浅谈数形结合思想在解题中的应用

浅谈数形结合思想在解题中的应用摘 要：本文主要探讨了数形结合思想在中学学生思维中的形成过程以及在中学数学的几方面的应用，如集合、函数、解方程与不等式、解析几何以及三角函数． 关健词：数形结合；数学思想所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，来解决一类数学问题的一种思想方法．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，也就是代数与图形之间的相互转化，使代数问题几何化，几何问题代数化．同时把握好数形结合思想，有助于中学生空间思维的形成．数形结合是数学解题中常用的思想方法，无论是在平时的数学应用中，还是在高考都起到了重要的指导作用．因此中学生掌握好数形结合思想是有重要意义的．既然如此，那中学生要如何掌握这种思想方法呢？在哪些地方可以用数形结合呢？本文就围绕这两个方面展开，进行谈讨． 一、如何在中学生的思维中建立数形结合思想这部分内容是在我们老师在平时的授课过程中完成的．首先，就是在我们平时老师的授课时，对于一些概念的几何意义要让学生彻底理解，要让学生达到能要自己的大脑中根据几何意义把图形画出来的效果，同时也能在不同的条件下准确地将图形画出．其次，是在平时练习中，凡是能用数形结合思想来解决的问题，老师都应提出并引导学生用这种思维方法去解决，从而加深学生对相应知识的掌握，进一步步在学生的思维中建立数形结合的思想模型．最后，就是在学生平时自己做练习时，若出现了此类问题的，则要求学生试着用数形结合思想方法来解决问题，从而更进一步地在学生思维中树立数形结合思想． 二、下面就分析数形结合思想在几个知识面上的应用． 1． 数形结合思想解决集合问题上的应用此类问题在平时的练习中都会出现,而数形结合思想却是解题中所使用的重要思想,往往能够提高我们做题的速度和正确率.对于选择题中的集合问题往往我们都用数轴和维恩图结合”数”来解决;而对于后面的解答题,常常都会出现较为复杂的图形,但都会借助坐标轴、图形以及题意,即数形结合来解决问题.如:例1：(2005年天津高考)设集合S={}8|{},3|2||+<<=>-a x a x T x x R T S = ，则a 的取值范围是( )A -3<a<-1B -3<a ≤-1C a ≤-3 或a ≥-1D a<-3 或 a>-1 解析:因为 32>-x所以 -1}x 5|{<>=或x x S 又 }8|{+<<=a x a x T 所以有由图可知：要使R T S = 只需⎩⎨⎧-<>+158a a即 13-<<-a例2：集合}x 10|{+∈≤=N x x S 且，S A ⊆ S B ⊆且}5,4{=B A }3,2,1{)(=A B C s}8,7,6{)()(=B C A C s s 求集A 和B ．解析：如图1—2所示1—2因为 }5,4{=B A所以 B A ，∈54 因为 }321{，，A B ）（C s =所以 A ，，∈321 a -1 a+8 51—1因为}8,7,6{)s s =A （C B ）（C所以 之外中的写在B A ，S ，，876 因为 109)()(C )s s ，B C A A A （C s 中均与 所以9，10在B 中故A={1，2，3，4，5} B={4，5，9，10} 例3：（2005年湖南省高考）高集合()}221|,{-≥=x y y x A ()}|,{b x y y x B +-≤=且Φ=B A（1） 求 b 的取值范围（2） 若（x,y ）B A ∈且x+3y 的最大值为9，求b 的值．解析：（1）函数b x y +=-=x -y 221与的图象是两条射线， 如1-3所示由图可知：[)+∞∈,1b（2）可知，当φ=≥B A 1 时b 由线性规化的相交知识，易知29=b 故：（1）),1[+∞ （2）292．数形结合思想在解函数问题在于的应用借助于图象来研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形的特征与方法．例（1）（2006年天津高考）在R 上定义的函数)(x f 是偶函数且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间[-2，-1]上是增函数，则)(x f （ ）A 、 在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数+x 221-=x y bB 、 在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C 、 在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D 、 在区间[-2，-1]上是减函数，在区间]3，4]上是减函数 解析：)2()()(x f x f x f -=-=所以)(x f 是以2为周期的函数 画出)(x f 的草图如2-1由图可知： B 正确例2（2010年全国卷I ）已知函数()1ln 1)(+-+=x x x x f ，若1)(2++≤'ax x x f x ，求a 的取值范围解析：由 ()1ln 1)(+-+=x x x x f则 1ln 1)1()(-++='x xx x f =1+x x ln由 1)(2++≤'ax x x f x 有 ax x x x +≤2ln 又R x ∈，则 a x x +≤ln 在同一坐标系中作出a x y ln +==和x y如图2—2易知当在点()0,1时，两图象相切，此时a=-1 则[)+∞-∈,1a例3：（2006年浙江高考）⎩⎨⎧<≥=∉b a b,ba a,b}max{a,.,记Rb a函数)(2,`max{)(R x x x x f ∈++=}的最小值．解析：令 1+=x y ，2-=x y 在同一坐标系中分别作出其图像，如图2-3： 2-=x y根据题意可知：函数)(x f 的图像是由图中的射线PB PA ,构成，由 ⎩⎨⎧+=+-=12x y x y解得 23=y ， 即为函数)(x f 的最小值，故填23． 3．数形结合思想在解决三角函数问题中的运用有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小问题以及最值问题，一般将函数化成基本三角函数的形式，借助于单位圆或三角函数的图像来解决，即数形结合.与三角函数的有关的定义域、值域以及方程的根的个数等问题，也可以借助于三角函数图像来处理．例1（2009年辽宁高考）已知函数()x x x x x f cos sin 21cos sin 21)(--+=，则)(x f 的定义域是（ ）1+xA ．[]1,1- B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,22 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22,1解析：当x x cos sin ≥时，x x f cos )(=； 当x x cos sin <时，x x f sin )(=所以 ⎩⎨⎧<≥=)cos (sin ,sin )cos (sin ,cos )(x x x x x x x f图像如图3-13-1由图象可知值域为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1故选C例2 （2006年天津高考）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin )(π，则)(x f （ ）A ． 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,32ππ是增函数B ． 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,ππ是减函数C ． 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,8ππ是增函数D ． 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ是减函数解析：作出函数()π3sin +=x y 的图像，如图3-2，可知正确答案为A4．数形结合思想在处理不等式与方程问题上的应用在利用数形结合思想来处理不等式时最主要的是要把握一个思想，就是哪一部分图象在上面，则在这部分图象所对的区间上，在上面的图象的函数值就要大于在下面的图象的函数值：另一种情况就是反之；对于方程的话现正好是两个图象相交的问题．此外，还可以利用数形结合来解决高次不等式的问题，即我们平时所说的穿针引线法，而且方便快捷．但这些简单的判断都是建立在比较准确的图形上的．所以能准确地画出图象是解题的关健． 例1：解不等式152+>+x x解： 设 52+=x y即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0,252522y x x y对应的曲线是以⎪⎭⎫⎝⎛-0,25A 为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数1+=x y 的图象是一直线．（如图4-1）解方程 152+=+x x 可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是：14-⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-225|x x 例2．若方程()()lg lg -+-=-x x m x 233在()x ∈03，内有唯一解，求实数m 的取值范围．解析：（1）原方程可化为 ()()--+=<<x m x 21032设 ()()y x x y m 1222103=--+<<=，在同一坐标系中画出它们的图象（如图4—2）．由原方程在（0，3）内有唯一解，知21y y 与 的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-<≤10m 或m =1．4—25．数形结合思想在解决解析几何上的应用数形结合是解决此类问题的基本思想．在应用时要将图象与相关定义与性质结合起来，因此要求对圆、椭圆、双曲线、抛物线以及一些空间图形的性质与几何意义理解．同时，在每年的高考中解析几何与立体几何是必出的题目，因此，数形结合思想在本处的应用具有重要的实际意义．虽然，在解此类题时，有时并没有画出图形来，但在进行的过程中是离不开图象的，或在草纸或在脑中进行．例1 已知圆()()C ,,12:22为圆y x P y x C =++上任一点．（1）求1-x 2-y 的最大值，最小值 （2）求y x 2-的最大值与最小值分析：（1）由1-x 2-y 容易联想到其几何意义是点()()1,2,与点y x 所确定的直线的斜率（2）由y x 2-可联想到“目标函数”,可视为动直线截距最值问题 解：（1）如图5-1，设()2,1Q ，由()得y x P ,：k 1-x 2-y = ○1 的最大、最小值分别为过Q 点的圆C 的两条切线的斜率．将○1整理得 02=-+-k y kx所以 1k1k 22d 2=+-+-=k所以 433±=k 所以1-x 2-y 的最大值为433+，最小值为433- （2）令u y x =-2，则可视为一组平行直线系，当直线与圆C 有公共点时，u 的范围可求，最值必是直线与圆C 相切时5—1所以 152=--=u d所以 52±-=u所以y x 2-的最大值是52+-，最小值是52--例2 (2006年上海高考)若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．解析：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩的图象，如5-2图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；5—2数形结合是一种重要思想方法，在运用的时候往往需要我们理解相应的知识点的几何含义，这样才能做到事办公倍．而且在平时的教学中也能运用数形结合思想，如在我们平时的引入中就可有以将学生感觉枯燥乏味的数学知识与我们生活在实际存在的“形”结合起来．这样更可以提高学生的学习兴趣．常常使用不仅可以提高做题效率，还可以提高我们的数学素养．参考文献：[1]薛金星.怎样解题高中数学解题方法与技巧[M].北京.北京教育出版社，2007,5 [2] 最新五年高考真题汇编详解[M]．天利全国高考命题研究组．西藏人民出版社，2010 [3] 全日制普通高级中学教科书(数学)[M]．第一册（下）．人民教育出版社，2007 [4] 普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2008，4yxo11[5]钟山．高考备考工具书[M]．辽宁；辽宁教育出版社，2010,3[6]沈思奇．高中名师互动教案数学Ａ版必修一[M]．陕西；陕西旅游出版社，2009,8[7]沈思奇．高中名师互动教案数学Ａ版必修二[M]．陕西；陕西旅游出版社，2009,8。