寸及公差，要求可靠度R=0.999，轴半径的变化为3

r a r σ=

a 为偏差系数，取值0.03。解题步骤如下：

A 由可靠度得到F=1-R=0.001，查正态分布表得到 3.09R Z =

B 列出应力表达式，计算工作应力

22223

6

2

2224

36,T r T

T

r

r

r

ττσσσπππ=

=

+

将作用转矩的值代入上式得到工作应力的平均值及均方差（皆为r 的表达式） C 求解“联结方程”

0z =

，0z 称为可靠度系数。得到

32.13r mm =

D 敏感度分析

固定r ，改变偏差系数a ，可靠度变化如下

固定r 和偏差系数a ，改变许用剪切应力的均方差δσ，可靠度变化如下

固定许用剪切应力的均方差δσ和偏差系数a ，改变r ，可靠度变化如下

2 设计一圆截面拉杆，承受拉力2

(,)P P P μσ，40000,1200P P N

N μσ==，选用

45号钢，已知45号钢的抗拉强度数据服从正态分布，均值、均方差分别为667,25.3MPa MPa δδμσ==。为保证拉杆的可靠度为0.999，试给出半径的尺寸数据分布。

解题步骤如下：

A 由可靠度得到F=1-R=0.001，查正态分布表得到 3.09R Z =

B 列出应力表达式，计算工作应力

2

P P

s A r π=

= 所以2

p s r μμπμ=，222

2242641p s p r r r

μσσσπμπμ=+ 取拉杆圆截面半径的公差为0.015r

r μ±

=±，

所以0.0053

r

r r σμ==将拉力的值代

入上式得到工作应力的平均值及均方差（皆为r μ的表达式） C 求解“联结方程”0z =

，0z 称为可靠度系数。得到

4.722r μ=

D 与常规设计比较及敏感度分析 常规设计取安全系数n=3，即

2

[]667/3222.3333

s P

r μσσπ=

≤=== 得到7.568r ≥

如果取 4.722r μ=，则在常规设计中安全系数为 1.168n =，一般是不敢采取这样的安全系数的。

可靠性系统软件CARMES 2.0（可靠性维修性综合分析软件R elex）

CARMES 2.0是可靠性维修性保障性工程软件CARMES的第二代产品。在集成了第一代产品功能的基础上，密切结合国内RMS工程应用实际，新增了可靠性评估、功能危险性分析、区域安全性分析和事件树分析等模块，以及国内标准可靠性预计手册与电信专业可靠性预计手册等预计方法，从而形成融可靠性建模、预计、分配、分析、评估、设计、管理于一体的高度集成化工程应用软件。CARMES2.0由以下10个分系统构成：

★ 可靠性、维修性与可用性应用程序 RAMP

★ 故障模式、影响及危害性分析程序 FMECA

★ 故障报告、分析和纠正措施系统 FRACAS

★ 故障树分析程序 FTA

★ 可靠性评估工具 RAT

★ 功能危害性分析 FHA

★ 区域安全性分析程序 ZSA

★ 事件树分析 ETA

★ 寿命周期费用分析工具 LCC

★ 软件可靠性预计与估计程序 SRE

CARMES全面覆盖了产品寿命周期可靠性、维修性、可用性、测试性、安全性和保障性领域的主要内容，是可靠性工程强有力的辅助手段，是准确预计和合理分配可靠性与维修性指标，进行可靠性设计和评估，开展FMECA、FTA分析，建立FRACAS系统的重要工具，是实施工程监控，提高系统寿命周期质量与可靠性，节省产品研制费用的重要手段。是产品可靠性维修性设计真正的完备解决方案。

第五节系统的可靠性设计

系统：由相互协调工作的零、部件、子系统组成的，为了满足一特定功能的综合体。系统可靠性：不仅与组成系统的单元可靠性有关，还与各单元间的组合方式有关。

系统可靠性设计内容包括：可靠性预测、可靠性分配。

1 串联系统的可靠性

串联系统的失效率是各单元失效率之和：

12()()()()s n t t t t λλλλ=++???+

串联系统的可靠度是各单元可靠度之积：

12s n R R R R =???+

2 并联系统的可靠性

并联系统各单元的失效概率为：

12(1),(1),(1)n R R R --???-

并联系统的失效概率是各单元失效概率之积：

12(1)(1)(1)s n F R R R =--???-

并联系统的可靠度为：

12(1)(1)(1)s n F R R R =--???-

3 并联表决系统

4 并联储备系统

例2K-H 型行星齿轮机构的简图如图所示，如果太阳轮a ，行星轮g 及齿圈b 的可靠度分别为a R ，123g g g g R R R R ===及b R ，且0.995a R =，0.990b R =，0.999g R =，

求行星齿轮机构的可靠度s R 。（任一齿轮的失效是独立事件）

解：只要有一个行星轮不发生失效，则该行星轮子系统

就可以正常工作，故三个行星轮之间的关系为并联。则

整个行星轮系统的逻辑图如图所示。 1） 并联子系统的可靠度为

1231231(1)(1)(1)

g g g g g R R R R =--?-?-

2） 等效串联系统的可靠度

31230.995[1(10.999)]0.9900.985s a g g g b R R R R =?=?--?=