拉格朗日定理和函数单调性
数学分析6.1拉格朗日定理和函数的单调性（练习）
第六章微分中值定理及其应用1 拉格朗日定理和函数的单调性练习题1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点ξ，使f’(ξ)=0.(1)f(x)=xsin1x, 0<x≤1π0, x=0；(2)f(x)=|x|, -1≤x≤1.解：(1)∵f(x)在[0,1π]上连续，在(0,1π)内可导，且f(0)=f(1π)，根据罗尔中值定理知，存在一个点ξ∈(0,1π)，使f’(ξ)=0.(2)∵f(x)在[-1,1]连续，且f(-1)=f(1)，但f(x)在(-1,1)内x=0点不可导，根据罗尔中值定理知，不一定存在一个点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.又f’(x)=1, x>0−1, x<0，∴不存在一个点ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.2、证明：(1)方程x3-3x+c=0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；(2)方程x n+px+q=0(n为自然数，p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。
证：(1)记f(x)=x3-3x+c，若f(x)=0在[0,1]有两个不同的实根a,b，则f(a)=f(b)，又f(x)在[0,1]上连续，且在(0,1)内可导；根据罗尔中值定理知，存在一个点ξ∈(0,1)，使f’(ξ)=0.但f’(x)=3(x2-1)只有两个实根x=±1，矛盾，结论得证。
(2)记f(x)=x n+px+q(n为自然数，p,q为实数).当n=2k(k=1,2,…)时，若f(x)=0至少有三个实根a,b,c，设a<b<c，由罗尔中值定理知，存在点ξ1∈(a,b),ξ2∈(b,c)，使f’(ξ1)=2kξ12k-1+p=0, f’(ξ2)=2kξ22k-1+p=0，即f’(ξ1)= f’(ξ2).又f’(x)=2kx2k-1+p在R上严格增，矛盾，可得结论1：当n为偶数时，x n+px+q=0至多有两个实根.当n=2k-1(k=1,2,…)时，若k=1，结论成立；若k=2,3…，设f(x)=0至少有四个实根，由罗尔中值定理知，f’(x)=(2k+1)x2k+p=0，即x2k+0x+p=0有三个实根，与结论1矛盾，2k+1结论2：当n为奇数时，x n+px+q=0至多有三个实根.3、证明：若函数f和g在区间I上均可导，且f’(x)≡g’(x)，x∈I，则在区间I上f(x)与g(x)只相差一个常数，即f(x)=g(x)+c (c为常数).证：记F(x)=f(x)-g(x)，则F(x)在I上可导，且F’(x)=f’(x)-g’(x)≡0.∴F(x)为常量函数，设F(x)=c(c为常数)，即f(x)-g(x)=c，∴f(x)=g(x)+c.4、证明：(1)若函数f在[a,b]上可导，且f’(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a)；(2)若函数f在[a,b]上可导，且|f’(x)|≤M，则|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；(3)对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.；证：(1)∵f在[a,b]上可导，∴存在一点ξ∈(a,b)，使f’(ξ)=f b−f(a)b−a≥m，∴f(b)≥f(a)+m(b-a).又f’(ξ)≥m，即f b−f(a)b−a；(2)∵f在[a,b]上可导，∴存在一点ξ∈(a,b)，使f’(ξ)=f b−f(a)b−a≤M，∴|f(b)-f(a)|≤M(b-a).又|f’(ξ)|≤M，即|f b−f a|b−a(3)证法1：当x1=x2时，结论成立；当x1≠x2时，∵sinx在R连续且可导，∴对任意实数x1,x2，设x2<x1，∴存在一点ξ∈(x2,x1)，使(sinξ)’=sin x1−sin x2.x1−x2又(sinξ)’=cosξ，且|cosξ|≤1，∴|sin x1−sin x2|x1−x2≤1，即|sinx1-sinx2|≤x1-x2. 同理，设x1<x2，有|sinx1-sinx2|≤x2-x1.∴对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.证法2：利用(2)的结论，∵|(sin x)’|=|cosξ|≤1，∴对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1)b−ab <ln ba<b−aa, 其中0<a<b；(2)h1+h2<arctanh<h, 其中h>0.证：(1)ln ba=lnb-lna，∵lnx在[a,b]内连续，且在(a,b)内可导，∴存在一点ξ∈(a,b)，使lnb-lna=(lnξ)’(b-a)=b−aξ.又b−ab <b−aξ<b−aa，∴b−ab<ln ba<b−aa.(2)arctanh=arctanh-arctan0，∵arctanh在[0,h]内连续，在(0,h)内可导，∴存在一点ξ∈(0,h)，使arctanh-arctan0=h(arctanξ)’=h1+ξ2.又h1+h2<h1+ξ2<h，∴h1+h2<arctanh<h.6、确定下列函数的单调区间：(1)f(x)=3x-x3；(2)f(x)=2x2-lnx；(3)f(x)=2x−x2；(4)f(x)=x2−1x. 解：(1)f’(x)=3-3x2. 当f’(x)=0时，x=±1.∴f在[1,-1]上递增，在(-∞,-1]∪[1,+∞)上递减.(2)f的定义域为(0,+∞). f’(x)=4x−1x =4x2−1x.当f’(x)=0时，x=±12(负数舍去)；当f’(x)>0时，x>12；当f’(x)<0时，0<x<12；∴f在(0,12]上递减，在[12,+∞)上递增.(3)f的定义域为[0,2]. f’(x)=2x−x2.当x=1时，f’(x)=0；当x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0. ∴f在[0,1]上递增，在[1,2]上递减.(4) f的定义域为x≠0. f’(x)=x2−1x ′=x−1x′=1+1x2>0.∴f在(-∞,0)∪(0,+∞)上递增.7、应用函数的单调性证明下列不等式：(1)tanx>x−x33, x∈(0,π3)；(2)2xπ<sinx<x, x∈(0,π2)；(3)x−x22<ln(1+x)<x−x22(1+x), x>0.证：(1)记f(x)=tanx-(x−x 33)=tanx-x+x33，则f’(x)=sec2x-1+x2=tan2x+x2>0，∴f(x)在(0,π3)内严格递增. 又f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，∴当0<x<π3时，f(x)>0，即tanx>x−x33.(2)记f(x)=sinxx ，x∈(0,π2)；则f’(x)=(x−tanx)cosxx2.令g(x)=x-tanx，x∈(0,π2)；则g’(x)=-tan2x<0，∴g(x)在(0,π2)严格递减.又g(x)在x=0处连续，且g(0)=0，∴g(x)<0. ∴f’(x)<0. ∴f(x)在(0,π2)严格递减.又limx→0sinxx=1，∴sinπ2π2<sinxx<1，即2xπ<sinx<x.(3)记f(x)=ln(1+x)-(x−x22)=ln(1+x)-x+x22，x>0；则f’(x)=11+x-1+x=x21+x>0.∴f(x)在(0,+∞)严格递增. 又f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，∴f(x)>0，即ln(1+x)>x−x22.记g(x)=ln(1+x)-(x−x 22(1+x))=ln(1+x)−2x+x22(1+x)，x>0；则g’(x)=11+x −2+2x1+x−(2x+x2)2(1+x)2=11+x−x2+2x+22(1+x)2=−x22(1+x)2<0∴g(x)在(0,+∞)严格递减. 又g(x)在x=0处连续，且g(0)=0，∴g(x)<0，即ln(1+x)<x−x22(1+x).8、以S(x)记由(a,f(a)),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.证：S(x)=12a f(a)1b f(b)1x f(x)1，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则S(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且S(a)=S(b)=0，由罗尔中值定理知：至少存在一点ξ∈(a,b)，使S’(ξ)=0.又S’(x)=12a f(a)1b−a f b−f(a)01f′(x)0=12[f’(x)(b-a)-(f(b)-f(a))].∴S’(ξ)=12[f’(ξ)(b-a)-(f(b)-f(a))]=0，即f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a).拉格朗日中值定理得证.9、设f为[a,b]上的二阶可导函数，f(a)=f(b)=0，并存在一点c∈(a,b)，使得f(c)>0，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使f”(ξ)<0.证：由拉格朗日中值定理可知：f(c)=f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)>0，a<ξ1<c.-f(c)=f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)<0，c<ξ2<b. ∴f’(ξ1)>0，f’(ξ2)<0，∴f’(ξ2)-f’(ξ1)<0，ξ2-ξ1>0，又由拉格朗日中值定理知：至少存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使f”(ξ)=fξ2−f(ξ1)ξ2−ξ1<0.10、设f在(a,b)上可导，且f’单调，证明：f’在(a,b)内连续. 证：不妨设f’在(a,b)内单调递增，则对任一x0∈(a,b)，必存在的x0某一邻域U(x0)⊂(a,b).∵f’在U+(x0)内单递增，∴有下界f’(x0)，又f’在U-(x0)内单递增，∴有上界f’(x0)，∴lim x→x0+f’(x)和limx→x0−f’(x)都存在。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
第六章 微分中值定理及其应用
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
函数单调性的判定法
单调区间求法
问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调. 但在各个部分区间上单调. 定义: 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 则该区间称为函数的单调区间 单调区间. 的,则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 导数等于零的点和不可导点, 的分界点. 的分界点. 方法: 方法: 用方程 f ′( x ) = 0的根及 f ′( x ) 不存在的点
第六章
微分学的应用
第一节
一元函数的几何性态
单调性的判别法
y
y = f ( x)
A
B
y
A y = f ( x) B
o
a
f ′( x ) ≥ 0
b
x
o a
f ′( x ) ≤ 0
b x
定理 设函数 y = f ( x )在[a, b]上连续,在 ( a, b )内可 上连续, . 如果在( a, b )内f ′( x ) > 0,那末函数 y = f ( x ) 导(1) 上单调增加; 在[a, b]上单调增加; ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ′( x ) < 0, 那末函数 y = f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
在( ∞ ,0)内, y′ < 0,
∴函数单调减少; 函数单调减少;
在(0,+∞ )内, y′ > 0,
∴函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 注意:函数的单调性是一个区间上的性质, 导数在这一区间上的符号来判定, 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性. 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.
6_1拉格朗日定理和函数的单调性
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
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Rolle定理中,条件非常特殊,一般的函数不一定 满足,这就使Rolle定理 y
(1) 任取 x U ( x0 ), f ( x ) 在 [ x0 , x] 上满足拉格朗日
定理条件,则存在 ( x0 , x ), 使得
f ( x ) f ( x0 ) f ( ). x x0
由于 x0 x , 因此当 x x0 时,随之有 x0 ,
重数为 1 .
证 设 p( x ) 有两个实根 x1 , x2 , x1 x2 , 由于 p( x )
是多项式, 所以 p( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足罗尔定理 的条件,从而存在 (a, b) ，使得
p( ) 0,
这与条件矛盾.
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又若 p( x ) 有一个 k 次重根 x0 , 则
lim f ( x) A
Ⅱ）设 f ( x) C[ x0 , x0 ]
在
x x0
x0 , x0 上可导
则 f ( x0 ) A
lim f ( x) A
注：对分段函数在分段点处求导数的快捷方法。 前页 后页 返回
证 分别按左右导数来证明.
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证: 设 f (t ) arc tan t , 在任意区间 x, y 满足Lagrange 中值定理，故 使得
1 ( y x), 1 2
高等数学第6章第1节拉格朗日中值定理和函数的单调性
第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日中值定理和函数的单调性引言为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述:弧AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB ．如何揭示出这一叙述中所包含的“数量"关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何"，故如建立坐标系，则弧AB 的函数是y=f(x)，x ∈［a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=．如点P 处有切线，则f （x ）在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a --，曲线y=f(x ）上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b aξ-'=-． 撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值．这样这个公式就把函数及其导数联系起来．在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础．鉴于(,)a b ξ∈，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理．剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在［a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的．换言之，如保证类似点P 存在，曲线弧AB 至少是连续的，而且处处有切线．反映到函数y=f （x ）上,即要求y=f （x)在[a,b ］上连续，在（a,b)内可导．一、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理1、罗尔中值定理定理6．1：若f 满足如下条件：（1）f ∈[a,b ］;（2）f 在(a ，b ）内可导；(3）f （a)=f （b)，则存在ξ∈（a,b),使得()0f ξ'=．（分析)由条件（1)知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件(2)及(3），应用费马定理便可得到结论．证明:因为f 在[a,b ］上连续，所以有最大值与最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况讨论：(i)若M = m ， 则 f 在［a ，b ］上必为常数，从而结论显然成立．(ii ）若m ＜ M ，则因 f （a)=f (b ），使得最大值M 与最小值m 至少有一个在（a ，b)内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点，由条件（2) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0。
拉格朗日中值定理和函数的单调性
-拉格朗日中值定理和函数的单调性————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日中值定理和函数的单调性教学目标:通过本节内容的学习,达到以下教学目标与要求: 一级目标：熟练掌握拉格朗日定理二级目标:掌握函数的单调性的判断方法教学内容和重、难点：1. 拉格朗日定理2. 罗尔定理3．函数单调性的判断 重点:拉格朗日定理难点：拉格朗日定理的应用教学方法和教具使用：讲授法。
教学过程:一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1 (罗尔定理)若函数()f x 满足： （1）在闭区间[],a b 上连续； (２)在开区间(),a b 内可导； (3)()()f a f b =，则存在(),a b ξ∈使得()0.f ξ'=证 因()f x 在闭区间[],a b 上连续,故由闭区间上连续函数的最大值最小值定理得,()f x 在闭区间[],a b 上有最大值M 和最小值m .（1）M m =.这时()f x 在区间[],a b 上必然取相同的函数值():.M f x M =于是，()()0,,.f x x a b '=∀∈因此,(),a b ξ∀∈，有()0.f ξ'=（２).M m >因()()f a f b =,故M 和m 这两个数中至少有一个不等于()f x 在区间的端点处的函数值．因此 ()M f a ≠或()m f a ≠（否则()M f a =且()m f a =，M m =，矛盾）.若()M f a ≠，则(),a b ξ∃∈使得().fM ξ=从而ξ是函数()f x 的极大值点，于是由费马定理得()0.f ξ'=若()m f a ≠,也可类似得出同样的结论．例1 设()f x 为R 上的可导函数，证明:若方程()0f x '=没有实根，则方程()0f x =至多只有一个实根.证 假设()0f x =至少有两个实根，设12,x x 都为()0f x =的两个实根，12x x <,则()()120.f x f x ==由()f x 为R 上的可导函数得，()f x 在区间[]12,x x 上连续,在区间()12,x x 内可导，故由罗尔定理得,()12,x x ξ∃∈使得()0f ξ'=,这与方程()0f x '=没有实根矛盾．故方程()0f x =至多只有一个实根.定理6.２ (拉格朗日中值定理）如果函数()f x 满足 (1）在闭区间[],a b 上连续; (2）在开区间(),a b 内可导, 那么(),a b ξ∃∈，使得()()()().f b f a f b a ξ'-=-拉格朗日中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点()(),P f ξξ,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ．直线AB 是函数()()()()f b f a y f a x a b a-=+--的图象.证 作辅助函数()()()()()().f b f a F x f x f a x a b a-=----显然,()()()0F a F b ==,且()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的另外两个条件.易知()()()()(),,.f b f a F x f x x a b b a-''=-∀∈-故由罗尔定理得，存在(),a b ξ∈,使得()()()()0,f b f a F f b aξξ-''=-=-移项后即可得到所要证明的等式.例2 证明:arctan arctan b a b a -≤-,其中.a b <证 设()arctan f x x =,则()211f x x '=+. 易知()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故由拉格朗日中值定理得,存在(),a b ξ∈，使得()()()()()2arctan arctan 1.1f b f a b b f b a b a ξξ-=-'=-=-+ 因2111ξ≤+，故()21.1b a b a ξ-≤-+于是arctan arctan .b a b a -≤-推论1 如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点()1212,x x x x <,应用拉格朗日中值定理得()()()()()212112.f x f x f x x x x ξξ'-=-<<由假定,()0f ξ'=,所以()()210f x f x -=,即()()21.f x f x =因为12,x x 是I 上任意两点，所以,()f x 在I 上的函数值总是相等的,即()f x 在区间I 上是一个常数.推论2 如果函数()f x 和()g x 满足()(),f x g x x I ''=∀∈那么,存在常数c 使得()(),.f x g x c x I =+∀∈推论3 （导数极限定理）设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内连续,在()0U x 内可导，且极限()0lim x x f x →'存在，则()f x 在点0x 可导,且()()00lim .x x f x f x →''=证 因()()()000limx x f x f x f x x x →-'=-,故要证明()()000lim x x f x f x →''=,只需证明()()()0000limlim .x x x x f x f x f x x x →→-'=- 下面先证明()()()000lim 0.x x f x f x f x x x →-⎡⎤'-=⎢⎥-⎣⎦这只需证明()()()()()()00000lim lim 0.x xx x f x f x f x f x f x f x x x x x ++→→--⎡⎤⎡⎤''-=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因极限()0lim x x f x →'存在,故设()0lim x x f x k →'=.从而()()0lim lim .x x x x f x f x k +-→→''==当0x x >时,由拉格朗日中值定理得,存在()0,x x ξ∈，使得()()()00.f x f x f x x ξ-'=-于是，()()()()()()()00000lim lim lim lim 0.x x x x x x x f x f x f x f x f x x f x f k k ξξξ++++→→→→-⎡⎤'''-=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦''=-=-= 同理可证()()()000lim 0.x xf x f x f x x x -→-⎡⎤'-=⎢⎥-⎣⎦故()()()000lim 0x x f x f x f x x x →-⎡⎤'-=⎢⎥-⎣⎦,于是 ()()()()()()()()()()()()()00000000000000lim lim lim lim 0.x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x x x x x f x f x →→→→--⎡⎤''=-+⎢⎥--⎣⎦--⎡⎤'=-+⎢⎥--⎣⎦''=+= 例３ 求分段函数()()2sin ,0,ln 1,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的导数．解 易得()212cos ,0,1,0.1x x x f x x x⎧+<⎪'=⎨>⎪+⎩ 又因()()()()()()00200lim lim ln 100,lim lim sin 00,x x x x f x x f f x x x f ++--→→→→=+===+==故()()0lim 0x f x f →=，函数()f x 在0x =处连续.由于()()()00201lim lim 1,lim lim 12cos 11x x x x x x f x f x x x x++--→→→→''===+=+,因此，()0lim 1.x f x →'=由导数极限定理得，()()00lim 1.x f f x →''==故函数()f x 的导数为()212cos ,0,1,0.1x x x f x x x⎧+≤⎪'=⎨>⎪+⎩ 二、单调函数定理6．３ 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增(减）的充要条件是对于任意x I ∈,都有()()00.f x '≥≤证 设()f x 在区间I 上递增,则0x I ∀∈，若x I ∈且0x x ≠，则()()000.f x f x x x -≥-于是,()()()000lim0.x x f x f x f x x x →-'=≥-故x I ∀∈,有()0.f x '≥设()0,f x x I '≥∀∈.12,x x I ∀∈，则当12x x <时，在区间[]12,x x 上应用拉格朗日中值定理，()12,x x ξ∃∈使得()()()()21210.f x f x f x x ξ'-=-≥故()f x 在区间I 上递增.例４ 讨论函数()3f x x x =-的单调区间.（同学自学）定理６.4 若函数()f x 在开区间(),a b 内可导，则()f x 在(),a b 内严格递增(递减）的充要条件是：（ⅰ）对任意(),x a b ∈，有()()()00f x f x ''≥≤; (ⅱ）在(),a b 的任何子区间上()/0.f x '≡证（课本上没有证明)只证明递增的情形，递减的情形类似可证．若()f x 在(),a b 内严格递增,则由定理6.３得,对任意(),x a b ∈,有()0.f x '≥下面用反证法证明，在(),a b 的任何子区间上()/0.f x '≡假设在(),a b 的某个子区间()00,a b 上()/0f x '≡，这里00.a a b b <<<则由定理6.２的推论１得,()f x 在区间()00,a b 上是一个常数,这与()f x 在区间(),a b 内严格递增矛盾.反之，若对任意(),x a b ∈，有()0f x '≥,且在(),a b 的任何子区间上()/0f x '≡,则由定理６.３得()f x 在区间(),a b 上递增.于是, 12,x x ∀(),a b ∈，12x x <，有()()12.f x f x ≤若()()12f x f x =，设()()12f x f x c ==.()12,x x x ∀∈，则由()f x 在(),a b 上递增得，()()()12c f x f x f x c =≤≤=.于是,()()12,,f x c x x x =∀∈，从而()()120,,f x x x x '≡∀∈，即()f x '在(),a b 的子区间()12,x x 上是一个常数，这与已知条件矛盾.故()()12.f x f x <这就证明了()f x 在区间(),a b 上严格递增.推论 设函数()f x 在区间I 上可导，且对任意x I ∈,()()()00f x f x ''><,则函数()f x 在区间I 上严格递增（严格递减）． 证 设对任意(),0x I f x '∈>,下面证明()f x 在区间I 上严格递增.设12,x x I ∈,12x x <,则由()f x 在区间I 可导得，()f x 在区间[]12,x x 上满足拉格朗日中值定理的条件,故由拉格朗日中值定理得，()12,x x ξ∃∈,使得()()()()2121.f x f x f x x ξ'-=-因对任意x I ∈，()0f x '>,故()0f ξ'>，于是()()()()21120,.f x f x f x f x -><因此函数()f x 在区间I 上严格递增.同理可证,若对任意(),0x I f x '∈<,则()f x 在区间I 上严格递减．可以证明:（ⅰ)若()f x 在(),a b 上（严格)递增（减),且在点a 右连续，则()f x 在[),a b 上（严格)递增（减）;（ⅱ）若()f x 在(),a b 上（严格)递增(减）,且在点b 左连续,则()f x 在(],a b 上（严格)递增(减);（ⅲ）若()f x 在(),a b 上（严格）递增(减）,且在点a 右连续，在点b 左连续,则()f x 在[],a b 上(严格）递增（减)．证 (课本上没有给出证明)这里仅证明（ⅰ)中严格递增的情形.设()f x 在(),a b 上严格递增，且在点a 右连续.[)12,,x x a b ∀∈,12x x <，则12a x x b ≤<<.若12a x x b <<<,则由()f x 在(),a b 上严格递增得,()()12.f x f x <若12a x x b =<<，下面用反证法证明()()12.f x f x <假设()()12f x f x ≥,令122x x ξ+=，则12a x x b ξ=<<<.因()f x 在(),a b 上严格递增,故 ()()()()21.f f x f x f a ξ<≤=(),x a ξ∀∈，有()()()()()21f x f f x f x f a ξ<<≤=.由()f x 在点a 右连续及右极限的保不等式性得()()()()()()21lim x af a f x f f x f x f a ξ+→=≤<≤=， 矛盾.例5 证明不等式1,0.x e x x >+≠证 设()1xf x e x =--,则() 1.xf x e '=-当0x >时()0f x '>,故()f x 在()0,+∞上严格递增.当0x <时()0f x '<,故()f x 在(),0-∞上严格递减．()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处左连续且右连续.于是，()f x 在(],0-∞上严格递减,在[)0,+∞上严格递增.(),0x ∀∈-∞，由()f x 在(],0-∞上严格递减得()()00.f x f >=()0,x ∀∈+∞，由在[)0,+∞上严格递增得 ()()00.f f x =<故当0x ≠时,有()0f x >，即10xe x -->．从而当0x ≠时有1.xe x >+定理6.５ （达布定理）若函数()f x 在[],a b 上可导，且()()f a f b +-''≠，k 为介于()f a +',()f b -'之间（不包括()(),f a f b +-''）的任一实数,则存在(),a b ξ∈,使得 ().f k ξ'=证 设()()F x f x kx =-,则由()f x 在[],a b 可导得,()F x 在[],a b 可导.因()()f a f b +-''≠，k 为介于()f a +'，()f b -'之间，故 ()()()()0.F a F b f a k f b k +-+-''''⋅=--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦故()()0,0F a F b +-''><，或()()0,0F a F b +-''<<.不妨设()()0,0F a F b +-''><,则由第五章§1例8(课本P9６）得,分别存在()()12,x Ua x Ub +-∈∈，12x x <，使得()()()()12,.F x F a F x F b >> （1)因()F x 在[],a b 上可导，所以()F x 在[],a b 上连续.由闭区间上连续函数的性质得，()F x 在[],a b 上有最大值，设()F x 在点[],a b ξ∈处取得最大值.由(１）式知，,a b ξ≠,故ξ是()F x 的极大值点，从而由费马定理得()()0F f k ξξ''=-=.故存在(),a b ξ∈使得 ().f k ξ'=推论 设函数()f x 在区间I 上满足()0f x '≠，那么()f x 在区间I 上严格单调. 证 首先用反证法证明，()0,f x x I '>∀∈，或()0,.f x x I '<∀∈假设这一结论不正确，则存在1212,,x x I x x ∈<使得()()120.f x f x ''<易知0在()1f x ',()2f x '之间,故由定理6.5得，存在()12,x x ξ∈,使得()0f ξ'=，这与已知条件矛盾．于是,由定理6.４的推论得,()f x 在区间I 上严格单调.习题选解1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ,使()0f ξ'=：（１）()11sin ,0,0,0;x x f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪=⎩ （2）(),1 1.f x x x =-≤≤２．证明:（1）方程330x x c -+=(这里c 为常数)在区间[]0,1内不可能有两个不同的实根;(２)方程0nx px q ++=（n 为正整数，p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根，当n 为奇数时至多有三个实根.证 （1）令()33f x x x c =-+，则()23 3.f x x '=-由方程2330x -=得 1.x =±抛物线233y x =-的开口向上，于是()f x '在区间()1,1-内恒为负.用反证法证明原命题．如果在区间[]0,1内有两个不同的实根12,x x ,不妨设12x x <，则()()120.f x f x ==由罗尔中值定理知,存在()12,x x ξ∈使得()0f ξ'=,但这是不可能的.所以方程330x x c -+=在区间()0,1内不可能有两个不同的实根.（2）令()nf x x px q =++，则()1.n f x nxp -'=+（ⅰ)设n 为正为正偶数,如果方程0nx px q ++=有三个以上的实根,则存在实数123,,x x x ，使得123x x x <<，且()()()1230.f x f x f x ===根据罗尔定理,存在()()112223,,,x x x x ξξ∈∈,使得()()120f f ξξ''==，但这是不可能的.因为()0f x '=是奇次方程10n nxp -+=，它在实数集R 上有且仅有一个实根.故方程0n x px q ++=当n 为偶数时至多有两个实根.（ⅱ)设n 为正奇数.如果方程0nx px q ++=有四个以上不同的实根，则根据罗尔定定理，存在123,,ξξξ，使得()()()1230f f f ξξξ'''===，但这是不可能的.因为()0f x '=是偶次方程10n nxp -+=，它在实数集R 上最多有两个实根.故方程0n x px q ++=当n 为奇数时至多有三个实根．。
函数单调性的判定
故对任意x 1，都有F ( x) 0，即 e ex.
x
如果函数f(x)在某区间上单调减少，则它的图形是
随x的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存 在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非正， 即 f ( x) 0 .
定理4.8 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有
(1) 如果在(a,b)内 f ( x) 0 ，那么，函数f(x)在[a,b]
函数单调性的判定
一、拉格朗日中值定理
二、函数单调性的判定
一、拉格朗日中值定理
定理1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
f (b) f (a) 则至少存在一点 (a, b)，使f ( ) . ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
f(x)=g(x)+C,
其中C为某常数. 事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
例1 选择题.选出符合题意的选项.
下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
f (b) f (a) ( x a). 证 令 ( x) f ( x) f (a ) ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续. 由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于
(a) 0 (b),
2
0.
当e x 时有， x 1， ln 因此 f ( x) 1 ln x x
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第一节 拉格郎日定理和函数的单调性教学目的几个定理的条件与结论，应用教材分析重点：了解几个定理的条件与结论，特例 难点：运用定理解决问题教学过程一、导入新课先考察可导函数在最大（小）值点处的导数性质。
例 函数221,x y x y -==分别在0=x 处取最小值，最大值，都有()00='y ，这一结果对于可导函数具有普遍性，利用最值、导数的概念和极限的保号性，可证明下列引理:引理 若函数()x f y =在区间I 内的0x 处可导且取得最值，则()00='x f二、罗尔定理1、基本定理定理1 若函数()x f 满足： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导；（3）()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使()0='ξf .略证 由条件（1），函数()x f 在[,]a b 上有最大值()M 和最小值()m ,只要证明函数()x f 至少有一个最值点落在(),a b 内即可。
若m M =，则()x f 在[,]a b 上恒为常数，()b a ,内任一点是最值点。
若m M >，则条件（3）至少有一个()x f的最值点落在(),a b 内。
2、几何意义连续曲线()x f y =的弧AB 上，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，则弧上除端点外至少有一点c ，在该点处曲线的切线平行于x 轴，从而平行于AB .3、注意事项罗尔中值定理的三个条件是使结论成立的充分而不必要条件。
反例()2,11,2,12x x f x x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩在闭区间[]1,2上有定义，在1=x 处不连续，也不可导，()()21f f ≠-，罗尔定理三个条件都不满足，但有()2,10-∈=ξ，使()0='ξf4、典型例题例1 对函数133+-=x x y 在[]3,3-上验证罗尔定理解 由于233y x '=-在[]3,3-上成立．所以函数133+-=x x y 在[]3,3-上可导．又(1y y ==，因此函数y 在[]3,3-上满足罗尔定理，从而有(ξ∈使()0f ξ'=.事实上2()33f ξξ'=-,当1ξ=或1ξ=-时，都有()0f ξ'=．显然(1±∈.验证完毕。
讨论方程的根有重要、广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程根。
例2 不求函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实数根。
解 函数()x f 在R 上可导，由于()x f 有3个零点：1231,2, 3.x x x ===因此方程()0='x f 至少有两个实根；又()0='x f 是二次方程，至多有两个实根。
所以方程()0='x f 有且仅有两个实根分别落在区间()()1,2,2,3内。
注意：利用罗尔定理可以讨论某些方程的根的情况。
三、拉格郎日定理1、基本定理定理2 函数()x f 满足： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 则至少存在一点ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ.2、几何意义连续曲线()x f y =的弧AB 上，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，则弧上除端点外至少有一点c ，在该点处曲线的切线平行于AB 。
3、物理意义物体在时间段[,]a b 上作连续直线运动，设位移函数()t f s =，则该物体在(),a b 中至少有一个时刻ξ，其速度恰为物体在[,]a b 上的平均速度。
拉格郎日定理的两格条件是结论成立的充分不必要条件。
4、增量形式函数()x f 在开区间(),a b 内可导，(),,x x x a b +∆∈，有ξ介于,x x x +∆之间，使()()()x f x f x x f ∆'=-∆+ξ，即()y f x ξ'∆=∆.注意： 与用微分近似增量的式子()x x f y ∆'=∆比较，后者是近似式并要求()0≠'x f ，x ∆很小；而增量形式是一个精确式，不要求()0≠'ξf ，x ∆只要为有限量，不要求x ∆很小。
这使拉格郎日定理在微分学中占有重要地位，通常称它为微分学基本定理。
5、重要推论推论1 函数()x f 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(),a b 内()0≡'x f ，则(),f x c ≡（c 为常数），[,]x a b ∈. 证 任意[]12,,x x a b ∈，由拉格朗日定理，有ξ在1x ,2x 之间使()()()()01212=-'=-x x f x f x f ξ,故12()()f x f x =,()c x f =(c 为常数)，[],x a b ∈．推论2 在开区间(),a b 内，()()x g x f '='，则()()f x g x c =+(c 为常数）,[,]x a b ∈.6、基本例题例3 [0,1]x ∈，证明21arcsin arcsin 2π=-+x x .证 设()21arcsin arcsin x x x f -+=,则()x f 是初等函数，在[]0,1上连续，()0,1x ∈时()()0111111222=--⋅--+-='xx xxx f ,由推论，()[],0,1f x c x =∈.又0=x 时，,21arcsin 0arcsin π=+因此[]0,1x ∈时21arcsin arcsin 2π=-+x x .四、函数的单调性 1、基本定理定理3 函数()x f 在[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，则()x f 在[,]a b 上单调增加（减少）。
注意：（Ⅰ） 定理中条件“在(),a b 内可导，且()0,(0)f x '><”可降低为“在(),a b 内可导，除个别点导数不存在或导数为0外有()0,(0)f x '><”。
（Ⅱ）闭区间可还成其它各种区间。
2、基本例题例4 证明()15-+=x x x f 在R 上单调增加。
证 任意x ∈R ，()0154>+='x x f ，由定理3，()x f 在R 上单调增加。
3、图表法讨论函数的单调性利用定理3求函数的单调区间时，可在函数的定义域内，用导数为零的点和导数不存在的点划分函数的定义域，保证()f x '在各个部分区间内保持固定的符号，最后确定函数的单调区间．为了简明、直观地求函数的单调区间，可用表格形式来表示。
例5 求函数()xx y 32-=的单调区间。
解 函数y 的定义域为(,)-∞+∞.222(2)(1)x x y x -+'=．函数y 在0x =处不可导,(1)0y '-=，(2)0y '=. 为直观起见，列表如下：由表格可见，(,1]-∞-是单调减少区间，[1,0)-、(0,)+∞是函数的单调增加区间。
例6 求()3252x x y -=的单调区间. 4、证明不等式分析 构造辅助函数()x f ,利用()x f 的单调性来证明.证 设()x f =x －ln(1+x )，则()x f 在［0,+∞)上连续且)0(f =0；在(0，+∞)内，()01111>+=+-='x xx x f ，由定理3，函数()x f 在［0，+∞)上单调增加，故x >0时，()x f ＞)0(f =0，从而当x >0时 ln (1+x )<x在以上的证明中是对不等式作同解变形，使一端为0，另一端设为辅助函数，利用辅助函数在相应区间内的单调性证明不等式。
例4：确定方程025123223=+--x x x 的实数根个数。
分析：函数在每个单调区间上的图象至多与x 轴有一个交点，因此可由函数的单调区间个数推得方程()0=x f 至多有几个实数根；然后在单调区间上用零值定理方法检验，确定方程有几个实数根。
解：令,25123223+--=x x x y 确定函数y 的单调区间。
()()()216262-+=--='x x x x y1-=x 或2=x 时，0='y 。
y 没有不可导的点。
x()1,-∞--1 )2,1(- 2 ()+∞,2y ' +-+y由表可见,函数y 在(]1,-∞-,[)+∞,2上都单调增加,在[]2,1- 上单调减少.由于(),052>=y 因此在区间[]2,1-,[)+∞,2上,方程都没有根;而()0321>=-y ,取3-=x 试算,得()0203<-=-y (或者由-∞=-∞→y x lim ,因此在区间()1,-∞- 内方程有一个根.综上所述,原方程有且仅有一个实根 巩固练习：73P 1，4，5课堂总结：熟记定理的内容与结论、应用布置作业： 73P 2，3，9（2）（4）（8），10（2）（6），11课后小结：。