解线性代数方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法
(1.5)
消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).我们从方程组(1.5)的第三个方 x3 6 / 6 1 ; 程解得 然后将它代入第二个方程得到
x2 ( 5 x3 ) / 3 2;
最后，将 x3 1, x2 2 代第一个方程得到
x1 (3 2 x2 3 x3 ) / 2 2.
②
（n＋1）n/2次运算
i 1 l11 bi lij x j l21 l22 j 1 A xi , i 1, , n lii l l l nn n1 n 2
③
（n＋1）n/2次运算
n u11 u12 u1n bi uij x j u22 u2 n j i 1 A x , i n, ,1 i uii u nn
1,2,...,n)
（ 1 .2 ）
Ax b,
a1n a2 n , ann
§1 1.1 Gauss 消去法 本章主要介绍求解线性方程组(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑 计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我 们还将在§5中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析．
a11 a 21 A, b ... an 2
之间有一对应关系.不难看出:
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
b1 b2 ... bn
（1.3）
（1）交换矩阵(1.3)的第p,q两行(记作 的第p,q两个方程；
(1.8)
(1.9)
(1.9)式是消元过程的一般计算公式.式中作分母的元素
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
第三章 解线性代数方程组的直接法(1)
(1) 11 (1) i1 (1) 11
0，记
... a
( 2) n2
...
...
( 2) nn
... a
b1(1) ( 2) b2 ... ( 2) bn
[ A2 b2 ]
其中
a a l i1 a ( 2) (1) (1) b bi bi li1 1
( ( ( A A1 [aij1) ]nn , b b1 [b1(1) , b21) , ..., bn1) ]
(1) 第一步消元。若 a
a l i1 , i 2, 3, ..., n a 将第一行乘以 l i1 ，加到第 i 行上去，得
(1 a11) 0 ... 0 (1 a12) (2 a22 ) ( ... a11) n ( ... a22 ) n
高 斯 消 去 法 的 消 元 过 程
for
k 1, 2,, n 1 for i k 1, k 2,, n aik aik ; akk for j k 1,, n 1
aij aij aik akj
n
回 a n , n 1 (ai ,n1 ai , j a j ,n1 ) 代 a n , n 1 ; a j i 1 i , n 1 an ,n 过 ai , i 程 i n 1,,1
( i , j 3, 4, , n)
于是得到如下与原方程组等价的方程组
A3 x b3
(3) 第 k 步消元。设第 k-1 次消元已经完成，若增广矩阵
a (1) 11
若a
a
(1) 12
a
(1) 13
常见的线性代数求解方法
常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。
它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。
这个方法的关键在于选取
主元的策略。
一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。
2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。
它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。
3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。
这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。
4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。
5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。
它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。
这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。
以上是一些常见的线性代数求解方法。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法1.1 主元的选取与算法的稳定性1.1.1问题提出Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
1.1.2实验内容考虑线性方程组n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
1.1.3实验要求（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取10n =计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数20n =或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）将上述矩阵A中的主元改为0.00006再重新作一次数值实验看看。
（5）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
1.1.4实验过程（1）程序：clear;clc;a=input('是否调整消元次序（是：1，否：0）');n=input('系数矩阵的阶数:');%构造题中给定形式的矩阵A(1,1)=6;A(1,2)=1;A(1,n+1)=7;%第n+1列取题中的bfor i=1:(n-2);A(i+1,i)=8;A(i+1,i+1)=6;A(i+1,i+2)=1;A(i+1,n+1)=15;end;A(n,n-1)=8;A(n,n)=6;A(n,n+1)=14;%自动消元if a==0;for i=1:(n-1);for j=(i+1):n;x=A(j,i)/A(i,i);for k=1:(n+1);A(j,k)=A(j,k)-x*A(i,k);end;end;end;y(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=2:n;y(n-i+1)=A(n-i+1,n+1);for j=1:(i-1);y(n-i+1)=y(n-i+1)-A(n-i+1,n-j+1)*y(n-j+1);end;y(n-i+1)=y(n-i+1)/A(n-i+1,n-i+1);end;yend;%手动控制消元次序if a==1;for i=1:(n-1);A %显示每步消元的结果m=input('请选取作为主消元行的行号');for l=1:(n+1);c=A(i,l);A(i,l)=A(m,l);A(m,l)=c;end;for j=(i+1):n;x=A(j,i)/A(i,i);for k=1:(n+1);A(j,k)=A(j,k)-x*A(i,k);end;end;end;y(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=2:n;y(n-i+1)=A(n-i+1,n+1);for j=1:(i-1);y(n-i+1)=y(n-i+1)-A(n-i+1,n-j+1)*y(n-j+1);end;y(n-i+1)=y(n-i+1)/A(n-i+1,n-i+1);end;yend;（2）数值实验结果及分析：1、根据要求当10n=时用Matlab算得Cond(A)=1727.6，让程序自动选主元，x=与精确解一致。
线性方程组的解法
线性方程组的解法作为一个线性代数主题，线性方程组的解法是一个非常重要的领域。
在本文中，我们将介绍几种解决线性方程组问题的方法。
我们将从初等变换、高斯消元法、矩阵展开式等几个方面来深入探讨。
一、初等变换初等变换往往是解决线性方程组问题的起点。
我们可以对方程组进行一些基本的操作来得到一个简化的等价方程组，从而方便我们去寻找方程组的解，初等变换主要包括三种操作：1.交换方程组中的两个方程的位置。
2.将某个方程的倍数加到另一个方程上。
3.用一个非零常数来乘某个方程。
执行初等变换时，我们必须记住每个变换对解x的影响。
在交换方程x 和y 的位置时，它们的解不变，而在加上一只方程的某个倍数时，系数矩阵和右侧向量也会随之改变，但解不变。
用一个非零常数乘以方程只会改变右侧向量，同时系数矩阵也会改变。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组问题的另一种方法。
该方法通过使用矩阵增广形式来解决线性方程组问题。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中右侧向量位于最后一列。
2. 使用初等变换来将增广矩阵化为行梯阵形式。
行梯阵是矩阵的形式，其中每一行从左侧开始的第一个非零元素称为主元（pivot），每个主元下方的元素均为零。
3. 从最后一行开始，使用回带算法来求得线性方程组的解。
高斯消元法对于小规模的线性方程组可以轻松解决。
但是，在大规模问题上，该方法可能会产生误差或需要很长时间才能找到解决方案。
三、克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组问题的第三种方法。
该方法的关键在于将解决方案表示为每个未知数的一个比值。
这个比值是通过计算每个未知数对其余所有未知数的系数行列式比率而得到的。
这个方法的好处在于消去解方程组所需要的系数矩阵增广形式和行梯阵形式的需要。
但是，如果有许多未知数，计算每个比率可能会非常繁琐。
另外，如果有两个或更多个未知数系数具有相同的值，则克拉默法则计算行列式比率会失败。
四、矩阵展开式最后，我们来看一下使用矩阵展开式来解决线性方程组问题的方法。
第三章线性代数方程组的直接解法
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n
ann
x1 b1
x
2
b2
xn bn
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2x1 x2 3x3 1
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
5 2
x2
3 2
x3
13 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如n 30,需2.381035次乘法。可见其在理论上是绝对正确，
但在n较大时，在实际计算中确实不可行的。
解线性方程组的两类方法：
直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不 计舍入误差!)
迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）
ij
1
(1) T n
若
a(1) 11
≠
0
:
( 第二行
)
（第一行）
a( 1 ) 21
a1(11)→(新第二行 )
(第三行 ) (第一行 ) a(311) a1(11)→ (新第三行 )
(第n行)
（第一行）
a( 1 n1
)
a( 1 ) 11
→
( 新第n行
)
相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方
程—同解！第一方程不动！
n3 3
nn
n
若 a(333) ≠0，则此消去过程可依次进行下去。
第 n 1 步消去过程后，得到等价三角方程组。
A b (n)x (n)
a x a x a x a x b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n n
1
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数 和常数项全得到新值：
a x a x a x a x b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n n
1
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
i
i
1
i1
2,3, L ,n
第二步消元： 若
a ≠ (2) 22
0
，对除第一行第一列外
的子阵作上计算：
a a a (1)
(1)
(1)
11
12
13
0 a a ( 2 )
(2)
22
23
A = ( 3 ) 0
a 0
( 3 )
33
0
a 0
( 3 )
n3
a(1 ) 1n
a( 2 ) 2n
a( 3 ) 3n
A a 其中 = ( 2 ) 0
( 2 )
22
a(1 ) 1n
b(1 ) 1
(2)
(2)
a b b ， = 2n
(2)
2
0 a a ( 2 )
(2)
n2
nn
b( 2 ) n
这里 a a m a ( 2 )
(1)
ij
ij
(1) i1 1 j
m a a (1)
(1)
i1
i1
11
b b b m i, j ( 2 ) (1) (1)
如果线性方程组的系数行列式不为零，即det( A) 0, 则该方程组有唯一解。由克莱姆(cramer)法则，其解为
xi
det( Ai ) det( A)
(i 1, 2,L , n)
这种方法需要计算n 1个n阶行列式并作 n次除法，而每个
n阶行列式计算需作(n 1) n!次乘法，计算量十分惊人。
解线性代数方程组的直接方法 §1.引言
n 阶线性方程组：
a x a x a x b
L
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b
21
1
L
22 2
2n n
2
L
a x a x a x b
n1
1
L
n2 2
nn n
n
矩阵表示记为 AX b
这里 a A [ ]ij nn , X (x1 , L , xn )T ,b (b1 , L ,bn )T
1n n
1
b x L 22 2
b2nxng 2
L
bnn xn g n
称消元过程。逐次计算出xn , xn1,L , x1称回代过程。
一、Gauss 消去法计算过程
统一记号： aij → a(ij1) , bi → b(i1)
A b A a b ( b ,L , b ) 原方程 (1)X (1) : (1) [ (1)] , (1) (1)
22 2
23 3
2n n
2
a x a x b (3) L (3) (3)
33 3
3n n
3
LL
a x b (n)
(n)
nn n
n
系数矩阵与常数项：
a a a (1)
(1)
(1) L
11
12
13
A(n)
0
0
M
a(2) 22 0 M
a(2) 23
a (3) 33 M
L L
0 0 0 L
a x a x a x a b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x a b (2) (2) L (2) (2)
22 2
23 3
2n
2
a x a b (3) L (3) (3)
33 3
3n
3
M
a x a b (3) L (3) (3)
b ， (3) =
b( 1 ) 1
b( 2 ) 2
b( 3 ) 3
a( 3 ) nn
b( 3 ) n
ai(j3) ai(j2) mi2 a(22j) mi2 ai(22) a(222)
b b b m i, j ( 3 ) ( 2 ) ( 2 )
i
i
2
i2
3,4, L ,n
得到同解方程组 A( 3) x = b( 3)
§2. Gauss 消去法
a x a x a x b
L
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b 对n阶线性方程组：
21
1
L
22 2
2n n
2
L
a x a x a x b
n1
1
L
n2 2
nn n
n
转化为等价的（同解）的三角形方程组。
b x b x b x g
L
11 1
12 2
a b (k)
(k)
kn
k
0
a L (k 1) ij
M
b(k 1) j
0
k 1 i,j n
a a a ( a a ) (k1) ij
( k)
( k)
( k)
( k)
ij
kj
ik
kk
b b b ( a a ) (k1) i
a(1)
1n
(2)
a2n
(3)
a b 3n
M
，
(n)
a(n)
nn
b (1)
1
(2)
b
2
(3)
b
3
M
b (n)
n
计算出 A( n )，b( n ) 的过程称消去过程。
a (1)Байду номын сангаас11 O
消去过程算法
L
a (1) 1n
b (1) 1
MM
a a (k)
(k) L
kk
kk 1
22 2
23 3
2n n
2
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
32 2
33 3
3n n
3
LL
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
n2 2
n3 3
nn n
n
A b 得到新同解方程组： （2）x （2）
a a (1)
(1)
11
12