北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法.doc
北航数值分析大作业 第一题 幂法与反幂法
数 值 分 析（B ） 大 作 业（一）姓名： 学号： 电话：1、算法设计：①求1λ、501λ和s λ的值：s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。
1λ、501λ：若矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<<且1n λλ≠，要求1λ、及501λ时，可按如下方法求解： a ． 对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。
b ． 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m BA I λ=+，对矩阵B 用反幂法求得B 的按模最小特征值2m λ。
c ． 321m m m λλλ=-则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。
②求和A 的与数5011140k k λλμλ-=+最接近的特征值ik λ（k=0，1，…39）：求矩阵A 的特征值中与P 最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法：先求矩阵 B=A-PI 对应的按模最小特征值k β，则k β+P 即为矩阵A 与P 最接近的特征值。
在本次计算实习中则是先求平移矩阵k B A I μ=-，对该矩阵应用反幂法求得s λ，则与k μ最接近的A 的特征值为：s P λ+重复以上过程39次即可求得ik λ（k=0，1，…39）的值。
③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ：在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。
求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()scond A λλ=，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。
2、程序源代码：#include "Stdio.h"#include "Conio.h"#include "math.h"//****************************************************************************// // 在存储带状矩阵时，下面的几个量在程序中反复用到，为方便编程故把它们定义成宏.// // M ：转换后的矩阵的行数，M=R+S+1。
北航研究生数值分析作业第一题
北航研究⽣数值分析作业第⼀题北航研究⽣数值分析作业第⼀题：⼀、算法设计⽅案1.要求计算矩阵的最⼤最⼩特征值，通过幂法求得模最⼤的特征值，进⾏⼀定判断即得所求结果；2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝对值满⾜反幂法的要求，故通过反幂法即可求得；3.反幂法计算时需要⽅程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解；4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对⾓线相乘即为矩阵的Det。
算法编译环境：vlsual c++6.0需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及⽅程的求解⼆、源程序如下：#include#include#include#includeint Max(int value1,int value2);int Min(int value1,int value2);void Transform(double A[5][501]);double mifa(double A[5][501]);void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]); double fanmifa(double A[5][501]); double Det(double A[5][501]);/***定义2个判断⼤⼩的函数，便于以后调⽤***/int Max(int value1,int value2){return((value1>value2)?value1:value2);}int Min(int value1,int value2){return ((value1}/*****************************************//***将矩阵值转存在⼀个数组⾥，节省空间***/void Transform(double A[5][501],double b,double c){int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1)); i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}/***转存结束***///⽤于求解模最⼤的特征值，幂法double mifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i,j;double b2,b1=0,sum,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+A[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=exp(-12));return b2;}//带状DOOLITE分解，并且求解出⽅程组的解void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]) { int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j]; }for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k]; B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//⽤于求解模最⼤的特征值，反幂法double fanmifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);daizhuangdoolite(A,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)>=fabs(b1)*exp(-12));return 1/b2;}//⾏列式的LU分解，U的主线乘积即位矩阵的DET double Det(double A[5][501]) {int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}void main(){double b=0.16,c=-0.064,p,q;int i,j;double A[5][501];Transform(A,b,c); //进⾏A的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double lamda1,lamda501,lamdas;double k=mifa(A);if(k>0) //判断求得最⼤以及最⼩的特征值.如果K>0，则它为最⼤特征值值，//并以它为偏移量再⽤⼀次幂法求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤ //与最⼩的特征值的差{lamda501=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda1=mifa(A)+lamda501;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}else //如果K<=0，则它为最⼩特征值值，并以它为偏移量再⽤⼀次幂法//求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤与最⼩的特征值的差{lamda1=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda501=mifa(A)+lamda1;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}lamdas=fanmifa(A);FILE *fp=fopen("result.txt","w");fprintf(fp,"λ1=%.12e\n",lamda1);fprintf(fp,"λ501=%.12e\n",lamda501);fprintf(fp,"λs=%.12e\n\n",lamdas);fprintf(fp,"\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");for(i=1;i<=39;i++) //反幂法求得与给定值接近的特征值{p=lamda1+(i+1)*(lamda501-lamda1)/40;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]-p;q=fanmifa(A)+p;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]+p;fprintf(fp,"µ%d: %.12e λi%d: %.12e\n",i,p,i,q);}double cond=fabs(mifa(A)/fanmifa(A));double det=Det(A);fprintf(fp,"\ncond(A)=%.12e\n",cond);fprintf(fp,"\ndetA=%.12e\n",det);}三、程序运⾏结果λ1=-1.069936345952e+001λ501=9.722283648681e+000λs=-5.557989086521e-003要求接近的值实际求得的特征值µ1: -9.678281104107e+000 λi1: -9.585702058251e+000µ2: -9.167739926402e+000 λi2: -9.172672423948e+000µ3: -8.657198748697e+000 λi3: -8.652284007885e+000µ4: -8.146657570993e+000 λi4: -8.0934********e+000µ5: -7.636116393288e+000 λi5: -7.659405420574e+000µ6: -7.125575215583e+000 λi6: -7.119684646576e+000µ7: -6.615034037878e+000 λi7: -6.611764337314e+000µ8: -6.104492860173e+000 λi8: -6.0661********e+000µ9: -5.593951682468e+000 λi9: -5.585101045269e+000µ10: -5.0834********e+000 λi10: -5.114083539196e+000µ11: -4.572869327058e+000 λi11: -4.578872177367e+000µ12: -4.062328149353e+000 λi12: -4.096473385708e+000µ13: -3.551786971648e+000 λi13: -3.554211216942e+000µ14: -3.0412********e+000 λi14: -3.0410********e+000µ15: -2.530704616238e+000 λi15: -2.533970334136e+000µ16: -2.020*********e+000 λi16: -2.003230401311e+000µ17: -1.509622260828e+000 λi17: -1.503557606947e+000µ18: -9.990810831232e-001 λi18: -9.935585987809e-001µ19: -4.885399054182e-001 λi19: -4.870426734583e-001µ20: 2.200127228676e-002 λi20: 2.231736249587e-002µ21: 5.325424499917e-001 λi21: 5.324174742068e-001µ22: 1.043083627697e+000 λi22: 1.052898964020e+000µ23: 1.553624805402e+000 λi23: 1.589445977158e+000µ24: 2.064165983107e+000 λi24: 2.060330427561e+000µ25: 2.574707160812e+000 λi25: 2.558075576223e+000µ26: 3.0852********e+000 λi26: 3.080240508465e+000µ27: 3.595789516221e+000 λi27: 3.613620874136e+000µ28: 4.106330693926e+000 λi28: 4.0913********e+000µ29: 4.616871871631e+000 λi29: 4.603035354280e+000µ30: 5.127413049336e+000 λi30: 5.132924284378e+000µ31: 5.637954227041e+000 λi31: 5.594906275501e+000µ32: 6.148495404746e+000 λi32: 6.080933498348e+000µ33: 6.659036582451e+000 λi33: 6.680354121496e+000µ34: 7.169577760156e+000 λi34: 7.293878467852e+000µ35: 7.680118937861e+000 λi35: 7.717111851857e+000µ36: 8.190660115566e+000 λi36: 8.225220016407e+000µ37: 8.701201293271e+000 λi37: 8.648665837870e+000µ38: 9.211742470976e+000 λi38: 9.254200347303e+000µ39: 9.722283648681e+000 λi39: 9.724634099672e+000cond(A)=1.925042185755e+003detA=2.772786141752e+118四、分析如果初始向量选择不当,将导致迭代中X1的系数等于零.但是，由于舍⼊误差的影响,经若⼲步迭代后,.按照基向量展开时,x1的系数可能不等于零。
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中的幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值和最小特征值的常用方法。
这两种方法在许多数值计算问题中都有着广泛的应用，包括图像压缩、数据降维、谱聚类等。
幂法（Power Method）是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与一个向量的乘积，来逼近原矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
其基本思想是，对于一个矩阵A和一维向量x，可以通过不断迭代计算Ax，Ax，Ax...，来使得向量x逼近最大特征值对应的特征向量。
具体的迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=Ax0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=Ax1，x3=Ax2...，直到收敛（即相邻迭代向量的差的范数小于一些阈值）为止4. 最终得到的向量xn就是A的最大特征值对应的特征向量在实际求解时，我们可以将迭代过程中的向量进行归一化，以防止数值溢出或下溢。
此外，为了提高迭代速度，我们可以选择使得xn与xn-1的内积大于0的方向作为迭代方向，这样可以使得特征值的模快速收敛到最大特征值。
幂法的收敛性是保证的，但收敛速度可能较慢，尤其是当最大特征值与其他特征值非常接近时。
此时可能需要使用一些改进的方法来加速收敛，例如Rayleigh商或位移策略。
相反，反幂法（Inverse Power Method）是求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量的方法。
它的基本思想和幂法类似，但在每次迭代中，需要计算A和依其逆矩阵A-1的乘积。
迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=A-1x0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=A-1x1，x3=A-1x2...4. 最终得到的向量xn就是A的最小特征值对应的特征向量反幂法和幂法的区别在于迭代过程中乘以了A的逆矩阵，从而可以利用矩阵的特殊结构或性质来提高迭代速度。
同时，在实际求解时，可能需要将矩阵进行一些变换，以确保A-1存在或数值稳定性。
数值分析大作业一
数值分析大作业一一、算法设计方案1、求λ1和λ501的值：思路：采用幂法求出按模最大特征值λmax，该值必为λ1或λ501，若λmax小于0，则λmax=λ1；否则λmax=λ501。
再经过原点平移，使用幂法迭代出矩阵A-λmax I的特征值，此时求出的按模最大特征值即为λ1和λ501的另一个值。
2、求λs的值：采用反幂法求出按模最小的特征值λmin即为λs，其中的方程组采用LU分解法进行求解。
3、求与μk最接近的特征值：对矩阵A采用带原点平移的反幂法求解最小特征值，其中平移量为：μk。
4、A的条件数cond(A)=| λmax/λmin|；5、A的行列式的值：先将A进行LU分解，再求U矩阵对角元素的乘积即为A 行列式的值。
二、源程序#include<iostream>#include<iomanip>#include<math.h>#define N 501#define E 1.0e-12 //定义精度常量#define r 2#define s 2using namespace std;double a[N];double cc[5][N];void init();double mifa();double fmifa();int max(int aa,int bb);int min(int aa,int bb);int max_3(int aa,int bb,int cc);void LU();void main(){double a1,a2,d1,d501=0,ds,det=1,miu[39],lamta,cond;int i,k;init();/*************求λ1和λ501********************/a1=mifa();if(a1<0)d1=a1; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a1; //若大于0则表示λ501的值for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-a1;a2=mifa()+a1;if(a2<0)d1=a2; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a2; //若大于0则表示λ501的值cout<<"λ1="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d1<<"\t";cout<<"λ501="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d501<<endl;/**************求λs*****************/init();ds=fmifa();cout<<"λs="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<ds<<endl;/**************求与μk最接近的特征值λik**************/cout<<"与μk最接近的特征值λik:"<<endl;for(k=0;k<39;k++){miu[k]=d1+(k+1)*(d501-d1)/40;init();for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-miu[k];lamta=fmifa()+miu[k];cout<<"λi"<<k+1<<"\t\t"<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<lamta<<en dl;}/**************求A的条件数**************/cout<<"矩阵A的条件式";cond=abs(max(abs(d1),abs(d501))/ds);cout<<"cond="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<cond<<endl;/**************求A的行列式**************/cout<<"矩阵A的行列式";init();LU();for(i=0;i<N;i++){det*=cc[2][i];}cout<<"det="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<det<<endl;system("pause");}/**************初始化函数，给a[N]赋值*************/void init(){int i;for(i=1;i<=501;i++)a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin((double)(0.2*i))-0.64*exp((double)(0.1/i)); }/**************幂法求最大绝对特征值**************/double mifa(){int i,k=0;double u[N],y[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++) //控制最大迭代次数为2000{/***求y(k-1)***/double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;}/****求新的uk****/u[0]=a[0]*y[0]+b*y[1]+c*y[2];u[1]=b*y[0]+a[1]*y[1]+b*y[2]+c*y[3]; //前两列和最后两列单独拿出来求中D间的循环求for(i=2;i<N-2;i++){u[i]=c*y[i-2]+b*y[i-1]+a[i]*y[i]+b*y[i+1]+c*y[i+2];}u[N-2]=c*y[N-4]+b*y[N-3]+a[N-2]*y[N-2]+b*y[N-1];u[N-1]=c*y[N-3]+b*y[N-2]+a[N-1]*y[N-1];/***求beta***/double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}//cout<<"Beta"<<k<<"="<<Beta<<"\t"; 输出每次迭代的beta /***求误差***/error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E) //若迭代误差在精度水平内则可以停止迭代{return Beta;} //控制显示位数Beta_=Beta; //第个eta的值都要保存下来，为了与后个值进行误差计算 }if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} //若在最大迭代次数范围内都不能满足精度要求说明不收敛}/**************反幂法求最小绝对特¬征值**************/double fmifa(){int i,k,t;double u[N],y[N]={0},yy[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++){double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;yy[i]=y[i]; //用重新赋值，避免求解方程组的时候改变y的值}/****LU分解法解方程组Au=y，求新的***/LU();for(i=2;i<=N;i++){double temp_b=0;for(t=max(1,i-r);t<=i-1;t++)temp_b+=cc[i-t+s][t-1]*yy[t-1];yy[i-1]=yy[i-1]-temp_b;}u[N-1]=yy[N-1]/cc[s][N-1];for(i=N-1;i>=1;i--){double temp_u=0;for(t=i+1;t<=min(i+s,N);t++)temp_u+=cc[i-t+s][t-1]*u[t-1];u[i-1]=(yy[i-1]-temp_u)/cc[s][i-1];}double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E){return (1/Beta);}Beta_=Beta;}if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} }/**************求两数最大值的子程序**************/int max(int aa,int bb){return(aa>bb?aa:bb);}/**************求两数最小值的子程序**************/int min(int aa,int bb){return(aa<bb?aa:bb);}/**************求三数最大值的子程序**************/int max_3(int aa,int bb,int cc){ int tt;if(aa>bb)tt=aa;else tt=bb;if(tt<cc) tt=cc;return(tt);}/**************LU分解**************/void LU(){int i,j,k,t;double b=0.16,c=-0.064;/**赋值压缩后矩阵cc[5][501]**/for(i=2;i<N;i++)cc[0][i]=c;for(i=1;i<N;i++)cc[1][i]=b;for(i=0;i<N;i++)cc[2][i]=a[i];for(i=0;i<N-1;i++)cc[3][i]=b;for(i=0;i<N-2;i++)cc[4][i]=c;for(k=1;k<=N;k++){for(j=k;j<=min(k+s,N);j++){double temp=0;for(t=max_3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++)temp+=cc[k-t+s][t-1]*cc[t-j+s][j-1];cc[k-j+s][j-1]=cc[k-j+s][j-1]-temp;}//if(k<500){for(i=k+1;i<=min(k+r,N);i++){double temp2=0;for(t=max_3(1,i-r,k-s);t<=k-1;t++)temp2+=cc[i-t+s][t-1]*cc[t-k+s][k-1];cc[i-k+s][k-1]=(cc[i-k+s][k-1]-temp2)/cc[s][k-1];}}}}三、程序结果。
数值分析大作业
数值分析上机作业（一）一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。
但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。
对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0<λ501，则令t=λ501，λ1=λ0，λ501=t。
求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。
使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0，则有λik=1λ0+μk。
求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下：任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1，当K 足够大时，取λn =1βk 。
北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法
《数值分析》计算实习题目第一题：1. 算法设计方案（1）1λ，501λ和s λ的值。
1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。
2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。
因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。
（2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。
通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。
（3）2cond(A)和det A 。
1）1=nλλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。
2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。
由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。
2.全部源程序#include <stdio.h>#include <math.h>void init_a();//初始化Adouble get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数double powermethod(double);//原点平移的幂法double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法int presolve(double);//三角LU 分解int solve(double [],double []);//解方程组int max(int,int);int min(int,int);double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U 数组double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L 数组double a[6][502];//矩阵Aint main(){int i,k;double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;init_a();//初始化Alambdat1=powermethod(0);lambdat2=powermethod(lambdat1);lambda1=lambdat1<lambdat2?lambdat1:lambdat2;lambda501=lambdat1>lambdat2?lambdat1:lambdat2;presolve(0);lambdas=inversepowermethod(0);det=1;for(i=1;i<=501;i++)det=det*u[i][i];for (k=1;k<=39;k++){mu[k]=lambda1+k*(lambda501-lambda1)/40;presolve(mu[k]);lambda[k]=inversepowermethod(mu[k]);}printf("------------所有特征值如下------------\n");printf("λ=%1.11e λ=%1.11e\n",lambda1,lambda501);printf("λs=%1.11e\n",lambdas);printf("cond(A)=%1.11e\n",fabs(lambdat1/lambdas));printf("detA=%1.11e \n",det);for (k=1;k<=39;k++){printf("λi%d=%1.11e ",k,lambda[k]);if(k % 3==0) printf("\n");} delete []u;delete []l;//释放堆内存return 0;}void init_a()//初始化A{int i;for (i=3;i<=501;i++) a[1][i]=a[5][502-i]=-0.064;for (i=2;i<=501;i++) a[2][i]=a[4][502-i]=0.16;for (i=1;i<=501;i++) a[3][i]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i); }double get_an_element(int i,int j)//从A中节省存储量的提取元素方法{if (fabs(i-j)<=2) return a[i-j+3][j];else return 0;}double powermethod(double offset)//幂法{int i,x1;double beta=0,prebeta=-1000,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0;//设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;for (x1=1;x1<=501;x1++){u[x1]=0;for (int x2=1;x2<=501;x2++)u[x1]=u[x1]+((x1==x2)?(get_an_element(x1,x2)-offset):get_an_element(x1,x2))*y[x2];} prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);}double inversepowermethod(double offset)//反幂法{int i;double u[502],y[502];double beta=0,prebeta=0,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0; //设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;solve(u,y);prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];beta=1/beta;if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);}int presolve(double offset)//三角LU分解{int i,k,j,t;double sum;for (k=1;k<=501;k++)for (j=1;j<=501;j++){u[k][j]=l[k][j]=0;if (k==j) l[k][j]=1;} //初始化LU矩阵for (k=1;k<=501;k++){for (j=k;j<=min(k+2,501);j++){sum=0;for (t=max(1,max(k-2,j-2)) ; t<=(k-1) ; t++)sum=sum+l[k][t]*u[t][j];u[k][j]=((k==j)?(get_an_element(k,j)-offset):get_an_element(k,j))-sum;}if (k==501) continue;for (i=k+1;i<=min(k+2,501);i++){sum=0;for (t=max(1,max(i-2,k-2));t<=(k-1);t++)sum=sum+l[i][t]*u[t][k];l[i][k]=(((i==k)?(get_an_element(i,k)-offset):get_an_element(i,k))-sum)/u[k][k];}}return 0;}int solve(double x[],double b[])//解方程组{int i,t;double y[502];double sum;y[1]=b[1];for (i=2;i<=501;i++){sum=0;for (t=max(1,i-2);t<=i-1;t++)sum=sum+l[i][t]*y[t];y[i]=b[i]-sum;}x[501]=y[501]/u[501][501];for (i=500;i>=1;i--){sum=0;for (t=i+1;t<=min(i+2,501);t++)sum=sum+u[i][t]*x[t];x[i]=(y[i]-sum)/u[i][i];}return 0;}int max(int x,int y){return (x>y?x:y);}int min(int x,int y){return (x<y?x:y);}3.计算结果结果如下图所示:部分中间结果：给出了偏移量(offset)，误差(err)，迭代次数(k)4.讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响,并说明原因使用u[i]=1（i=1,2,...,501）作为初始向量进行迭代，可得出以上结果。
北航数值分析大作业一
北京航空航天大学数值分析大作业一学院名称自动化专业方向控制工程学号ZY*******学生姓名许阳教师孙玉泉日期2021 年11月26 日设有501501⨯的实对称矩阵A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5011A a b c b c c b c b a其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-==⋅⋅⋅=--=c b i e i i a ii 。
矩阵A 的特征值为)501,,2,1(⋅⋅⋅=i i λ，并且有||min ||,501150121i i s λλλλλ≤≤=≤⋅⋅⋅≤≤1λ，501λ和s λ的值。
A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,,2,1(⋅⋅⋅=k k i λ。
A 的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。
一 方案设计1 求1λ，501λ和s λ的值。
s λ为按模最小特征值，||min ||5011i i s λλ≤≤=。
可使用反幂法求得。
1λ，501λ分别为最大特征值及最小特征值。
可使用幂法求出按模最大特征值，如结果为正，即为501λ，结果为负，那么为1λ。
使用位移的方式求得另一特征值即可。
2 求A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。
题目可看成求以k μ为偏移量后，按模最小的特征值。
即以k μ为偏移量做位移，使用反幂法求出按模最小特征值后，加上k μ，即为所求。
3 求A 的(谱范数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。
矩阵A 为非奇异对称矩阵，可知，||)(min max2λλ=A cond(1-1)其中m ax λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值。
detA 可由LU 分解得到。
因LU 均为三角阵，那么其主对角线乘积即为A 的行列式。
二 算法实现1 幂法使用如下迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅===⋅⋅⋅=------||max |)|sgn(max ||max /),,(111111)0()0(10k k k k k k k k Tn u u Ay u u u y u u u β任取非零向量 (2-1)终止迭代的控制理论使用εβββ≤--||/||1k k k ， 实际使用εβββ≤--||/||||||1k k k(2-2)由于不保存A 矩阵中的零元素，只保存主对角元素a[501]及b,c 值。
北航数值分析-lec7-幂法和反幂法
迭代收敛性
反幂法在求解特征值问题中的应用
特征值问题
反幂法主要用于求解矩阵的特征值和特征向量问题。通过迭代过程，反幂法能够找到矩阵的所有特征 值和对应的特征向量。
数值稳定性
反幂法在求解特征值问题时，需要关注数值稳定性问题。由于计算机浮点运算的误差累积，反幂法可 能会产生数值不稳定的解。因此，需要采取适当的策略来提高数值稳定性。
误差分析比较
幂法
由于幂法是通过连续的矩阵乘法来计算矩阵的幂，因此误差会随着计算的次数逐渐 累积。为了减小误差，需要选择合适的计算精度和减少计算次数。
反幂法
反幂法是通过求解线性方程组来计算矩阵的逆和行列式，因此误差主要来自于线性 方程组的求解精度。为了减小误差，需要选择合适的求解方法和提高求解精度。
202X
北航数值分析-lec7-幂法 和反幂法
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汇报人姓名 汇报日期
目 录幂法介绍Fra bibliotek反幂法介绍
幂法和反幂法的比较
幂法和反幂法的实现细节
幂法和反幂法的实际应用案例
单击此处输入你的正文，文字是
您思想的提炼，请尽量言简意赅
的阐述观点
contents
单击此处输入你的正文，文字是 您思想的提炼，请尽量言简意赅 的阐述观点
反幂法的实现细节
反幂法是一种迭代算法，用 于求解线性方程组的近似逆。
反幂法的收敛速度取决于矩阵的谱 半径，如果矩阵的谱半径较小，则 反幂法收敛速度较快。
ABCD
反幂法的实现步骤包括：选择初始 矩阵、计算迭代矩阵、更新解矩阵 和判断收敛性。
在实际应用中，反幂法通常用于 求解大规模稀疏线性系统的预处 理和后处理问题。
01
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《数值分析》计算实习题目
第一题：
1.算法设计方案
（1） 1 ， 501 和 s 的值。
1) 首先通过幂法求出按模最大的特征值λ t1 ，然后根据λ t1 进行原点平移求出另一特征
值λ t2 ，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ 1 ，数值大的为是所求最大特征值λ501。
2) 使用反幂法求λs，其中需要解线性方程组。
因为 A 为带状线性方程组，此处采用 LU 分解法解带状方程组。
（ 2）与k = 1+k 501 1 最接近的特征值ik。
40
通过带有原点平移的反幂法求出与数k 最接近的特征值ik。
（3）cond(A)2和detA。
1）cond(A)2= 1 ，其中1和n分别是按模最大和最小特征值。
n
2）利用步骤（ 1）中分解矩阵 A 得出的 LU 矩阵， L 为单位下三角阵 ,U 为上三角阵，其
中 U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。
由于 A 的元素零元素较多，为节省储存量，将 A 的元素存为 6×501 的数组中，程序中
采用 get_an_element() 函数来从小数组中取出 A 中的元素。
2. 全部源程序
#include <>
#include <>
void init_a();算结果
结果如下图所示:
部分中间结果：给出了偏移量(offset)，误差(err)，迭代次数(k)
4.讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响, 并说明原因
使用u[i]=1（i=1,2,...,501）作为初始向量进行迭代，可得出以上结果。
经过Mathematica 计算验证结果正确。
现修改初始向量u[1]=1 ，u[i]=0，(i=2,3,...,501)。
得出结果
此结果与正确结果相差较多。
令初始向量u[m]=1 ， u[n]=0 ， (m=1,2,...,250 n=251,252,....,501)，得出结果：
此结果也与正确结果相差较多。
但与上次结果相比，更加靠近准确值一些。
再增加初始向量 u[] 中等于 1 的元素个数，可以发现其结果更加靠近准确值。
经验证， 只有当不为 0 元素的个数达到比较高的一个值时，
才能得到精确的收敛结果， 与元素的绝对 值大小无关。
分 析 算 法 ， 设 1 为 按 模 最 大 特 征 值 ， 观 察 式 子 u 01x 1 2 x 2
... n x n 和
k u k
k
2 x 2 L 11x 1 2 1 k n n x n ，如果选取的 u 0 使得 1 0 ，由于计算的 1
精度较高， 可能无法求出按模最大的特征值， 而求出次大的特征值。
实际上， 当初始向量 u 0
中的 0 元素较多时， 可能 i 0 的情况较为普遍， 许多 都有可能等于 0，此时计算出的结
果便与最大特征值差距较大。
特征向量 x 1, x 2 ,L , x n 是已确定的，因此迭代初始向量的不合理选取完全有可能产生这样的 i 。