-高等数学2第十一章答案
高等数学(下册)第11章第7讲高斯公式、通量和散度
P Q R
x
y
z
dV
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
P x
Q y
R z
dV
P cos
Q cos
R cos
dS
其中取外侧，cos，cos ，cos 是在点(x, y, z)处的正法向量方向余弦.
注意：格林公式取边界曲线的正向，高斯公式取边界曲面的外侧
3
一、高斯公式
证
Pdydz
xdydz ydzdx zdxdy
3 外
1 3dxdydz 3 4 π 3 4π
3 外
3 3
故 I 0 4π 4π.
11
本讲内容
01 高斯公式 02 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 03 通量和散度
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
空间二维单连通区域 对于空间区域G，如果G 内任一闭曲面所围成的 区域全属于G.
空间一维单连通区域 如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于G 的曲面.
空间二维单连通区域 空间一维单连通区域
非空间二维单连通区域 空间二维单连通区域 空间一维单连通区域 非空间一维单连通区域
13
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
定理11.9
设G是空间二维单连通区域，若P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在G 内具有
z
Dxy
z z1 ( x, y)
x
R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y Dxy
2
Dx y
3 1
y
Rdxdy ( )Rdxdy R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y
高等数学下册第十一章习题答案详解
高等数学下册第十一章习题答案详解1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧； （4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x xz y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； （4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2sin cos d 2sin 2d 21cos 4d 22πxyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰ 习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧； （4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x P x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1） 星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2） 双纽线 22cos2;r a θ= （3） 圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ． 于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： （1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径； （4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）； （4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。
_高等数学2第十一章答案(DOC)
习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ds ad ϕϕ==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
高等数学2第十一章答案
习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22()n Lx y ds +⎰Ñ，其中L 为圆周cos x a t =，sin y a t = (02)t π≤≤；（2）Lxds ⎰Ñ，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x=所围成的区域的整个边界；（3）22x y Leds +⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（4）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（5）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形22y a x -其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ ()()22sin cos ds a a d ad ϕϕϕϕ=-+=依题意(),x y y ρ=，所求质量220sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lx y dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰Ñ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
高等数学习题解答(上海交大)习题11解答
第11章 级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!nn n n∞=∑解答：(1)23451111133333-+-+-；(2) 1131351357135792242462468246810∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++； (4)234511212312341234512345∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级2．写出下列级数的通项： (1)2341357++++；(2)261220-+-；(3)22242462468x x+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯解答：(1) 21n n -；(2)1(1)(1)n n n --+；(3)2242nx n∙ 。
所属章节：第十一章第一节难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和： (1)1n n S n+=；(2)212nn nS -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n nn n n -+-=-=-==--，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n→∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222nn n n n nn nu S S n -----=-=-==，故该级数为112nn ∞=∑，该级数的和为21lim lim12nnnn n S →∞→∞-== 。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级4．根据定义求出下列级数的和：(1) 1326n n nn ∞=+∑；(2) 11(2)n n n ∞=+∑；(3) 1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4) 1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123n n nn nn n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑；(2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n n n ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑；(3) 111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n nn n n n n n ∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4) 11n n ∞∞===-∑∑111n ∞==-∑11=-=-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1) 121n n n ∞=+∑；(2) 12nn n∞=∑；(3)11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；(4) 111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212nn u n =→≠+，所以级数121n nn ∞=+∑发散；(2) 由于2nnu n=→+∞≠，所以级数12nn n∞=∑发散；(3)由于1()01nn nu n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散；(4) 由于1111011(1)()(1)n n nn n nnnnnnn u n en nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。
高等数学同济第五版第11章答案
高等数学同济第五版第11章答案习题11?11.写出以下系列的前五个术语？(1)? 1.N21? nn？11? n1？11? 21? 31? 41?5.2222221? 11? 21? 31? 41? 5n？11? n1？n3456？1.251026371? nn？11? 3.（2n？1）2？4.2n解决方案解决方案(2)n?1解?n?1?1?3(2n?1)2?42n1?3(2n?1)2?42n?11?31?3?51?3?5?71?3?5?7?9?? .22?42?4?62?4?6?82?4?6?8?101315105945??.28483843840解?n?1??(3)?n?1?(?1)n?15n(?1)n?15n?解决方案N1.11111? 2.3.4.5.55555? 解决方案N1.（？1）n？15n？11111. 5251256253125(4)? N嗯？1n！1.2.3.4.5.1.2.3.4.5.nn12345n？1.解决方案解决方案N12624120. n14272563125nn？12? 写出以下系列的一般术语？(1)113151 7.解决方案的一般术语是un？1.2n？1(2)? 213456 2345解决方案的一般术语是un？（？1）n？1n？1.Nxxxx2（3）22?42?4?62?4?6?8解一般项为un?(4)nx22n！。
a2a3a4a53579n?1解一般项为un?(?1)an?1.2n?13?根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性?(1) （n？1？n）？n?1解因为sn？(2?1)? (3?2)? (4?3) （n？1？n）？（n？1？1）？？（n？？）？那么级数散度呢？(2)11111?33?55?7(2n?1)(2n?1)1111???????1?33?55?7(2n?1)(2n?1)111111111 111(?)?(?)?(?)(?)21323525722n?12n?1111111111(?)21335572n?12n?11 11(1?)?(n??)?22n?122?3?n??sinsin?666解因为sn所以级数收敛?(3)sin?6?sin解sn?sin?12sin?6?sin(2sin2?3?n??sinsin666?12?12sin?6?2sin?12sin2??n??2si nsin)6126?12sin?12[(cos?12?cos3?3?5?2n?12n?1)?(cos?cos)(cos??cos?)]121212 1212?12sin?12(cos?12?cos2n?1?).12因为limcosn??2n?1?不存在?所以limsn不存在?因而该级数发散?N12n8283n8(?1); 23n9994？确定下列序列的收敛性？(1)?? 这是等比级数吗？常见的比率是q？？(2)? 13111; 693n88？那么| Q |？？1.那么这个系列会聚了吗？99.这个系列有分歧吗？这是因为这样的级数收敛吗？那么阶段的数量是？？11111? 3() n3693nn？1.还有收敛？矛盾(3)? 1313? 3131n3；1n？1n解决方案因为通用术语UN？3.3.1.0（n？所以由级数收敛的必要条件可知?此级数发散?332333n（4）？2.3.N2222解这是一个等比级数?公比q?(5)(?)?(?3?1?所以此级数发散?21213111111?)?(?)(?)????.223223332n3n?11解因为?n和?n都是收敛的等比级数?所以级数N12n？13?? （n？11111111？n）？(?)? (2?2)? (3?3) （n？n）N3232323是否收敛？习题11?21.用比较收敛法或极限形式比较收敛法确定下列级数的收敛性？(1)113151?????（2n？1）1？112n？1.因为Lim？？还有连续剧？发散那么给定的序列会出现分歧？12n？？N1nn（2）1？1.21? 31? N1.221? 321? 氮气？1.n1？N11解决方案，因为UN？？那么级数发散度呢n1？n2n？n2nn？1.因此，给定的序列发散？(3)1112?53?6(n?1)(n?4)1?(n?1)(n?4)n21?lim2?1?而级数?2收敛?解因为lim1n??n??n?5n?4n?1n2n故所给级数收敛?(4)sin?2?sin?22?sin?23sin?2n罪2n？？画罪因为LiMn？？12n12n序列收敛了吗？？N2n？1n2？那么给定的级数收敛了吗？(5)? 1（a？0）？n1？一1.解决原因00a11n1an1alimlimla1n12nn1aan1a111.什么时候开始？1小时系列？N收敛？什么时候？A.1小时系列？N散度？n?1an?1a1当a?1时收敛?当0?a?1时发散?nn?11?a所以级数?2?用比值审敛法判定下列级数的收敛性?332333n（1）1?22?223?23n?2n解级数的一般项为un?limn??3n?因为nn?2un?1un?lim3n?1n?2n3n3??lim1?n?1n2n?12n??(n?1)?2n??3所以级数发散?n2（2）？Nn?13un?1un(n?1)23n1n?121?lim??lim?()??1?n?123n3n??3n??n?解因为limn??所以级数收敛?2n？N(3)? Nn?1nun?1un2n?1?(n?1)!(n?1)n?1nnnn2?2lim()??1?nn?1en??2?n!?解因为limnlimn所以级数收敛?(3) 恩坦恩？1.2n？1.解因为limn??un?1un(n?1)tan?limn??2n?2?limn?1?2n?2?1?1?2n？？丹恩？122n？那么级数收敛呢？3?用根值审敛法判定下列级数的收敛性?(1) （n？1nn）？2n？1n溶液，因为limn？？联合国？画n1？？1.那么级数收敛呢？2n？12(2)? 1.n[ln（n？1）]n？1n？因为limn？？联合国？lim1？0 1? 那么级数收敛呢？n??ln(n?1)。
高数答案第11章
第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =( C )24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它的质量=m ( A )++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t tC.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=⎰Ldx y x P ,( D) A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-1,2Ly x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx 3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(( B ) A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解： 由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。
《高等数学 II》第11章 综合测试解答
华东政法大学2009-2010学年第二学期 刑事司法学院09年级计算机科学与技术专业 《高等数学 II 》第十一章综合测试解答学院：________ 班级：_____学号：_________姓名：________任课教师：_____一、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均不得分。
1、设L 是圆周122=+y x 的顺时针方向, 则ds x I L61⎰=与ds y I L82⎰=的大小关系是 . 解: 由对称性ds y ds x I LL 661⎰⎰==而在L 上86y y > 故有21I I >2、设L 是从A(1, 0)沿1222=+y x 至点B(0, 2)的曲线段,则=+⎰dy ye dx xe y x y x L222 .解:0)2(222222=+=+⎰⎰y x d edy yedx xeyx Lyx yx L3、设L 是由y = x 2及 y = 1所围成的区域D 的正方向边界,则dy y x x dx y x xy L)()(24233+++⎰= .解: 由格林公式,0)]3()42[(2323=+-+-=⎰⎰⎰dxdy y x x y x x DL(因为被积函数为x 的奇函数, D 关于y 轴对称) 4、设∑为,2222a z yx =++ 则曲面积分=++⎰⎰∑dS z y x )(222.二、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均不得分。
1、设OM 是从O(0, 0)到点M(1 ,1)的直线段, 则曲线积分ds eI y x OM22+⎰=不相等的积分是. (A) dx ex2210⎰(B)dy ey2210⎰(C)dr e r ⎰2(D) dr e r 210⎰解: 由曲线积分计算法知(A), (B), (C)均与所给积分相等, 只有(D)与积分不相等. 2、设L 为下半圆周),0(,222≤=+y R y x 将曲线积分ds y x I L)2(+=⎰化为定积分的正确结果是 . (A) dt t t R )sin 2(cos 20+⎰-π (B) dt t t R )sin 2(cos 20+⎰π (C)dt t t R )cos 2(sin 2+⎰-π(D)dt t t R )cos 2(sin 22/32/+⎰ππ解: 令圆的参数方程为: ⎩⎨⎧==t R y tR x cos sin 则 dt t t R I )cos 2(sin 2232+=⎰ππ 选(D)3、设⋂AEB 是由A(-1, 0)沿上半圆21x y -=经点E(0, 1)到点B(1, 0), 则曲线积分==⎰⋂dy y x I AEB22 .(A) 0 (B) dy y x AE222⎰⋂(C) dy y x EB222⎰⋂(D) dy y x BE222⎰⋂解: 计算可知 I = 0 选(A)4、设L 是从点O(0, 0)沿折线|1|1--=x y 至点A(2, 0)的折线段, 则积分xdy ydx I L+-=⎰等于 .(A) 0 (B) -1 (C) 2 (D) -2 解: 补20)2(,-=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰+dxdy AO DAOAOL L选(D)三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1、计算,)1(dxdy z ydzdx I S++-=⎰⎰其中 S 是圆柱422=+y x 被平面x + z =2 和z = 0所截出部分的外侧。
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习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形22y a x =-，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ ()()22sin cos ds a a d ad ϕϕϕϕ=-+=依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
3.把对坐标的曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；（2）沿抛物线2y x =从点(0,0)到点(1,1)；（3）沿上半圆周222x y x +=从点(0,0)到点(1,1).4.设Γ为曲线x t =，2y t =，3z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分LPdx Qdy Rdz ++⎰化成对弧长的曲线积分。
习题11-3 格林公式及其应用1. 利用曲线积分，求星形线3cos x a t =，3sin y a t =所围成的图形的面积。
2.计算曲线积分222()L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为圆周22(1)2x y -+=，L 的方向为逆时针方向。
3. 证明曲线积分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值。
.解：积分与路径无关，取路径()()():1,21,43,4L A B C →→，则有(3,4)2322(1,2)(6)(63)AB BCxy y dx x y xy dy -+-=+⎰⎰⎰()()43221639664236y y dy x dx =-+-=⎰⎰4.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）(24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；（2）()()222cos 22cos L x y y dx y x y dy ⎡⎤++++⎣⎦⎰，其中L 是从()0,0O 沿sin y x =到点(,0)A π的一段弧. 解：原式()()222cos 2cos 2LLx y dx y x y dy y dx =++++⎰⎰取()()22cos ,2cos P x yQ y x y =+=+()22sin P Q y x y y x∂∂=-+=∂∂，所以上述第一个积分与路径无关，取点()0,0O 到点 (,0)A π的直线积分得：()()220cos 2cos cos 0Lx y dx y x y dy xdx π+++==⎰⎰又L 的参数方程为sin ,,y x x x x ==从0变到π，所以()2222sin 1cos 2Ly dx xdx x dx πππ==-=⎰⎰⎰于是，原式()()222cos 2cos 2LLx y dx y x y dy y dx π=++++=⎰⎰5.验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ： （1）22xydx x dy +；（2）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-6.计算224(2)()Lx xy dx x y dy +++⎰，其中L 为由点()0,0O 到点()1,1B 的曲线弧sin2xy π=解2,2P Q P Q x x y x y x∂∂∂∂==⇒=∂∂∂∂ 原积分与路径无关，()1,0A 故原式()()2242OA ABxxy dx x y dy +=+++⎰()11240023115x dx y dy =++=⎰⎰ 习题11-4 对面积的曲面积分1. 计算曲面积分3∑⎰⎰zdS ，其中∑为抛物面222()z xy =-+在xOy 面上方的部分。
3=zdS ∑⎰⎰()22223[2()]14xyD xy x y dxdy -+++⎰⎰()2222003214d d πθρρρρ=-+⎰⎰()()()12222216[914]141432d πρρρ=⨯-+++⎰()()3522222032[61414]165πρρ=+-+ ()()3532111[63131]16510ππ=---=2.计算下列对面积的曲面积分： （1）4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分；（2）()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222xy z a ++=上z h ≥(0)h a <<的部分；3.求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.4.计算()22xy dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面.解 12∑=∑+∑， 221:z x y ∑=+，在1∑上，221x y ds z z dxdy =++，1∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤在2∑上，ds dxdy =，2∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤()()()2222222xyxyD D x y ds x y dxdy x y dxdy ∑∴+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()212021212d r rdr πθπ+=+⋅⋅=⎰⎰ 习题11-5 对坐标的曲面积分1.计算下列对坐标的曲面积分： （1）22x y zdxdy ∑⎰⎰，其中∑为球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.（2）[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy∑+++++⎰⎰，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧.2.把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中（1）∑是平面32236x y z ++=在第一卦限的部分的上侧；（2）∑是抛物面228()z x y =-+在xOy 面上方的部分的上侧；习题11-6 高斯公式1.利用高斯公式计算曲面积分： （1）222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x a =，y a =，z a =所围成的立体的表面的外侧.（2）xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧；（3）24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，1x =，1y =，1z =所围成的立方体的全表面的外侧；2.计算曲面积分()2I z x dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是曲面()2201z x y z =+≤≤的外侧.解 添加平面()221:11z x y ∑=+≤，取上侧，使1∑+∑构成封闭，应用高斯公式地()2112112132xyrD I dv dxdy d rdr dz ππθπ∑+∑∑Ω=-=+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题11-7 斯托克斯公式1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分： （1）ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222x y z a ++=，0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；（2）23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰，其中Γ为圆周222x y z +=，2z =，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；（3）223ydx xdy z dz Γ+-⎰，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；复习题十一1.计算下列曲线积分： （1）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y ax +=.（2）(2)La y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-上对应t 从0到2π的一段弧.（3）(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为上半圆周222()x a y a -+=，0y ≥ 沿逆时针方向.2.计算下列曲面积分： （1）222dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑是界于平面0z =及z H =之间的圆柱面222x y R +=；（2）222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+ (0)z h ≤≤的外侧.（3）xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为半球面222z R x y =--上侧.3.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。