组合数学习题解答
(完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。
证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。
现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。
证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。
由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。
（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。
组合数学 卢 习题答案
组合数学卢习题答案组合数学是数学的一个分支，研究的是离散的对象之间的组合方式和计数方法。
它在解决实际问题中有着广泛的应用，例如密码学、图论、组织管理等领域。
本文将为读者提供一些卢习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握组合数学的知识。
1. 卢习题一：从一个有10个字母的字母表中选取3个字母，可以有多少种不同的选择方式？解答：根据组合数学的知识，从n个不同元素中选取k个元素的组合数可以用C(n,k)表示。
在这个问题中，n=10，k=3，所以答案为C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120 种不同的选择方式。
2. 卢习题二：一个班级有20名学生，其中10名男生和10名女生。
如果要从这个班级中选取5名学生组成一个小组，其中至少有2名男生和2名女生，有多少种不同的选取方式？解答：这个问题可以用组合数学中的排列组合原理来解决。
首先，我们可以分两种情况来考虑：一种是选取3名男生和2名女生，另一种是选取2名男生和3名女生。
对于第一种情况，选取3名男生的方式有C(10,3) = 120种，选取2名女生的方式有C(10,2) = 45种，所以总共有120 * 45 = 5400种不同的选取方式。
对于第二种情况，选取2名男生的方式有C(10,2) = 45种，选取3名女生的方式有C(10,3) = 120种，所以总共有45 * 120 = 5400种不同的选取方式。
将两种情况的结果相加，总共有5400 + 5400 = 10800种不同的选取方式。
3. 卢习题三：有一个由0和1组成的8位二进制数，其中至少有3个1。
问这样的二进制数有多少个？解答：这个问题可以用组合数学中的排列组合原理来解决。
首先，我们可以分两种情况来考虑：一种是有3个1，另一种是有4个1、5个1、6个1、7个1和8个1。
对于第一种情况，选取3个位置放置1的方式有C(8,3) = 56种。
对于第二种情况，选取4个位置放置1的方式有C(8,4) = 70种，选取5个位置放置1的方式有C(8,5) = 56种，选取6个位置放置1的方式有C(8,6) = 28种，选取7个位置放置1的方式有C(8,7) = 8种，选取8个位置放置1的方式有C(8,8) = 1种。
组合数学参考答案及解析(卢开澄第四版)_修改版
1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
组合数学第三版+卢开澄+习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学第四版答案
组合数学第四版答案【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】>1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|?5；解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少？所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题 m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n个女生先排成一排，形成n+1个空。
因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为ppnn?n?1m(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。
组合实际问题解答练习题
组合实际问题解答练习题组合实际问题是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些实际问题，并给出解答练习题，以帮助读者更好地理解和应用组合实际问题。
问题一：某超市有5种不同的水果，小明要买3种水果，他有多少种不同的选择？解答：根据组合实际问题的定义，我们可以使用组合数来解决这个问题。
假设超市的5种水果分别为苹果、香蕉、橙子、葡萄和樱桃。
小明要买3种水果，可以将问题转化为从5种水果中选取3种的问题，即求解C(5, 3)。
根据组合数的计算公式，C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，我们可以计算出C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = 10。
所以小明有10种不同的选择。
问题二：一个班级有10个男生和8个女生，班委会要选出3名男生和2名女生组成小组，有多少种不同的选法？解答：这个问题可以用组合数来解决。
选出3名男生可以从10个男生中选取3个，选出2名女生可以从8个女生中选取2个。
因此，问题可以转化为求解C(10, 3) * C(8, 2)。
计算C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = 120，C(8, 2) = 8! / (2! * 6!) = 28。
所以最终的结果为120 * 28 = 3360。
所以班委会有3360种不同的选法。
问题三：一家餐厅提供4种主菜和3种甜点，小明想点一道主菜和一道甜点，他有多少种选择？解答：这个问题类似于排列组合的问题，小明需要从4种主菜中选取一种，从3种甜点中选取一种，因此他的选择数为4 * 3 = 12。
所以小明有12种不同的选择。
问题四：某公司有8个部门，需要从这些部门中选出3个部门组成一个项目小组，其中至少有一个财务部门和一个人力资源部门，有多少种不同的选法？解答：这个问题可以用组合实际问题的思路来解决。
首先，从8个部门中选取1个财务部门有8种选择，从剩下的7个部门中选取1个人力资源部门有7种选择。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
组合数学考试题目及答案
组合数学考试题目及答案**组合数学考试题目及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 从10个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 120B. 210C. 100D. 150答案：B2. 以下哪个不是排列数的性质？（）。
A. \( P(n, n) = n! \)B. \( P(n, 0) = 1 \)C. \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)D. \( P(n, k) = \frac{n!}{k!} \)答案：D3. 从5个不同的元素中取出2个元素的排列数为（）。
A. 10B. 20C. 15D. 25答案：B4. 组合数 \( C(n, k) \) 和排列数 \( P(n, k) \) 之间的关系是（）。
A. \( C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} \)B. \( P(n, k) = \frac{C(n, k)}{k!} \)C. \( C(n, k) = k \times P(n, k) \)D. \( P(n, k) = k \times C(n, k) \)答案：A5. 以下哪个是组合数的性质？（）。
A. \( C(n, k) = C(n, n-k) \)B. \( C(n, k) = C(n-1, k-1) \)C. \( C(n, k) = C(n, k+1) \)D. \( C(n, k) = C(n+1, k+1) \)答案：A6. 从8个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 56B. 54C. 48D. 35答案：A7. 以下哪个是排列数的递推关系？（）。
A. \( P(n, k) = P(n-1, k) + P(n-1, k-1) \)B. \( P(n, k) = P(n-1, k) - P(n-1, k-1) \)C. \( P(n, k) = P(n-1, k) \times P(n, 1) \)D. \( P(n, k) = P(n-1, k-1) \times P(n, 1) \)答案：D8. 从7个不同的元素中取出4个元素的排列数为（）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。
解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。
1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。
如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。
而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。
故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！- 2*9！。
1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。
两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。
1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0， 例如235写成0235,则问题就变为求： x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4，5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1 将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。
第二章：2.3. 在边长为1的正三角形任意放置5个点，则其中至少有两个点的距离≤1/2。
解：将边为1的正三角形分成边是为1/2的四个小正三角形，将5个点放入四个小正三角形中，由鸽笼原理知，至少有一个小正三角形中放有2个点，而这两点的距离≤1/2。
1/21/2 1/22.5. 在图中，每个方格着红色或蓝色，证明至少存在两列有相同的着色。
解：每列着色的方式只可能有224⨯=种，现有5列，由鸽笼原理知，至少有二列着色方式相同。
⎪2.7. 一个学生打算用37天总共60学时自学一本书，他计划每天至少自学1学时，证明：无论他怎样按排自学时间表，必然存在相继的若干天，在这些天其自学总时数恰好为13学时。
解：设1a 是第一天自学的时数，2a 是第一，二天自学的时数的和，j a 是第一，二，… ，第j 天自学时数的和，1,2,,37j =⋅⋅⋅⋅⋅⋅于是，序列1237,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是严格递增序列(每天至少一学时)，而且，1371,60a a ≥= 于是序列13713,,13a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+也是严格递增的序列，故371373a +=因此74个数137137,,13,,1373a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=都在1和73两个整数之间，由鸽笼原理知，这74个数中必有两个是相等的，由于1237,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅中任何两数都不相等，故13713,,13a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+中任何两个数也是不相等的，因此，一定存在两个数,i j 使得 1313i j i j a a a a =+→-=因此，在1,2,,j j i ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅这些天中，这个学生自学总时数恰好为13。
⎪2.10. 证明：在任意52个整数中，必存在两个数，其和或差能被100整除。
证明：设52个整数a 1，a 2，….，a 52被100除的余数分别为r 1，r 2，….，r 52,而任意一整数被100除可能的余数为0，1，2，….,99，共100个，它可分为51个类：{0}，{1，99}，{2，98}，…..{49，51}，{50}。
因此，将51个类看做鸽子笼，则由鸽笼原理知，将r 1，r 2，….，r 52 个鸽子放入51个笼中，，至少有两个属于同一类，例如r i ,r j,于是r i =r j或r i +r j =100,这就是说a i —a j 可100整除，或a i + a j 可被100整除。
第三章3.2. 求1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数。
解：设S ＝{1,2,…,1000};1A 表示1到1000中完全平方数的集合，则1A 表示1到1000中不是完全平方数的集合；2A 表示1到1000中完全立方数的集合，则2A 表示1到1000中不是完全立方数的集合。
故__2__1A A 表示1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数的集合，由容斥原理（（3.5）式）知：212121A A A A S A A +--= (3.5)其中||S ＝1000，1||31A ==,2||10A == 21A A 表示1到1000中既是完全平方又是完全立方的数的集合，故21A A ==3,将以上数值代入(3.5)式得21A A ＝1000－(31+10)+3=962故1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数为962。
3.8. 在所有的n 位数中，包含数字3，8，9但不包含数字0，4的数有多少？解：除去0，4，则在1，2，3，5，6，7，8，9这8个数字组成的n 位数中，令S 表示由这8个数字组成的所有n 位数的集合。
则|S|=8n. P 1表示这样的性质：一个n 位数不包含3； P 2表示这样的性质：一个n 位数不包含8； P 3表示这样的性质：一个n 位数不包含9；并令A i 表示S 中具有性质P i 的元素构成的集合（i=1,2,3）。
则A A A 321 表示S 中包含3，又包含8，又包含9的所有n 位数的集合。
由容斥原理（（3.5）式）得|321A A A |=||||||||32131A A A AA A S ji jii i-+-∑∑≠= （3.5）而777321,,nn n A A A ===666323121,,nnnA A A A A A ===5321nA A A =，代入（3.5）式得123837365n n n n A A A =-•+•-故所求的n 位数有n n n n 563738-⨯+⨯-个。
3.10. 求重集{}3,4,5B a b c =⋅⋅⋅的10-组合数。
解：构造集合B ′=},,{c b a ⋅∞⋅∞⋅∞。
令集合B ′的所有10-组合构成的集合为S 。
由第一章的重复组合公式(1.11)有||S ＝F （3，10）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+101103=66。
令p 1表示S 中的元素至少含有4个a 这一性质，令p 2表示S 中的元素至少含有5个b这一性质，令p 3表示S 中的元素至少含有6个c 这一性质，并令A i (i=1,2,3)表示S 中具有性质p i (i=1,2,3)的元素所构成的集合，于是B 的10-组合数就是S 中不具有性质p 1,p 2,p 3的元素个数。
由容斥原理（（3.5）式）有：|321A A A |=||||||||32131A A A AA A S ji jii i-+-∑∑≠= (3.5)由于已经求得||S =66，下面分别计算(3.9)式右端其他的项。
由于A 1中的每一个10-组合至少含有4个a ，故将每一个这样的组合去掉4个a 就得到集合B ′的一个6-组合。
反之，如果取B ′的一个6-组合并加4个a 进去，就得到了A 1的一个10-组合。
于是A 1的10-组合数就等于B ′的6-组合数。
故有||1A =F （3，6）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+6163＝28同样的分析可得||2A =F （3，5）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+5153＝21||3A =F （3，4）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+4143＝15用类似的分析方法可分别求得||21A A ＝F （3，1）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1113＝3||31A A ＝F （3，0）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+0103＝1||32A A ＝0（因为5＋6＝11>10）||321A A A ＝0 （同上）将以上数值代人(3.9)式得到：|321A A A |＝66－（28＋21＋15）＋（3＋1＋0）－0＝6故所求的10-组合数为6。
3.14. 求由数字1，2，⋅⋅⋅8所组成的全排列中，恰有4个数字在其自然位置上的全排列个数。
解：4个数在其自然位置共有⎪⎪⎭⎫⎝⎛48种方式，对某一种方式，均有4个数字不在其自然位置，这正好是一个错排，其方式数为4D （见定理3.2），由乘法规则有，恰有4个数字在其自然位置上的全排列数为484D ⎛⎫⎪⎝⎭＝630。
第四章4.6 求重集}7,5,3,{d c b a B ⋅⋅⋅⋅∞=的10-组合数。
解：设重集B 的n-组合数为n a ，则序列{n a }的普通母函数为2232345()(1)(1)(1)f x x x x x x x x x x x =+++++++++++234567(1)x x x x x x x ⨯+++++++=xx x x x x x --⋅--⋅--⋅-11111111864=(1-x 4-x 6-x 8+x 10+x 12+x 14-x 18)∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+033k k x k 所以a 10=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3033233433633103=286-84-35-10+1=158 故重集B 的10－组合数为158。
4.9. 设重集{}123456,,,,,B b b b b b b =∞∞∞∞∞∞,并设r a 是B 满足以下条件的r-组合数，求序列()01,,,,r a a a 的普通母函数。
a. 每个I b 出现3的倍数次。
()1,2,3,4,5,6I =b. 1b ,2b 至多出现1次，34,b b 至少出现2次，56,b b 最多出现4次。
c. 1b 出现偶数次，6b 出现奇数次，3b 出现3的倍数次，4b 出现5的倍数次。
d. 每个I b ()1,2,3,4,5,6I =至多出现8次。
解：a.3696()(1)f x x x x =++++30(6,)()k k F k x ∞==∑b. 223422342()(1)()(1)f x x x x x x x x x =++++++++c. 2435369510()(1)()(1)(1)f x x x x x x x x x x x =+++++++++++++(1x x x ⨯232++++) d. 2386()(1)f x x x x =++++4.10 有两颗骰子，每个骰子六个面上刻有1，2，3，4，5，6个点。