非线性规划模型
最新6非线性规划模型汇总
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 生猪体重 w=80+rt 出售 出售价格 p=8-gt
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
注意：缺货需补足
0
T1 T
t
Q~每周期初的存贮量
每周期的生产量 R （或订货量）
RrT 2c1rc2 c3 c2 c3
RQQQ~不允许缺货时的产量(或订货量)
6.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
非线性规划模型在管理科学中的应用研究
非线性规划模型在管理科学中的应用研究绪论管理科学是一门研究如何应用科学方法和技术来解决管理问题的学科，其中非线性规划模型作为一种重要的工具，得到了广泛的应用和研究。
本文将从理论和实践两个方面探讨非线性规划模型在管理科学中的应用研究。
一、非线性规划模型的理论基础非线性规划模型是在约束条件下，求解非线性目标函数的最优解。
它的理论基础主要包括最优性条件、解的存在性和稳定性等方面。
其中，最优性条件是非线性规划问题的核心内容之一，包括一阶和二阶条件。
一阶条件主要包括最优解的必要条件和克拉默条件。
最优解的必要条件要求目标函数在最优解处的偏导数等于零，这意味着最优解的局部均衡点满足一阶条件。
克拉默条件要求约束函数在最优解处的梯度向量线性相关，这可以帮助我们判断最优解的全局特性。
二阶条件主要包括最优解的充分条件和李普希茨条件。
最优解的充分条件要求目标函数的海森矩阵在最优解处半正定，这保证了最优解的局部最小性。
李普希茨条件要求约束函数在最优解处的雅可比矩阵满秩，这可以帮助我们判断最优解的全局稳定性。
二、非线性规划模型的应用场景非线性规划模型可以广泛应用于管理科学中的各个领域，如生产计划、供应链管理、投资组合等。
在生产计划中，我们可以利用非线性规划模型来优化产品的生产数量和生产调度，以最大化产能利用率和实现生产成本最小化。
在供应链管理中，非线性规划模型可以用于确定最佳的供应链网络结构和物流配送路线，以最大程度地降低运输成本和缩短交货时间。
在投资组合中，非线性规划模型可以用于确定最佳的资产配置比例，从而实现收益最大化和风险最小化。
三、非线性规划模型的实践应用案例以下以某公司生产计划为例，说明非线性规划模型在实践中的应用。
某公司的生产计划包括两个阶段，每个阶段有不同的生产能力和生产成本。
为了最大化利润，公司需要确定每个阶段的生产数量。
首先，我们可以建立一个非线性规划模型，将利润最大化作为目标函数，将每个阶段的生产数量作为决策变量，将约束条件包括生产能力、市场需求等考虑进去。
非线性整数规划模型（LINGO代码实现）
⾮线性整数规划模型（LINGO代码实现）⾮线性整数规划模型LINGO讲解分析：第⼀步：确定决策变量问题是确定调运⽅案，使得总运输费⽤最⼩。
⽽总运输费⽤=货物运量*货物单价，题⽬给了货物单价了，我们求货物运量即可，这⾥的货物运量则是我们的决策变量。
第⼆步：确定⽬标函数和约束条件上图第⼀⾏就是我们的⽬标函数，下⾯三⾏是我们的约束条件，在满⾜约束条件的前提下，软件会不断遍历Xij所有可能的值，然后z也会根据Xij的变化⽽产⽣不同的值，这个时候⽤⼀个min函数取所有可能值当中的最⼩值，即可。
第三步：⽤LINGO代码实现model:title 最少运费问题;sets:!集合的定义，WH是集合的名字，W1..W6是集合的长度，⼀般写成1..6,相当于创建了⼀个能放六个元素的容器WH，是抽象的，是虚⽆的，是⼀种声明，告诉我们“：”后⾯的变量是⼀个什么类型的变量，显然，后⾯的AI是⼀个确确实实有六个数的数组，是具体的，是实在WH/W1..W6/:AI;!集合的名称、集合内的成员、集合的属性（可以看成是与改集合有关的变量或常量，相当与数组）;VD/V1..V8/:DJ;links(WH,VD):C,X;!以WH和VD为基础，衍⽣集合。
相当于把两个向量结合在⼀起，形成⼀个⼆维数组，有⾏和列，C和X这两个变量是实在的具体的⼆维数组，只不过后⾯C我们赋值了，X是通过系统根据约束条件和⽬标函数⾃⼰赋值的;endsetsdata:!数据段;AI=60,55,51,43,41,52;DJ=35,37,22,32,41,32,43,38;C=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;enddatamin=@sum(links(I,J):c(i,j)*x(i,j)); !⽬标函数.links我们上线提到了，是⼀个6X8的集合名;@for(WH(i):@sum(VD(j):x(i,j))<=AI(I));!约束条件.@for⼀出，你就要知道这⼀⾏写的就是约束条件了;@for(vd(j):@sum(WH(i):x(i,j))=DJ(j));!约束条件.;end。
运筹学模型的类型
运筹学模型的类型运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。
根据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型：1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性函数取得最大或最小值。
线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。
2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。
3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。
排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。
6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。
总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
第6讲整数规划、非线性规划模型
一、模型准备 该问题是在原料数量一定的限制条件下，求商店生产三种口味 蛋糕各多少时，可获得最大收益． 二、模型假设 1．假设在生产过程中没有材料的浪费． 2． 假设生产的面包能全部售出， 且不考虑影响销售价格的因素． 三、变量假设 设商店生产草莓、蓝莓、柠檬三种口味的蛋糕的数量分别为
x1 , x2 , x3 ，获得的总收益为 R 元．
x=intvar(1,2); C=[240 378]; a=[1 0;0 1;1 1];b=[8 6 10]; f=C*x'; F=set(0<=x<=inf); F=F+set(a*x'<=b')+set(96*x(1)+120*x(2)>=720); solvesdp(F,f) double(f)
double(x)
整
数
规
划
最优化问题中的所有变量均为整数时，这类 问题称为整数规划问题。
如果线性规划中的所有变量均为整数时，称 这类问题为线性整数规划问题。 整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。 如果决策变量的取值只能为0或1，则这样的 规划问题称为0－1规划。
double(f)
double(x)
非线性规划
非线性规划问题的一般数学模型：
min
f ( x) h j ( x) 0, j 1, 2, , l.
s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m,
其中， x E n ，
f (x) 为目标函数，
g i ( x), h j ( x) 为约束函数，这些函数中至少有
最优化模型（2）
一、一般的线性规划模型 二、整数规划模型
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
三、非线性规划模型实例
（2）建立模型。
2 2 2 2 min f c ( 5 a ) +( 1 b ) + (2 a ) (7 b ) 目标函数 i1 i i i i i 1 i 1
6
6
约束条件： （1）每个工地水泥需求量一定：ci1 ci 2
di
（2）料厂日储水泥量一定，所以每个料厂的供给有限制：
三、非线性规划模型实例
例1 工地选址问题。 某公司的6个工地要开工，每个工地的位置与水泥用量见下表， 目前2个临时料厂位置为P(5,1)和Q(2,7)，日储量各为20t，请回答以下问题： (1)假设从料厂到工地均有直线道路相连，试制定每天应从P,Q两料厂分别向各工地 运送多少水泥，使总的吨公里数最少。 (2)为减少吨公里数，打算舍弃2个临时料厂，重建2个新料厂，日储量仍各为20t，问 新料厂应建于何处？
综合得非线性模型：
min f cij ( x j ai ) 2 ( y j bi ) 2
j 1 i 1
2
6
ci1 ci 2 di , i 1, 2, 6 6 s.t. cij e j , j 1, 2; cij 0 i 1
（3）模型求解。
00
劳动时间/h
280
250
400
60000
利润/万元
2
3
4
小型
钢材/t 劳动时间/h 利润/万元 1.5 280 2
中型
3 250 3
大型
5 400 4
现有量
600 60000
设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为 x1 , x2 , x3 , 工厂的月利润为z, 建立如下模型：
工地号 位置 用量/t 料厂 1
2022年Python数学实验与建模第3章 非线性规划
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定理 3.2（无约束优化问题有局部最优解的充分 条件） 设 f (x)具有连续的二阶偏导数，点 x*满足 f ( x* ) 0；并且2 f ( x* )为正定阵，则 x*为无约束优
化问题的局部最优解。
定理 3.1 和定理 3.2 给出了求解无约束优化问题 的理论方法，但困难的是求解方程f ( x* ) 0，对于 比较复杂的函数，常用的方法是数值解法，如最速降 线法、牛顿法和拟牛顿法等。
航空基础学院数学第教3研页室
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定义 3.1 记非线性规划问题(3.1)或(3.2)的可行
域为 K。
（1）若 x* K ，且x K ，都有 f ( x* ) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的全局最优解，称 f ( x*)为其全 局最优值。如果x K , x x*，都有 f ( x*) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的严格全局最优解，称 f ( x*)为
若 f ( x)，gi ( x),i 1,2, , p和hj ( x), j 1,2, ,q中至
少有一个是 x的非线性函数，称如下形式的数学模型：
min f ( x),
s
.
t
.
gi hj
( (
x x
) )
0, 0,
i 1,2, j 1,2,
, p, ,q
(3.1)
航空基础学院数学第教1研页室
若 x*是问题(3.4)的局部最优解，则存在实向量
λ* [1* , 2* ,
,q* ]T Rq，使得L( x*, λ* ) 0，即
航空基础学院数学第教11研页室
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三：用MATLAB 优化工具箱解二次规划。 1：解法： （1）化
?? min f ( x ) ? 1 x T Hx ? cx , H 对称 ? R n ? n
?
2
??
s.t . Ax ? b
的标准形。 （2）输入H,c,A,b; (3)用qp 程序求解。
2：常见的qp程序：
? X=qp(H,c,A,b) ? x=qp(H,c,A,b,v1) ? x=qp(H,c,A,b,v1,v2,x0,ne,dis,1)% 解H非正定的QP ? [x,lag]=qp(H,c,A,b,……，)qp中的参数除H,c,A,b同lp.
2：如果仅有等式约束hi,则可以用lagrange乘子法构造 L(x,? )=f(x)+? ? ihi(x)(? i为参数）,化为无约束优化问题， 然后利用无约束优化最优解必要条件来求解。
3：故求解时主要考虑只有不等式约束模型：
? min z ? f ( x ), x ? R n
? ?
? ?2 ?
? ?
1 xT Hx ? cx, H对称 ? 2
Rn?n ?
?8?
??
s.t.Ax ? b
2：如果（8）式中约束条件Ax=b,则可用lagrange乘子法 求解：……(9)
构造
L?x, ? ?? 1 xT Hx ? cx ? ?T ?Ax ? b?, ? ? Rm
2
对x,
?
求导得?? ?
Hx ? c ? A? ?
非线性规划模型
0：引言： 1：如果目标函数和约束条件有一个或多个变量为非线
性函数，则称这种规划问题为非线性规划问题。其模型为：
?
min z ? f ( x ), x ? R n
? ?
s
.t
.
h
i
?x
?
?
0, i
?
1,2 ,?
, m .?
?1 ?
? ?
g j ?x ?? 0 , j ? 1, 2 , ? , l
Fun.m 文件要同时给出目标函数f和约束条件g。形式为 [f,g]=fun(x);
x0为迭代初值; opt为算法选择; v1为下界;v2为上界; grad.m文件要（用分析法）同时给出目标函数f和约束条
件g的梯度，形式为[df,dg]=fun(x);g和dg的表达形式请 见下例：
2：例：研究：
? ? f ?x, x?? 100 x2 ? x12 2 ? ?1? ? x1 2
为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料 场，改建两个新的，日储量仍各有20吨，问应建在何处， 节省的吨千米数有多大？
1
2
3
4
5
6
a
1.25
8.75 0.5
5.75
3
7.25
b
1.25
0.75 4.75
5
6.5
7.25
c
3
5
4
7
6
11
工地位置(a,b)及水泥日用量 d
解：（1）：这是双目标规划问题：一个是收益，一个是
s
.t
.
g
j ?x ??
0,
j
?
1, 2 , ?
,l
一：一些非线性规划模型： 1：供应与选址问题：
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置 （用平面坐标a,b表示，距离单位：千米）及水泥日用 量d（吨）由下表给出。目前有两个临时料场位于 A(5,1),B(2,7),日储量各有20吨，假设从料场到工地之间 均有直线道相连；试制定每天的供应计划，即从A,B两 料场分别向各工地运多少吨水泥，使总的吨千米数最小。
?
?6?
（3）参数意义：? =0时，表示不考虑风险； ? =1时，表示不考虑收益，主要考虑风险。……（7）
（4）取?=1进行求解。? 非线性规划问题。 3：武器分配问题（p110) 4:1995年数学模型竞赛A题：飞行管理问题（p110)
二：二次规划及有效集法： 1：二次规划的标准形式：
??min f (x) ? ?
????,
H
?
?1 ???? 1
? 1? 2 ???,
c
?
??
4,?
12?
? 1 1? ?2?
?
? ??
A ? ?? 1 2?,b ? ?2?
? ?
2
1
? ?
?? 3
? ?
（2）编程计算：
to MATLAB erciguihua.m
结果：x=(0.6667,1.3333) f=-17.5556
三：带约束非线性规划的解法： 1：通常解法有：
i?1
j?1
?2 ?用二次函数逼近
L ?x , ? , ? ?
化为二次规划问题，求解。 （3）实际中是迭代法求解。
四：用MATLAB 优化工具箱解带约束非线性规划： 1：解法程序：
x ? constr ?' fun ' , x 0 ? x ? constr ?' fun ' , x 0 , opt ? x ? constr ?' fun ' , x 0 , opt , v1, v 2 , ' grad '?
风险，一般不能同时满足。将两个函数合并成一个函数， 从而使问题简化。
（2）该投资的决策问题的数学模型为：
?? ? ?目标函数
? ? ??
max f (z) ? 20x1 ? 16x2 ?
约束条件?? ?
g
?z
??
x1
x1 ? ? 0,
x2 x2
2x12 ? x22 ? 5000
?0
?
?x1
?
? x2 2
带约束x12 ? x22 ? 1.5, x1 ? x2 ? 0的极小值问
Ax ? b ? 0
0
解出x, ? ,其中x即为（9）的最优解。
3：对有不等式约束的（8）；可讨论其约束条件
A x? b ?
? ?
a1
? ?
? ?
b1
? ?
? ? ?x ? ? ? ? ?
??am ?? ??bm ??
? a1x ? b1
? ?
?
??am x ? bm
把其中起约束的不等式改为不等式，不起约束的不等式 去掉，化为等式约束的二次规划求解。? 称为有效集 法。
? 可行方向法 ? 罚函数法 ? 梯度投影法（参考《运筹学》清华大学出版社；《最
优化理论》袁亚湘，科学出版社。 ? 逐步二次规划法（MATLAB 中采用）
2：逐步二次规划法思想：（解模型（1）） （1）构造lagrange函数
m
l
L ?x , ? , ? ? ? f ?x ?? ? ? i h i ?x ?? ? ? j g j ?x ?
3：例：求解：
min
f ( x1 , x2 ) ?
x
2 1
?
2 x1 x 2 ?
2
x
2 2
?
4 x1 ? 12 x 2
? x1 ? x2 ? 2
s.t .??? ?
x1 2
? x1
2 ?
x2 x2
? ?
?2 3
?? x1 , x 2 ? 0
解：（1）将这个二次规划化为标准形：
x
?
????
x1 x2